Ap1 MD2 2009 2 gab

Prévia do material em texto

Fundação Centro de Ciências e EFundação Centro de Ciências e EFundação Centro de Ciências e EFundação Centro de Ciências e Educação Superior ducação Superior ducação Superior ducação Superior aaaa Distância do Estado do Rio de Janeiro Distância do Estado do Rio de Janeiro Distância do Estado do Rio de Janeiro Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior Centro de Educação Superior Centro de Educação Superior Centro de Educação Superior aaaa Distância do Estado do Rio de Janeiro Distância do Estado do Rio de Janeiro Distância do Estado do Rio de Janeiro Distância do Estado do Rio de Janeiro 
 
APAPAPAP 1 1 1 1 2009/22009/22009/22009/2 Met. Det. IIMet. Det. IIMet. Det. IIMet. Det. II Data: 20:09Data: 20:09Data: 20:09Data: 20:09 GabaritoGabaritoGabaritoGabarito 
 
1ª questão1ª questão1ª questão1ª questão (2,0 pontos) 
Seja a função bijetora 






−→






−−
2
3
2
1
: IRIRf tal que 
52
73)2(
+
+
=+
x
x
xf . Determine 
)(1 xf − . 
 
SoluçãoSoluçãoSoluçãoSolução: 
12
13
5)2(2
7)2(3)2)2(()(
+
+
=
+−
+−
=+−=
x
x
x
x
xfxf 
( )
( )
32
1)(
32
1132
1321321312
12
13
1
−
−
=∴
−
−
=↔−=−↔
−=−↔+=+↔+=+↔
+
+
=
−
x
x
xf
y
y
xyyx
yxxyxyxyxxy
x
xy
 
Logo, 
32
1
2
1
2
3
:1
−
−






−−→






−
−
x
x
x
IRIRf
a
 
 
2222ª questãoª questãoª questãoª questão (3,0 pontos) 
Os gráficos de f e g estão representados abaixo. Use-os para determinar cada limite. 
Caso não exista, explique o porquê. 
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
 
)(xfy = )(xgy = 
 
a.a.a.a. (0,7 ponto) [ ])()(lim
2
xgxf
x
+
→
 
b.b.b.b. (0,7 ponto) [ ])()(lim
1
xgxf
x
+
→
 
c.c.c.c. (0,9 ponto) )(
)(lim
1 xg
xf
x −→
 
d.d.d.d. (0,7 ponto) )(3lim
1
xf
x
+
→
 
 
SoluçãoSoluçãoSoluçãoSolução: 
a.a.a.a. [ ] 202)()()()( limlimlim
222
=+=+=+
→→→
xgxfxgxf
xxx
 
 
b.b.b.b. [ ])()(lim
1
xgxf
x
+
→
 
Como 1)()(2 limlim
11
=≠=
+− →→
xgxg
xx
, então a função g não admite limite quando x tende a 
1. Logo, não existe [ ])()(lim
1
xgxf
x
+
→
. 
 
c.c.c.c. )(
)(lim
1 xg
xf
x −→
 
1)(lim
1
−=
−→
xf
x
 e 0)(lim
1
=
−→
xg
x
, e, como 
0
1−
 não está definido, então o limite não existe 
(pois 
0
1−
 não é um número real). 
Nesse caso não podemos afirmar que ∞=
−→ )(
)(lim
1 xg
xf
x
, pois )(lim
1
xg
x +−→
 tende a 0 por valores 
positivos e )(lim
1
xg
x −−→
 tende a 0 por valores negativos. Dessa forma, −∞=
+
−→ )(
)(lim
1 xg
xf
x
 e 
+∞=
−
−→ )(
)(lim
1 xg
xf
x
, logo, como os limites laterais são diferentes, então, a função )(
)(
xg
xf
 não 
admite limite quando x tende a -1. 
 
d.d.d.d. 213)(3))(3()(3 limlimlim
111
=+=+=+=+
→→→
xfxfxf
xxx
 
 
3333ª questãoª questãoª questãoª questão (2,5 pontos) 
Sejam 325)( += xxf e ( )xxxg x 9log)( 22 += + . 
a.a.a.a. (1,0 ponto) Determine o domínio da função g . 
b.b.b.b. (1,5 ponto) Mostre que 36
2
3)3(
=




 −gf , calculando 




 −
2
3)3(gf . 
SoluçãoSoluçãoSoluçãoSolução: 
a.a.a.a. Condições de existência: 





>+
≠+
>+
09
12
02
2 xx
x
x
. 





>−<
−≠
−>
↔





>+
≠+
>+
09
1
2
09
12
02
2 xoux
x
x
xx
x
x
 
A interseção dessas três condições é o domínio da função g : 
{ } ( )∞+=>∈= ;00|)( xIRxgD 
 
b.b.b.b. )3(33)3(
3
2
3)3(2
555
2
3)3( ggggf ===




 − +−+
−
. 
( ) 36log333log)3( 5232 =⋅+= +g 
365
2
3)3( 36log5
==




 −
∴
gf 
 
4444ª questãoª questãoª questãoª questão (2,5 pontos) 
Seja ( ) ( )21)( 2 +−= xx
x
xf . Determine: 
a.a.a.a. (0,5 ponto) )( fD 
b.b.b.b. (1,0 ponto) a(s) assíntota(s) vertical(is) de f . 
c.c.c.c. (1,0 ponto) a(s) assíntota(s) horizontal(is) de f . 
 
SoluçãoSoluçãoSoluçãoSolução: 
a.a.a.a. { } ( ) ( ) ( )∞+∪−∪−∞−=≠−≠∈= ;11;22;12|)( xexIRxfD 
 
b.b.b.b. a(s) assíntota(s) vertical(is) de f . 
( ) ( ) +∞=+−−
−→ 21 22lim xx
x
x
 e ( ) ( ) −∞=+−+
−→ 21 22lim xx
x
x
, logo, 2−=x é uma assíntota vertical. 
( ) ( ) ( ) ( ) +∞=+−=+− +− →→ 2121 2121 limlim xx
x
xx
x
xx
, logo, 1=x é uma assíntota vertical. 
 
c.c.c.c. a(s) assíntota(s) horizontal(is) de f . 
( ) ( ) ( )( )






+−
=






+−
=
+−
=
++−−+
=
++−
=
+−
32
2
32
3
322322
231
1
231
23242221221
xx
x
xx
x
x
xx
x
xxxxx
x
xxx
x
xx
x
 
Logo, ( ) ( ) 0231
1
21
32
2
2 limlim =






+−
=
+− +∞→+∞→
xx
x
xx
x
xx
. 
Da mesma maneira, ( ) ( ) 0231
1
21
32
2
2 limlim =






+−
=
+−
−∞→−∞→
xx
x
xx
x
xx
. 
Portanto, 0=y (o eixo X) é uma assíntota horizontal de f .