Soluciones en Serie de Potencias de Ecuaciones Diferenciales

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Cap´ıtulo 7
Soluciones en serie de ecuaciones
lineales
7.1. Motivacio´n
Hay muchas ocasiones en que ecuaciones diferenciales lineales, aparentemente sencillas,
no pueden ser resueltas en te´rminos de funciones elementales. De hecho, no se conoce
ningu´n tipo de ecuacio´n lineal de segundo orden, salvo las de coeficientes constantes y las
reducibles a ellas, mediante un cambio de variable independiente, que pueda ser resuelto
mediante funciones elementales.
Los astrof´ısicos y astro´nomos utilizan la ecuacio´n
xy′′(x) + 2y′(x) + xy(x) = 0,
conocida como ecuacio´n de Lane-Emden de ı´ndice n, para aproximar la densidad y tem-
peraturas internas de ciertas estrellas y nebulosas. Un problema que se le planteo´, en la
de´cada de 1900, al astrof´ısico alema´n Robert Emden, consist´ıa en
“Determinar el primer punto sobre el eje positivo x donde la solucio´n del problema de
valor inicial
xy′′ + 2y′ + xy = 0
y(0) = 0
y′(0) = 1,
es cero”.
La ecuacio´n tiene apariencia inofensiva, lineal homoge´nea de segundo orden, aunque
tiene coeficientes variables. Pero lo realmente problema´tico es que las condiciones iniciales
esta´n situadas en el punto x = 0, donde la funcio´n p(x) = 2/x tiene una singularidad,
por lo que no se le pueden aplicar los resultados de existencia y unicidad. A pesar de
todo, la situacio´n f´ısica modelada sugiere que el problema tiene solucio´n y que debe ser
“manejable”. Supongamos, entonces, que existe una solucio´n anal´ıtica (desarrollable en
99
100 CAPI´TULO 7. SOLUCIONES EN SERIE DE ECUACIONES LINEALES
serie de potencias)
y =
∞∑
n=0
anx
n,
derivando formalmente se obtiene
y′ =
∞∑
n=1
nanx
n−1, y′′ =
∞∑
n=2
n(n− 1)anxn−2,
y sustituyendo en la ecuacio´n
2a1 + (6a2 + a0)x+
∞∑
n=2
[an+1(n+ 1)(n+ 2) + an−1] x
n = 0.
Esto da lugar a una solucio´n, del problema de valor inicial, en forma de serie de potencias
y(x) =
∞∑
n=0
(−1)n 1
(2n+ 1)!
x2n.
Esta serie de potencias es absolutamente convergente, en todo R, y por tanto, realmente,
es cierto que su serie derivada converge a y′, y su segunda derivada lo hace a y′′.
En este caso se da la circunstancia que la serie obtenida es la serie de Taylor de la
funcio´n
f(x) =
senx
x
,
y por tanto el primer punto positivo en el que se anula es x = pi. Ver Figura 7.1.
En cualquier caso, y aunque la serie obtenida no sea el desarrollo de Taylor de ninguna
funcio´n conocida, es indudable el intere´s del me´todo ya que permite conocer el compor-
tamiento de la solucio´n en un entorno del punto donde esta´ situada la condicio´n inicial,
con la precisio´n que se desee.
Si rectificamos la ecuacio´n anterior, por ejemplo
xy′′ + y′ + xy = 0,
con las mismas condiciones iniciales anteriores, se obtiene la serie solucio´n
y(x) =
∞∑
n=0
(−1)n 1
(2242 · · · (2n)2)x
2n.
En la Figura 7.2 se representan los polinomios de o´rdenes 2,4,6 y 8.
7.1. MOTIVACIO´N 101
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
Figura 7.1: Representacio´n gra´fica de y(x) = sen x
x
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
P2
P4
P6
P8
Figura 7.2: Polinomios P2(x), P4(x), P6(x) y P8(x)
102 CAPI´TULO 7. SOLUCIONES EN SERIE DE ECUACIONES LINEALES
7.2. Ecuacio´n lineal de segundo orden. Puntos ordi-
narios
Vamos a limitar nuestra atencio´n a las ecuaciones lineales de segundo orden, que es
el tipo de algunas ecuaciones cla´sicas, que se resuelven mediante “funciones especiales”.
Casos muy conocidos son los siguientes:
1. Ecuacio´n de Airy. y′′ = xy. Se presenta en Aerodina´mica.
2. Ecuacio´n de Legendre de orden p. (1− x2)y′′ − 2xy′ + p(p+ 1)y = 0, p ∈ R.
Tiene un importante papel en F´ısica-Matema´tica. Por ejemplo, aparece al resolver
problemas de potencial en coordenadas esfe´ricas.
3. Ecuacio´n de Hermite. y′′ − 2xy′ + λy = 0 λ ∈ R.
Aparece en muchas ramas de la F´ısica-Matema´tica, por ejemplo en Meca´nica Cua´nti-
ca surge en la investigacio´n de la ecuacio´n de Schro¨dinger para un oscilador armo´ni-
co.
4. Ecuacio´n de Euler. x2y′′ + αxy′ + βy = 0, α, β ∈ R.
5. Ecuacio´n de Bessel de orden p. x2y′′ + xy′ + (x2 − p2)y = 0, p ∈ R.
Consideremos, pues, la ecuacio´n lineal homoge´nea de segundo orden
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0.
Hemos visto que esta ecuacio´n es posible resolverla en te´rminos de funciones elementales
muy ocasionalmente, por ejemplo cuando p(x) y q(x) son constantes y muy pocos casos
ma´s.
Al margen que una determinada ecuacio´n pueda resolverse o no, mediante funciones
elementales, el comportamiento de una solucio´n en un entorno de un punto x0 depende
de manera directa del comportamiento de p(x) y q(x) en dicho entorno.
Definicio´n 7.2.1 (Punto ordinario y punto singular) Dada la ecuacio´n anterior, un
punto x0 se dice ordinario si p(x) y q(x) son anal´ıticas en dicho punto, es decir si son
desarrollables en serie de potencias
p(x) =
∞∑
n=0
pn(x− x0)n, q(x) =
∞∑
n=0
qn(x− x0)n
en un entorno (x0 −R, x0 +R), R > 0. En otro caso el punto se dice singular
Por ejemplo, si la ecuacio´n viene dada en la forma P (x)y′′+Q(x)y′+R(x)y = 0, donde
P (x), Q(x) y R(x) son funciones polino´micas, x0 sera´ punto ordinario si P (x0) 6= 0, y
sera´ singular si P (x0) = 0
7.3. PUNTOS SINGULARES REGULARES. ME´TODO DE FROBENIUS 103
Teorema 7.2.1 Si x0 es un punto ordinario de la ecuacio´n diferencial
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0,
existen dos soluciones anal´ıticas linealmente independientes de la forma
y(x) =
∞∑
n=0
an(x− x0)n.
Adema´s, si las series de potencias de p(x) y q(x) son convergentes en el intervalo
(x0 −R, x0 +R), la serie solucio´n tambie´n lo sera´ en dicho intervalo. Dicho de otra for-
ma, el radio de convergencia de cualquier solucio´n en serie de potencias, es por lo menos
igual a la distancia de x0 al punto singular (real o complejo) ma´s pro´ximo de la ecuacio´n
diferencial. �
Ejemplo 7.2.1 Comprobar que dos soluciones linealmente independientes de la ecuacio´n
de Airy, y′′ = xy, convergentes ∀x ∈ R son
y1(x) = 1 +
n∑
n=1
x3n
(3n)(3n− 1)(3n− 3)(3n− 4) · · · 3 · 2 ,
y2(x) = x+
n∑
n=1
x3n+1
(3n+ 1)(3n)(3n− 2)(3n− 3) · · · 4 · 3 .
Por tanto la solucio´n general de la ecuacio´n de Airy es
y(x) = λy1(x) + µy2(x)
y, si las condiciones iniciales son y(0) = y0, y
′(x0) = y′0, la solucio´n del problema de valor
inicial sera´ y(x) = y0y1(x) + y
′
0y2(x)
Ejemplo 7.2.2 Dos soluciones linealmente independientes de la ecuacio´n de Airy,
y′′ = xy, en serie de potencias de (x− 1), convergentes ∀x ∈ R son
y1(x) = 1 +
(x− 1)2
2
+
(x− 1)3
6
+
(x− 1)4
24
+ · · · ,
y2(x) = (x− 1) + (x− 1)
3
6
+
(x− 1)4
12
+ · · ·
7.3. Puntos singulares regulares. Me´todo de Frobe-
nius
Definicio´n 7.3.1 (Punto singular regular) Si x0 es un punto singular de la ecuacio´n
diferencial y′′+p(x)y′+q(x)y = 0, se dice singular regular si (x−x0)p(x) y (x−x0)2q(x)
son anal´ıticas en x0. En otro caso se dice singular irregular.
104 CAPI´TULO 7. SOLUCIONES EN SERIE DE ECUACIONES LINEALES
La ecuacio´n de Euler-Cauchy, ya vista, es un ejemplo de ecuacio´n con x = 0 punto
singular regular, y hemos demostrado que ten´ıa una solucio´n de la forma |x|r para x 6= 0.
Se trata de generalizar la teor´ıa de las ecuaciones de Euler-Cauchy para obtener soluciones
en un entorno de un punto singular regular.
Supongamos, por comodidad, x = 0 punto singular regular de la ecuacio´n diferencial
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0 y
xp(x) =
∞∑
0
pnx
n, x2q(x) =
∞∑
0
qnx
n.
Podemos reescribir la ecuacio´n en la forma
x2y′′ + x [xp(x)] y′ +
[
x2p(x)
]
y = 0 ⇐⇒ x2y′′ + x
[∑
pnx
n
]
y′ +
[∑
qnx
n
]
y = 0,
que se reducir´ıa a una ecuacio´n de Euler-Cauchy en el caso pn = qn = 0, ∀n ≥ 1. Es decir,
la ecuacio´n ma´sgeneral de segundo orden con punto singular regular en el origen, es una
ecuacio´n de Euler-Cauchy x2y′′ + αxy′ + βy = 0, donde se han permutado las constantes
α y β por series de potencias
∑
pnx
n y
∑
qnx
n. Por tanto, cabe esperar soluciones de la
forma y = xr
∑
anx
n en lugar de xr.
Vamos a determinar:
1. Valores de r para los cuales la ecuacio´n diferencial tiene una solucio´n de la forma
y(x) = xr
∑
anx
n.
2. Una relacio´n recurrente de an.
3. Intervalo de convergencia de
∑
anx
n.
La teor´ıa general se debe al matema´tico alema´n Georg Frobenius (1848-1917), las series
xr
∑
anx
n llevan su nombre e incluyen, como caso particular, a las series de potencias
cuando r es nulo o un nu´mero natural.
Ejemplo 7.3.1 Encontrar soluciones en forma de serie de Frobenius, en un entorno del
origen, de la ecuacio´n
2x2y′′ − xy′ + (1 + x)y = 0.
Se ensayan soluciones de la forma
y(x) = xr
∞∑
n=0
anx
n =
∞∑
n=0
anx
n+r,
con x > 0 (xr debe estar definida ∀r), lo que da lugar a la condicio´n
a0 [2r(r − 1)− r + 1] xr +
∞∑
n=1
[an (2(r + n)(r + n− 1)− (r + n) + 1) + an−1]xr+n = 0,
7.3. PUNTOS SINGULARES REGULARES. ME´TODO DE FROBENIUS 105
o equivalentemente,
a0F (r)x
r +
∞∑
n=1
[anF (r + n) + an−1] x
r+n = 0.
Por tanto, si a0 6= 0, se tiene
F (r) = 2r(r − 1)− r + 1 = 0,
que recibe el nombre de ecuacio´n indicial, y
F (r + n)an + an−1 = 0 ⇐⇒ [2(r + n)(r + n− 1)− (r + n) + 1] an + an−1 = 0, n ≥ 1.
Las ra´ıces de la ecuacio´n indicial, r1 = 1, r2 = 1/2, se denominan exponentes de
singularidad. En este caso, al ser F (r+n) 6= 0, en ambos casos, se obtienen dos soluciones
para x > 0
y1(x) = x
[
1 +
∞∑
n=1
(−1)nxn
(2n+ 1)n · (2n− 1)(n− 1) · · · (5 · 2)(3 · 1)
]
y2(x) = x
1/2
[
1 +
∞∑
n=1
(−1)nxn
(2n− 1)n · (2n− 3)(n− 1) · · · (3 · 2)(1 · 1)
]
Las dos series de potencias asociadas a estas soluciones son convergentes en todo R.
Para calcular las soluciones en el caso x < 0 hacemos el cambio de variable x = −t, lo
que da lugar a la ecuacio´n
2t2
d2y
dt2
− tdy
dt
+ (1− t)y = 0
que debemos estudiar para t > 0. Dado que es el mismo caso anterior, buscamos soluciones
de la forma
y(t) = tr
∞∑
n=0
ant
n =
∞∑
n=0
ant
n+r,
obteniendo
y1(t) = t
[
1 +
∞∑
n=1
tn
(2n+ 1)n · (2n− 1)(n− 1) · · · (5 · 2)(3 · 1)
]
y2(t) = t
1/2
[
1 +
∞∑
n=1
tn
(2n− 1)n · (2n− 3)(n− 1) · · · (3 · 2)(1 · 1)
]
.
Por tanto, para x < 0, como t = −x, se obtiene
y1(x) = −x
[
1 +
∞∑
n=1
(−1)nxn
(2n+ 1)n · (2n− 1)(n− 1) · · · (5 · 2)(3 · 1)
]
y2(x) = (−x)1/2
[
1 +
∞∑
n=1
(−1)nxn
(2n− 1)n · (2n− 3)(n− 1) · · · (3 · 2)(1 · 1)
]
.
106 CAPI´TULO 7. SOLUCIONES EN SERIE DE ECUACIONES LINEALES
Finalmente, para x 6= 0, podemos expresar las soluciones en la forma
y1(x) = |x|
[
1 +
∞∑
n=1
(−1)nxn
(2n+ 1)n · (2n− 1)(n− 1) · · · (5 · 2)(3 · 1)
]
y2(x) = |x|1/2
[
1 +
∞∑
n=1
(−1)nxn
(2n− 1)n · (2n− 3)(n− 1) · · · (3 · 2)(1 · 1)
]
. �
Ejemplo 7.3.2 Encontrar soluciones en forma de serie de Frobenius, en un entorno del
origen, de la ecuacio´n
x2y′′ − xy′ +
(
x2 +
5
4
)
y = 0, x > 0.
Al proceder como en el ejemplo anterior se obtienen las ra´ıces de la ecuacio´n indicial,
F (r) = r(r − 1)− r − 1 = 0, r1 = 5/2 y r2 = −1/2.
Se calcula la solucio´n correspondiente a la ra´ız mayor, y se obtiene
y1(x) = x
5/2
[
1 +
∞∑
n=1
x2n
(2 · 4 · · · 2n)(5 · 7 · · · (2n+ 3))
]
.
Sin embargo, para calcular la solucio´n correspondiente a la otra ra´ız, se obtiene la identidad
a0F (−1/2)x−1/2 + a1F (1/2)x1/2 + [a2F (3/2)− a0] x3/2 +
+ [a3F (5/2)− a1] x5/2 +
∞∑
n=4
[anF (n− 1/2)− an−1] xn−1/2 = 0.
Como F (−1/2) = 0, a0 puede ser arbitrario, por ejemplo a0 = λ. F (1/2) 6= 0 =⇒ a1 =
0. F (3/2) 6= 0 =⇒ a2 = a0/F (3/2) = λ/F (3/2). Al ser F (5/2) = 0 no es posible despejar
a3. Sin embargo, en este caso, al ser a1 = 0, a3F (5/2)− a1 = 0 cualquiera que sea a3 = µ
(en otro caso, si fuera a1 6= 0, no existir´ıa una solucio´n en forma de serie de Frobenius,
correspondiente a esta ra´ız). Al considerar la recurrencia
an =
an−1
F
(
n− 1
2
) , n ≥ 4,
se obtienen dos series, una en funcio´n de a0 = λ y la otra en funcio´n de a3 = µ, dando
lugar a la solucio´n general
y(x) = λx−1/2
[
1− x
2
2
− x
4
2 · 4 + · · ·
]
+ µx−1/2
[
x3 +
x5
2 · 5 +
x7
(2 · 4)(5 · 7) + · · ·
]
+ λx−1/2
[
1− x
2
2
− x
4
2 · 4 + · · ·
]
+ µx5/2
[
1 +
x2
2 · 5 +
x4
(2 · 4)(5 · 7) + · · ·
]
7.3. PUNTOS SINGULARES REGULARES. ME´TODO DE FROBENIUS 107
Es decir, al calcular la solucio´n correspondiente a la ra´ız ma´s pequen˜a, en este caso (dife-
rencia de las dos ra´ıces es un nu´mero natural) se obtienen las dos soluciones linealmente
independientes (tambie´n la correspondiente a la ra´ız mayor). Pero esto no siempre es as´ı,
porque hay casos de imposibilidad de cumplir la identidad anterior. �
.
Teorema 7.3.1 Sea x = x0 punto singular regular de la ecuacio´n diferencial
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0.
(x− x0)p(x), (x− x0)2q(x) anal´ıticas en (x0−R, x0 +R), con R > 0, r1 y r2 ra´ıces de la
ecuacio´n indicial (F (r) = r(r − 1) + p0r + q0 = 0), con Re(r1) ≥ Re(r2),
1. Si r1−r2 6= N ∈ N, entonces la ecuacio´n diferencial tiene dos soluciones linealmente
independientes, no triviales, de la forma
y1(x) = |x− x0|r1
∞∑
n=0
an(x− x0)n, a0 6= 0
y2(x) = |x− x0|r2
∞∑
n=0
a∗n(x− x0)n, a∗0 6= 0.
2. Si r1 − r2 = N ∈ N, la ecuacio´n diferencial tiene dos soluciones linealmente inde-
pendientes, no triviales, dadas, respectivamente, por
y1(x) = |x− x0|r1
∞∑
n=0
an(x− x0)n, a0 6= 0
y2(x) = |x− x0|r2
∞∑
n=0
a∗n(x− x0)n + Cy1(x) log |x− x0|,
donde a∗0 6= 0 y C una constante, que puede o no ser 0.
3. Si r1 = r2, entonces la ecuacio´n diferencial tiene dos soluciones linealmente inde-
pendientes, no triviales, de la forma
y1(x) = |x− x0|r1
∞∑
n=0
an(x− x0)n, a0 6= 0
y2(x) = |x− x0|r1+1
∞∑
n=0
a∗n(x− x0)n + y1(x) log |x− x0|.
Todas estas soluciones son va´lidas en el intervalo (x0 −R, x0 +R). �
108 CAPI´TULO 7. SOLUCIONES EN SERIE DE ECUACIONES LINEALES
7.4. Ejercicios
1. Determinar la solucio´n en serie de potencias del problema de valor inicial,
(x2 − 1)y′′ + 3xy′ + xy = 0
y(0) = 4
y′(0) = 6.
2. Resolver la ecuacio´n de Legendre de orden p, en un entorno del origen.
(1− x2)y′′ − 2xy′ + p(p+ 1)y = 0, p ∈ R.
Comprobar que en el caso p ∈ N, una de las dos series solucio´n es un polinomio,
obtenie´ndose as´ı los llamados polinomios de Legendre Pp(x):
P0(x) = 1, P1(x) = x, P2(x) = 1−3x2, P3(x) = x−5
3
x3, P4(x) = 1−10x2+35
3
x4, · · ·
3. Resolver la ecuacio´n diferencial
y′′(x)− xy′(x)− y(x) = senx,
mediante un desarrollo en serie de potencias de x. Considerar el desarrollo en serie
del seno.
4. Comprobar que la solucio´n general de la ecuacio´n de Hermite
y′′ − 2xy′ + λy = 0, −∞ < x <∞, λ ∈ R,
es de la forma y(x) = c1y1(x) + c2y2(x), donde
y1(x) = 1− λ
2!
x2 − (4− λ)λ
4!
x4 − (8− λ)(4− λ)λ
6!
x6 + · · ·
y2(x) = x+
2− λ
3!
x3 +
(6− λ)(2− λ)
5!
x5 +
(10− λ)(6− λ)(2− λ)
7!
x7 + · · · .
Para λ = 0, 2, 4, 6, 8, · · · se obtienen polinomios que, normalizados, reciben el nom-
bre de polinomios de Hermite.
5. La ecuacio´n de Bessel de orden 1/2 es
x2y′′ + xy′ +
(
x2 − 1
4
)
= 0.
Comprobar que, aunque las ra´ıces de la ecuacio´n indicial son tales que r1 − r2 = 1,
tiene dos soluciones linealmente independientes en forma de series de Frobenius en
un entorno del origen. Encontrar tales soluciones.
7.4. EJERCICIOS 109
6. Encontrar una solucio´n en serie de potencias en un entorno del punto singular regular
x = 0 de la ecuacio´n
xy′′ + 3y′ − xy = 0.
7. Encontrar al menoslos primeros cuatro te´rminos no nulos, del desarrollo en serie de
potencias en un entorno de x = pi, de la solucio´n del problema de valor inicial
y′′ − (senx)y = 0
y(pi) = 1
y′(pi) = 0.
8. Estudiar el comportamiento de la solucio´n general de la ecuacio´n diferencial
4x3
dy
dx2
+ 6x2
dy
dx
+ y = 0,
para valores grandes de x. (Considerar el cambio de variable x = 1/t)
9. Consideremos la ecuacio´n diferencial
xy′′ + (1− x)y′ + λy = 0
a) Encontrar y clasificar sus puntos singulares. Mostrar que x0 = 0 es punto
singular regular.
b) ¿ Cuales son las ra´ıces de la ecuacio´n indicial ?.
c) Encontrar una solucio´n en forma de serie de Frobenius.
d) Comprobar que si λ ∈ N la solucio´n anterior se reduce a un polinomio, y
encontrarla en el caso λ = 3.
e) Cual es la forma de la segunda solucio´n linealmente independiente con la ob-
tenida.
10. Consideremos la ecuacio´n diferencial de segundo orden
(1− x2)y′′ − 2xy′ + 2y = 0
a) Teniendo en cuenta que una de sus soluciones es una funcio´n polino´mica de
primer grado, encontrar la solucio´n general, as´ı como la que satisface las con-
diciones iniciales
y(0) = 1, y′(0) = 0.
Representar gra´ficamente esta u´ltima, e indicar su intervalo de validez.
b) Describir detalladamente el procedimiento necesario, sin resolver la ecuacio´n,
para averiguar el comportamiento de las soluciones en un entorno del punto
x = 1. ¿Que´ se podr´ıa decir sobre la solucio´n que cumple y(1) = y ′(1) = 3?.
110 CAPI´TULO 7. SOLUCIONES EN SERIE DE ECUACIONES LINEALES
11. Se considera la ecuacio´n diferencial de segundo orden:
1
senϕ
d
dϕ
(senϕ
dy
dϕ
) + n(n+ 1)y = 0
a) Comprobar que mediante el cambio de variable x = cosϕ esta ecuacio´n se
transforma en la ecuacio´n diferencial de Legendre:
(1− x2)d
2y
dx2
− 2xdy
dx
+ n(n+ 1)y = 0
b) Integrar mediante desarrollo en serie dicha ecuacio´n en un entorno de x = 0.
12. Se considera la e.d.o.:
(I) y′′(x) + (p+
1
2
− 1
4
x2)y = 0 p ∈ R
a) ¿Posee puntos singulares dicha ecuacio´n?. Justificar la respuesta.
b) Se desea obtener la solucio´n de dicha ecuacio´n en un entorno del origen median-
te desarrollo en serie. Comprobar que no es posible obtener el te´rmino general
de la serie.
c) Se introduce el cambio de variable y(x) = w(x)e
−x2
4 . Obtener la nueva ecuacio´n
diferencial y resolverla mediante desarrollo en serie.
d) Obtener la solucio´n de la e.d.o. (I) a partir de la solucio´n obtenida en el apar-
tado anterior y determinar el radio de convergencia de la serie obtenida.