modelamento de sistemas dinamicos

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INSTITUTO FEDERAL DE MINAS GERAIS – CAMPUS CONGONHAS
Engenharia Mecânica
CASSIANO LUIZ CAMPOS MELO
LEONARDO PEREIRA DE PAULA
FELIPE PAIVA DINIZ
MODELAMENTO DE SISTEMAS DINÂMICOS: SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM DO CONTROLE EM NÍVEL DE FLUÍDOS
Congonhas
2017
CASSIANO LUIZ CAMPOS MELO
LEONARDO PEREIRA DE PAULA
FELIPE PAIVA DINIZ
	
 SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM DO CONTROLE EM NÍVEL DE FLUÍDOS
Trabalho apresentado a disciplina de Modelamento de Sistemas Dinâmicos, no sexto período, do curso de Bacharelado em Engenharia Mecânica do Instituto federal de Minas Gerais – Campus Congonhas como requisito parcial para aprovação da disciplina, executando o modelamento dinâmico aplicado ao sistema de controle em nível de fluídos, e usando o pacote computacional Matlab para auxílio das atividades.
Orientador: Tiago Simão.
Congonhas 
2017
SUMÁRIO
1.	INTRODUÇÃO	4
2.	OBJETIVO	5
3.	REVISÃO TEÓRICA	5
3.1.	Sistema de primeira ordem	5
3.2.	Definição da constante de tempo	7
3.3.	Sistema de primeira ordem em série	7
4.	PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL	8
5.	RESULTADOS E ANALISES	9
5.1.	Sistema de tanque unitário	9
5.1.1.	Função transferência que relaciona qo(t) com qi(t)	9
5.2.	Sistema de tanques em série	13
5.2.1.	Função transferência que relaciona q2(t) com q1(t)	13
5.2.2.	Função transferência que relaciona q3(t) com q1(t)	14
5.2.3.	Função de transferência que relaciona q4(t) com q1(t)	15
6.	CONCLUSÃO	17
7.	ANEXOS	17
7.1.	Script para sistema de primeira ordem para geração do gráfico 1	17
7.2.	Script para sistema de primeira ordem para geração do gráfico 2	17
7.3.	Script para sistema de primeira ordem para geração do gráfico 3	18
7.4.	Script para sistema de primeira ordem para geração do gráfico 4	18
7.5.	Script para sistema de primeira ordem para geração do gráfico 5	19
8.	REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA	21
INTRODUÇÃO
Neste trabalho serão estudadas as respostas de sistemas de primeira ordem, analisadas no domínio do tempo, para verificar se suas características estão de acordo com comportamento desejado.
A análise de um sistema de controle pode ser desenvolvida a partir de sinais de entrada conhecidos (sinais de teste) e observando a resposta do sistema. Através desses sinais de teste, tanto a análise experimental quanto a análise matemática dos sistemas de controle, podem ser obtidas facilmente, uma vez que esses sinais são funções de tempo simples.
A determinação dos sinais típicos de teste acontece com análise do comportamento da entrada que o sistema será submetido com maior frequência sob condições normais de operações; se as funções de tempo que variam gradualmente ou se o sistema estiver sujeito a impacto as funções rampa e impacto respectivamente, pode ser um bom sinal de teste. De maneira análoga se o sistema estiver sujeito a variações bruscas a função degrau poderá ser a melhor opção.
OBJETIVO
Este trabalho tem como objetivo analisar a resposta ao degrau unitário do sistema de primeira ordem único e em serie do nível de liquido, sob a influência da constante de tempo.
REVISÃO TEÓRICA
Sistema de primeira ordem
Um sistema de primeira ordem possui a seguinte função de transferência:
Na forma de diagrama de blocos tem-se:
Figura 1 - Diagrama de Blocos
Uma maneira de se analisar uma função de transferência é aplicar um degrau unitário na entrada e observar a resposta na saída. Sendo o degrau unitário , a resposta será dada por:
Separando em frações parciais, obtém-se:
Calculando a transformada inversa, obtém-se:
A resposta ao degrau possui a seguinte forma:
Figura 2 - Curva de resposta ao degrau unitário
Substituindo t por valores múltiplos da constante de tempo, tem-se:
Para t = 0, c(t) = 0
Para t =, c(t) = 0,632
Para t = 2, c(t) = 0,865
Para t = 3, c(t) = 0,950, que é a resposta dentro da faixa de 5% do valor final
Para t = 4, c(t) = 0,982, que é a resposta dentro da faixa de 2% do valor final
Para t = 5, c(t) = 0,993, que é a resposta dentro da faixa de 1% do valor final
Observa-se que quanto menor for a constante de tempo, a resposta do sistema será mais rápida e ainda a curva nos mostra que a inclinação da linha tangente em t=0 é definido como , pois:
Definição da constante de tempo
Já foi visto que a resposta de um sistema de primeira ordem a uma entrada degrau é dada por:
O valor de t que torna o expoente de igual a -1 é definido como uma Constante de tempo.
Assim: então t =, logo =constante de tempo.
A partir da função de transferência:
Na função de transferência, observa-se que =constante de tempo e quando se isola o termo em s, obtém-se = polo. Então o polo é o inverso da constante de tempo.
Sistema de primeira ordem em série
Qualquer que seja o número de blocos em série que represente componentes de carga, esses blocos podem ser substituídos por um único bloco, e sua função de transferência será simplesmente o produto das funções de transferência individuais. É importante notar que ao blocos podem ser conectados em série somente se a saída de um bloco não for afetada pelo bloco seguinte. Se houver qualquer efeito de carga entre os componentes é necessário combinar esses componentes em um único bloco. 
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
Para a análise da influência da constante de tempo no sistema de nível de fluido unitário (figura 3) e em série (figura 4) foi primeiramente determinada a função de transferência para cada caso.
Com a utilização do pacote computacional do Matlab traçamos os gráficos correspondentes. Foi executada alterações nas constantes que envolvem a função de transferência e analisado como essas modificações influenciaram a constante de tempo e consequentemente a resposta ao sistema.
Figura 3 - Sistema tanque unitário representando sistema de primeira ordem 
Para o sistema acima foi primeiramente estabelecido a resposta qo(t) quando qi(t) sofreu uma variação de degrau unitário, neste caso o tanque possui a área 
A = 6 m² e a resistência R = 1,25 m/(m³/min), foi reduzido a área do tanque para 3 m² e posteriormente para1 m², verificando a influência dessas alterações na constante de tempo e estabelecido novamente qo(t) para a mesma entrada em ambos os casos.
Após as respostas obtidas nos casos as mesmas foram comparadas e analisadas.
Figura 4 - Sistema de tanques representando sistema primeira ordem em série
No caso do sistema da figura 4, onde os tanques 1, 2 e 3 possuem áreas A = 4 m², A = 3 m² e A = 2 m², respectivamente e resistências iguais com o valor de R = 1,25 m/(m³/min), foram determinadas três a funções de transferência relacionando q2(t) e q1(t), q3(t) e q1(t), q4(t) e q1(t).
Utilizando o pacote computacional Matlab e considerando a entrada de degrau unitário foi estabelecido em um único gráfico as respostas correspondentes para cada caso e analisado as diferenças nas respostas.
RESULTADOS E ANALISES
Sistema de tanque unitário
Função transferência que relaciona qo(t) com qi(t)
Para determinar a função de transferência de um sistema de controle do nível de um tanque, foi abordada a lei da conservação da energia em um volume de controle com uma entrada e uma saída. O desenvolvimento embasado na lei resultou na equação da continuidade, que demonstra que:
Além da lei da conservação da energia adotou-se o conceito de resistência do sistema de nível de líquidos.
A partir das considerações apresentadas desenvolvemos a equação da continuidade, aplicando-a no sistema em questão.
Para 
Aplicando a transformada de Laplace, obtemos:
Considerando as condições iniciais nulas onde 
Determinando assim a função de transferência para um sistema de controle do nível de liquido em um tanque, como segue abaixo:
Relacionando a função obtida com a função de transferência característica de um sistema de primeira ordem, como segue:
Observa-se que o valor da constante de tempo é equivalente ao produto da área de tanque coma resistência do escoamento do fluido na saída do tanque, assim:
Para uma área A = 6 m² e uma resistência R = 1,25 m/(m³/min) = 450 s/m², e com a entrada em degrau unitário obtém-se uma saída conforme demonstrado no gráfico abaixo:
Gráfico 1 - qi(t) como uma variação de degrau unitário
Mantendo a entrada como degrau unitário e reduzindo a área para 3 m² com a resistência sem alteração, gera-se a saída como segue o gráfico 2.
Gráfico 2 - qo(t) com a área do tanque em 3 m²
Continuando com o mesmo procedimento reduziu-se a área agora para 1 m² e que gerou o gráfico 3, como segue.
Gráfico 3 - qo(t) com área do tanque em 1 m²
Utilizando a relação , com a resistência fixa no valor de 75 s/m² e alternando a área em 6 m², 3 m² e 1 m², obtivemos valores de 450 s, 225 s e 75 s respectivamente para as áreas , chegando a conclusão que quanto menor a área do tanque mais rápida é a resposta do sistema pois a constante de tempo é proporcional a mesma, uma vez que a resistência é constante para todos os casos. Essa observação fica mais evidente quando demonstrada em gráfico, conforme segue descrito no gráfico 4.
Gráfico 4 - Comparação dos gráficos 1,2 e 3
	
Sistema de tanques em série
Para análise do sistema foram adotados os mesmos conceitos utilizados para o sistema de tanque unitário, em relação a lei da conservação da energia e a definição de resistência do sistema de nível de líquidos.
Função transferência que relaciona q2(t) com q1(t)
Essa função de relação é a mesma adotada no sistema de tanque unitário onde q2(t) = qo(t) e q1(t) = qi(t), assim:
Função transferência que relaciona q3(t) com q1(t)
Para 
Aplicando a transformada de Laplace, obtemos:
Considerando as condições iniciais nulas onde 
Logo, a função de transferência relacionando q3(t) com q1(t), exibe a seguinte formulação:
Função de transferência que relaciona q4(t) com q1(t)
Para 
Aplicando a transformada de Laplace, obtemos:
Considerando as condições iniciais nulas onde 
Logo, a função de transferência relacionando q4(t) com q1(t), exibe a seguinte formulação:
Com base nas equações de transferências geradas pelo sistema em serie e utilizando o pacote computacional Matlab, foi possível gerar as curvas de resposta correspondentes a saída de cada tanque, como segue demonstrado no gráfico 5.
Gráfico 5 - Curvas para sistema em série com entrada em degrau unitário
Observando as curvas do gráfico 5, no início do processo para t=0, as curvas de resposta do tanque 2 sofre um atraso, sendo que nesse momento o tanque um está sofrendo a sua resposta, consequentemente o tanque 3 sofre o atraso mais acentuado por estar no final da série de tanques.
Outra observação é o tempo até estar em regime permanente, onde o set point é atingido primeiramente pelo sistema do tanque 1 e logo após pelos sistemas 2 e 3, respectivamente.
CONCLUSÃO
Pode-se concluir que a constante de tempo de um sistema de controle do nível de líquidos que aborda um sistema de primeira ordem, é diretamente proporcional ao produto entre a área do tanque de armazenamento do liquido (A) e a perda de carga na saída do tanque em questão, no caso referenciado no trabalho como a resistência (R).
Analisando a influência de tempo na resposta do sistema, quanto menor seu valor mais rápido a resposta acontece, como para os problemas propostos a resistência possui valor fixo, a mudança da área influencia proporcionalmente e diretamente no tempo de resposta do sistema.
No sistema de tanques em série conclui-se também que o tempo de respostas dos sistemas de tanques à jusante influencia na resposta do próximo sistema como uma atraso no mesmo.
ANEXOS
Script para sistema de primeira ordem para geração do gráfico 1
Trial>> %---------Resposta ao degrau unitário--------
Trial>> num = [1];
Trial>> den = [0.125 1];
Trial>> t = 0:0.01:1;
Trial>> [y,x,t] = step(num,den,t);
Trial>> plot(t,y)
Trial>> grid
Trial>> title ('Resposta ao degrau unitário do Sistema de primeira ordem')
Trial>> xlabel ('Tempo (s)')
Trial>> ylabel('Saída')
Script para sistema de primeira ordem para geração do gráfico 2
Trial>> %--------Resposta ao degrau unitário com area 3m²-----
Trial>> num = [1];
Trial>> den = [0.0625 1];
Trial>> t = 0:0.01:1;
Trial>> [y,x,t] = step(num,den,t);
Trial>> plot(t,y)
Trial>> grid
Trial>> title ('Resposta ao degrau unitário do Sistema de primeira ordem')
Trial>> xlabel ('Tempo (s)')
Trial>> ylabel('Saída')
Script para sistema de primeira ordem para geração do gráfico 3
Trial>> %-----Resposta a degrau unitário com área de 1m²-----
Trial>> num = [1];
Trial>> den = [0.02083 1];
Trial>> t = 0:0.01:1;
Trial>> [y,x,t] = step(num,den,t);
Trial>> plot(t,y)
Trial>> grid
Trial>> title ('Resposta ao degrau unitário do Sistema de primeira ordem')
Trial>> xlabel ('Tempo (s)')
Trial>> ylabel('Saída')
Script para sistema de primeira ordem para geração do gráfico 4
Trial>> %---------Resposta ao degrau unitário--------
num = [1];
den = [0.125 1];
t = 0:0.01:1;
[y,x,t] = step(num,den,t);
plot(t,y)
grid
Trial>> hold on
Trial>> %--------Resposta ao degrau unitário com area 3m²-----
num1 = [1];
den1 = [0.0625 1];
t1 = 0:0.01:1;
[y,x,t1] = step(num1,den1,t1);
plot(t1,y)
grid
Trial>> hold on
Trial>> %-----Resposta a degrau unitário com área de 1m²-----
num2 = [1];
den2 = [0.02083 1];
t2 = 0:0.01:1;
[y,x,t2] = step(num2,den2,t2);
plot(t2,y)
grid
title ('Resposta ao degrau unitário do Sistema de primeira ordem')
xlabel ('Tempo (s)')
ylabel('Saída')
Script para sistema de primeira ordem para geração do gráfico 5
Trial>> %---------Resposta ao degrau unitário--------
num = [1];
den = [0.0832 1];
t = 0:0.01:1;
[y,x,t] = step(num,den,t);
plot(t,y)
grid
Trial>> hold on
Trial>> %--------Resposta ao degrau unitário com area 3m²-----
num1 = [1];
den1 = [0.0052 0.1456 1];
t1 = 0:0.01:1;
[y,x,t1] = step(num1,den1,t1);
plot(t1,y)
grid
Trial>> hold on
Trial>> %-----Resposta a degrau unitário com área de 1m²-----
num2 = [1];
den2 = [0.000216 0.0113 0.1872 1];
t2 = 0:0.01:1;
[y,x,t2] = step(num2,den2,t2);
plot(t2,y)
grid
title ('Resposta ao degrau unitário do Sistema de primeira ordem')
xlabel ('Tempo (s)')
ylabel('Saída')
REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA
COUGHANOWR e KOPPEL -Análise e Controle de Processos. Editora Guanabara, 1987.
DORF, R.C. e BISHOP, R.H. –Sistemas de Controle Modernos. LTC Editora, 2001.
OGATA, K. –Engenharia de Controle Moderno.Prentice-Hall. Rio de Janeiro, 2010.