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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro AP 1 2010/2 Met. Det. II 12/09/2010 1ª questão (2,0 pontos) Seja a função bijetora −→ −− 2 3 2 1 : IRIRf tal que 52 73)2( + + =+ x x xf . Determine: a) a expressão de )(xf ; b) a expressão de )(1 xf − ; c) a composta de f com g tal que g (x) = x2 + 1. Solução: a) substitua x + 2 por outra variável auxiliar, por exemplo, t. Portanto, se x + 2 = t, temos que 12 13 5)2(2 7)2(3)(2 + + = +− +− =⇒−= t t t t tftx . Para apresentar o resultado na variável x, é só mudar o “nome” da variável, fazendo t = x. Portanto, 12 13)( + + = x x xf . b) Para calcular )(1 xf − , utiliza-se o artifício de, na expressão de f, substituir o “nome” x por y e f(x) por x. Assim, 32 11)32(13)12( 12 13 − − =⇒−=−⇒+=+⇒ + + = x xyxxyyyx y y x que é a expressão de )(1 xf − . c) A composta de f com g será dada por 32 43 1)1(2 1)1(3)1())(( 2 2 2 2 2 + + = ++ ++ =+= x x x x xfxgf 2ª questão (3,0 pontos) Os gráficos de f e g estão representados abaixo. Use-os para determinar cada limite. Caso não exista, explique o por quê −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x y −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x y )(xfy = )(xgy = a. f(2); b. )(lim 2 xf x→ ; c. [ ])()(lim 2 xgxf x + → ; d. )1(g ; e. )(lim 1 xg x → ; f. [ ])()(lim 1 xgxf x + → g. )( )(lim 1 xg xf x −→ h. )(3lim 1 xf x + → Solução: a) observando o gráfico, f(2) = 1 b) da mesma forma, 2)(lim 2 = → xf x c) como, observando o gráfico de g 0)(lim 2 = → xg x e o limite da soma é a soma dos limites, temos que [ ] 202)()(lim 2 =+=+ → xgxf x d) observando o gráfico, 1)1( =g . e) Idem, )(lim 1 xg x → não existe pois os limites laterais são diferentes. f) [ ])()(lim 1 xgxf x + → não existe pois não existe )(lim 1 xg x → . g) Não existe )( )(lim 1 xg xf x −→ pois o limite do quociente é o quociente dos limites se o limite do denominador não for zero. h) Usando as propriedades, ( ) 2413)(3)(3)(3 limlimlim 111 ==+=+=+=+ →→→ xfxfxf xxx 3ª questão Sejam 325)( += xxf e ( )xxxg x 9log)( 22 += + . a. (1,0 ) Determine o domínio da função g . b. (1,0) Calcule os valores de ) 2 1(−f e )1(g . c. (1,0) Calcule o valor de − 2 3)3(gf . Solução: a) a condição de existência do logaritmo é que o “logaritmando” seja positivo e a base seja maior que zero e diferente de 1. Assim, temos que 1202092 ≠+>+>+ xexexx . Resolvendo, 090)9(092 >−<⇒>+⇒>+ xouxxxxx . A segunda desigualdade, 202 −<⇒>+ xx e a terceira restrição, 112 −≠⇒≠+ xx . Fazendo a interseção entre os intervalos, temos que ( ) ( )U +∞−−∈ ,02,9x . Portanto, o domínio da função g será o conjunto }029|{ >∨−<<−∈ xxRx b) 25555) 2 1( 231 3 2 12 ====− +− + − f . ( ) 10log1.91log)1( 3212 =+= +g c) ( ) 3655 2 336log 2 33.93log 2 3)3( 36log32 336log25232 55 === − = −+ = − + − + ffgf 4ª questão Seja ( ) ( )21)( 2 +−= xx x xf . Determine: a. (0,5) o domínio de f b. (1,0) a(s) assíntota(s) vertical(is) ao gráfico de f . c. (1,0) a(s) assíntota(s) horizontal(is) ao gráfico de f . Solução: a) a condição de existência da função é que o denominador não seja nulo, que ocorre quando x = 1 e quando x = -2. Portanto, o domínio é o conjunto }12|{ ≠∧−≠∈ xxRx . b) As assíntotas verticais podem ocorrer nos pontos que não pertencem ao domínio. Portanto, precisamos testar os limites à esquerda e à direita de 1 e à esquerda e à direita de -2. Assim temos que ( ) ( ) +∞=+−−→ 21lim 21 xx x x pois a medida que x se aproxima de 1, por valores menores que 1, o denominador se aproxima de zero, mas por valores positivos. Da mesma forma, ( ) ( ) +∞=+−+→ 21lim 21 xx x x . Analisando a outra possibilidade, temos ( ) ( ) +∞=+−−−→ 21lim 22 xx x x , pois o numerador é um valor negativo e o denominador também é um valor negativo. Da mesma forma, temos que ( ) ( ) −∞=+−+−→ 21lim 22 xx x x pois o numerador é um valor negativo e o denominador é um valor positivo. Assim, as assíntotas verticais do gráfico de f são as retas x = 1 e x = -2. c) As assíntotas horizontais ocorrem quando x tende a infinito (positivo ou negativo). Assim, precisamos calcular ( ) ( )21lim 2 +−−∞→ xx x x e ( ) ( )21lim 2 +−+∞→ xx x x . Calculando, temos que ( ) ( ) ( ) ( ) 0211 1lim21lim 22 =+−=+− −∞→−∞→ x xxx x xx e da mesma forma, ( ) ( ) 021lim 2 =+−+∞→ xx x x . Logo, a reta y = 0 é a assíntota horizontal ao gráfico de f.
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