Teoremas Integrales del Análisis Vectorial

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Cap´ıtulo 3
Teoremas Integrales del Ana´lisis
Vectorial
3.1. Teorema de Green-Riemann
Relaciona una integral de l´ınea a lo largo de una curva cerrada de R2 con una integral
doble sobre la regio´n que encierra dicha curva.
Teorema 3.1.1 (Teorema de Green-Riemann) Sea un campo vectorial de clase C1
F : G ⊂ R2 −→ R2, tal que F (x, y) = P (x, y)i + Q(x, y)j y D ⊂ G un dominio tipo 3
cuya frontera es una curva ∂D = Γ cerrada, simple y regular orientada positivamente,
entonces se tiene∮
Γ
F · dΓ =
∮
Γ
P dx+Qdy =
∫∫
D
(
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
dx dy. �
Vectorialmente, se puede poner en la forma∮
Γ
F · dΓ =
∫∫
D
(rotF ) · k dx dy,
ya que al ser F un campo plano, rotF =
(
0, 0,
∂Q
∂x
− ∂P
∂y
)
. [Ver Figura 3.1].
En realidad, el teorema de Green-Riemann se puede aplicar a regiones ma´s generales
que las contempladas en el enunciado. Simplemente, se descompone la regio´n, que no es
de tipo 3, en varias que si lo son, de modo que se aplica el teorema a cada una de ellas.
La dificultad de la demostracio´n del caso general consiste en probar que un subconjunto
D ⊂ R2 abierto y acotado, cuya frontera es una curva regular a trozos, simple y cerrada,
puede descomponerse siempre en una unio´n finita o infinita numerable de conjuntos de
tipo 1 o 2. Por ejemplo, si la regio´n es un anillo como el de la Figura 3.2 limitado por las
21
22 CAPI´TULO 3. TEOREMAS INTEGRALES DEL ANA´LISIS VECTORIAL
Figura 3.1: Teorema de Green-Rieman.
Figura 3.2: Teorema de Green-Rieman. Regiones multiplemente conexas
3.2. TEOREMA DE STOKES 23
curvas Γ1 y Γ2, se puede descomponer en varios subdominios y aplicar el teorema a cada
uno de ellos. Al sumar las integrales correspondientes, se concluye que se puede aplicar el
teorema al dominio completo, si las orientaciones de las curvas Γ1 y Γ2 son las indicadas
en la Figura (Γ1 orientacio´n positiva y Γ2 negativa).
Corolario 3.1.2 El a´rea limitada por una curva Γ simple, cerrada y regular a trozos se
puede expresar como
A =
1
2
∮
Γ
−y dx+ x dy. �
3.2. Teorema de Stokes
Relaciona la integral de l´ınea de un campo vectorial a lo largo de una curva cerrada
de R3, Γ, con una integral sobre una superficie Σ cuya frontera es Γ.
Teorema 3.2.1 (Teorema de Stokes) Sea D ⊂ R2 abierto y acotado, cuya frontera
∂D es una curva regular a trozos, cerrada y simple, Φ : D −→ U ⊂ R3 una superficie
simple regular de clase C2 orientada positivamente, Σ = Φ(D) y Γ = Φ(∂D) la curva
frontera de Σ con la orientacio´n inducida por la de Σ. Si F : U ⊂ R3 −→ R3 es un campo
vectorial de clase C1 se tiene ∫
Φ
(rotF ) · dΦ =
∮
Γ
F · dΓ. �
Es decir, lo que asegura el teorema de Stokes es que la circulacio´n del campo F a lo
largo de la curva cerrada Γ coincide con el flujo del rotacional de F a trave´s cualquier
superficie limitada por Γ si la orientacio´n de esta es la inducida por la de la superficie.
[Ver Figura 3.2]
En realidad, el teorema de Stokes es una generalizacio´n del de Green-Riemann al caso
tridimensional.
3.3. Teorema de Gauss
El teorema de Gauss o teorema de la divergencia relaciona el flujo de un campo
vectorial a trave´s de una superficie cerrada con una integral de volumen sobre el dominio
que encierra dicha superficie.
Teorema 3.3.1 (Teorema de Gauss) Sea F : U ⊂ R3 −→ R3 un campo vectorial de
clase C1 y Ω ⊂ U una regio´n tipo 4, cuya frontera Σ es una superficie simple, regular y
con la orientacio´n de la normal exterior, entonces se tiene∫
Σ
F · dΣ =
∫∫∫
Ω
divF dx dy dz. �
24 CAPI´TULO 3. TEOREMAS INTEGRALES DEL ANA´LISIS VECTORIAL
Figura 3.3: Teorema de Stokes.
Es decir, el flujo del rotacional de un campo vectorial a trave´s de una superficie cerrada
coincide con la integral triple de su divergencia sobre el dominio que encierra. (Ver Figura
3.4).
Tambie´n en este caso se puede aplicar el teorema a dominios ma´s generales.
Si se aplica el teorema de Gauss a un campo vectorial de la forma F = f ∇g, donde
f y g son campos escalares se obtiene la llamada primera fo´rmula de Green. Hay una
segunda fo´rmula que es consecuencia de esta.
Corolario 3.3.2 (Fo´rmulas de Green) Sea Ω un dominio de R3 cuya frontera Σ es
una superficie regular a trozos y simple, g, f : Ω ⊂ R3 −→ R campos escalares de clase
C2, entonces se tiene ∫
Σ
f ∇g · dΣ =
∫∫∫
Ω
(f ∇2g +∇f · ∇g) dx dy dz,∫
Σ
(f ∇g − g∇f) · dΣ =
∫∫∫
Ω
(f ∇2g − g∇2f) dx dy dz. �
3.4. Campos conservativos y campos de gradientes
Un campo vectorial se dice conservativo si la integral sobre cualquier curva depende
u´nicamente de los extremos, es decir la integral sobre cualesquiera curvas que tengan los
mismos puntos extremos no var´ıa.
3.4. CAMPOS CONSERVATIVOS Y CAMPOS DE GRADIENTES 25
Figura 3.4: Teorema de Gauss.
Definicio´n 3.4.1 (Funcio´n potencial) Sea F : U ⊂ Rn −→ Rn un campo vectorial de
clase C1. Una funcio´n escalar V : U ⊂ Rn −→ R se dice funcio´n potencial, o potencial
escalar, de F si ∇V = F . �
Proposicio´n 3.4.1 Todas las funciones potenciales de un mismo campo vectorial F di-
fieren en una constante. �
Todo campo vectorial con funcio´n potencial es conservativo:
Proposicio´n 3.4.2 Sea U ⊂ Rn un abierto conexo, F : U −→ Rn un campo vectorial de
clase C0 con funcio´n potencial, entonces F es conservativo. �
3.4.1. Campos conservativos en R3
Estamos interesados en caracterizar los campos vectoriales, en R3, que se pueden
escribir como un gradiente de algu´n campo escalar, y que por tanto son conservativos.
Proposicio´n 3.4.3 (Caracterizacio´n de campos conservativos en R3) Sea F un cam-
po vectorial de clase C1, definido en R3 salvo quiza´s en un nu´mero finito de puntos. Las
siguientes condiciones son equivalentes:
26 CAPI´TULO 3. TEOREMAS INTEGRALES DEL ANA´LISIS VECTORIAL
1. Para cualquier curva cerrada simple Γ se tiene
∮
Γ
F · ds = 0.
2. Para cualesquiera curvas simples orientadas, Γ1 y Γ2, que tengan los mismos extre-
mos se tiene ∫
Γ1
F · ds =
∫
Γ2
F · ds.
3. Existe una funcio´n escalar f tal que F = ∇f , en los puntos donde esta´ definido F .
4. ∇× F = rotF = 0. �
3.4.2. Campos conservativos en R2
Todo funciona igual que en R3 salvo que en el teorema de caracterizacio´n se ha de
exigir F de clase C1 en R2, o en algu´n dominio, sin excepciones en ningu´n punto.
Proposicio´n 3.4.4 (Caracterizacio´n de campos conservativos en R2) Sea F : U ⊂
R
2 −→ R2, con U abierto y conexo y F = (P,Q) de clase C1 en U .Las siguientes condi-
ciones son equivalentes:
1. Para cualquier curva cerrada simple Γ se tiene
∮
Γ
F · ds = 0.
2. Para cualesquiera curvas simples orientadas, Γ1 y Γ2, que tengan los mismos extre-
mos se tiene ∫
Γ1
F · ds =
∫
Γ2
F · ds.
3. Existe una funcio´n escalar f tal que F = ∇f , en los puntos donde esta´ definido F .
4.
∂Q
∂x
=
∂P
∂y
. �
La igualdad ∇ × (∇f) = 0 nos dice que todo campo de gradientes es un campo
irrotacional, y por tanto conservativo.
3.5. Campos incompresibles y campos de rotores
Un campo vectorial F se dice incompresible si ∇ · F = divF = 0.
3.6. EJERCICIOS 27
Proposicio´n 3.5.1 Sea F : U ⊂ R3 −→ R3, con U abierto y conexo, un campo vectorial
de clase C1, tal que ∇·H = 0, entonces existe un campo F , de clase C2, tal que ∇×F = H.
�
Al campo F tal ∇× F = H se le llama potencial vector de H.
Se prueba que si F es un campo de clase C2 se tiene ∇ · (∇× F ) = 0, por lo que todo
campo de rotores es incompresible, y por tanto tiene asociado un potencial vector.
3.6. Ejercicios
1. Propiedades y relaciones entre gradiente, divergencia, rotacional y laplaciana:
a) Si el campo escalar f es de clase C2 entonces∇×(∇f) = 0, es decir el rotacional
de cualquier gradiente es nulo.
b) Si el campo vectorial F es de clase C2 entonces ∇ · (∇× F ) = 0.
c) ∇(f + g) = ∇f +∇g
d) ∇(λf) = λ∇f , para λ constante
e) ∇(fg)= f∇g + g∇f
f ) ∇
(
f
g
)
= g∇f−f∇g
g2
, en los puntos donde g(x) 6= 0
g) ∇ · (F +G) = ∇ · F +∇ ·G
h) ∇× (F +G) = ∇× F +∇×G
i) ∇(F ·G) = (F · ∇)G+ (G · ∇)F + F × (∇×G) +G× (∇× F )
j ) ∇ · (fF ) = f∇ · F + F · ∇f
k) ∇ · (F ×G) = G · (∇× F )− F · (∇×G)
l) ∇× (fF ) = f∇× F +∇f × F
m) ∇× (F ×G) = F∇ ·G−G∇ · F + (G · ∇)F − (F · ∇)G
n) ∇× (∇× F ) = ∇(∇ · F )−∆F
n˜) ∇(F · F ) = 2(F · ∇)F + 2F × (∇× F )
o) ∆(fg) = f∆g + g∆f + 2(∇f · ∇g)
p) ∇ · (∇f ×∇g) = 0
q) ∇ · (f∇g − g∇f) = f∆g − g∆f
r) H · (F ×G) = G · (H × F ) = F · (G×H)
s) H · ((F ×∇)×G) = ((H · ∇)G) · F − (H · F )(∇ ·G)
28 CAPI´TULO 3. TEOREMAS INTEGRALES DEL ANA´LISIS VECTORIAL
t) F × (G×H) = (F ·H)G−H(F ·G)
2. Verificar el teorema de Green-Riemann en el plano, donde S es el anillo
S =
{
(x, y) ∈ R2|a2 ≤ x2 + y2 ≤ b2}
y el campo vectorial F el siguiente :
1) F (x, y) =
(
−y√
x2 + y2
,
x√
x2 + y2
)
2) F (x, y) =
( −y
x2 + y2
,
x
x2 + y2
)
3) F (x, y) =
(
x
x2 + y2
,
y
x2 + y2
)
3. Usar el teorema de Green-Riemann para demostrar que∫
C+
−y
x2 + y2
dx+
x
x2 + y2
dy
vale 0 si C+ es una curva simple orientada y cerrada en R2−{(0, 0)} que no encierra
el origen, y 2pi si encierra el origen.
4. Evaluar
∫
S
(∇ × F ) · dS, donde S es la superficie x2 + y2 + 3z2 = 1, z ≤ 0 y
F = (y,−x, zx3y2), suponiendo la normal dirigida hacia arriba. [Resp.: −2pi]
5. Verificar el teorema de Stokes para el hemisferio superior
z =
√
1− x2 − y2, z ≥ 0
y el campo vectorial radial F (x, y, z) = (x, y, z).
6. Sea S la superficie cil´ındrica con tapa, unio´n de dos superficies S1 y S2, donde
S1 =
{
(x, y, z)|x2 + y2 = 1, 0 ≤ z ≤ 1}
y
S2 =
{
(x, y, z)|x2 + y2 + (z − 1)2 = 1, z ≥ 1}
Sea F (x, y, z) = (zx+ z2y + x)i+ (z3yx+ y)j + z4x2k. Calcular
∫
S
(∇× F ) · dS.
[Resp.: 0]
7. Integrar ∇ × F , F = (3y,−xz,−yz2) sobre la parte de la superficie 2z = x2 + y2
debajo del plano z = 2, directamente y usando el teorema de Stokes. [Resp.: 20pi]
3.6. EJERCICIOS 29
8. SeaK la superficie triangular del plano 2x+y+2z = 4 en el primer octante, orientada
por la normal n = (2/3, 1/3, 2/3). Considerar el campo F (x, y, z) = (x2, 2xy+z2, y+
2z). Verificar el teorema de Stokes.
9. Calcular
∮
Γ
−y3dx+x3dy−z3dz donde Γ es la interseccio´n de las superficies x2+y2 =
1, x+y+z−1 = 0, eligiendo como orientacio´n de Γ aquella tal que la curva proyeccio´n
sobre Oxy tiene orientacio´n positiva. [Resp.: 3pi
2
]
10. Verificar el teorema de Gauss para F = (P,Q,R) = (x2y, x2 − 2z2, 2yz) siendo V el
volumen limitado por los planos x = 0, y = 0, z = 0, x = 1, y = 1, z = 1.
11. Sea F (x, y, z) = (2xyz + sen x)i + x2zj + x2yk. Comprobar que es conservativo y
hallar una funcio´n potencial. [Resp.: f(x, y, z) = x2yz − cos x+ k]
12. Calcular la integral del campo vectorial
F (x, y, z) = (y2 + z2)i+ (z2 + x2)j + (x2 + y2)k
a lo largo de la curva interseccio´n de x2 + y2 + z2− 2ay = 0, x2 + y2− 2by = 0, para
z ≥ 0, 0 < b < a, con la orientacio´n de la curva de tal manera que la superficie que
encierra tenga la orientacio´n de la normal exterior. [Resp.: −2piab2].
13. Sea F (x, y, z) = (x − z)i + (x3 + yz)j − 3xy2k y S la parte de superficie co´nica
z = 2−
√
x2 + y2, con z ≥ 0. Calcular el flujo del rotacional de F a trave´s de dicha
superficie. [Resp.: 12pi].
14. Un globo aerosta´tico tiene la forma de la porcio´n de elipsoide centrado en el origen,
de semiejes 2, 3 y 5 respectivamente, situada en el semiespacio z ≥ 1.
Los gases calientes escapan por la cubierta porosa con una velocidad que viene dada
por el campo V (x, y, z) = ∇ × F donde F (x, y, z) = (yz2, 4xz, x2yz). Calcular el
volu´men de gas que pasa a trave´s de la superficie por unidad de tiempo. [Resp.:
432pi
25
].
15. Consideremos dos campos vectoriales de R3, F y G, de clase C1, y un campo escalar
g, definido en R3, de clase C2.
a) Comprobar que div(F ×G) = G · rotF − F · rotG.
b) Sea un dominio Ω ⊂ R3 limitado por una superficie regular cerrada Σ, dada
por la ecuacio´n g(x, y, z) = k =cte.. Demostrar que si F es una campo vectorial
normal a Σ, se cumple ∫
Ω
∇g · rotFdΩ = 0
16. a) Definir integral curvil´ınea de un campo escalar. Comprobar la independencia
de la parametrizacio´n.
30 CAPI´TULO 3. TEOREMAS INTEGRALES DEL ANA´LISIS VECTORIAL
b) Calcular el flujo del campo vectorial F (x, y, z) = (x2, y2, z2) a trave´s de la
superficie lateral del cono x2 + y2 − z2 = 0, 0 ≤ z ≤ 1, con la orientacio´n de la
normal exterior.
Sugerencia: aplicar el teorema de Gauss al dominio limitado por el citado
cono y su tapa superior z = 1. [Resp.: −pi
2
]
17. Calcular directamente y aplicando el teorema de Gauss, el flujo del campo vectorial
~F (x, y, z) = (xz, 3xy,−2z)
a trave´s de la superficie que limita al so´lido
V (x, y, z) =
{
(x, y, z) ∈ R3;x2 + y2 + z2 ≤ 4, z ≥ 0} ,
considerando la orientacio´n de la normal exterior. [Resp.: −20pi
3
]
18. Calcular, directamente o aplicando el teorema de Stokes, la circulacio´n del campo
vectorial
~F (x, y, z) = (−y3, x3, z3)
a lo largo de la curva C, interseccio´n del cilindro x2 +y2 = 1 y el plano x+y+z = 1,
considerando la orientacio´n que corresponde al sentido contrario al que giran las
manecillas del reloj. [Resp.:
3pi
2
]