Ecuaciones Diferenciales Lineales de Orden n

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Cap´ıtulo 6
Ecuaciones diferenciales lineales de
orden n
6.1. Motivacio´n
Vamos a introducir las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con un ejem-
plo muy simple, que simula diversas situaciones f´ısicas relacionadas con las vibraciones
(osciladores en Meca´nica Cua´ntica, pe´ndulo simple u oscilaciones de vigas).
Imaginemos un cuerpo de masa m, que descansa sin friccio´n sobre un plano horizontal,
de modo que solo puede moverse en una direccio´n. Un extremo del cuerpo esta´ sujeto a
un resorte, que a su vez esta´ sujeto a una pared, y el otro extremo esta´ acoplado a un
amortiguador. (Ver Figura 6.1).
Supondremos que el resorte resiste tanto al estiramiento como a la compresio´n y que
el amortiguador absorbe los choques y produce una fuerza en la direccio´n del movimiento
de la masa
Si denotamos con x la distancia de la masa a la posicio´n de equilibrio (x > 0 cuando
el resorte esta´ estirado y x < 0 cuando esta´ comprimido), de acuerdo con la ley de Hooke,
para pequen˜os desplazamientos, la fuerza restauradora FS, que el resorte ejerce sobre la
masa, es proporcional a la distancia a la que el resorte se ha estirado o comprimido
FS = −kx,
donde k, constante del resorte, ha de ser positiva ya que FS y x tendra´n signos opuestos.
En cuanto al amortiguador, supondremos que esta´ disen˜ado de tal modo que la fuerza
que ejerce sea proporcional a la velocidad de la masa
FR = −cv = −cdx
dt
, c > 0.
La constante positiva, c, se llama constante de amortiguamiento. En te´rminos ma´s gene-
rales podemos considerar a FR como una fuerza espec´ıfica de friccio´n en nuestro sistema,
75
76 CAPI´TULO 6. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN N
Figura 6.1: Sistema masa-resorte-amortiguador
incluyendo, por ejemplo, la resistencia del aire.
Si adema´s de estas fuerzas, la masa esta´ sujeta a la accio´n de una fuerza externa f(t),
entonces la fuerza total que actu´a sobre la masa es F = FS + FR + f(t), y por la ley de
Newton tenemos mx′′ = −kx− cx′ + f(t), es decir
mx′′ + cx′ + kx = f(t),
ecuacio´n diferencial de segundo orden lineal, que gobierna el movimiento de la masa.
Si no hay amortiguador (c = 0), y despreciamos todas las fuerzas de rozamiento,
el movimiento se dice no amortiguado, y en otro caso (c > 0) amortiguado. Si no hay
fuerza externa, f(t) = 0, el movimiento se dice libre y en otro caso forzado. Una vez que
veamos los me´todos de resolucio´n de estas ecuaciones trataremos en detalle estos tipos de
movimientos que acabamos de describir.
6.2. Ecuaciones lineales de segundo orden
Empezaremos estudiando las ecuaciones lineales de segundo orden, ya que la mayor
parte de ideas y procedimientos se generalizan fa´cilmente a las de orden superior.
La ecuacio´n diferencial de segundo orden es una ecuacio´n de la forma
F (x, y, y′, y′′) = 0,
donde x ∈ [a, b] es la variable independiente e y ∈ C2[a, b] la funcio´n inco´gnita o variable
dependiente.
6.2. ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN 77
Figura 6.2: Solucio´n u´nica del p.vi. (cara´cter local)
La teor´ıa asociada a este tipo de ecuaciones es bastante compleja y nos limitaremos a
ecuaciones de la forma
y′′ = f(x, y, y′).
Para este supuesto, enunciaremos el siguiente teorema, ana´logo al demostrado para el caso
de ecuaciones de primer orden
Teorema 6.2.1 Si las funciones f , fy y fv, donde v = y
′, son continuas en un dominio
D ⊂ R3, y el punto (x0, y0, y′0) ∈ D, entonces existe un intervalo (x0 − h, x0 + h) en el
cual existe una solucio´n u´nica del problema de valor inicial
y′′ = f(x, y, y′)
y(x0) = y0
y′(x0) = y′0. �
Tal como ha quedado de manifiesto, en general, y concretamente en el caso en que la
funcio´n f es no lineal, el teorema de existencia y unicidad tiene un cara´cter local. (Ver
Figura 6.2)
Estudiaremos fundamentalmente ecuaciones en las que la funcio´n f sea lineal en y e
y′, que denominaremos ecuaciones lineales, es decir, ecuaciones de la forma
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = r(x).
En este caso, el resultado de existencia y unicidad tiene cara´cter global. (Ver Figura
6.3).
78 CAPI´TULO 6. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN N
Figura 6.3: Solucio´n u´nica del p.vi. (cara´cter global)
Teorema 6.2.2 Si p, q, r ∈ C0[a, b], x0 ∈ [a, b], y0, y′0 ∈ R nu´meros cualesquiera, entonces
el problema de valor inicial
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = r(x)
y(x0) = y0
y′(x0) = y′0
tiene una y so´lo una solucio´n en [a, b]. �
6.2.1. Solucio´n general de la ecuacio´n homoge´nea
Proposicio´n 6.2.3 Si y1(x) e y2(x) son soluciones de la ecuacio´n homoge´nea
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0,
entonces λy1(x) + µy2(x) tambie´n lo es cualesquiera que sean λ, µ ∈ R. �
En realidad λy1(x) + µy2(x) es la solucio´n general si y1(x) e y2(x) son linealmente
independientes, lo cual se comprueba fa´cilmente haciendo uso del wronskiano.
6.2. ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN 79
Definicio´n 6.2.1 (wronskiano) Dadas dos funciones f, g definidas en un intervalo [a, b],
se define el wronskiano de dichas funciones en el punto x0 ∈ [a, b] como
W (f(x0), g(x0)) =
∣∣∣∣ f(x0) g(x0)f ′(x0) g′(x0)
∣∣∣∣ .
Proposicio´n 6.2.4 Si p, q ∈ C0[a, b] y si y1(x) e y2(x) son soluciones de la ecuacio´n
homoge´nea en un intervalo [a, b] y existe al menos un punto x0 ∈ [a, b], en el cual
W (y1(x0), y2(x0)) 6= 0, entonces toda solucio´n de la ecuacio´n homoge´nea puede poner-
se en la forma
y(x) = λy1(x) + µy2(x). �
Reduccio´n del orden
Para calcular la solucio´n general de la ecuacio´n homoge´nea y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0
es preciso conocer dos soluciones linealmente independientes. No obstante, conocida una
solucio´n y1(x) es posible encontrar otra linealmente independiente de ella mediante un
me´todo, debido a D’Alembert (1717-83), que consiste en ensayar una solucio´n de la forma
y2(x) = v(x)y1(x). Al imponer que y2(x) sea solucio´n de la ecuacio´n homoge´nea se obtiene
v′′ +
(
p(x) +
2y′1(x)
y1(x)
)
v′ = 0,
ecuacio´n lineal de segundo orden en v, pero lineal de primer orden en v ′ y por tanto
fa´cilmente integrable. Al no estar interesados en encontrar la funcio´n v(x) ma´s general
posible, que satisfaga las condiciones anteriores, no es necesario conservar las constantes
de integracio´n que aparecen al integrar sucesivamente la ecuacio´n en v(x). Conocida v(x),
se calcula y2(x) = v(x)y1(x).
Ecuacio´n homoge´nea con coeficientes constantes
Consideremos la ecuacio´n y′′ + py′ + qy = 0, p, q ∈ R. Buscamos una funcio´n y(x)
tal que la combinacio´n lineal de y, y′ e y′′, con escalares q, p y 1 se anule. Dado que las
u´nicas funciones que permanecen proporcionales a s´ı mismas cuando se derivan son las
exponenciales, sera´n de esta forma las soluciones de esta ecuacio´n.
Si y = erx es solucio´n de la ecuacio´n, erx(r2 + pr + q) = 0, y por tanto
r2 + pr + q = 0,
que recibe el nombre de ecuacio´n caracter´ıstica.
1. p2 − 4q > 0. La ecuacio´n caracter´ıstica tiene dos ra´ıces reales distintas r1, r2, y las
dos soluciones linealmente independientes son
y1(x) = e
r1x, y2(x) = e
r2x.
80 CAPI´TULO 6. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN N
2. p2 − 4q = 0. La ecuacio´n caracter´ıstica tiene una ra´ız real doble r1 = r2 = −p/2.
Una solucio´n es y1(x) = e
−px/2 y, por reduccio´n del orden, se obtiene la segunda
solucio´n y2(x) = xe
−px/2. Es decir
y1(x) = e
− p
2
x, y2(x) = xe
− p
2
x.
3. p2 − 4q < 0. La ecuacio´n caracter´ıstica tiene dos ra´ıces complejas conjugadas r1 =
a+ bi, r2 = a− bi. Dos soluciones linealmente independientes son
er1x = e(a+bi)x = eax(cos bx+ i sen bx)
er2x = e(a−bi)x = eax(cos bx− i sen bx).
Se trata de combinaciones lineales de dos funciones linealmente independientes
(eax cos bx, eax sen bx) en el campo complejo. Si queremos limitarnos a las soluciones
de la ecuacio´n diferencial en el campo real, tomaremos como soluciones linealmente
independientes de la ecuacio´nhomoge´nea precisamente
y1(x) = e
ax cos bx, y2(x) = e
ax sen bx.
6.2.2. Ecuacio´n no homoge´nea
Hasta ahora hemos visto la manera de encontrar la solucio´n general de la ecuacio´n
homoge´nea en el caso en que los coeficientes son constantes, o en el caso, en que no siendo
constantes, conoc´ıamos una solucio´n de la ecuacio´n.
Estudiaremos ahora la ecuacio´n no homoge´nea
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = r(x).
Proposicio´n 6.2.5 La solucio´n general de la ecuacio´n no homoge´nea es la suma de una
combinacio´n lineal de dos soluciones linealmente independientes de la ecuacio´n homoge´nea
y cualquier solucio´n de la no homoge´nea. �
Es decir, si y1(x) e y2(x) son soluciones linealmente independientes de la ecuacio´n
homoge´nea e yp(x) es cualquier solucio´n particular de la ecuacio´n no homoge´nea, entonces
la solucio´n general de la ecuacio´n no homoge´nea es
y(x) = λy1(x) + µy2(x) + yp(x).
6.2. ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN 81
Me´todo de coeficientes indeterminados
Consiste en hacer una hipo´tesis sobre la forma de la solucio´n particular de la ecuacio´n
no homoge´nea, sustituir esta funcio´n, que contendra´ uno o ma´s coeficientes indetermina-
dos, en la ecuacio´n diferencial, y calcular dichos coeficientes de manera que la funcio´n sea
realmente solucio´n de la ecuacio´n.
Para una ecuacio´n diferencial completamente arbitraria se puede decir muy poco. Sin
embargo, si la ecuacio´n es de coeficientes constantes
y′′ + py′ + qy = r(x), p, q ∈ R,
y si el te´rmino no homoge´neo, r(x), es una funcio´n exponencial eax, un polinomio a0x
n +
a1x
n−1 + · · · + an, una funcio´n de cara´cter senoidal (sen bx o cos bx), o un producto de
funciones de estos tipos, pueden darse reglas para localizar una solucio´n particular.
r(x) yp(x)
pn(x) = a0x
n + a1x
n−1 + · · ·+ an xs(A0xn + A1xn−1 + · · ·+ An)
aeαx Axseαx
a cos βx+ b sen βx xs(A cos βx+B sen βx)
pn(x)e
αx xsPn(x)e
αx
pn(x) cos βx+ qm(x) sen βx x
s [PN(x) cos βx+QN(x) sen βx],
donde qm = b0x
m + · · ·+ bm N=max(m,n), QN = B0xN + · · ·+Bn
aeαx cos βx+ beαx sen βx xs [Aeαx cos βx+Beαx sen βx]
pn(x)e
αx cos βx+ qm(x)e
αx sen βx xseαx [PN(x) cos βx+QN(x) sen βx], N=max(m,n)
Si algu´n te´rmino de la solucio´n tentativa yp(x) ya es solucio´n de la ecuacio´n homoge´nea,
entonces se multiplica por xs, donde s es el menor nu´mero entero no negativo tal que
ningu´n te´rmino de la nueva expresio´n sea solucio´n de la ecuacio´n homoge´nea.
En el caso presente, ecuaciones de segundo orden, s solamente podra´ tomar los valores
0, 1 o 2, excepto cuando las ra´ıces de la ecuacio´n caracter´ıstica sean complejas, que
solamente podra´ tomar los valores 0 o 1. Por ejemplo, si r(x) = aeαx se ensayara´ como
solucio´n particular de la ecuacio´n no homoge´nea yp(x) = Ae
αx si α no es ra´ız de la ecuacio´n
caracter´ıstica (eαx no es solucio´n de la ecuacio´n homoge´nea), Axeαx si α es ra´ız simple
de la ecuacio´n caracter´ıstica (eαx es solucio´n de la ecuacio´n homoge´nea) y, finalmente,
Ax2eαx si α es ra´ız doble de la ecuacio´n caracter´ıstica (eαx y xeαx son soluciones de la
ecuacio´n homoge´nea)
Tambie´n se puede aplicar el me´todo de coeficientes indeterminados, con algunos ajus-
tes, en algunos casos de coeficientes variables, por ejemplo cuando p(x), q(x) y r(x) son
polinomios.
82 CAPI´TULO 6. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN N
Me´todo de variacio´n de para´metros
El me´todo de coeficientes indeterminados esta´ aconsejado para las ecuaciones dife-
renciales lineales con coeficientes constantes y el te´rmino no homoge´neo de una forma
conveniente. Veamos a continuacio´n un me´todo general para determinar una solucio´n
particular de la ecuacio´n
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = r(x),
donde p, q y r son funciones continuas en un determinado intervalo.
Supongamos y1(x) e y2(x) soluciones linealmente independientes de la ecuacio´n ho-
moge´nea. El me´todo de variacio´n de para´metros consiste en determinar dos funciones
v1(x) y v2(x) tales que
yp(x) = v1(x)y1(x) + v2(x)y2(x)
sea solucio´n de la ecuacio´n no homoge´nea. Observar que v1(x) y v2(x) constantes no
servira´n, ya que en ese caso la combinacio´n lineal anterior ser´ıa solucio´n de la ecuacio´n
homoge´nea.
Al imponer que yp(x) sea solucio´n de la ecuacio´n no homoge´nea, y una segunda condi-
cio´n que sera´ impuesta para facilitar los ca´lculos, se obtienen dos ecuaciones que relacionan
v′1(x) y v
′
2(x),
y′p(x) = v1(x)y
′
1(x) + v2(x)y
′
2(x) + v
′
1(x)y1(x) + v
′
2(x)y2(x)
Si imponemos la condicio´n v′1(x)y1(x) + v
′
2(x)y2(x) = 0, resulta
y′′p(x) = v1(x)y
′′
1(x) + v2(x)y
′′
2(x) + v
′
1(x)y
′
1(x) + v
′
2(x)y
′
2(x),
y al sustituir yp(x), y
′
p(x) e y
′′
p(x) en la ecuacio´n diferencial y, como consecuencia de que
y1(x) e y2(x) son soluciones de la ecuacio´n homoge´nea, resulta
v′1(x)y
′
1(x) + v
′
2(x)y
′
2(x) = r(x).
Por tanto, hemos obtenido el sistema
y1(x)v
′
1(x) + y2(x)v
′
2(x) = 0
y′1(x)v
′
1(x) + y
′
2(x)v
′
2(x) = r(x),
cuya solucio´n es
v′1(x) = −
r(x)y2(x)
W (y1(x), y2(x))
, v′2(x) =
r(x)y1(x)
W (y1(x), y2(x))
.
Se calculan primitivas de v′1(x) y v
′
2(x) y se obtiene la solucio´n particular.
Si u´nicamente se conoce una solucio´n de la ecuacio´n homoge´nea, y1(x), se puede cal-
cular, por reduccio´n del orden, una segunda solucio´n de la ecuacio´n homoge´nea, y a
6.3. VIBRACIONES MECA´NICAS 83
continuacio´n, por variacio´n de para´metros, una solucio´n particular. O tambie´n, direc-
tamente, imponer que y(x) = v(x)y1(x) sea solucio´n de la ecuacio´n no homoge´nea. Se
obtiene una ecuacio´n lineal de segundo orden en v(x) no homoge´nea, que se puede reducir
de orden. Si se integra sucesivamente, y se conservan las constantes arbitrarias, se obtiene
simulta´neamente la solucio´n general de la ecuacio´n homoge´nea y la solucio´n particular de
la no homoge´nea.
6.3. Vibraciones meca´nicas
Volvamos al ejemplo de la seccio´n 1, y consideremos los distintos casos que pueden
presentarse.
6.3.1. Movimiento libre no amortiguado. Oscilador armo´nico
En este caso no hay amortiguador ni fuerzas externas, por lo cual la ecuacio´n se reduce
a
mx′′ + kx = 0 ⇐⇒ x′′ + ω20x = 0, si ω0 =
√
k
m
.
La solucio´n general de esta ecuacio´n es de la forma
x(t) = λ cosω0t+ µ senω0t, λ, µ ∈ R,
o, equivalentemente
x(t) = C cos(ω0t− α), C ∈ R+, α ∈ [0, 2pi).
La constante C es la amplitud del movimiento, α el a´ngulo de fase y ω0 la frecuen-
cia angular. Se trata de un movimiento perio´dico, de periodo (tiempo necesario para
completar una oscilacio´n) T = 2pi/ω0, y frecuencia natural o simplemente frecuencia
(nu´mero de oscilaciones por segundo) 1/T = ω0/2pi. La frecuencia se mide en hertzios, 1
Hz= 1 ciclo/sg.
En la figura 6.4 esta´ representada la funcio´n
x(t) = 2 cos(2t− pi
3
),
solucio´n del problema de valor inicial
x′′ + 4x = 0
x(0) = 1
x′(0) = 2
√
3
84 CAPI´TULO 6. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN N
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Figura 6.4: Movimiento libre no amortiguado
6.3.2. Movimiento libre amortiguado
Corresponde al caso
mx′′ + cx′ + kx = 0 ⇐⇒ x′′ + 2px′ + ω20x = 0, ω0 =
√
k
m
, p =
c
2m
.
Las ra´ıces de la ecuacio´n caracter´ıstica son r = −p±
√
p2 − ω20, donde el discriminante
p2 − ω20 =
c2
4m2
− 4mk
4m2
=
c2 − 4mk
4m2
.
Si c = cR =
√
4mk, el movimiento se dice cr´ıticamente amortiguado. En este caso la
solucio´n general de la ecuacio´n es
x(t) = λe−pt + µte−pt,
y la solucio´n u´nica del problema de valor inicial
x′′ + 2px′ + ω20x = 0
x(0) = x0
x′(0) = v0
(6.1)
es x(t) = e−pt (x0 + (v0 + px0)t), en la cual puede observarse que el cuerpo pasa por
la posicio´n de equilibrio a lo sumo una vez, en el caso x0(v0 + px0) < 0.6.3. VIBRACIONES MECA´NICAS 85
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
v0=5
v0=0
v0=−10
Figura 6.5: Movimiento libre sobreamortiguado
Si c > cR, el movimiento se dice sobreamortiguado, las dos ra´ıces de la ecuacio´n
caracter´ıstica, r1 y r2, son reales
r1 = −p+
√
p2 − ω20, r2 = −p−
√
p2 − ω20,
pero negativas, con lo cual la solucio´n general
x(t) = λer1t + µer2t,
tambie´n tiende a 0 cuando t −→ ∞ y, asimismo, el cuerpo pasa por la posicio´n de
equilibrio a lo sumo una vez. Por ejemplo, si x0 > 0 la u´nica solucio´n del problema de
valor inicial 6.2 se anula una vez si v0 < x0r2. Por ejemplo, si consideramos el problema
de valor inicial
x′′ + 5x′ + 4x = 0
x(0) = x0
x′(0) = v0
(6.2)
su solucio´n u´nica es
x(t) =
4x0 + v0
3
e−t − x0 + v0
3
e−4t.
En la Figura 6.5 esta´n representadas las soluciones con las condiciones iniciales x0 = 1
y v0 = 5, v0 = 0, v0 = −10.
Si c < cR, el movimiento se dice subamortiguado, las dos ra´ıces de la ecuacio´n
caracter´ıstica, r1 y r2, son de la forma
r1 = −p+ i
√
ω20 − p2 = −p+ iω1, r2 = −p− iω1,
86 CAPI´TULO 6. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN N
y la solucio´n general de la ecuacio´n es
x(t) = e−pt(λ cosω1t+ µ senω1t) = Ce
−pt cos(ω1t− α).
Como se ve, la solucio´n es el producto de un factor exponencial, Ce−pt, llamado factor
de amortiguacio´n y un factor senoidal, cos(ω1t−α). El movimiento no es perio´dico, pero
sin embargo a ω1 se le suele llamar frecuencia angular y a T1 = 2pi/ω1 pseudoperiodo
de oscilacio´n.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Figura 6.6: Movimiento libre subamortiguado
En las figuras 6.6 se presentan dos casos de subamortiguamiento. Cuando la constante
de amortiguamiento es pequen˜a el movimiento decae ma´s lentamente,
x′′ + 2x′ + 4x = 0,
x(0) = 1,
x′(0) = 0,
tiene por solucio´n u´nica x(t) =
2√
3
e−t cos
(√
3− pi
6
)
. Ver Figura 6.7. Los puntos de corte
con el eje Ot corresponden a los valores
t =
1√
3
(pi
6
+ (2n− 1)pi
2
)
,
los puntos de contacto con la exponencial
2√
3
e−t,
t =
1√
3
(pi
6
+ 2npi
)
,
6.3. VIBRACIONES MECA´NICAS 87
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
Figura 6.7: Movimiento libre subamortiguado
los puntos de contacto con la exponencial − 2√
3
e−t,
t =
1√
3
(pi
6
+ (2n− 1)pi
)
,
y los puntos cr´ıticos (ma´ximos y mı´nimos)
t =
npi√
3
.
6.3.3. Movimiento forzado no amortiguado
El caso ma´s interesante es cuando la fuerza externa es perio´dica, por ejemplo
mx′′ + kx = F0 cosωt =⇒ x′′ + ω20x =
F0
m
cosωt.
Si ω 6= ω0, se comprueba que la solucio´n general es
x(t) = λ cosω0t+ µ senω0t+
F0
m(ω20 − ω2)
cosωt.
Si el cuerpo esta´ inicialmente en reposo, es decir
mx′′ + kx = F0 cosωt
x(0) = 0
x′(0) = 0
88 CAPI´TULO 6. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN N
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Figura 6.8: Movimiento forzado no amortiguado. Pulsaciones
la solucio´n es de la forma
x(t) =
F0
m(ω20 − ω2)
(cosωt− cosω0t),
suma de dos funciones perio´dicas, de distintos periodos pero con la misma amplitud. La
solucio´n tambie´n puede ponerse en la forma
x(t) =
2F0
m(ω20 − ω2)
sen
(ω0 − ω)t
2
sen
(ω0 + ω)t
2
.
Si |ω0−ω| es pequen˜a, sen(ω0+ω)t/2 es una funcio´n ra´pidamente oscilante, comparada con
sen(ω0−ω)t/2. El movimiento es una oscilacio´n ra´pida con frecuencia angular (ω0 +ω)/2,
pero con una amplitud senoidal que var´ıa lentamente. Este tipo de movimiento que tiene
una variacio´n perio´dica de la amplitud, presenta lo que se llama pulsacio´n.
Un ejemplo del feno´meno de pulsacio´n es el siguiente modelo
x′′ + 256x = 60 cos 14t
x(0) = 0
x′(0) = 0,
cuya solucio´n, x(t) = 2 sen 15t sen t, se representa en la Figura 6.8.
Cuando la frecuencia angular del sistema y de la fuerza externa coinciden, es decir
ω = ω0, se presenta el feno´meno conocido con el nombre se resonancia, de gran intere´s
en Ingenier´ıa, puesto que si las vibraciones de un sistema entran en resonancia con las de
6.3. VIBRACIONES MECA´NICAS 89
la fuerza externa pueden producirse grandes desastres (puentes que se caen, alas de avio´n
que se rompen, etc.), tal como puede apreciarse en el siguiente ejemplo, al observar que
la amplitud de la oscilacio´n aumenta indefinidamente.
En efecto, si ω = ω0 la solucio´n general de la ecuacio´n es de la forma
x(t) = λ cosω0t+ µ senω0t+
F0
2mω0
t senω0t.
Por ejemplo, el problema de valor inicial
x′′ + 9x = 2 cos 3t
x(0) = 0
x′(0) = 0,
tiene como solucio´n u´nica
x(t) =
1
3
t sen 3t.
Si las condiciones iniciales son x(0) = 1 y x′(0) = 0 la solucio´n es
x(t) = cos 3t+
1
3
t sen 3t.
Ambas funciones se representan en la Figura 6.9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
5
Figura 6.9: Movimiento forzado no amortiguado. Resonancia
6.3.4. Movimiento forzado amortiguado
En este caso la ecuacio´n es de la forma x′′ + 2px′ + ω20x = f(t), donde f(t) la supon-
dremos, nuevamente, perio´dica. La solucio´n general de esta ecuacio´n es
x(t) = xh(t) + xp(t) = λx1(t) + µx2(t) + xp(t),
90 CAPI´TULO 6. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN N
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Figura 6.10: Movimiento forzado amortiguado
donde x1(t) y x2(t) son soluciones linealmente independientes de la ecuacio´n homoge´nea
que, en este caso, siempre tienden a 0 cuando t −→ ∞, por lo que a xh(t) se le llama
solucio´n transitoria, mientras que a xp(t) se le llama solucio´n estacionaria, que es la
u´nica que permanece para valores grandes de t.
Tal situacio´n puede apreciarse perfectamente en la Figura 6.10, donde se representa
la funcio´n
x(t) =
1
15
(−17e−4t + 62e−t)+ 3
10
sen 2t,
solucio´n del problema de valor inicial
x′′ + 5x′ + 4x = 3 cos 2t
x(0) = 3
x′(0) = 1.
En la citada Figura se ve como la solucio´n transitoria ejerce su influencia u´nicamente
hasta, aproximadamente, el valor t = 4
6.4. Ecuacio´n lineal de orden n (n > 2)
Si en el ejemplo considerado al principio del cap´ıtulo, sistema masa-resorte-amortiguador,
cambiamos el amortiguador por otro cuerpo de masa m2, acoplado mediante un resorte
al cuerpo de masa m1, obtenemos lo que podemos denominar sistema masa-resorte aco-
plado. Es decir, se trata de un cuerpo de masa m1 sujeto a un resorte, cuya constante de
6.4. ECUACIO´N LINEAL DE ORDEN N (N > 2) 91
Figura 6.11: Sistema masa-resorte acoplado
recuperacio´n es k1, que esta´ sujeto a una pared. Por otra parte existe un segundo cuerpo,
de masa m2, sujeto a un resorte, de constante k2, que a su vez esta´ sujeto al cuerpo de
masa m1, tal como se puede apreciar en la Figura 6.11.
Suponemos que la superficie es totalmente lisa, de modo que se desprecia cualquier
tipo de rozamiento, y que los cuerpos solamente pueden moverse en una direccio´n. Por
tanto, las u´nicas fuerzas que actu´an son las ejercidas por los resortes. En este caso, si los
cuerpos se desplazan de su posicio´n de equilibrio, el resorte 1 ejercera´ una fuerza F1 sobre
el cuerpo de masa m1, y el resorte 2 ejercera´ una fuerza F2 sobre el cuerpo de masa m1 y
una fuerza F3 sobre el cuerpo de masa m2, cuyas magnitudes sera´n, aplicando la Ley de
Hooke
F1 = −k1x
F2 = k2(y − x)
F3 = −k2(y − x),
donde x es la elongacio´n del primer resorte, e y − x la del segundo.
Aplicando la segunda Ley de Newton a estos cuerpos se obtiene
m1
d2x
dt2
= −k1x+ k2(y − x)
m2
d2y
dt2
= −k2(y − x).
Se trata de un sistema de dos ecuaciones diferenciales de segundoorden, que se puede
reducir a una si, por ejemplo, despejamos y(t) en la primera ecuacio´n y sustituimos en la
segunda, obteniendo
m1m2
k2
d4x
dt4
+
k1m2 + k2(m1 +m2)
k2
d2x
dt2
+ k1x = 0,
92 CAPI´TULO 6. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN N
que es una ecuacio´n lineal de orden 4, con coeficientes constantes. Una vez resuelta, y
conocida la funcio´n x(t), ya se puede calcular tambie´n y(t).
Si consideramos el ejemplo con los siguientes datos: m1 = 2, m2 = 1, k1 = 4 y k2 = 2,
suponemos que desplazamos los dos cuerpos 3 unidades desde la posicio´n de equilibrio, y
los soltamos con velocidad inicial 0, se obtiene
y(t) = 3x+ d
2x
dt2
d4x
dt4
+ 5d
2x
dt2
+ 4x = 0
x(0) = 3
y(0) = 3
x′(0) = 0
y′(0) = 0.
La ecuacio´n de cuarto orden en x(t) es de coeficientes constantes, por lo que, al igual que
en las de orden 2, dara´ lugar a soluciones de forma exponencial x(t) = ert. Se obtiene
como solucio´n general
x(t) = λ1 cos t+ λ2 sen t+ λ3 cos 2t+ λ4 sen 2t
y(t) = 2λ1 cos t+ 2λ2 sen t− λ3 cos 2t− λ4 sen 2t, λ1, λ2, λ3, λ4 ∈ R,
que al considerar las condiciones iniciales da´ lugar a la solucio´n u´nica
x(t) = 2 cos t+ cos 2t
y(t) = 4 cos t− cos 2t,
que describe el movimiento de los dos cuerpos alrededor de la posicio´n de equilibrio.
En la Figura 6.12 esta´n representadas las trayectorias referidas a sus respectivas po-
siciones de equilibrio, y referidas a un mismo sistema de referencia, en el supuesto que
la posicio´n de equilibrio del cuerpo de masa m2 este´ a una distancia de 5 unidades de la
equilibrio del cuerpo de masa m1.
En general, sera´ muy complicado resolver ecuaciones diferenciales de orden mayor que
2, incluso las lineales si el orden es alto. Nos limitaremos a tratar las lineales de la forma
dny
dxn
+ p1(x)
dn−1y
dxn−1
+ · · ·+ pn−1(x)dy
dx
+ pn(x)y = r(x).
La teor´ıa matema´tica asociada a esta ecuacio´n es totalmente ana´loga a la de las ecuaciones
de segundo orden.
Teorema 6.4.1 Si pi, r ∈ C0[a, b],i = 1, 2, · · ·n, x0 ∈ [a, b], y0, y′0, · · · yn−1 ∈ R nu´meros
cualesquiera, entonces el problema de valor inicial
dny
dxn
+ p1(x)
dn−1y
dxn−1
+ · · ·+ pn−1(x) dydx + pn(x)y = r(x).
y(x0) = y0
y′(x0) = y′0
...
y(n−1)(x0) = yn−1,
6.4. ECUACIO´N LINEAL DE ORDEN N (N > 2) 93
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
−6
−4
−2
0
2
4
6
x(t)
y(t)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
x(t)
y(t)
Figura 6.12: Sistema masa-resorte acoplado
tiene una y so´lo una solucio´n en [a, b]. �
6.4.1. Solucio´n general de la ecuacio´n homoge´nea
Proposicio´n 6.4.2 Si yi(x), i = 1, 2, · · · , n son soluciones de la ecuacio´n homoge´nea
y(n)(x) + p1(x)y
(n−1)(x) + · · ·+ pn−1(x)y′(x) + pn(x)y(x) = 0
entonces
n∑
i=1
λiyi(x)
tambie´n lo es cualesquiera que sean λi ∈ R. �
En realidad
∑
λiyi(x) es la solucio´n general si las yi(x) son linealmente independientes,
lo cual se comprueba fa´cilmente haciendo uso del wronskiano.
Definicio´n 6.4.1 (wronskiano) Dadas n funciones fi, definidas en un intervalo [a, b],
se define el wronskiano de dichas funciones en el punto x0 ∈ [a, b] como
W (f1(x0), f2(x0), · · · fn(x0)) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
f1(x0) f2(x0) · · · fn(x0)
f ′1(x0) f
′
2(x0) · · · f ′n(x0)
...
...
. . .
...
f
(n)
1 (x0) f
(n)
2 (x0) · · · f (n)n (x0)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
.
94 CAPI´TULO 6. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN N
Proposicio´n 6.4.3 Si pi, r ∈ C0[a, b] y si yi(x) son soluciones de la ecuacio´n homoge´nea
en un intervalo [a, b] y existe al menos un punto x0 ∈ [a, b], en el cual
W (y1(x0), y2(x0), · · · yn(x0)) 6= 0, entonces toda solucio´n de la ecuacio´n homoge´nea puede
ponerse en la forma
y(x) =
n∑
i=1
λiyi(x). �
Reduccio´n del orden
Para calcular la solucio´n general de la ecuacio´n homoge´nea es preciso conocer n solu-
ciones linealmente independientes. No obstante, conocida una solucio´n y1(x), al imponer
que y(x) = v(x)y1(x) sea solucio´n de la ecuacio´n diferencial se obtiene una ecuacio´n lineal
de orden n− 1 en v′ que, si es posible resolverla, permitir´ıa encontrar la solucio´n general
de la ecuacio´n de partida. Evidentemente, en general, no es un me´todo operativo.
Ecuacio´n lineal homoge´nea con coeficientes constantes
Para encontrar n soluciones linealmente independientes de la ecuacio´n diferencial
a0y
(n)(x) + a1y
(n−1)(x) + · · ·+ an−1y′(x) + any(x) = 0,
donde ai ∈ R y a0 6= 0 buscamos soluciones de la forma y = erx, lo que da´ lugar a la
ecuacio´n caracter´ıstica
a0r
n + a1r
n−1 + · · ·+ an−1r + an = 0.
1. rj es una ra´ız real simple. La parte de la solucio´n general, correspondiente a esta
ra´ız, es
yj = λje
rjx.
2. rj es una ra´ız real de orden k. La parte de la solucio´n general, correspondiente a
esta ra´ız, es
y =
k−1∑
i=0
µix
ierjx.
3. rj = a + bi, rj+1 = a − bi son ra´ıces complejas de orden multiplicidad k. La parte
de la solucio´n general, correspondiente a estas ra´ıces, es
y =
k−1∑
i=0
xieax (λi cos bx+ µi sen bx) .
6.4. ECUACIO´N LINEAL DE ORDEN N (N > 2) 95
6.4.2. Ecuacio´n no homoge´nea
La solucio´n general de la ecuacio´n no homoge´nea es una combinacio´n lineal de n solu-
ciones linealmente independientes de la ecuacio´n homoge´nea ma´s una solucio´n particular
cualquiera de la no homoge´nea.
Me´todo de coeficientes indeterminados
Si la ecuacio´n es de coeficientes constantes y el te´rmino no homoge´neo es una funcio´n
exponencial, un polinomio, una funcio´n senoidal o un producto de varias de ellas, entonces
se pueden buscar soluciones particulares de determinada forma. Nos remitimos a la tabla
que ya se ha expuesto al tratar la seccio´n de ecuaciones de segundo orden. En este caso
no haremos ninguna restriccio´n sobre el exponente s.
Me´todo de variacio´n de para´metros
El me´todo de variacio´n de para´metros, para determinar una solucio´n particular de la
ecuacio´n lineal no homoge´nea, es una extensio´n directa de la teor´ıa para ecuaciones de
segundo orden.
Es necesario conocer n soluciones linealmente independientes de la ecuacio´n homoge´nea,
y1, y2,....,yn, lo que puede resultar complicado si la ecuacio´n es de coeficientes variables.
Se propone como solucio´n particular
yp(x) = u1(x)y1(x) + u2(x)y2(x) + · · ·+ un(x)yn(x),
imponiendo condiciones sobre las funciones ui. Estas condiciones, junto con el hecho que
yp(x) sea solucio´n particular da lugar a
y1u
′
1 + y2u
′
2 + · · ·+ ynu′n = 0
y′1u
′
1 + y
′
2u
′
2 + · · ·+ y′nu′n = 0
· · ·
y
(n−2)
1 u
′
1 + y
(n−2)
2 u
′
2 + · · ·+ y(n−2)n u′n = 0
y
(n−1)
1 u
′
1 + y
(n−1)
2 u
′
2 + · · ·+ y(n−1)n u′n = r(x).
Sistema compatible determinado, puesto que el determinante es el wronskiano de las
n soluciones linealmente independientes de la ecuacio´n homoge´nea, y por tanto no nulo.
Se calculan las u′i, i = 1, 2, · · · , n y, por integracio´n las ui.
96 CAPI´TULO 6. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN N
6.5. Ecuaciones de Euler-Cauchy
Un caso particular de ecuaciones lineales de orden n son las denominadas ecuaciones
de Euler-Cauchy, que presentan la forma
a0x
ny(n)(x) + a1x
n−1y(n−1)(x) + · · ·+ an−1xy′(x) + any(x) = 0.
Para resolver esta ecuacio´n se puede hacer lo siguiente: para x > 0 el cambio de variable
independiente x = et, y para x < 0 el cambio −x = et da lugar a una ecuacio´n con
coeficientes constantes, a la que podemos aplicar los me´todos ya descritos. O tambie´n,
proponer soluciones de la forma xr si x > 0 o (−x)r si x < 0. En este caso se obtiene
una ecuacio´n algebraica en r de grado n, que coincide con la ecuacio´n caracter´ıstica
correspondiente a la ecuacio´n de coeficientes constantes de variable independiente t, que
tendra´ n ra´ıces ri. Por cualquiera de los dos caminos, para x 6= 0, los casos posibles son1. rj es una ra´ız real simple. La parte de la solucio´n general, correspondiente a esta
ra´ız, es
yj = λj|x|rj .
2. rj es una ra´ız real de orden k. La parte de la solucio´n general, correspondiente a
esta ra´ız, es
y =
k−1∑
i=0
µi|x|rj(log |x|)i.
3. rj = a + bi, rj+1 = a − bi son ra´ıces complejas de orden multiplicidad k. La parte
de la solucio´n general, correspondiente a estas ra´ıces, es
y =
k−1∑
i=0
(log |x|)i|x|a (λi cos(b log |x|) + µi sen(b log |x|) .
6.6. Ejercicios
1. Calcular la solucio´n general de la ecuacio´n y′′+y = 0 y la que satisface las condiciones
iniciales y(0) = 1, y′(0) = 17.
2. Encontrar la solucio´n general de las siguientes ecuaciones diferenciales, comprobando
que, efectivamente, satisfacen la correspondiente ecuacio´n
a) y′′ + 3y′ − 4y = 2 sen x.
b) y′′ − 3y′ − 4y = 4x2.
c) y′′ − 3y′ − 4y = e−x.
d) y′′ + 4y = xex + x sen 2x.
6.6. EJERCICIOS 97
e) y′′ − 3y′ + 2y = 14 sen 2x− 18 cos 2x.
3. Encontrar la solucio´n general de las siguientes ecuaciones diferenciales, comprobando
que, efectivamente, satisfacen la correspondiente ecuacio´n
a) xy′′ − (1 + x)y′ + y = x2 ex, x > 0.
b) (1− x)y′′ + xy′ − y = (1− x)2.
4. Resolver y′′′ + 4y′ = senx cosx.
[Resp.: y =
(
c1 +
1
128
[sen 2x− cos 4x− 4x]
)
sen 2x+
(
c2 − 1
16
sen4 x
)
cos 2x].
5. Resolver y′′′ + y = cosec x.
[Resp.: y = ln(cosec x+ cotg x)− ln(senx) cos x− x sen x].
6. Resolver yiv + y = 0.
[Resp.: y = e
√
2
2
x(c1 cos x+ c2 senx) + e
−
√
2
2
x(c3 cos x+ c4 senx)].
7. Resolver y′′′ − y′ = x ex.
[Resp.: y = c1e
x + c2e
−x + c3 +
1
4
(x2 − 3x)ex].
8. Encontrar la solucio´n general de la ecuacio´n de Euler-Cauchy
x3y′′′ − 3x2y′′ + 6xy′ − 6y = 1
x
, x > 0,
sabiendo que {x, x2, x3} es un conjunto fundamental de soluciones de la ecuacio´n
homoge´nea correspondiente.
[Resp.: y = c1x+ c2x
2 + c3x
3 − 1
24x
].
9. Encontrar una solucio´n particular de y′′′ − 3y′′ + 4y = xe2x − cos x.
[Resp.: y = − 7
50
cosx+
1
50
senx+
1
18
(x3 − x2)e2x].
10. Resolver el siguiente problema de valor inicial
y′′′ + 2y′′ − 9y′ − 18y = −18x2 − 18x+ 22,
y(0) = −2,
y′(0) = −8,
y′′(0) = −12.
98 CAPI´TULO 6. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN N
[Resp.: y = −2e3x + e−2x + x2 − 1].
11. Resolver la ecuacio´n diferencial y′′ − 2y′ + 2y = ex tg x.
[Resp.: y =
(
c1 +
1
2
ln
∣∣∣∣1 + senx1− senx
∣∣∣∣
)
ex cos x+ c2e
x senx.
12. Una ecuacio´n lineal de segundo orden a0(x)y
′′ + a1(x)y′ + a2(x)y = q(x) se dice que
es exacta si se puede expresar como
d
dx
(
M(x)
dy
dx
+N(x)y
)
= q(x)
a) Probar que una condicio´n necesaria para que sea exacta es
d2a0(x)
dx2
− da1(x)
dx
+ a2(x) ≡ 0
¿Es suficiente dicha condicio´n?
b) Suponiendo que se cumple tal condicio´n determinar M(x) y N(x).
c) Comprobar que la siguiente ecuacio´n es exacta e integrarla
(x2 − 2x)y′′ + 4(x− 1)y′ + 2y = e2x.
13. Una man˜ana amanecio´ nevando y siguio´ todo el d´ıa con la misma intensidad. Una
ma´quina quitanieves inicio´ sus labores de despejar una carretera a las 9 horas,
durante 2 horas pudo limpiar 2 Km., y en las 2 horas siguientes 1 Km. ma´s. ¿A
que´ hora empezo´ a nevar?.¿Cual es el nombre del maquinista?. [Resp.: aprox. 7.45
h.]
14. a) Demostrar que la ecuacio´n con coeficientes variables
a0 x
3 y′′′ + a1 x
2 y′′ + a2 x y
′ + a3 y = 0, a0, a1, a2, a3 ∈ R,
se transforma en una con coeficientes constantes al hacer el cambio de variable
independiente
x = et, si x > 0,
x = −et, si x < 0.
b) Resolver el problema de valor inicial
x3 y′′′ + x2 y′′ − 2x y′ + 2 y = 0,
y(1) = 1,
y′(1) = −2,
y′′(1) = 0,
indicando el ma´ximo intervalo en el que queda definida la solucio´n.
[Resp.: y = x+
1
x
− x2; (0,∞)]