Serie de Fourier

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Cap´ıtulo 10
Series de Fourier
10.1. Motivacio´n
Tal como hemos visto en Cap´ıtulos anteriores la ecuacio´n diferencial
x′′ + ω20x = f(t)
modeliza el comportamiento de un sistema masa-resorte, con frecuencia natural ω0 que
se mueve bajo la accio´n de una fuerza externa f(t). Si f(t) es una funcio´n senoidal
(funcio´n seno o coseno), por ejemplo f(t) = A cosωt, se obtiene fa´cilmente, por coeficientes
indeterminados, una solucio´n particular, y la solucio´n general, tal como hemos visto en
un Cap´ıtulo anterior, dando lugar al feno´meno de pulsaciones en el caso ω 6= ω0 y al de
resonancia si ω = ω0.
Si f(t) es una combinacio´n lineal de funciones senoidales, el tratamiento ser´ıa ana´logo y
obtendr´ıamos una solucio´n particular aplicando el principio de superposicio´n. Por ejemplo,
si
f(t) =
N∑
n=1
An cosωnt,
se obtiene como solucio´n particular
xp(t) =
N∑
n=1
An
ω20 − ω2n
cosωnt
si ωn 6= ω0, para todo n = 1, 2, · · · , N .
En muchos sistemas meca´nicos existen a menudo fuerzas externas perio´dicas, que
no son combinacio´n lineal de senos y cosenos. En estos casos, no hay posibilidad de
encontrar una solucio´n particular por el me´todo anterior. Sin embargo, si fuera posible
representar f(t) mediante una serie trigonome´trica (serie de senos y cosenos), el me´todo
anterior se podr´ıa generalizar en el sentido de encontrar una solucio´n particular en forma
147
148 CAPI´TULO 10. SERIES DE FOURIER
de serie trigonome´trica. Pues bien, en relacio´n con este tema el cient´ıfico france´s Joseph
Fourier (1768-1830), en el ce´lebre tratado sobre Teor´ıa Anal´ıtica del Calor, hizo la siguiente
aseveracio´n en el an˜o 1822: toda funcio´n f(t), de periodo 2pi, puede representarse mediante
una serie trigonome´trica de la forma
a0
2
+
∞∑
n=1
(an cosnt+ bn sennt). (10.1)
Veremos que en condiciones bastante generales para la funcio´n f(t), incluyendo deter-
minadas funciones discontinuas, esto realmente es cierto. Una serie de la forma anterior se
llama serie de Fourier, y la representacio´n de funciones mediante series de Fourier es una
te´cnica muy utilizada en Matema´tica Aplicada, en especial en la resolucio´n de ecuaciones
en derivadas parciales.
10.2. Funciones perio´dicas y series trigonome´tricas
Por el momento limitaremos nuestra atencio´n a funciones perio´dicas de periodo 2pi, y
ma´s adelante generalizaremos a funciones con periodo arbitrario.
Estamos interesados en determinar los coeficientes de la serie 10.1 para que converja
a una funcio´n dada f(t) de periodo 2pi.
Proposicio´n 10.2.1 El conjunto de funciones {senmt, cosnt}, con m,n ∈ N, son orto-
gonales en el intervalo [−pi, pi], es decir
∫ pi
−pi cosmt · cosnt dt =
{
0 si m 6= n
pi si m = n∫ pi
−pi senmt · sennt dt =
{
0 si m 6= n
pi si m = n∫ pi
−pi cosmt · sennt dt = 0, ∀m,n. �
Definicio´n 10.2.1 Sea una funcio´n f(t), continua a trozos, de periodo 2pi, definida para
todo t ∈ R. Definimos serie de Fourier asociada a f por
a0
2
+
∞∑
n=1
(an cosnt+ bn sennt),
donde
an =
1
pi
∫ pi
−pi
f(t) cosnt dt, n = 0, 1, 2, · · ·
bn =
1
pi
∫ pi
−pi
f(t) sennt dt, n = 1, 2, · · · . �
10.3. SERIE DE FOURIER GENERAL 149
Puede suceder que la serie de Fourier, asociada a una funcio´n, no converja a dicha
funcio´n en algunos puntos de su dominio, por lo que escribiremos
f(t) ∼ a0
2
+
∞∑
n=1
(an cosnt+ bn sennt), (10.2)
sin usar el signo igual entre funcio´n y serie hasta estudiar su convergencia.
Ejemplo 10.2.1 Comprobar que la serie de Fourier asociada a la funcio´n onda cuadrada
f(t) =


−1 si −pi < t < 0,
1 si 0 < t < pi,
0 si t = −pi, 0, pi
y perio´dica, de periodo 2pi, es
f(t) ∼ 4
pi
∞∑
n=1
sen(2n− 1)t
2n− 1 . �
Nota 10.2.1 Para calcular series de Fourier, asociadas a funciones polino´micas, son muy
u´tiles las siguientes fo´rmulas∫
un cos u du = un senu− n
∫
un−1 senu du,∫
un senu du = −un cos u+ n
∫
un−1 cos u du. �
10.3. Serie de Fourier general
Consideremos una funcio´n f(t) continua a trozos de periodo arbitrario P , y sea L el
semiperiodo. Si hacemos el cambio de variable t = Lx/pi se obtiene una funcio´n
g(x) = f(t) = f
(
Lx
pi
)
,
que es continua a trozos y de periodo 2pi, cuya serie de Fourier asociada es
g(x) ∼ a0
2
+
∞∑
n=1
(an cosnx+ bn sennx),
con los coeficientes an y bn calculados tal como se ha descrito anteriormente. Deshaciendo
el cambio de variable, es decir haciendo x = pit/L se obtiene que la serie de Fourier
asociada a f(t) viene dada por
f(t) ∼ a0
2
+
∞∑
n=1
(
an cos
npit
L
+ bn sen
npit
L
)
, (10.3)
150 CAPI´TULO 10. SERIES DE FOURIER
donde
an =
1
L
∫ L
−L
f(t) cos
npit
L
dt, n = 0, 1, 2, · · ·
bn =
1
L
∫ L
−L
f(t) sen
npit
L
dt, n = 1, 2, · · · . � (10.4)
Ejemplo 10.3.1 La funcio´n onda cuadrada, de amplitud 1 y periodo 2L tiene por serie
de Fourier asociada
f(t) ∼ 4
pi
∞∑
n=1
(
1
2n− 1 sen
(2n− 1)pit
L
)
. �
−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Efecto de Gibbs, (número de términos: 10)
−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Efecto de Gibbs, (número de términos: 30)
Figura 10.1: Aproximaciones de la funcio´n onda cuadrada
En la Figura 10.1 esta´n representadas sumas parciales, 10 y 30 te´rminos respectiva-
mente, de la serie de Fourier asociada a la funcio´n onda cuadrada de periodo 2 y amplitud
1. Las oscilaciones que se producen en las proximidades de los puntos de discontinuidad
de la funcio´n reciben el nombre de efecto Gibbs. Su amplitud ma´xima, en este caso, se
estima en 0.18, que equivale al 9 % del salto.
10.4. Convergencia de una serie de Fourier
Comencemos revisando diversos conceptos de convergencia. Dada una sucesio´n de
funciones {Φn(x)}, definidas en un intervalo [a, b], consideramos el problema de aproximar
una funcio´n f(x), definida en dicho intervalo, mediante una suma de la forma
SN(x) =
N∑
n=1
cn Φn(x).
10.4. CONVERGENCIA DE UNA SERIE DE FOURIER 151
Si se calculan los coeficientes cn de modo que el valor de SN(x) tienda al de f(x),
cuando N →∞, para cada x ∈ [a, b], tenemos convergencia puntual, y decimos que la
serie ∞∑
n=1
cn Φn(x)
converge puntualmente a la funcio´n f(x). Es decir, hay convergencia puntual si: ∀ε > 0 y
∀x ∈ [a, b] existe N0(x, ε) tal que |f(x)− SN(x)| < ε, ∀N ≥ N0.
Si ∀ε > 0 existe N0(ε) tal que |f(x)− SN(x)| < ε, ∀N ≥ N0 y ∀x ∈ [a, b] decimos que
la serie ∞∑
n=1
cn Φn(x)
converge uniformemente a la funcio´n f(x). Significa que todas las funciones SN(x), a
partir de la SN0(x), esta´n entre f(x)− ε y f(x) + ε, es decir
f(x)− ε < SN(x) < f(x) + ε ∀N ≥ N0, ∀x ∈ [a, b].
Finalmente, dada una funcio´n ρ(x) > 0, si
l´ım
N→∞
∫ b
a
[f(x)− SN(x)]2 ρ(x) dx = 0,
decimos que la sucesio´n SN(x) converge en media cuadra´tica, o en el sentido mı´nimos
cuadrados, hacia f(x), con funcio´n de peso ρ(x). El valor de la integral recibe el nombre
de desviacio´n media cuadra´tica de SN(x) respecto de f(x). El significado de este tipo de
convergencia es que SN(x) aproxima muy bien a f(x) salvo en un conjunto de intervalos
cuya longitud total es muy pequen˜a.
A la vista de estas definiciones se comprendera´ fa´cilmente que la relacio´n entre estos
tipos de convergencia es la que aparece en la Figura 10.2.
Teorema 10.4.1 (Convergencia puntual. Teorema de convergencia de Fourier)
Si f(t) es una funcio´n perio´dica, de periodo 2L, y f(t) y f ′(t) continuas a trozos, entonces
la serie de Fourier asociada a f(t), dada por 10.3-10.4, converge a
f(t+) + f(t−)
2
.
En particular, en los puntos donde f es continua converge a f(t). �
Teorema 10.4.2 (Convergencia uniforme) Si f(t) es una funcio´n continua y perio´di-
ca, de periodo 2L, y f ′(t) continua a trozos,entonces la serie de Fourier de f(t) converge
uniformemente a f(t) en [−L,L] y, por tanto, en cualquier intervalo. �
152 CAPI´TULO 10. SERIES DE FOURIER
Figura 10.2: Tipos de convergencia
Consideremos el conjunto de funciones
{
cos
npit
L
}∞
0
,
{
sen
npit
L
}∞
1
, que son ortogonales
en (−L,L) con funcio´n de peso ρ(t) = 1. Si pretendemos aproximar la funcio´n f(t), en
(−L,L), por medio de una suma
SN(t) =
p0
2
+
N∑
n=1
(
pn cos
npit
L
+ qn sen
npit
L
)
,
y calculamos los coeficientes pn y qn de tal manera que el error medio cuadra´tico sea mı´ni-
mo, resulta que dichos coeficientes son, precisamente, los de la serie de Fourier asociada
a la funcio´n f .
Teorema 10.4.3 (Convergencia en media cuadra´tica) Si f(t) es una funcio´n de cua-
drado integrable en (−L,L), entonces entonces la serie de Fourier asociada a f(t) converge
en media cuadra´tica a f(t), en [−L,L]. �
10.4.1. Diferenciacio´n de series de Fourier
Nuestro objetivo es considerar series de Fourier como posibles soluciones de ecuaciones
diferenciales, por lo que necesitamos precisar en que´ condiciones es posible derivar te´rmino
a te´rmino una serie de Fourier de una funcio´n y(t) de manera que la serie derivada converja
a y′(t).
10.5. FUNCIONES PARES E IMPARES. SERIES DE SENOS Y COSENOS 153
Teorema 10.4.4 (Diferenciacio´n te´rmino a te´rmino) Si f(t) es continua para todo
t, perio´dica, de periodo 2L, y f ′ y f ′′ son continuas a trozos, entonces la serie de Fourier
asociada a f ′ es la serie
f ′(t) ∼
∞∑
n=1
(
−npi
L
an sen
npit
L
+
npi
L
bn cos
npit
L
)
obtenida derivando te´rmino a te´rmino la serie de Fourier de f
f(t) =
a0
2
+
∞∑
n=1
(
an cos
npit
L
+ bn sen
npit
L
)
. �
10.4.2. Integracio´n de series de Fourier
Teorema 10.4.5 (Integracio´n te´rmino a te´rmino) si f(t) es una funcio´n perio´dica,
de periodo 2L, tal que f y f ′ son continuas a trozos y la serie de Fourier asociada a f es
f(t) ∼ a0
2
+
∞∑
n=1
(
an cos
npit
L
+ bn sen
npit
L
)
,
entonces, para todo t se tiene
∫ t
0
f(s)ds =
a0t
2
+
∞∑
n=1
L
npi
[
an sen
npit
L
− bn
(
cos
npit
L
− 1
)]
donde la serie del segundo miembro, resultado de integrar te´rmino a te´rmino la asociada
a f , converge para todo t. �
10.5. Funciones pares e impares. Series de senos y
cosenos
Si una funcio´n es par, de periodo 2L, f(t) cos(npit/L) tambie´n es par, mientras que
f(t) sen(npit/L) sera´ impar. Por tanto,
an =
2
L
∫ L
0
f(t) cos
npit
L
dt, bn = 0.
Es decir, si f(t) es par
f(t) ∼ a0
2
+
∞∑
n=1
an cos
npit
L
,
154 CAPI´TULO 10. SERIES DE FOURIER
−3 −2 −1 0 1 2 3
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Dientes de sierra, (número de términos: 10)
Figura 10.3: Funcio´n dientes de sierra
donde a0 y an vienen dados por la expresio´n anterior.
Si f(t) es impar
f(t) ∼
∞∑
n=1
bn sen
npit
L
,
donde
bn =
2
L
∫ L
0
f(t) sen
npit
L
dt,
ya que f(t) cos(npit/L) sera´ impar, y por tanto an = 0.
Ejemplo 10.5.1 Comprobar que la serie de Fourier asociada a la funcio´n dientes de
sierra, f(t) = t si −L < t < L y perio´dica, de periodo 2L es
f(t) ∼ 2L
pi
∞∑
n=1
(−1)n+1
n
sen
npit
L
. �
Ejemplo 10.5.2 Comprobar que la serie de Fourier asociada a la funcio´n onda triangular
f(t) =
{ −t −L ≤ t ≤ 0
t 0 ≤ t ≤ L,
y perio´dica, de periodo 2L, es
f(t) =
L
2
− 4L
pi2
∞∑
n=1
1
(2n− 1)2 cos
(2n− 1)pit
L
.
10.5. FUNCIONES PARES E IMPARES. SERIES DE SENOS Y COSENOS 155
Demostrar que
∞∑
n=1
1
(2n− 1)2 =
pi2
8
,
y comprobar que la serie derivada es la serie de Fourier asociada a la funcio´n onda cua-
drada. �
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Onda triangular, (número de términos: 2)
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Onda triangular, (número de términos: 5)
Figura 10.4: Funcio´n onda triangular
En estos dos ejemplos, hemos obtenido dos series de Fourier distintas que convergen a
la misma funcio´n, f(t) = t, en el intervalo (0, L). Por tanto, si se requiere expresar dicha
funcio´n por una serie de Fourier en (0, L) es posible hacerlo por una serie de senos o por
una serie de cosenos. En el primer caso, f(t) es extendida en el intervalo (−L, 0) como
una funcio´n impar y en el resto de R perio´dicamente, con periodo 2L, y en el segundo
caso como una funcio´n par en (−L, 0) y perio´dicamente al resto de R. Si la funcio´n f(t)
fuera extendida de cualquier otra forma en (−L, 0), y perio´dicamente al resto de R, la
serie de Fourier resultante tambie´n convergera´ en (0, L), pero involucrara´ ambos te´rminos,
senos y cosenos. Todas las alternativas son va´lidas, y la forma de desarrollo a emplear
dependera´ del propo´sito para el cual se necesite.
Si tenemos en cuenta la velocidad de convergencia, la serie de cosenos para la onda
triangular converge ma´s ra´pidamente que la de senos para la diente de sierra, aunque
ambas convergen a la misma funcio´n en (0, L). [Ver Figuras 10.3-10.4]. Esto se debe a que
la onda triangular es mas regular y por tanto mas fa´cil de aproximar. En general, cuantas
mas derivadas continuas tenga una funcio´n en el intervalo (−∞,∞), ma´s ra´pidamente
convergera´ su serie de Fourier.
156 CAPI´TULO 10. SERIES DE FOURIER
10.6. Ejercicios
1. Encontrar las series de Fourier asociadas, respectivamente, a las siguientes funciones
perio´dicas, de periodo 2pi
a) f(t) = pi − t, donde −pi < t ≤ pi. Representar S1, S2 y S3.
b) f(t) = t2, donde −pi < t ≤ pi. Representar S1 y S2.
c)
f(t) =
{
0 si −pi < t ≤ 0,
t si 0 < t ≤ pi.
2. Encontrar la serie de Fourier asociada a la funcio´n f(t) = cos2 t, −pi ≤ t ≤ pi.
3. Encontrar la serie de Fourier asociada a la funcio´n f(t) = | sen t|, −pi ≤ t ≤ pi y,
como consecuencia, demostrar que
pi
4
=
1
2
+
1
1 · 3 −
1
3 · 5 +
1
5 · 7 −
1
7 · 9 + · · ·
Sol. | sen t| = 2
pi
+
4
pi
∞∑
n=1
1
1− 4n2 cos 2nt.
4. Sea f(t) una funcio´n de periodo 2 tal que
f(t) =
{
t2, 0 < t < 2,
2, t = 0, 2.
Calcular una serie de Fourier asociada a tal funcio´n.
Comprobar, como consecuencia, que
∞∑
n=1
1
n2
=
pi2
6
,
∞∑
n=1
(−1)n+1
n2
=
pi2
12
.
Sol. f(t) =
4
3
+
4
pi2
∞∑
n=1
cosnpit
n2
− 4
pi
∞∑
n=1
sennpit
n
5. Desarrollar f(t) = et en serie de cosenos sobre el intervalo [0, 1].
Sol. f(t) = e− 1 +
∞∑
n=1
2
1 + n2pi2
(e(−1)n − 1) cosnpit.
10.6. EJERCICIOS 157
6. Encontrar la serie de senos asociada a la funcio´n
f(t) =


0, 0 < t < pi
1, pi < t < 2pi
2, 2pi < t < 3pi.
Sol. f(t) ∼
∞∑
n=1
2
npi
(
cos
npi
3
+ cos
2npi
3
− 2 cosnpi
)
sen
nt
3
.
7. a) Obtener la serie trigonome´trica de Fourier de la funcio´n
f(x) =
{
k senTx si x ∈ [0, pi
T
]
0 si x ∈ [− pi
T
, 0)
siendo f(x+ 2pi/T ) = f(x), ∀x ∈ R.
b) Sumar la serie nume´rica
∞∑
n=1
(−1)n+1
4n2 − 1
8. Sea f(x) una funcio´n continua a trozos definida en el intervalo [0, l/2]. Se define a
partir de ella la funcio´n
F (x) =
{
f(x) x ∈ [0, l
2
]
f(l − x) x ∈ ( l
2
, l]
la cual se extiende a [−l, 0) como una funcio´n impar, y en todos los dema´s puntos
del eje real como una funcio´n perio´dica de periodo 2l.
a) Probar que la serie de Fourier de F (x) se puede expresar como
∑
bn sen
npix
l
donde
bn =
2
l
∫ l
2
0
f(x) sen
npix
l
dx+
2
l
∫ l
l
2
f(l − x) sen npix
l
dx
b) Mediante un cambio de variable adecuado en la segunda integral de la relacio´n
anterior, probar queb2n−1 =
4
l
∫ l
2
0
f(x) sen
(2n− 1)pix
l
dx
y que b2n = 0, (n ∈ N), con lo que la serie de Fourier de F (x) se puede expresar
∞∑
n=1
b2n−1 sen
(2n− 1)pix
l
158 CAPI´TULO 10. SERIES DE FOURIER
c) Aplicar este resultado al caso particular en el que f(x) = x, x ∈ [0, l/2],
representando gra´ficamente la funcio´n F (x) asociada.
d) Representar gra´ficamente la funcio´n F ′(x) y calcular la serie de Fourier a partir
de la de F (x).
e) Escribir la serie de Fourier de F (x) del apartado 3 en el caso particular de que
[−l, l] = [−pi, pi] y obtener a partir de ella la suma de la serie
∞∑
n=1
1
(2n− 1)2 .
Nota : Utilizar la siguiente relacio´n cuando sea necesario∫
x sen ax dx =
sen ax
a2
− x cos ax
a
+ C.