exercícios resolvidos halliday 1

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LISTA 0 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 29 de Dezembro de 2004, a`s 13:20
Exercı´cios Resolvidos de Dinaˆmica Cla´ssica
Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fı´sica teo´rica,
Doutor em Fı´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Instituto de Fı´sica
Mate´ria para a PRIMEIRA prova. Numerac¸a˜o conforme a quarta edic¸a˜o do livro
“Fundamentos de Fı´sica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas
Conteu´do
4 Vetores 2
4.1 Problemas e Exercı´cios . . . . . . . . . 2
4.1.1 Soma de vetores . . . . . . . . 2
4.1.2 Somando vetores atrave´s das
suas componentes . . . . . . . . 2
Comenta´rios/Sugesto˜es e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br
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LISTA 0 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 29 de Dezembro de 2004, a`s 13:20
4 Vetores
4.1 Problemas e Exercı´cios
4.1.1 Soma de vetores
P 3-6 (3-??/6 � edic¸a˜o)
Um vetor � tem mo´dulo � unidades e esta´ dirigido para
leste. Um outro vetor, � , esta´ dirigido para � ��� a oeste
do norte e tem mo´dulo de � unidades. Construa diagra-
mas vetoriais para calcular �
	 � e ��� � . Estime o
mo´dulo e a orientac¸a˜o dos vetores �
	 � e ��� � a partir
desses diagramas.
� Para resolver este problema como o livro deseja,
necessita-se de papel milimetrado, re´gua e um transferi-
dor, para medir aˆngulos.
Irei resolver o problema usando sua representac¸a˜o
alge´brica. As componentes dos vetores � e � sa˜o
�����
���
�������
�
e
ff
���
�
� sen �
�
�
�
�flfi�ffi fi� 
�
ff
�!�
�#"%$�&��
�
�
�
��ffi'fi)(*ffi
O sinal de
ff
� e´ negativo pois para fazer a soma algebri-
camente, precisamos primeiro transladar o vetor � para
a origem do sistema de coordenadas. ´E claro que tal
translac¸a˜o na˜o e´ necessa´ria no processo gra´fico utiliza-
do para a soma. Entenda bem o que esta´ sendo feito, as
diferenc¸as entre os dois me´todos de obter a soma.
Portanto, para a soma + �,�-	 � temos
+
� ./�
�
	
ff
�
�
�
�
	
ff
�10
� .
�
�2fi�ffi'fi3 
�
�
	
�4ffi fi�(
065
.
fi�ffi7(
�
��ffi �
0
�
cujo mo´dulo e´
89�;: 8=<
�
	>8?<
�
�A@ .
fi�ffi'(
0
<B	,.
�4ffi �
0
<fl�
�4ffi'fi3C
5
�Dffi fi�ffi
O aˆngulo que a soma + faz com a horizontal e´
E3F
� arctan
8=�
8
�
� arctan
��ffi'fi)(
fi�ffi'(
�
�
�
ffi �
�
5
�
�
�
ffi
Dito de modo equivalente, o vetor + esta´ direcionado de
um aˆngulo de � � � � � � � � � � a Oeste do Norte.
Para o vetor diferenc¸a G � �H� � temos
G
�I.
�flfi�ffi'fi3 J�
���
�4ffi fi�(
�
�
0K5
.
�9(�ffi �
�
�4ffi �
0
�
cujo mo´dulo e´
L
� :
L
<
�
	
L
<
�
�A@ .
�9(*ffi �
0
< 	�.
��ffi �
0
< ��M
ffi
�4N 5 M
ffi
O aˆngulo que a diferenc¸a G faz com a horizontal e´
E1O
� arctan
L
�
L
�
� arctan
�4ffi �
�9(*ffi �
�
fi1�Dffi �
�
ffi
Dito de modo equivalente, o vetor G esta´ direcionado
de um aˆngulo de fi1�Dffi � � a Norte do Oeste. Ou ainda, a
 
�
�
�2fi1�4ffi �
�
�
C
�
ffi7(
�
a Oeste do Norte.
4.1.2 Somando vetores atrave´s das suas componen-
tes
P 3-29 (3-??/6 � edic¸a˜o)
Uma estac¸a˜o de radar detecta um avia˜o que vem do Les-
te. No momento em que e´ observado pela primeira vez,
o avia˜o esta´ a � ��� m de distaˆncia, � � � acima do hori-
zonte, O avia˜o e´ acompanhado por mais N fi3� � no plano
vertical Leste-Oeste e esta´ a M C � m de distaˆncia quando
e´ observado pela u´ltima vez. Calcule o deslocamento da
aeronave durante o perı´odo de observac¸a˜o.
� Chamemos de P a origem do sistema de coordenadas,
de Q a posic¸a˜o inicial do avia˜o, e de R a sua posic¸a˜o fi-
nal. Portanto, o deslocamento procurado e´
��S
QflR
�
�DS
P�RA�
�)S
P�QTffi
Para �DSP�R temos, definindo
E
�UN
fi3�
�
	
�
�
�
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�
(1�
�
,
que
�DS
P�R
� W
P�R
WX.
� sen
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"%$�&
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0
� ./M
C
�
0
.
� sen (1�
�
Y
	
"%$)&\(1�
�
Z
0
�
�
M
fi)fi�ffi ��fi
Y
	
fi
�
N
ffi ���
Z
Analogamente, para ��SP�Q temos
�)S
P�Q
� W
P�Q
WX.
"%$�&��
�
�
Y
	 sen � �
�
Z
0
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�
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0
.
"]$)&*�
�
�
Y
	 sen � �
�
Z
0
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�
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C�ffi ��fi
Y
	
fi
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Z
Portanto
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QflR
�
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P�RA�
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P�Q
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M
fi�fi�ffi �*fi^�_�
�
C�ffi ��fi
�
fi
�
N
ffi ���^�2fi
�
(*ffi
N�N
0
� .
�
N)N
fi
M
ffi
M
�
�
�
�
ffi C�(
0
�
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cuja magnitude e´
W
��S
QflR
W��I@ .
�
N)N
fi
M
ffi
M
�
0
< 	,.
�
�
ffi C*(
0
< � N�N
fi
M
ffi
M
�
�
5 N�N
�
� m ffi
O aˆngulo que o vetor ��SQ9R faz com a parte negativa do
eixo ` e´
arctan a
�
�
ffi C�(
�
N�N
fi
M
ffi
M
�cb
�,�
ffi
���
�
rad �d� ffi fi M
�
�
o que significa que o avia˜o voa quase que horizontal-
mente.
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LISTA 0 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 20 de Novembro de 2004, a`s 11:51
Exercı´cios Resolvidos de Dinaˆmica Cla´ssica
Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fı´sica teo´rica,
Doutor em Fı´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Instituto de Fı´sica
Mate´ria para a PRIMEIRA prova. Numerac¸a˜o conforme a quarta edic¸a˜o do livro
“Fundamentos de Fı´sica”, Halliday, Resnick e Walker.
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Conteu´do
4 Movimento em duas e treˆs dimenso˜es 2
4.1 Problemas e Exercı´cios . . . . . . . . . 2
4.1.1 Ana´lise do Movimento de
Proje´teis . . . . . . . . . . . . 2
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4 Movimento em duas e treˆs di-
menso˜es
4.1 Problemas e Exercı´cios
4.1.1 Ana´lise do Movimento de Proje´teis
P 4-37 (4-29/6 � edic¸a˜o)
Uma bola e´ jogada do solo para o ar. A uma altura de
�����
m a velocidade e´ �	��
 � ��
���������� em metros por se-
gundo (i horizontal, j vertical). (a) Qual a altura ma´xima
alcanc¸ada pela bola? (b) Qual sera´ a distaˆncia horizon-
tal alcanc¸ada pela bola? (c) Qual a velocidade da bola
(mo´dulo e direc¸a˜o), no instante em que bate no solo?
� (a) Chame de � o tempo necessa´rio para a bola atingir
a velocidade dada. Neste caso teremos
���fiff
�ffifl��
�����
�
�! #"�$&%
��'
()ff
�ffifl��
�����
�
�
 
"
�
$+*
,
%
�
,
Eliminando � " entre estas duas equac¸o˜es obtemos
-
� �
�
,
�.�����
�
$
�����
�0/�'
cujas raı´zes sa˜o �1��/ � 2 
�34
 e �1� $65 ��� 5 / � . Substituin-
do a raiz positiva na expressa˜o
�! #"
�
�����7�.��� 2
�
encontramos que � " � �
-
� �82:9;�
-
�
 m/s. Portanto a
bola ira´ atingir uma altura ma´xima de
(8<
�
�
,
 "
5=%
�
ff
�
-
�
�fl
,
5�ff
��� 2
fl
�
�8�
m
�
(b) Como a componente horizontal da velocidade e´ sem-
pre a mesma, temos
>
�
� �?A@
5!� "
%CB
�
ff
� �
fl
5�ff
�
-
�
8fl
��� 2 �
585
� 2D9
5�E m
�
(c) O mo´dulo da velocidade e´
�
� F
�
,
 �?
�
�
,
 
"
� G
ff
� �
fl
,
�ff
�
-
�
�fl
,
�
�H���
3
9I�
 m/s �
O aˆngulo que � faz com a horizontal e´
J
� tan K * @
�8Lffi"
�
 �?
B
� tan
K
*
@
�
-
�
� �
B
�
�
5
� �4�
L
90�
E
L
'
ou seja, esta´ orientada � E
L
abaixo da horizontal.
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LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 22 de Outubro de 2003, a`s 2:58 p.m.
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Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fı´sica teo´rica,
Doutor em Fı´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
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Instituto de Fı´sica
Mate´ria para a QUARTA prova. Numerac¸a˜o conforme a quarta edic¸a˜o do livro
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Conteu´do
5 Forc¸as e Movimento – I 2
5.1 Questo˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
5.2 Problemas e Exercı´cios . . . . . . . . . 2
5.2.1 Segunda Lei de Newton . . . . 2
5.2.2 Algumas Forc¸as Especı´ficas . . 2
5.2.3 Aplicac¸a˜o das Leis de Newton . 3
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5 Forc¸as e Movimento – I
5.1 Questo˜es
Q 5-??
Cite bla-bla-bla...
�
5.2 Problemas e Exercı´cios
5.2.1 Segunda Lei de Newton
E 5-7 (5-7/6 � edic¸a˜o)
Na caixa de � kg da Fig. 5-36, sa˜o aplicadas duas forc¸as,
mas somente uma e´ mostrada. A acelerac¸a˜o da cai-
xa tambe´m e´ mostrada na figura. Determine a segun-
da forc¸a (a) em notac¸a˜o de vetores unita´rios e (b) em
mo´dulo e sentido.
� (a) Chamemos as duas forc¸as de ��� e ��� . De acordo
com a segunda lei de Newton, �	��
����	
���� , de modo
que ����
��������	� . Na notac¸a˜o de vetores unita´rios
temos �	��
������ e
�ff
fi�ffifl�� sen ��"!����#fl��%$'&"() ��"!+*,
fi��-.�/��fl0�21 34*�1
Portanto
���5
 67�98'6:��-"8)�;
�6<��8=6:�ffifl0�21 3>8'*��?�@�.�
 AB�� "�%�/�C�;fl9*=D N 1
(b) O mo´dulo de ��� e´ dado por
E
��
GF
E
�
�IH
E
�
�IJ
GK 6:�� 9�98
�
L6:�	�;fl+8
�
L �M N 1
O aˆngulo que ��� faz com o eixo N positivo e´ dado por
tan OP
E
�IJ
E
�IH
�	�;fl
�� "�
��21 -"Q@-;1
O aˆngulo e´ ou � 
!
ou � 
!
Rfl0M9�
!
L�;fl0 
!
. Como ambas
componentes
E
�SH e
E
�IJ sa˜o negativas, o valor correto e´
�)fl+ 
!
.
5.2.2 Algumas Forc¸as Especı´ficas
E 5-11 (5-???/6 � )
Quais sa˜o a massa e o peso de (a) um treno´ de -9 �� kg e
(b) de uma bomba te´rmica de 3"�)fl kg?
� (a) A massa e´ igual a -9 �� kg, enquanto que o peso e´
T
U�WVX
Y6Z-� 9�98=6Z[;1 M98%
L-;fl]\�3 N.
(b) A massa e´ igual a 3"�;fl kg, enquanto que o peso e´
T
U�WVX
Y6^3"�;fl+8=6Z[;1 M98%
�32fl���Q)1 M N.
E 5-14 (5-11/6 � )
Uma determinada partı´cula tem peso de ��� N num pon-
to onde V�
_[21 M m/s � . (a) Quais sa˜o o peso e a mas-
sa da partı´cula, se ela for para um ponto do espac¸o on-
de V�
_3/1 [ m/s � ? (b) Quais sa˜o o peso e a massa da
partı´cula, se ela for deslocada para um ponto do espac¸o
onde a acelerac¸a˜o de queda livre seja nula?
� (a) A massa e´
�`
T
V
�9�
[;1 M
��;1 � kg 1
Num local onde V�
a321 [ m/s � a massa continuara´ a ser
�;1 � kg, mas o peso passara´ a ser a metade:
T
b�WVX
a6<�)1c��8=6^321 [98�
afl�fl N 1
(b) Num local onde Vd
L� m/s � a massa continuara´ a ser
�;1 � kg, mas o peso sera´ ZERO.
E 5-18 (5-???/6 � )
(a) Um salame de fl�fl kg esta´ preso por uma corda a uma
balanc¸a de mola, que esta´ presa ao teto por outra corda
(Fig. 5-43a). Qual a leitura da balanc¸a? (b) Na Fig. 5-
43b, o salame esta´ suspenso por uma corda que passa
por uma roldana e se prende a uma balanc¸a de mola
que, por sua vez, esta´ presa a` parede por outra corda.
Qual a leitura na balanc¸a? (c) Na Fig. 5-43c, a parede
foi substituı´da por outro salame de fl�fl kg, a` esquerda, e
o conjunto ficou equilibrado. Qual a leitura na balanc¸a
agora?
Em todos os treˆs casos a balanc¸a na˜o esta´ acelerando, o
que significa que as duas cordas exercem forc¸a de igual
magnitude sobre ela. A balanc¸a mostra a magnitude de
qualquer uma das duas forc¸as a ela ligadas. Em cada
uma das situac¸o˜es a tensa˜o na corda ligada ao salame
tem que ter a mesma magnitude que o peso do salame
pois o salame na˜o esta´ acelerando. Portanto a leitura da
balanc¸a e´ �WV , onde � e´ a massa do salame. Seu valor e´
T
G6:fl9fl+8=6ZM;1 [98%
Yfl0�9M N 1
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 2
LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 22 de Outubro de 2003, a`s 2:58 p.m.
5.2.3 Aplicac¸a˜o das Leis de Newton
P 5-21 (5-19/6 � )
Um foguete experimental pode partir do repouso e
alcanc¸ar a velocidade de fl+-��9� km/h em fl�1 M s, com
acelerac¸a˜o constante. Qual a intensidade da forc¸a me´dia
necessa´ria, se a massa do foguete e´ Q@�9� kg?
� Basta usarmos
E
`��e , onde
E
e´ a magnitude da
forc¸a, e a acelerac¸a˜o, e � a massa do foguete.
A acelerac¸a˜o e´ obtida usando-se uma relac¸a˜o simples da
cinema´tica, a saber, f�
ge"h . Para f�
ifl0-��9� km/h 
fl0-9���>j] ;1 -k
�3�393 m/s, temos que el
�393�3)j>fl�1 Mk
m�]3)\
m/s � . Com isto a forc¸a me´dia e´ dada por
E
b��eX
Y6<Q@���"8'6<�]3>\�8n
Yfl�1c�Popfl+��q N 1
E 5-23 (5-??/6 � )
Se um neˆutron livre e´ capturado por um nu´cleo, ele po-
de ser parado no interior do nu´cleo por uma forc¸a forte.
Esta forc¸a forte, que mante´m o nu´cleo coeso, e´ nula fora
do nu´cleo. Suponha que um neˆutron livre com veloci-
dade inicial de fl91 3po�fl0�9r m/s acaba de ser capturado
por um nu´cleo com diaˆmetro st
ufl+�)v �:w m. Admitindo
que a forc¸a sobre o neˆutron e´ constante, determine sua
intensidade. A massa do neˆutron e´ fl�1 -"\xoyfl0�;v � r kg.
� A magnitude da forc¸a e´ E 
z��e , onde e e´ a
acelerac¸a˜o do neˆutron. Para determinar a acelerac¸a˜o que
faz o neˆutron parar ao percorrer uma distaˆncia s , usamos
a fo´rmula
f
�
bf
�
{
#�@e>s/1
Desta equac¸a˜o obtemos sem problemas
ed
f
�
�pf
�
{
�@s
�|6:fl�1 3Xopfl+��r=8
�
�;6}fl0�
v
�~w
8
fi��[21 MXoyfl0�
�
r m/s � 1
A magnitude da forc¸a e´
E
U��ed
G6:fl�1 -"\xoyfl0�
v
�
r
8'67[;1 Mopfl+�
�
r
8�
Yfl0-;1 3 N 1
E 5-28 (5-15/6 � )
Veja a Fig. 5-27. Vamos considerar a massa do bloco
igual a M21 Q kg e o aˆngulo OL
€ ��
!
. Determine (a) a
tensa˜o na corda e (b) a forc¸a normal aplicada sobre o
bloco. (c) Determine o mo´dulo da acelerac¸a˜o do bloco
se a corda for cortada.
� (a) O diagrama de corpo isolado e´ mostrado na Fig. 5-
27 do livro texto. Como a acelerac¸a˜o do bloco e´ zero, a
segunda lei de Newton fornece-nos

�y�ffV sen O 
 �
‚
�y�ffVƒ$'&9(;O 
 �;1
A primeira destas equac¸o˜es nos permite encontrar a
tensa˜o na corda:

��ffV sen Ox
a6ZM21 Q98'67[;1 M98 sen 9�9!�
�3"� N 1
(b) A segunda das equac¸o˜es acima fornece-nos a forc¸a
normal:
‚
b�WV„$=&9()OP
Y6ZM;1cQ�8=6Z[21 M"8)$'&"() �� ! 
…\@� N 1
(c) Quando a corda e´ cortada ela deixa de fazer forc¸a
sobre o bloco, que passa a acelerar. A componente N da
segunda lei de Newton fica sendo agora ���ffV sen Oy
��e , de modo que
ed
a��� sen Ox
Y�|6Z[21 M"8 sen �� ! 
Y��321 [ m/s � 1
O sinal negativo indica que a acelerac¸a˜o e´ plano abaixo.
E 5-33 (5-???/6 � )
Um ele´tron e´ lanc¸ado horizontalmente com velocida-
de de fl�1c�WoRfl0�9r m/s no interior de um campo ele´trico,
que exerce sobre ele uma forc¸a vertical constante de
3/1 Qdo?fl+�)v
�:† N. A massa do ele´tron e´ [21‡fl9flffio?fl0�;v4ˆ � kg.
Determine a distaˆncia vertical de deflexa˜o do ele´tron, no
intervalo de tempo em que ele percorre�� mm, horizon-
talmente.
� A acelerac¸a˜o do ele´tron e´ vertical e, para todos efei-
tos, a u´nica forc¸a que nele atua e´ a forc¸a ele´trica; a forc¸a
gravitacional e´ muito menor. Escolha o eixo N no sen-
tido da velocidade inicial e o eixo ‰ no sentido da forc¸a
ele´trica. A origem e´ escolhida como sendo a posic¸a˜o
inicial do ele´tron. Como a acelerac¸a˜o e forc¸a sa˜o cons-
tantes, as equac¸o˜es cinema´ticas sa˜o
NW
�f
{
h e ‰
fl
�
e"h
�
fl
�
E
�
h
��Ł
onde usamos
E
g��e para eliminar a acelerac¸a˜o. O
tempo que o ele´tron com velocidade f { leva para viajar
uma distaˆncia horizontal de N#
‹ �� mm e´ h|
ŒNj�f { e
sua deflexa˜o na direc¸a˜o da forc¸a e´
‰ 
fl
�
E
�Ž
N
f
{/
�
fl
�
Ž
3/1 QPoyfl0�)v
�:†
[;1‘fl�fl,oyfl0�
v4ˆ
�

Ž
 ��Xoyfl0�)v�ˆ
fl�1c�xoyfl0�
r

�
 fl�1cQdopfl+�
v�ˆ m 
L�;1 ���2fl+Q mm 1
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 3
LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 22 de Outubro de 2003, a`s 2:58 p.m.
´E jogando ele´trons contra um tubo de imagens que sua
TV funciona... Isto sera´ estudado nos capı´tulos 23 e 24
do livro.
P 5-38 (5-29/6 � )
Uma esfera de massa „o|fl0�;v w kg esta´ suspensa por uma
corda. Uma brisa horizontal constante empurra a esfera
de maneira que ela fac¸a um aˆngulo de "\
!
com a verti-
cal de repouso da mesma. Determine (a) a intensidade
da forc¸a aplicada e (b) a tensa˜o na corda.
� (a) Suponhamos a brisa soprando horizontalmente da
direita para a esquerda. O diagrama de corpo isolado
para a esfera tem treˆs forc¸as: a tensa˜o

na corda, apon-
tando para cima e para a direita e fazendo um aˆngulo
O“’i >\
!
com a vertical, o peso �WV apontando verti-
calmente para baixo, e a forc¸a E da brisa, apontando
horizontalmente para a esquerda.
Como a esfera na˜o esta´ acelerada, a forc¸a resultante de-
ve ser nula. A segunda lei de Newton nos diz que as
componentes horizontais e verticais das forc¸as satisfa-
zem as relac¸o˜es, respectivamente,

sen Offi�
E
 �
Ł

$'&"()Offi�y�ffV 
 �;1
Eliminando

entre estas duas equac¸o˜es obtemos
E
U�WV tan O 
 67 Xopfl+� v w 8'6Z[21 M"8 tan >\@!
 �;1 �;fl”oyfl0�
v4ˆ N 1
(b) A tensa˜o pedida e´

�ffV
$'&9(;O
6Z topfl+�)v
w
8'6Z[21 M"8
$'&9(2 "\
!
b 21 -9MPoyfl0�
v4ˆ N 1
Perceba que talvez fosse mais simples ter-se primeiro
determinado

e, a seguir,
E
, na ordem contra´ria do que
pede o problema.
P 5-39 (5-??/6 � )
Uma moc¸a de 39� kg e um treno´ de M21 3 kg esta˜o sobre
a superfı´cie de um lago gelado, separados por fl�Q m. A
moc¸a aplica sobre o treno´ uma forc¸a horizontal de Q)1c�
N, puxando-o por uma corda, em sua direc¸a˜o. (a) Qual a
acelerac¸a˜o do treno´? (b) Qual a acelerac¸a˜o da moc¸a? (c)
A que distaˆncia, em relac¸a˜o a` posic¸a˜o inicial da moc¸a,
eles se juntam, supondo nulas as forc¸as de atrito?
� (a) Como o atrito e´ desprezı´vel, a forc¸a da moc¸a no
treno´ e´ a u´nica forc¸a horizontal que existe no treno´. As
forc¸as verticais, a forc¸a da gravidade e a forc¸a normal
do gelo, anulam-se.
A acelerac¸a˜o do treno´ e´
e"•–
E
�W•
Q;1 �
M21 3
L�;1 -9� m/s � 1
(b) De acordo com a terceira lei de Newton, a forc¸a do
treno´ na moc¸a tambe´m e´ de Q;1 � N. A acelerac¸a˜o da moc¸a
e´, portanto,
e>—“
E
� —
Q)1c�
3"�
��21‡fl+ m/s � 1
(c) A acelerac¸a˜o do treno´ e da moc¸a tem sentidos opos-
tos. Suponhamos que a moc¸a parta da origem e mova-se
na direc¸a˜o positiva do eixo N . Sua coordenada e´ dada
por
N4—“
fl
�
e"—�h
�
1
O treno´ parte de Ny
YN { 
‹fl�Q m e move-se no sentido
negativo de N . Sua coordenada e´ dada por
N
•
�N
{
�
fl
�
e
•
h
�
1
Eles se encontram quando N4—“
�N2• , ou seja quando
fl
�
e>—�h
�
bN
{
�
fl
�
e"•˜h
�
Ł
donde tiramos facilmente o instante do encontro:
h�
a™
�]N
{
e
—
le
•
Ł
quando enta˜o a moc¸a tera´ andado uma distaˆncia
N
—
fl
�
e
—
h
�
N
{
e"—
e>—#
Re"•
6}fl+Q98'6Z�21‡fl+ 98
�;1‘fl0 �
l�;1 -9�
L�;1 - m 1
P 5-40 (5-31/6 � )
Dois blocos esta˜o em contato sobre uma mesa sem atri-
to. Uma forc¸a horizontal e´ aplicada a um dos blocos,
como mostrado na Fig. 5-45. (a) Se � � 
š�;1 kg e
�
�
fifl91 � kg e
E
L ;1c� N, determine a forc¸a de contato
entre os dois blocos. (b) Mostre que, se a mesma forc¸a
E
for aplicada a � � , ao inve´s de � � , a forc¸a de contato
entre os dois blocos e´ �)1‘fl N, que na˜o e´ o mesmo valor
obtido em (a). Explique a diferenc¸a.
� (a) O diagrama de corpo isolado para a massa ��� tem
quatro forc¸as: na vertical, �k�IV e
‚
� , na horizontal, para
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LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 22 de Outubro de 2003, a`s 2:58 p.m.
a direita a forc¸a aplicada E e, para a esquerda, a forc¸a
de contato �	› que ��� exerce sobre ��� . O diagrama de
corpo isolado para a massa ��� conte´m treˆs forc¸as: na
vertical, ���œV e
‚
� e, na horizontal, apontando para a
direita, a forc¸a › . Note que o par de forc¸as �	› e › e´ um
par ac¸a˜o-reac¸a˜o, conforme a terceira lei de Newton.
A segunda lei de Newton aplicada para � � fornece
E
�?›�
b���'e
Ł
onde e e´ a acelerac¸a˜o. A segunda lei de Newton aplica-
da para ��� fornece
›�
b� � e41
Observe que como os blocos movem-se juntos com a
mesma acelerac¸a˜o, podemos usar o mesmo sı´mbolo e
em ambas equac¸o˜es.
Da segunda equac¸a˜o obtemos eff
Y›j���� que substitui-
da na primeira equac¸a˜o dos fornece › :
›�
E
�
�
���%
R���
6Z 21 �98'6}fl�1c��8
�)1 �
bfl91 �
afl91‡fl N 1
(b) Se � for aplicada em � � em vez de � � , a forc¸a de
contato e´
›�
E
�
�
���%
R���
6Z 21 �98'6<�)1 98
�)1 �
bfl91 �
L�;1‡fl N 1
A acelerac¸a˜o dos blocos e´ a mesma nos dois casos. Co-
mo a forc¸a de contato e´ a u´nica forc¸a aplicada a um dos
blocos, parece correto atribuir-se aquele bloco a mesma
acelerac¸a˜o que ao bloco ao qual � e´ aplicada. No segun-
do caso a forc¸a de contato acelera um bloco com maior
massa do que no primeiro, de modo que deve ser maior.
P 5-44 (5-33/6 � )
Um elevador e sua carga, juntos, teˆm massa de fl0-��9�
kg. Determine a tensa˜o no cabo de sustentac¸a˜o quan-
do o elevador, inicialmente descendo a fl�� m/s, e´ parado
numa distaˆncia de 3>� m com acelerac¸a˜o constante.
� O diagrama de corpo isolado tem duas forc¸as: pa-
ra cima, a tensa˜o

no cabo e, para baixo, a forc¸a
�WV da gravidade. Se escolhermos o sentido para ci-
ma como positivo, a segunda lei de Newton diz-nos que

�|�WVd
���e , onde e e´ a acelerac¸a˜o. Portanto, a tensa˜o
e´

b�C6žV,
le)8œ1
Para determinar a acelerac¸a˜o que aparece nesta equac¸a˜o
usamos a relac¸a˜o
f
�
�f
�
{
#�@e"‰
Ł
onde a velocidade final e´ fy
� , a velocidade inicial e´
f
{
Ÿ�ffifl�� e ‰…
Ÿ��3"� , a coordenada do ponto final.
Com isto, encontramos
eX
��f
�
{
�@‰
�|6}�ffifl+�98
�
�;6:��3>��8
fl��
\
afl91c\)fl m/s � 1
Este resultado permite-nos determinar a tensa˜o:

b�C6žV,
le)8�
Y6}fl0-9���98� Z[21 M�
�fl�1¡\>fl+¢�
Yfl�1 Mdopfl+�
w N 1
P 5-52 (5-35/6 � )
Uma pessoa de M9� kg salta de pa´ra-quedas e experimenta
uma acelerac¸a˜o, para baixo, de �)1cQ m/s � . O pa´ra-quedas
tem Q kg de massa. (a) Qual a forc¸a exercida, para cima,
pelo ar sobre o pa´ra-quedas? (b) Qual a forc¸a exercida,
para baixo, pela pessoa sobre o pa´ra-quedas?
� (a) O diagrama de corpo isolado para a pessoa+pa´ra-
quedas conte´m duas forc¸as: verticalmente para cima a
forc¸a
E
�
do ar, e para baixo a forc¸a gravitacional de um
objeto de massa �m
Y67M��%�Q�8%
LM9Q kg, correspondente
as massas da pessoa e do pa´ra-quedas.
Considerando o sentido para baixo como positivo, A se-
gunda lei de Newton diz-nos que
�WVx�
E
�
U��e
Ł
onde e e´ a acelerac¸a˜o de queda. Portanto,
E
�
U�C6žVd�ye)8�
G6ZM"Q�8'67[;1 M”�C�;1 Q98–
L-9��� N 1
(b) Consideremos agora o diagrama de corpo isolado
apenas para o pa´ra-quedas. Para cima temos
E
�
, e para
baixo temos a forc¸a gravitacional sobre o pa´ra-quedas
de massa �ff£ . Ale´m dela, para baixo atua tambe´m a
forc¸a
E
£ , da pessoa. A segunda lei de Newton diz-nos
enta˜o que �t£�V,
E
£,�
E
�
b�ff£]e , donde tiramos
E
£
b�
£
6ZeP�¤V;8
E
�
 6<Q�8=67�)1cQ��y[21 M"8
R-"�@�
 Q�M�� N 1
P 5-55 (5-???/6 � )
Imagine um mo´dulo de aterrisagem se aproximando da
superfı´cie de Callisto, uma das luas de Ju´piter. Se o
motor fornece uma forc¸a para cima (empuxo) de 9��-��
N, o mo´dulo desce com velocidade constante; se o mo-
tor fornece apenas ���@�9� N, o mo´dulo desce com uma
acelerac¸a˜o de �;1 �[ m/s � . (a) Qual o peso do mo´dulo de
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aterrisagem nas proximidades da superfı´cie de Callisto?
(b) Qual a massa do mo´dulo? (c) Qual a acelerac¸a˜o em
queda livre, pro´xima a` superfı´cie de Callisto?
� Chamemos de V a acelerac¸a˜o da gravidade perto da
superfı´cie de Callisto, de � a massa do mo´dulo de ater-
risagem, de e a acelerac¸a˜o do mo´dulo de aterrisagem,
e de E o empuxo (a forc¸a para cima). Consideremos
o sentido para baixo como o sentido positivo. Enta˜o
�WV��
E
€��e . Se o empuxo for E �R
€ "�@-9� N, a
acelerac¸a˜o e´ zero, donde vemos que
�ffVx�
E
� 
b�21
Se o empuxo for
E
� 
��9�@��� N, a acelerac¸a˜o e´ e � ’��21 9[
m/s � , e temos
�WVx�
E
�	
���e"��1
(a) A primeira equac¸a˜o fornece o peso do mo´dulo de
aterrisagem:
T
��ffVd
E
��
� "�@-�� N 1
(b) A segunda equac¸a˜o fornece a massa:
�`
T
�
E
�
e>�
 "�@-����?���@�9�
�;1 �[
“�)1¡\xopfl+�
ˆ kg 1
(c) O peso dividido pela massa fornece a acelerac¸a˜o da
gravidade no local, ou seja,
VX
T
�
 "�@-��
�)1¡\Poyfl0�
ˆ
Yfl�1c� m/s � 1
P 5-58 (5-43/6 � )
Um bloco de massa ���X
‹ 21c\ kg esta´ sobre um plano
com ��
!
de inclinac¸a˜o, sem atrito, preso por uma corda
que passa por uma polia, de massa e atrito desprezı´veis,
e tem na outra extremidade um segundo bloco de mas-
sa ����
`�;1 kg, pendurado verticalmente (Fig. 5-52).
Quais sa˜o (a) os mo´dulos das acelerac¸o˜es de cada bloco
e (b) o sentido da acelerac¸a˜o de ��� ? (c) Qual a tensa˜o
na corda?
� (a) Primeiro, fazemos o diagrama de corpo isolado
para cada um dos blocos.
Para ��� , apontando para cima temos a magnitude  da
tensa˜o na corda, e apontando para baixo o peso ���œV .
Para �k� , temos treˆs forc¸as: (i) a tensa˜o  apontando
para cima, ao longo do plano inclinado, (ii) a normal ‚
perpendicular ao plano inclinado e apontando para cima
e para a esquerda, e (iii) a forc¸a peso �k�¥V , apontando
para baixo, fazendo um aˆngulo OW
u ��
!
com o prolon-
gamento da normal.
Para �k� , escolhemos o eixo N paralelo ao plano incli-
nado e apontando para cima, e o eixo ‰ na direc¸a˜o da
normal ao plano. Para � � , escolhemos o eixo ‰ apon-
tando para baixo. Com estas escolhas, a acelerac¸a˜o dos
dois blocos pode ser representada pela mesma letra e .
As componentes N e ‰ da segunda lei de Newton para
� � sa˜o, respectivamente,

�p� � V sen O 
 � � e
Ł
‚
�y�WV„$'&"()O 
 �21
A segunda lei de Newton para � � fornece-nos
� � Vx�

�� � e41
Substituindo-se

Œ� � ed
b� � V sen O (obtida da pri-
meira equac¸a˜o acima), nesta u´ltima equac¸a˜o, obtemos a
acelerac¸a˜o:
e 
6^�
�
�p�
� sen O"8˜V
�k�%
?���
A �;1 ”�C ;1¡\ sen ��
!
D˜67[;1 M98
 21c\¦
#�)1 
L�;1¡\] 9Q m/s � 1
(b) O valor de e acima e´ positivo, indicando que a
acelerac¸a˜o de � � aponta para cima do plano inclinado,
enquanto que a acelerac¸a˜o de � � aponta para baixo.
(c) A tensa˜o  na corda pode ser obtida ou de

 �
�
e”
R�
�
V sen O
 6Z 21c\�8'A �;1¡\] "Qƒ
l[;1 M sen 9�9!ID�
L�@�21 M�3 N Ł
ou, ainda, da outra equac¸a˜o:

 �
�
V,
?�
�
e
 67�)1 98=A [21 M”�C�;1¡\] "Q�D/
L���;1 M@3 N 1
P 5-63 (5-47/6 � )
Um macaco de fl+� kg sobe por uma corda de massa des-
prezı´vel, que passa sobre o galho de uma a´rvore, sem
atrito, e tem presa na outra extremidade uma caixa de
fl�Q kg, que esta´ no solo (Fig. 5-54). (a) Qual o mo´dulo
da acelerac¸a˜o mı´nima que o macaco deve ter para levan-
tar a caixa do solo? Se, apo´s levantar a caixa, o macaco
parar de subir e ficar agarrado a` corda, quais sa˜o (b) sua
acelerac¸a˜o e (c) a tensa˜o na corda?
� (a) Consideremos “para cima” como sendo os sen-
tidos positivos tanto para o macaco quanto para a cai-
xa. Suponhamos que o macaco puxe a corda para baixo
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com uma forc¸a de magnitude E . De acordo com a ter-
ceira lei de Newton, a corda puxa o macaco com uma
forc¸a de mesma magnitude, de modo que a segunda lei
de Newton aplicada ao macaco fornece-nos
E
�y��—�VX
b��—”e>—
Ł
onde ��— e e>— representam a massa e a acelerac¸a˜o do
macaco, respectivamente. Como a corda tem massa des-
prezı´vel, a tensa˜o na corda e´ o pro´prio
E
.
A corda puxa a caixa para cima com uma forc¸a de mag-
nitude
E
, de modo que a segunda lei de Newton aplicada
a` caixa e´
E
‚
�p�ff£+V
U�ff£@e�£
Ł
onde �t£ e e�£ representam a massa e a acelerac¸a˜o da
caixa, respectivamente, e
‚
e´ a forc¸a normal exercida
pelo solo sobre a caixa.
Suponhamos agora que
E
E
—¦§‘¨ , onde
E
—ƒ§‘¨ e´ a
forc¸a mı´nima para levantar a caixa. Enta˜o
‚
©� e
e
£
u� , pois a caixa apenas ‘descola’ do cha˜o, sem ter
ainda comec¸ado a acelerar. Substituindo-se estes valo-
res na segunda lei de Newton para a caixa obtemos que
E
i�
£
V que, quando substituida na segunda lei de
Newton para o macaco (primeira equac¸a˜o acima), nos
permite obter a acelerac¸a˜o sem problemas:
e"—…
E
�p�
—
V
��—
6Z�t£,�p�
—
8~V
��—
6}fl+Q”��fl0�98=6Z[21 M"8
fl+�
b321 [ m/s � 1
(b) Para a caixa e para o macaco, a segunda lei de
Newton sa˜o, respectivamente,
E
�p�
£
Vd
b�
£
e
£
Ł
E
�p��—	VX
U��—�e>—P1
Agora a acelerac¸a˜o do pacote e´ para baixo e a do ma-
caco para cima, de modo que e"—m
ª��e £ . A primeira
equac¸a˜o nos fornece
E
b�
£
6^V,
#e
£
8�
��
£
6žVP�ye>—,8
Ł
que quando substituida na segunda equac¸a˜o acima nos
permite obter e>— :
e"— 
� £ �y��—,8˜V
�t£,�p� —
6}fl+Q��#fl+�98~V
fl+Q�
�fl0�
L� m/s � 1
(c) Da segunda lei ne Newton para a caixa podemos ob-
ter que
E
U�ff£26žVx�Ce — 8�
G6:fl�Q�8=6Z[;1 M”�C�;1 �"8�
fifl��@� N 1
P 5-70 (5-53/6 � )
Um bala˜o de massa « , com ar quente, esta´ descendo,
verticalmente com uma acelerac¸a˜o e para baixo (Fig. 5-
59). Que quantidade de massa deve ser atirada para fora
do bala˜o, para que ele suba com uma acelerac¸a˜o e (mes-
mo mo´dulo e sentido oposto)? Suponha que a forc¸a de
subida, devida ao ar, na˜o varie em func¸a˜o da massa (car-
ga de estabilizac¸a˜o) que ele perdeu.
� As forc¸as que atuam no bala˜o sa˜o a forc¸a ��¬ da gra-
vidade, para baixo, e a forc¸a �
�
do ar, para cima. Antes
da massa de estabilizac¸a˜o ser fogada fora, a acelerac¸a˜o
e´ para baixo e a segunda lei de Newton fornece-nos
E
�
�C«“VX
a�	«fie
Ł
ou seja E
�
L«Œ6žVx�Ce)8 . Apo´s jogar-sefora uma massa
� , a massa do bala˜o passa a ser «­�C� e a acelerac¸a˜o
e´ para cima, com a segunda lei de Newton dando-nos
agora a seguinte expressa˜o
E
�
�U67«®�y��8~VX
a6<«®�y��8:e41
Eliminando E
�
entre as duas equac¸o˜es acima encontra-
mos sem problemas que
�`
��«fie
effi
CV
��«
fl„
?V;j@e
1
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 7
LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 23 de Outubro de 2003, a`s 10:09 a.m.
Exercı´cios Resolvidos de Dinaˆmica Cla´ssica
Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fı´sica teo´rica,
Doutor em Fı´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Instituto de Fı´sica
Mate´ria para a QUARTA prova. Numerac¸a˜o conforme a quarta edic¸a˜o do livro
“Fundamentos de Fı´sica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas
Conteu´do
6 Forc¸as e Movimento – II 2
6.1 Questo˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
6.2 Problemas e Exercı´cios . . . . . . . . . 2
6.2.1 Propriedades do Atrito . . . . . 2
6.2.2 Forc¸a de Viscosidade e a Velo-
cidade Limite . . . . . . . . . . 4
6.2.3 Movimento Circular Uniforme . 4
6.2.4 Problemas Adicionais . . . . . 6
Comenta´rios/Sugesto˜es e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br
(listam1.tex)
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 1
LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 23 de Outubro de 2003, a`s 10:09 a.m.
6 Forc¸as e Movimento – II
6.1 Questo˜es
Q 6-10
Cite bla-bla-bla...
�
6.2 Problemas e Exercı´cios
6.2.1 Propriedades do Atrito
E 6-1 (6-??/6 � edic¸a˜o)
Um arma´rio de quarto com massa de ��� kg, incluindo
gavetas e roupas, esta´ em repouso sobre o assoalho. (a)
Se o coeficiente de atrito esta´tico entre o mo´vel e o cha˜o
for ��� �	� , qual a menor forc¸a horizontal que uma pessoa
devera´ aplicar sobre o arma´rio para coloca´-lo em movi-
mento? (b) Se as gavetas e as roupas, que teˆm 
�� kg de
massa, forem removidas antes do arma´rio ser empurra-
do, qual a nova forc¸a mı´nima?
� (a) O diagrama de corpo livre deste problema tem
quatro forc¸as. Na horizontal: apontando para a direita
esta´ a forc¸a aplicada 
 , para a esquerda a forc¸a de atri-
to � . Na vertical, apontando para cima temos a forc¸a
normal � do piso, para baixo a forc¸a ��� da gravidade.
Escolhando o eixo � na horizontal e o eixo � na vertical.
Como o arma´rio esta´ em equilı´brio (na˜o se move), a se-
gunda lei de Newton fornece-nos como componentes �
e � as seguintes equac¸o˜es
����� �
��ff
fifl�
��ffi
�
���
Donde vemos que � �!� e fi"� ��ffi .
Quando � aumenta, � aumenta tambe´m, ate´ que ���
#%$
fi
. Neste instante o arma´rio comec¸a a mover-se.
A forc¸a mı´nima que deve ser aplicada para o arma´rio
comec¸ar a mover-se e´
�&�
#
$
fi'�
#
$
��ffi
�)(
�*� ���,+
(
�	�-+
(/.
� 0	+
�21
�,� N �
(b) A equac¸a˜o para � continua a mesma, mas a massa e´
agora ���
�
��
�!1
0 kg. Portanto
�&�
#%$
�3ffi
�)(
��� �	�-+
(41
0-+
(/.
� 0	+
�
1
� N �
P 6-2 (6-???/6 � )
Um jogador de massa � � � . kg escorrega no cam-
po e seu movimento e´ retardado por uma forc¸a de atrito
�!�
���5� N. Qual e´ o coeficiente de atrito cine´tico #%6
entre o jogador e o campo?
� Neste problema, o diagrama de corpo livre tem ape-
nas treˆs forc¸as: Na horizontal, apontando para a esquer-
da, a forc¸a � de atrito. Na vertical, apontando para cima
temos a forc¸a normal � do solo sobre o jogador, e para
baixo a forc¸a �7� da gravidade.
A forc¸a de atrito esta´ relacionada com a forc¸a normal
atrave´s da relac¸a˜o
�8�
#%6
fi
. A forc¸a normal
fi
e´ ob-
tida considerando-se a segunda lei de Newton. Como a
componete vertical da acelerac ca˜o e´ zero, tambe´m o e´ a
componente vertical da segunda lei de Newton, que nos
diz que
fifl�
��ffi
�
��ff
ou seja, que fi"� ��ffi . Portanto
#
6
�
�
fi
�
�
�3ffi
�
���5�
(
�
.
+
(9.
� 0-+
�
�*� :*
;�
E 6-8 (?????/6 � )
Uma pessoa empurra horizontalmente uma caixa de �-�
kg, para moveˆ-la sobre o cha˜o, com uma forc¸a de 1,1 �
N. O coeficiente de atrito cine´tico e´ ��� <-� . (a) Qual o
mo´dulo da forc¸a de atrito? (b) Qual a acelelrac¸a˜o da
caixa?
� (a) O diagrama de corpo livre tem quatro forc¸as. Na
horizontal, apontando para a direita temos a forc¸a 
 que
a pessoa faz sobre a caixa, e apontando para a esquerda
a forc¸a de atrito � . Na vertical, para cima a forc¸a normal
� do piso, e para baixo a forc¸a �7� da gravidade.
A magnitude da forc¸a da gravidade e´ dada por �"�
#
6
fi
, onde # 6 e´ o coeficiente de atrito cine´tico. Como a
componente vertical da acelerac¸a˜o e´ zero, a segunda lei
de Newton diz-nos que, igualmente, a soma das compo-
nentes verticais da forc¸a deve ser zero: fi=� ��ffi � � , ou
seja, que fi"� ��ffi . Portanto
���
#%6
fi'�
#%6
�3ffi
�&(
��� <-�,+
(
�-�,+
(9.
� 0-+
�
>0
.
N �
(b) A acelerac¸a˜o e´ obtida da componente horizontal da
segunda lei de Newton. Como �!����� ��? , temos
?
�
�!�@�
�
�
1-1
�
�
>0
.
�,�
�
���A�5: m/s B,�
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LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 23 de Outubro de 2003, a`s 10:09 a.m.
E 6-11 (6-9/6 � )
Uma forc¸a horizontal
� de 
 1 N comprime um bloco
pesando � N contra uma parede vertical (Fig. 6-18). O
coeficiente de atrito esta´tico entre a parede e o bloco e´
��� : , e o coeficiente de atrito cine´tico e´ ��� � . Suponha que
inicialmente o bloco na˜o esteja em movimento. (a) O
bloco se movera´? (b) Qual a forc¸a exercida pela parede
sobre o bloco, em notac¸a˜o de vetores unita´rios?
� (a) O diagrama de corpo isolado consiste aqui de qua-
tro vetores. Na horizontal, apontando para a direita, te-
mos a forc¸a
�
e apontando para a esquerda a forc¸a nor-
mal
fi
. Na vertical, apontando verticalmente para baixo
temos o peso ��ffi , e apontando para cima a forc¸a de atri-
to
�
.
Para determinar se o bloco cai, precisamos encontrar a
magnitude � da forc¸a de fricc¸a˜o nevessa´ria para mante-
lo sem acelerar bem como encontrar a forc¸a da parede
sobre o bloco. Se
�&C
#
$
fi
o bloco na˜o desliza pela
parede mas se
�ED
#
$
fi
o bloco ira´ deslizar.
A componente horizontal da segunda lei de Newton re-
quer que
�F�GfiH�
� , de modo que �I�JfiH� 
 1 N
e, portanto, # $
fiK�L(
��� :-+
(
1
+
�
���
1
N. A componente
vertical diz que �M� ��ffi � � , de modo que ��� �3ffi � �
N.
Como
�EC
#%$
fi
, vemos que o bloco na˜o desliza.
(b) Como o bloco na˜o se move, �N� � N e fiK� 
 1 N.
A forc¸a da parede no bloco e´
PO
�)�QfiER�ST�VUW�)(X�
15RYS
�
U
+ N �
P 6-22 (6-13/6 � )
Uma caixa de :,0 kg e´ puxada pelo chaa˜o por uma corda
que faz um aˆngulo de 
>�-Z acima da horizontal. (a) Se o
coeficiente de atrito esta´tico e´ ���A� , qual a tensa˜o mı´nima
necessa´ria para iniciar o movimento da caixa? (b) SE
#
6
�
��� <-� , qual a sua acelerac¸a˜o inicial?
� (a) O diagrama de corpo isolado tem quatro forc¸as.
Apontando para a direita e fazendo um aˆngulo de [ �
>�-Z com a horizontal temos a tensa˜o \ na corda. Hori-
zontalmente para a esquerda aponta a forc¸a de atrito � .
Na vertical, para cima aponta a forc¸a normal � do cha˜o
sobre a caixa, e para baixo a forc¸a �7� da gravidade.
Quando a caixa ainda na˜o se move as acelerac¸o˜es sa˜o
zero e, consequentemente, tambe´ o sa˜o as respectivas
componentes da forc¸a resultante. Portanto, a segunda
lei de Newton nos fornece para as componente horizon-
tal e vertical as equac¸o˜es, respectivamente,
]_^a`	b
[
��� �
��ff
]
sen [
Scfifl�
��ffi
�
���
Esta equac¸o˜es nos dizem que �8�L]_^a`b [ e que fid�
�3ffi
�N]
sen [ .
Para a caixa permanecer em repouso
�
tem que ser me-
nor do que # $ fi , ou seja,
]_^e`-b
[
C
# $
(
�3ffi
�N]
sen [-+f�
Desta expressa˜o vemos que a caixa comec¸ara´ a mover-
se quando a tensa˜o ] for tal que os dois lados da
equac¸a˜o acima compemsem-se:
]_^e`-b
[
�
#%$
(
�3ffi
�N]
sen [-+fff
donde tiramos facilmente que
]2�
#%$
�3ffi
^e`-b
[
S
# $ sen [
�
(
���A�,+
(
:,0	+
(9.
� 0-+
^e`-b
��
Z
S
���A� sen 
>�
Z
�
<-�5� N �
(b) Quando a caixa se move, a segunda lei de Newton
nos diz que
]_^a`	b
[
�@� �
�7?gff
fiLS�]
sen [
�
�3ffi
�
�*�
Agora, pore´m temos
���
#
6
fi'�
#
6
(
��ffi
�h]
sen [	+fff
onde tiramos fi da segunda equac¸a˜o acima. Substituin-
do este � na primeira das equac¸o˜es acima temos
]_^a`-b
[
�
#
6
(
�3ffi
�N]
sen [-+
�
��?gff
de onde tiramos facilmente que
?
�
]M(/^e`-b
[
S
#
6 sen [-+
�
�
#
6
ffi
�
(
<-�5�	+
(/^e`-b
��,Z
S
�*� <	� sen 
>�-Za+
:,0
�G(
�*� <	�,+
(9.
� 0-+
�
,� < m/s B-�
Perceba bem onde se usa #%$ e onde entra # 6 .
P 6-24 (6-15/6 � )
Na Fig. 6-24, A e B sa˜o blocos com pesos de �,� N e 1-1
N, respectivamente. (a) Determine o menor peso (bloco
C) que deve ser colocado sobre o bloco A para impedi-
lo de deslizar, sabendo que o coeficiente #%i entre A e a
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mesa e´ ���
1
. (b) Se o bloco C for repentinamente retira-
do, qual sera´ a acelerac¸a˜o do bloco A, sabendo que # 6
entre A e a mesa e´ �*�j
�� ?
� (a) Aqui temos DOIS diagramas de corpo isolado. O
diagrama para o corpo B tem apenas duas forc¸as: para
cima, a magnitude da tensa˜o ] na corda, e para baixo
a magnitude kml do peso do bloco B. O diagrama pa-
ra o corpo composto por A+C tem quatro forc¸as. Na
horizontal, apontando para a direita temos a tensa˜o ]
na corda, e apontando para a esquerda a magnitude � da
forc¸a de atrito. Na vertical, para cima temos a normal fi
exercida pela mesa sobre os blocos A+C, e para baixo o
peso konqp , peso total de A+C.
Vamos supor que os blocos esta˜o parados (na˜o acelera-
dos), e escolher o eixo � apontando para a direita e o
eixo � apontando para cima. As componentes � e � da
segunda lei de Newton sa˜o, respectivamente,
]r��� �
�*ff
fifl�
kmnqp
�
�*�
Para o bloco B tomamos o sentido para baixo como sen-
do positivo, obtendo que
kml
�N]s�
���
Portanto temos que
]=�
kol e, consequentemente, que
�7�s]t�
kml . Temos tambe´m que
fi"�
k
nqp .
Para que na˜o ocorra deslizamento, e´ necessa´rio que �
seja menor que # i fi , isto e´ que kml C # i k nqp . O me-
nor valor que k nqp pode ter com os blocos ainda parados
e´
kmnqp
�
k
l
#
i
�
1,1
�*�
1
�
,
>� N �
Como o peso do bloco A e´ �-� N, vemos que o menor
peso do bloco C e´
k
p
�
-
u�
�
�-�
�
:-: N �
(b) Quando existe movimento, a segunda lei de Newton
aplicada aos dois diagramas de corpo isolado nos forne-
ce as equac¸o˜es
]8��� �
k
n
ffi
?gff
fiJ�
k
n
�
��ff
kml
�N] �
kol
ffi
?g�
Ale´m destas, temos �v� # 6 fi , onde fi � kon (da
segunda equac¸a˜o acima). Da terceira acima tiramos
]=�
k l
�t(
k lxw ffi�+y? . Substituindo as duas u´ltimas ex-
presso˜es na primeira equac¸a˜o acima obtemos
kol
�
k l
ffi
?
�
#%6
k n
�
kon
ffi
?g�
Isolando ? encontramos, finalmente,
?
� ffi
(
k l
�
# 6
konz+
k n
S
kml
�
(/.
� 0-+e{
1-1;�8(
���|
>�,+
(
�-�	+~}
�,�
Sr1,1
� 1
� < m/s B5�
Perceba bem onde entra # i e onde se usa #%6 .
6.2.2 Forc¸a de Viscosidade e a Velocidade Limite
P 6-43 (6-33/6 � )
Calcule a forc¸a da viscosidade sobre um mı´ssil de �,<
cm de diaˆmetro, viajando na velocidade de cruzeiro de
1
�5� m/s, a baixa altitude, onde a densidade do ar e´ 
,� 1
kg/m  . Suponha € � ����5� .
� Use a Eq. 6-18 do livro texto:
�m‚ƒ�'
1
€W„�…Q†
B
ff
onde „ e´ a densidade do ar, … e´ a a´rea da secc¸a˜o reta
do mı´ssil, † e´ a velocidade do mı´ssil, e € e´ o coeficien-
te de viscosidade. A a´rea e´a dada por … �F‡‰ˆ B , onde
ˆ��
�*� �,<
w
1ƒ�
�*�
1
:-� m e´ o raio do mı´ssil. Portanto,
�m‚ƒ�
1
(
�*�A�,�,+
(
,�
1
+
(Ł‡
+
(
���
1
:	�,+
B
(91
�,�-+
B
�
:��
1Œ‹
u�
 N �
6.2.3 Movimento Circular Uniforme
E 6-47 (?????/6 � )
Se o coeficiente de atrito esta´tico dos pneus numa rodo-
via e´ ���
1
� , com que velocidade ma´xima um carro pode
fazer uma curva plana de ���Y� � m de raio, sem derrapar?
� A acelerac¸a˜o do carro quando faz a curva e´ †	B w ˆ ,
onde † e´ a velocidade do carro e ˆ e´ o raio da curva.
Como a estrada e´ plana (horizontal), a u´nica forc¸a que
evita com que ele derrape e´ a forc¸a de atrito da estrada
com os pneus. A componente horizontal da segunda lei
de Newton e´ �@� ��†�B w ˆ . Sendo fi a forc¸a normal da
estrada sobre o carro e � a massa do carro, a compo-
nente vertical da segunda lei nos diz que fi"� �3ffi � � .
Portanto,
fi�
�3ffi e #%i
fiŽ�
#%i
�3ffi . Se o carro na˜o
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derrapa, �hC #%i �3ffi . Isto significa que †�B w ˆ=C #%i ffi , ou
seja, que † Cs #%i ˆ ffi .
A velocidade ma´xima com a qual o carro pode fazer
a curva sem deslizar e´, portanto, quando a velocidade
coincidir com o valor a´ direita na desigualdade acima,
ou seja, quando
† max
�=
# i
ˆ
ffi
�= (
���
1
�-+
(
�Y���A�,+
(/.
� 0-+
�
-
 m/s �
E 6-55 (?????/6 � )
No modelo de Bohr do a´tomo de hidrogeˆnio, o ele´tron
descreve uma o´rbita circular em torno do nu´cleo. Se o
raio e´ �Y� <
‹
u�Y‘‰’“’ m e o ele´tron circula :�� :
‹
u��’y” vezes
por segundo, determine (a) a velocidade do ele´tron, (b)
a acelerac¸a˜o do ele´tron (mo´dulo e sentido) e (c) a forc¸a
centrı´peta que atua sobre ele. (Esta forc¸a e´ resultante
da atrac¸a˜o entre o nu´cleo, positivamente carregado, e o
ele´tron, negativamente carregado.) A massa do ele´tron
e´
.
�|
,
‹
>�Y‘

’ kg.
� (a)
(b)
(c)
E 6-56 (???/6 � )
A massa � esta´ sobre uma mesa, sem atrito, presa a um
peso de massa • , pendurado por uma corda que passa
atrave´s de um furo no centro da mesa (veja Fig. 6-39).
Determine a velocidade escalar com que � deve se mo-
ver para • permanecer em repouso.
� Para • permanecer em repouso a tensa˜o
]
na cor-
da tem que igualar a forc¸a gravitacional •!ffi sobre • .
A tensa˜o e´ fornecida pela forc¸a centrı´peta que mante´m
� em sua o´rbita circular:
])�
��†	B
w�– , onde – e´ o raio
da o´rbita. Portanto, •!ffi
�
��†
B�w�– , donde tiramos sem
problemas que
†
�&—
•!ffi
–
�
�
P 6-62 (?????/6 � )
Um estudante de :-0 kg, numa roda-gigante com velo-
cidade constante, tem um peso aparente de �,�5� N no
ponto mais alto. (a) Qual o seu peso aparente no ponto
mais baixo? (b) E no ponto mais alto, se a velocidade
da roda-gigante dobrar?
Atenc¸a˜o: observe que o enunciado deste proble-
ma na quarta edic¸a˜o do livro fala em “peso apa-
rente de �5: kg”, fazendo exatamente aquilo que
na˜o se deve fazer: confundir entre si, peso e mas-
sa.
A origem do problema esta´ na traduc¸a˜o do livro.
O livro original diz que “um estudante de 
>�5� li-
bras” ....“tem um peso aparente de 
 1 � libras”.
O tradutor na˜o percebeu que, como se pode faci-
lemente ver no Apeˆndice F, “libra” e´ tanto umaunidade de massa, quanto de peso. E e´ preciso
prestar atenc¸a˜o para na˜o confundir as coisas.
Assim, enquanto que as 
��5� libras referem-se a
uma massa de :,0 kg, as 
 1 � libras referem-se a
um peso de �,�5� N.
� (a) No topo o acento empurra o estudante para cima
com uma forc¸a de magnitude �o˜ , igual a �-�5� N. A Terra
puxa-o para baixo com uma forc¸a de magnitude k , igual
a :,05ffi
�F(
:-0-+
(9.
� 0-+
�
:,:-: N. A forc¸a lı´quida apontando
para o centro da o´rbita circular e´ k
�8�
˜
e, de acordo
com a segunda lei de Newton, deve ser igual a ��†	B w ˆ ,
onde † e´ a velocidade do etudante e ˆ e´ o raio da o´rbita.
Portanto
�
†�B
ˆ
�
k
�@�%˜™�
:,:,:
�
�,�,�
�
,
>: N �
Chamemos de
�›š
a magnitude da forc¸a do acento sobre
o estudante quando ele estiver no ponto mais baixo. Tal
forc¸a aponta para cima, de modo que a forc¸a lı´quida que
aponta para o centro do cı´rculo e´ �›š›� k . Assim sendo,
temos
�›šz�
k
�
�3†�B
w
ˆ
, donde tiramos
�
š
�
�
†	B
ˆ
S
k
�
,
>:
S
:-:,:
�
�50
1
N ff
que correspondem a uma massa aparente de
�
š
�
�›š
ffi
�fl�V0
1
.
� 0
�
�
.
�� kg �
(b) No topo temos k �@�o˜›� �3† B w ˆ , de modo que
�
˜
�
k
�
�
†�B
ˆ2�
Se a velocidade dobra, ��†	B w ˆ aumenta por um fator de
� , passando a ser 
,
>: ‹ � � �-:5� N. Enta˜o
�%˜™�
:,:,:
�
�-:,�
�!1
�
1
N ff
correspondendo a uma massa efetiva de
�
˜
�
�o˜
ffi
�
1
�
1
.
� 0
�21
�*� : kg �
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 5
LISTA 1 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 23 de Outubro de 2003, a`s 10:09 a.m.
P 6-65 (6-45/6 � )
Um avia˜o esta´ voando num cı´rculo horizontal com uma
velocidade de �	0,� km/h. Se as asas do avia˜o esta˜o incli-
nadas �	�-Z sobre a horizontal, qual o raio do cı´rculo que
o avia˜o faz? Veja a Fig. 6-41. Suponha que a forc¸a ne-
cessa´ria seja obtida da “sustentac¸a˜o aerodinaˆmica”, que
e´ perpendicular a` superfı´cie das asas.
� O diagrama de corpo isolado do avia˜o conte´m duas
forc¸as: a forc¸a ��� da gravidade, para baixo, e a forc¸a
�
, apontando para a direita e fazendo um aˆngulo de [
com a horizontal. Como as asas esta˜o inclinadas �-�	Z
com a horizontal, a forc¸a de sutentac¸a˜o e´ perpendicular
as asas e, portanto, [
�2.
�
�
�	�
�
�,�-Z .
Como o centro da o´rbita esta para a direita do avia˜o, es-
colhemos o eixo � para a direita e o eixo � para cima.
A componente � e � da segunda lei de Newton sa˜o, res-
pectivamente,
�@^a`	b
[
�
�
†
B
ˆ
ff
�
sen [
�
�3ffi
�
�*ff
onde ˆ e´ o raio da o´rbita. Eliminando � entre as duas
equac¸o˜es e rearranjando o resultado, obtemos
ˆ �
†
B
ffi
tan [��
Para †
�
�	0,� km/h � 
u<,< m/s, encontramos
ˆ!�
(
u<-<-+yB
.
� 0
tan �5� Z
�!1
�
1Œ‹
u�
 m �
P 6-70 (6-47/6 � )
A Fig. 6-42 mostra uma bola de 
,� <5� kg presa a um eixo
girante vertical por duas cordas de massa desprezı´vel.
As cordas esta˜o esticadas e formam os lados de um
triaˆngulo equila´tero. A tensa˜o na corda superior e´ de
<-� N. (a) Desenhe o diagrama de corpo isolado para a
bola. (b) Qual a tensa˜o na corda inferior? (c) Qual a
forc¸a resultante sobre a bola, no instante mostrado na
figura? (d) Qual a velocidade da bola?
� (a) Chame de ] 6 e ] š as tenso˜es nas cordas de cima
e de baixo respectivamente. Enta˜o o diagrama de corpo
isolado para a bola conte´m treˆs forc¸as: para baixo atua
o peso �7� da bola. Para a esquerda, fazendo um aˆngulo
[
�
<-�-Z para cima, temos \œ . Tambe´m para a esquerda,
pore´m fazendo um aˆngulo [ � <,�	Z para baixo, temos a
forc¸a \ž . Como o triaˆgulo e´ equila´tero, perceba que o
aˆngulo entre \œ e \ž tem que ser de :,�	Z sendo [ , como
mostra a figura, a metade deste valor.
Observe ainda que a relac¸a˜o entre as magnitudes de \œ
e \Ÿž e´
]
6
D�] š
, pois \œ deve contrabalanc¸ar na˜o ape-
nas o peso da bola mas tambe´m a componente vertical
(para baixo) de \ ž , devida a´ corda de baixo.
(b) Escolhendo o eixo horizontal � apontando para a es-
querda, no sentido do centro da o´rbita circular, e o eixo
� para cima temos, para a componente � da segunda lei
de Newton
]
6
^a`	b
[
Sc]qš*^a`	b
[
�
�
†	B
ˆ
ff
onde † e´ a velocidade da bola e ˆ e´ o raio da sua o´rbita.
A componente � e´
]
6 sen [
�h]‰š
sen [
�
�3ffi
�
�*�
Esta u´ltima equac¸a˜o fornece a tensa˜o na corda de baixo:
]‰š �s]
6
�
��ffi
w sen [ . Portanto
]‰š �
<	�
�
(
,� <5��+
(/.
� 0	+
sen <-�
Z
�
0����� N �
(c) A forc¸a lı´quida e´ para a esquerda e tem magnitude
�‰¡¢�)(Ł]
6
S�]
š
+
^a`-b
[
�)(
<-�
S
0*�A�V�	+
^e`-b
<-�
Z
�
<����
.
N �
(d) A velocidade e´ obtida da equac¸a˜o �%¡N� ��†	B w ˆ ,
observando-se que o raio ˆ da o´rbita e´ ( tan [ �
(
,��
w
1
+
w
ˆ
, veja a figura do livro):
ˆ �
,��
w
1
tan <,�
Z
�
,� ��� m �
Portanto
†
�=—
ˆ£�%¡
�
�
—
(
-� �Y�5+
(
<	�Y�
.
+
,� <5�
�
:�� �	� m/s �
6.2.4 Problemas Adicionais
6-72 (?????/6 � )
Uma forc¸a ¤ , paralela a uma superfı´cie inclinada 
>�-Z
acima da horizontal, age sobre um bloco de ��� N, como
mostra a Fig. 6-43. Os coeficientes de atrito entre o blo-
co e a superfı´cie sa˜o #%i
�
�*� � e # 6
�
�*� <,� . Se o bloco
inicialmente esta´ em repouso, determine o mo´dulo e o
sentido da forc¸a de atrito que atua nele, para as seguinte
intensidades de P: (a) � N, (b) 0 N, (c) 
�� N.
�
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 6
LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 17 de Outubro de 2003, a`s 8:20 a.m.
Exercı´cios Resolvidos de Dinaˆmica Cla´ssica
Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fı´sica teo´rica,
Doutor em Fı´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Instituto de Fı´sica
Mate´ria para a QUARTA prova. Numerac¸a˜o conforme a quarta edic¸a˜o do livro
“Fundamentos de Fı´sica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas
Conteu´do
7 Trabalho e Energia Cine´tica 2
7.1 Questo˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
7.2 Problemas e Exercı´cios . . . . . . . . . 2
7.2.1 Trabalho: movimento ��� com
forc¸a constante . . . . . . . . . 2
7.2.2 Trabalho executado por forc¸a
varia´vel . . . . . . . . . . . . . 3
7.2.3 Trabalho realizado por uma mola 4
7.2.4 Energia Cine´tica . . . . . . . . 4
7.2.5 Poteˆncia . . . . . . . . . . . . . 5
7.2.6 Energia Cine´tica a Velocidades
Elevadas . . . . . . . . . . . . 7
Comenta´rios/Sugesto˜es e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br
(listam2.tex)
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 1
LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 17 de Outubro de 2003, a`s 8:20 a.m.
7 Trabalho e Energia Cine´tica
7.1 Questo˜es
Q 7-13
As molas A e B sa˜o ideˆnticas, exceto pelo fato de que A
e´ mais rı´gida do que B, isto e´ �����	��
 . Qual das duas
molas realiza um trabalho maior (a) quando elas sofrem
o mesmo deslocamento e (b) quando elas sa˜o distendi-
das por forc¸as iguais.
� (a) Temos 
 ��� � ��������� e 
 
�� � 
�������� , onde �
representa o deslocamento comum a ambas molas. Por-
tanto,
��
�
���
�
�
��ff
ou seja, 
��fi�fl
ffi
 .
(b) Agora temos 
 ��� � ���
�
�
��� e 
 
 � � 
!� �
��� ,
onde ��� e ��
 representam os delocamentos provocados
pela forc¸a ideˆntica que atua sobre ambas as molas e que
implica ter-se, em magnitude,
"
�
�
���#�$�
�
%��
ff
donte tiramos ��
&�� �����%� � 
 . Portanto
ffi�
�
���
�
�
�
�
('
�
�)���!�
�
�*
�
�
��
�
�,+
��ff
ou seja, 
��
+
ffi
 .
7.2 Problemas e Exercı´cios
7.2.1 Trabalho: movimento �-� com forc¸a constan-
te
E 7-2 (7-7/6 . edic¸a˜o)
Para empurrar um caixote de /�0 kg num piso sem atrito,
um opera´rio aplica uma forc¸a de
�
�
0 N, dirigida
�
0�1 aci-
ma da horizontal. Se o caixote se desloca de 2 m, qual
o trabalho executado sobre o caixote (a) pelo opera´rio,
(b) pelo peso do caixote e (c) pela forc¸a normal exerci-
da pelo piso sobre o caixote? (d) Qual o trabalho total
executado sobre o caixote?
� (a) A forc¸a aplicada e´ constante e o trabalho feito por
ela e´
�3 �fl4&576��
"98%:7;�<>=
ff
onde
4
e´ a forc¸a,
6
e´ o deslocamento do caixote, e = e´
o aˆngulo entre a forc¸a
4
e o deslocamento
6
. Portanto,
�3 �?'@�
�
0 *A' 2 *
:A;B<
� 0
1
� /�C�0
J D
(b) A forc¸a da gravidade aponta para baixo, perpendi-
cular ao deslocamento do caixote. O aˆngulo entre esta
forc¸a e o deslocamento e´ C�0 1 e, como
:A;�<
C�0 1E� 0
, o
trabalho feito pela forc¸a gravitacional e´ ZERO.
(c) A forc¸a normal exercida pelo piso tambe´m atua per-
pendicularmente ao deslocamento, de modo que o tra-
balho por ela realizado tambe´m e´ ZERO.
(d) As treˆs forc¸as acima mencionadas sa˜o as u´nicas que
atuam no caixote. Portanto o trabalho total e´ dado pela
soma dos trabalhos individuais realizados por cada uma
das treˆs forc¸as, ou seja, o trabalho total e´ /�C�0 J.
P 7-9 (???/6 . )
A Fig. 7-27 mostra um conjunto de polias usado para
facilitar o levantamento de um peso F . Suponha que o
atrito seja desprezı´vel e que as duas polias de baixo, a`s
quais esta´ presa a carga, pesem juntas � 0 N. Uma car-
ga de G�H�0 N deve ser levantada � � m. (a) Qual a forc¸a
mı´nima 4 necessa´ria para levantar a carga? (b) Qual o
trabalho executado para levantar a carga de � � m? (c)
Qual o deslocamento da extremidade livre da corda? (d)
Qual o trabalho executado pela forc¸a
4
para realizar esta
tarefa?
� (a) Supondo que o peso da corda e´ desprezı´vel (isto e´,
que a massa da corda seja nula), a tensa˜o nela e´ a mes-
ma ao longo de todo seu comprimento. Considerando
as duas polias mo´veis (as duas que esta˜o ligadas ao peso
F ) vemos que tais polias puxam o peso para cima com
uma forc¸a
"
aplicada em quatro pontos, de modo que a
forc¸a total para cima aplicada nas polias mo´veis e´ H " .
Se
"
for a forc¸a mı´nima para levantar a carga (com ve-
locidade constante, i.e. sem acelera-la), enta˜o a segunda
lei de Newton nos diz que devemos ter
H
"JILKJM
�
0
ff
onde KJM representa o peso total da carga mais polias
mo´veis, ou seja, KJM �N' G�HB0%O � 0 * N. Assim, encontra-
mos que
"
�
G�P�0
H
���
�
/ N D
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 2
LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 17 de Outubro de 2003, a`s 8:20 a.m.
(b) O trabalho feito pela corda e´ 
 � H "98 � KJMQ8 ,
onde 8 e´ a distaˆncia de levantamento da carga. Portanto,
o trabalho feito pela corda e´
 �N' G�P�0 *7'
�
��*R�
�
0�2 � 0 J D
(A resposta na traduc¸a˜o do livro esta´ incorreta.)
(c) A cada metro que a carga sobe, cada segmento da
corda entre o conjunto superior e inferior de polias di-
minui de um metro. Ou seja, a extremidade livre da cor-
da abaixo de H metros. Portanto, no total a extremidade
livre da corda move-se ' H *A' � ��*!� H�G m para baixo.
(d) O trabalho feito pela pessoa que puxa a corda pela
extremidade livre e´ 
 �
"98
�
KJMQ8
� H , onde
8
e´ a
distaˆncia que a extremidade livre se move. Portanto,
 �N' G�P�0 *
HBG
H
�
�
0�2 � 0
J D
Observe que os valores encontrados nos itens (b) e (d)
devem coincidir, o que na˜o ocorre com as respostas for-
necidas no livro.
P 7-12 (???/6 . )
Um bloco de 2SDUT�/ kg e´ puxado com velocidade constan-
te por uma distaˆncia de H�D 0�P m em um piso horizontal
por uma corda que exerce uma forc¸a de TVD P�G N fazen-
do um aˆngulo de � /�1 acima da horizontal. Calcule (a)
o trabalho executado pela corda sobre o bloco e (b) o
coeficiente de atrito dinaˆmico entre o bloco e o piso.
� (a) A forc¸a na corda e´ constante, de modo que o traba-
lho e´ dado por 
 ��4$5W6ffi�
"98%:A;B<>=
, onde 4 e´ a forc¸a
exercida pela corda, 6 e´ a distaˆncia do deslocamento, e
=
e´ o aˆngulo entre a forc¸a e o deslocamento. Portanto
�N'
TVD P�G
*7'
H�D 0�P
*
:7;�<
�
/
1
�
2�0>D
� J D
(b) A resposta pode ser obtida facilmente fazendo-se um
diagrama de corpo livre onde constem todas as (quatro)
forc¸as aplicadas.
Desenhe um ponto X representando o bloco. Em X , de-
senhe a forc¸a normal Y apontando para cima, a forc¸a
peso ZE[ apontando para baixo. Apontando horizontal-
mente para a esquerda desenhe a forc¸a \ de atrito. Dese-
nhe a forc¸a
4
que puxa o bloco apontando para a direita
e para cima, fazendo um aˆngulo
=
com a horizontal,
Com isto tudo, a segundo lei de Newton nos diz que para
que o bloco se mova sem acelerar devemos ter equilı´brio
tanto na horizontal quanto na vertical, o que nos fornece
as equac¸o˜es, respectivamente,
"$:A;�<�=]I_^
�
0
ff
`
O
"
sen
=aI
Z
M
�
0SD
A magnitude da forc¸a de atrito e´ dada por
^
�flbdc
`
�ebdcV' Z
MfIL"
sen
=
*
ff
onde o valor de
`
foi obtido da segunda equac¸a˜o acima.
Substituindo o valor de
^
na primeira das equac¸o˜es aci-
ma e resolvendo-a para b c encontramos sem problemas
que
b c �
"$:A;B<>=
Z
MgI$"
sen
=
�
' TQD P�G *
:7;�<
�
/ 1
' 2>D /BT *7' CSD G *
I
' TQD P�G *
sen
�
/
1
� 0>D ��� D
7.2.2 Trabalho executado por forc¸a varia´vel
P 7-16 (???/6 . )
A forc¸a exercida num objeto e´ "
'h�i*j�
"lk
'm�i���
k9I
�
*
.
Calcule o trabalho realizado para deslocar o objeto de
�n�
0 ate´ �&�o���
k (a) fazendo um gra´fico de " 'h�i* e
determinando a a´rea sob a curva e (b) calculando a inte-
gral analiticamente.
� (a) A expressa˜o de "
'h�i*
diz-nos que a forc¸a varia li-
nearmente com
�
. Supondo
�
k
�p0 , escolhemos dois
pontos convenientes para, atrave´s deles, desenhar uma
linha reta.
Para �q� 0 temos
"
�
Ir"
k
enquanto que para �s�J���
k
temos
"
�
"
k
, ou seja devemos desenhar uma linha re-
ta que passe pelos pontos ' 0 ff
Ir"
k
* e '@���
k
ff
"
k
* . Fac¸a a
figura!
Olhando para a figura vemos que o trabalho total e´ da-
do pela soma da a´rea de dois triaˆngulos: um que vai de
�E�
0 ate´
�q���
k
, o outro indo de
�E�e�
k
ate´
�q�	���
k
.
Como os dois triaˆngulos tem a mesma a´rea, sendo uma
positiva, a outra negativa, vemos que o trabalho total e´
ZERO.
(b) Analiticamente, a integral nos diz que
�
t
�vu�w
k
"
kyx
�
�
1
I
�-z
8
�
�
"
k{x
�
�
���
k
I
�
z}|
|
|
�vu
w
k
�
0SD
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 3
LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 17 de Outubro de 2003, a`s 8:20 a.m.
7.2.3 Trabalho realizado por uma mola
E 7-18 (7-21/6 . )
Uma mola com uma constante de mola de � / N/cm esta´
presa a uma gaiola, como na Fig. 7-31. (a) Qual o tra-
balho executado pela mola sobre a gaiola se a mola e´
distendida de TVD P mm em relac¸a˜o ao seu estado relaxa-
do? (b) Qual o trabalho adicional executado pela mola
se ela e´ distendida por mais TQD P mm?
� (a) Quando a gaiola move-se de
�E�e�y~
para
�E���
�
o trabalho feito pela mola e´ dado por
 �
t
u-
u�€
'
I
� �i*
8
� �
I
�
�
� �
�
|
|
|
u 
u €
�
I
�
�
� 'h��
�
I
�
�
~
*
ff
onde � e´ a constante de forc¸a da mola. Substituindo
�
~
�
0 m e �
�
�
TQD P‚
�
0Sƒ#„ m encontramos
�
I
�
�
'
�
/�0�0
*7'
TVD P…
�
0
ƒi„
*
�
�
I
0SD 0�HB2 J D
(b) Agora basta substituir-se
�y~��
TVD PL
�
0Sƒ#„ m e
�
�
�
�
/QD
�

�
0Sƒ#„ m na expressa˜o para o trabalho:
�
I
�
�
'
�
/�0�0
*>†@'
�
/QD
��*
�
I
'
TVD P
*
�ˆ‡

'
�
0
ƒi„
*
�
�
I
0SD
�
2 J D
Perceba que durante o segundo intervalo o trabalho rea-
lizado e´ mais do que o dobro do trabalho feito no pri-
meiro intervalo. Embora o deslocamento tenha sido
ideˆntico em ambos intervalos, a forc¸a e´ maior durante
o segundo intervalo.
7.2.4 Energia Cine´tica
E 7-21 (7-???/6 . )
Se um foguete Saturno V com uma espac¸onave Apolo
acoplada tem uma massa total de
�
D C]
�
0�‰ kg e atinge
uma velociade de ��� D
�
km/s, qual a sua energia cine´tica
neste instante?
� Usando a definic¸a˜o de energia cone´tica temos que
Ł
�
�
�
Zs‹
�
�
�
�
'@�
D C‚
�
0
‰
*A'
���
D
�

�
0
„
*
�
�
DŒT�/f
�
0
~
„ J D
E 7-22 (7-1/6 . )
Um ele´tron de conduc¸a˜o (massa Z � CSD ���  � 0Sƒ#„ ~ kg)
do cobre, numa temperatura pro´xima do zero absoluto,
tem uma energia cine´tica de P>DŒT( � 0Qƒ ~Ž J. Qual a velo-
cidade do ele´tron?
� A energia cine´tica e´ dada por
Ł
� Zq‹
� ���
, onde Z e´
a massa do ele´tron e ‹ a sua velocidade. Portanto
‹ �
�
Ł
Z
� 
�S' PSDUTf
�
0
ƒ
~Ž
*
C>D
���

�
0
ƒ#„
~
�
�
D � 
�
0�‘ m/s D
E 7-29 (???/6 . )
Um carro de � 0�0�0 kg esta´ viajando a P�0 km/h numa es-
trada plana. Os freios sa˜o aplicados por um tempo sufi-
ciente para reduzir a energia cine´tica do carro de /�0 kJ.
(a) Qual a velocidade final do carro? (b) Qual a reduc¸a˜o
adicional de energia cine´tica necessa´ria para fazeˆ-lo pa-
rar?
� (a) A energia cine´tica inicial do carro e´ Ł]’ � Zs‹
�
’
��� ,
onde Z e´ a massa do carro e
‹
’
�
P�0 km/h � P�0f
�
0�„
2�P�0�0
�
�
PSDUT m/s
e´ a sua velocidade inicial. Isto nos fornece
Ł
’
�N'
�
0�0�0
*7'
�
P>DŒT
*
�
���“�
�
D 2�C…
�
0
‰ J D
Apo´s reduzir em /�0 kJ a energia cine´tica teremos
Ła”
�
�
D 2�C…
�
0
‰
I
/�0…
�
0
„
�
GSD C‚
�
0�• J D
Com isto, a velocidade final do carro sera´
‹
”
�
�
Ła”
Z
�

�S'
GSD C‚
�
0
•
*
�
0�0�0
�
�
2>D 2 m/s
�
HVTQD G km/h D
(b) Como ao parar a energia cine´tica final do carro sera´
ZERO, teremos que ainda remover GSD C! � 0
•
J para faze-
lo parar.
P 7-35 (7-17/6 . )
Um helico´ptero levanta verticalmente um astronauta de
T
�
kg ate´ � / m de altura acima do oceano com o auxı´lio
de um cabo. A acelerac¸a˜o do astronauta e´ M
�
�
0 . Qual
o trabalho realizado sobre o astronauta (a) pelo he-
lico´ptero e (b) pelo seu pro´prio peso? Quais sa˜o (c) a
energia cine´tica e (d) a velocidade do astronauta no mo-
mento em que chega ao helico´ptero?
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 4
LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 17 de Outubro de 2003, a`s 8:20 a.m.
� (a) Chame de " a magnitude da forc¸a exercida pelo
cabo no astronauta. A forc¸a do cabo aponta para cima e
o peso Z
M do astronauta aponta para baixo. Ale´m disto,
a acelerac¸a˜o do astronauta e´ M
�
�
0 , para cima. De acordo
com a segunda lei de Newton,
"JI
Z
M
� Z
M
�
�
0
ff
de modo que " � ��� Z
M
�
�
0 . Como a forc¸a 4 e o deslo-
camento
6
esta˜o na mesma direc¸a˜o, o trabalho feito pela
forc¸a
4
e´
 3fi�
"98
�
���
Z
M
�
0
8
�
���
' T ��*A' CSD G *A'
�
/ *
�
0
�
�
D
�
P…
�
0�• J D
(b) O peso tem magnitude Z M e aponta na direc¸a˜o opos-
ta do deslocamento. Ele executa um trabalho
—–
�
I
Z
MV8
�
I
'
T
��*7'
CSD G
*7'
�
/
*)�
I
�
D 0�Pg
�
0�• J D
(c) O trabalho total feito e´
ffi˜
�
���
P�0�0
I
�
0�P�0�0
�
�
0�0�0 J D
Como o astronauta partiu do repouso, o teorema do
Trabalho-Energia diz-nos que sua energia cine´tica final
devera´ ser igual a 
 ˜
(d) Como Ł
�
Zq‹
�
���
, a velocidade final do astronauta
sera´
‹
�

�
Ł
Z
�

�>'
�
0�0�0
*
T
�
�
/QD
�
T m/s
�
�
G>D C km/h D
P 7-36 (7-19/6 . )
Uma corda e´ usada para fazer descer verticalmente um
bloco, inicialmente em repouso, de massa K com uma
acelerac¸a˜o constante
M
�
H . Depois que o bloco desceu
uma distaˆncia 8 , calcule (a) o trabalho realizado pela
corda sobre o bloco, (b) o trabalho realizado sobre o
bloco pelo seu peso, (c) a energia cine´tica do bloco e (d)
a velocidade do bloco.
� (a) Chame de " a magnitude da forc¸a da corda sobre
o bloco. A forc¸a
"
aponta para cima, enquanto que a
forc¸a da gravidade, de magnitude KJM , aponta para bai-
xo. A acelerac¸a˜o e´
M
�
H , para baixo. Considere o sentido
para baixo como sendo o sentido positivo. A segunda
lei de Newton diz-nos que KJMfI$"
�
KJM
�
H , de modo
que
"
�
2
KJM
�
H . A forc¸a esta´ direcionada no sentido
oposto ao deslocamento de modo que o trabalho que ela
faz e´
�3
�
Ir"98
�
I
2
KJMQ8
�
H>D
(b) A forc¸a da gravidade aponta no mesmo sentido
que o deslocamento de modo que ela faz um trabalho
ffi– �
KJMV8
.
(c) O trabalho total feito sobre o bloco e´
�˜ �
I
2
H
KJMV8
O
KJMQ8
�
�
H
KJMQ8
D
Como o bloco parte do repouso, o valor acima coinci-
de com sua energia cine´tica Ł apo´s haver baixado uma
distaˆncia 8 .
(d) A velocidade apo´s haver baixado uma distaˆncia 8 e´
‹ �N
�
Ł
K �
MQ8
�
D
7.2.5 Poteˆncia
P 7-43 (???/6 . )
Um bloco de granito de � HB0�0 kg e´ puxado por um guin-
daste a vapor ao longo de uma rampa com velocidade
constante de � D 2�H m/s (Fig. 7-38). O coeficiente de atrito
dinaˆmico entre o bloco e a rampa e´ 0SD H . Qual a poteˆncia
do guindaste?
� Para determinar a magnitude " da forc¸a com que o
guindaste puxa o granito usaremos um diagrama de cor-
po livre.
Chamemos de
^
a forc¸a de atrito, no sentido oposto ao
de
"
. A normal Y aponta perpendicularmente a` ram-
pa, enquanto que a magnitude Z M da forc¸a da gravidade
aponta verticalmente para baixo.
O aˆngulo ™ do plano inclinado vale
™
�
tan ƒ ~
x
2�0
H�0
z
�
2VT
1
D
Tomemos o eixo
�
na direc¸a˜o do plano inclinado, apon-
tando para cima e o eixo š apontando no mesmo sentido
da normal Y .
Como a acelerac¸a˜o e´ zero, as componentes � e š da se-
gunda lei de Newton sa˜o, respectivamente,
"JI_^aI
Z
M
sen ™
�
0
ff
`oI
Z
M›:7;�<
™
�
0SD
Da segunda equac¸a˜o obtemos que `
�
Z
M�:7;�<
™ , de
modo que ^
�œbdc
`
�œbdc
Z
M›:A;�<
™ . Substiutindo es-
te resultado na primeira equac¸a˜o e resolvendo-a para "
obtemos
"
�
Z
M
x
sen ™O
bdc
:A;�<
™
z
D
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 5
LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 17 de Outubro de 2003, a`s 8:20 a.m.
A forc¸a do guindaste aponta no mesmo sentido que a ve-
locidade do bloco, de modo que a poteˆncia do guindaste
e´
X �
"
‹
� Z
M
‹
x
sen ™(O b c
:7;�<
™
z
� '
�
H�0�0 *7' CSD G *7'
�
D 2�H *
x
sen 2BT 1 Ož0SD H
:A;B<
2BT
1
z
�
�
T kWD
P 7-47 (???/6 . )
Uma forc¸a de / N age sobre um corpo de � DŒ/ kg inicial-
mente em repouso. Determine (a) o trabalho executado
pela forc¸a no primeiro, segundo e terceiro segundos e
(b) a poteˆncia instantaˆnea aplicada pela forc¸a no final
do terceiro segundo.
� (a) A poteˆncia e´ dada por X � " ‹ e o trabalho feito
por 4 entre o instante Ÿ ~ e Ÿ
�
e´
�
tfi 

 
€
X
8
Ÿ
�
tfi 

 
€
"
‹
8
ŸˆD
Como
4
e´ a forc¸a total, a magnitude da acelerac¸a˜o e´
¡
�
^
�
Z e a velocidade em func¸a˜o do tempo e´ dada
por ‹
�
¡
Ÿ
�
"
Ÿ
�
Z . Portanto
�
t
 

 
€
"
�
Ÿ
Z
8
Ÿ
�
�
�
"
�
Z
x
Ÿ
�
�
I
Ÿ
�
~
z
D
Para Ÿ
~�
0 s e Ÿ
�
�
�
s temos
~
�
�
�
x
/
�
�
/
z)¢
'
�
*
�
I
'
0
*
�ˆ£
�
0SD G�2 J D
Para Ÿ
~�
�
s e Ÿ
�
�e�
s temos
�
�
�
�
x
/
�
�
/
zR¢
'@��*
�
I
'
�
*
�ˆ£
���
D / J D
Para Ÿ
~�e�
s e Ÿ
�
�
2 s temos
„
�
�
�
x
/
�
�
/
zR¢
'
2
*
�
I
'@��*
�ˆ£
�
H�D
� J D
(b) Substitua ‹
�
"
Ÿ
�
Z em X
�
"
‹ obtendo enta˜o
X
�
"
�
Ÿ
�
Z para a poteˆncia num instante Ÿ qualquer.
Ao final do terceiro segundo temos
X
�
'
/
*
�
'
2
*
�
/
�
/ W D
P 7-48 (7-35/6 . )
Um elevador de carga totalmente cheio tem uma massa
total de � � 0�0 kg e deve subir /�H m em 2 min. O con-
trapeso do elevador tem uma massa de C�/�0 kg. Calcu-
le a poteˆncia (em cavalos-vapor) que o motor do eleva-
dor deve desenvolver. Ignore o trabalho necessa´rio para
colocar o elevador em movimento e para frea´-lo, isto
e´, suponha que se mova o tempo todo com velocidade
constante.
� O trabalho total e´ a soma dos trabalhos feitos pela
gravidade sobre o elevador, o trabalho feito pela gravi-
dade no contrapeso, e o trabalho feito pelo motor sobre
o sistema: 
 ˜
� 
$¤›Oe
�¥%Oe
ffi¦
. Como o elevador
move-se com velocidade constante, sua energia cine´tica
na˜o muda e, de acordo com o teorema do Trabalho-
Energia, o trabalho total feito e´ zero. Isto significa que
$¤ROž
$¥)Ož
�¦ � 0
.
O elevador move-se /�H m para cima, de modo que o tra-
balho feito pela gravidade sobre ele e´
¤r�
I
Z
¤
MV8
�
I
'
�
�
0�0
*7'
CSD G
*7'
/�H
*l�
I
PSD 2�/f
�
0
‰ J D
O contrapeso move-se para baixo pela mesma distaˆncia,
de modo que o trabalho feito pela gravidade sobre ele e´
$¥
�
ZE¥
MQ8
�N'
C�/�0
*A'
CSD G
*7'
/�H
*��
/QD 0�2…
�
0
‰ J D
Como 
 ˜
�
0 , o trabalho feito pelo motor e´
¦J�
I
¤
I
¥§� '
PSD 2�/
I
/QD 0�2
*

�
0
‰
�
�
D 2
�

�
0
‰ J D
Este trabalho e´ feito num intervalo de tempo ¨fŸ �
2 min
�
�
G�0 s e, portanto, a poteˆncia fornecida pelo
motor para levantar o elevador e´
X
�
ffi¦
¨fŸ
�
�
D 2
�

�
0�‰
�
G�0
�
T�2�/ W D
Este valor corresponde a
T�2�/ W
T�H�P W/hp � 0SD C�C hp D
P 7-49 (???/6 . )
A forc¸a (mas na˜o a poteˆncia) necessa´ria para rebocar um
barco com velocidade constante e´ proporcional a` veloci-
dade. Se sa˜o necessa´rios � 0 hp para manter uma veloci-
dade de H km/h, quantos cavalos-vapor sa˜o necessa´rios
para manter uma velocidade de �
�
km/h?
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 6
LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 17 de Outubro de 2003, a`s 8:20 a.m.
� Como o problema afirma que a forc¸a e´ proporcional
a` velocidade, podemos escrever que a forc¸a e´ dada por
"
�?© ‹
, onde ‹ e´ a velocidade e
©
e´ uma constante de
proporcionalidade. A poteˆncia necessa´ria e´
X �
"
‹ �e© ‹
�
D
Esta fo´rmula nos diz que a poteˆncia associada a uma
velocidade ‹
~
e´ X
~ �ª©
‹
�
~
e a uma velocidade ‹
�
e´
X
�
�«© ‹
�
�
. Portanto, dividindo-se X
�
por X
~
podemos
nos livrar da constante © desconhecida, obtendo que
X
�
�
x ‹
�
‹
~
z
�
X ~ D
Para X ~r�
�
0 hp e ‹
�
� 2�‹ ~
, vemos sem problemas que
X
�
�
x
�
�
H
z
�
'
�
0 *!�N' 2 *
�
'
�
0 *)� C�0
hp D
Observe que e´ possı´vel determinar-se explicitamente o
valor de © a partir dos dados do problema. Pore´m, tal
soluc¸a˜o e´ menos elegante que a acima apresentada, onde
determinamos
©
implicitamente.
7.2.6 Energia Cine´tica a Velocidades Elevadas
E 7-50 (???/6 . )
Um ele´tron se desloca de /QD � cm em 0SD � / ns. (a) Qual e´
a relac¸a˜o entre a velocidade do ele´tron e a velocidade da
luz? (b) Qual e´ a energia do ele´tron em ele´trons-volt?
(c) Qual o erro percentual que voceˆ cometeria se usas-
se a fo´rmula cla´ssica para calcular a energia cine´tica do
ele´tron?
� (a) A velocidade do ele´tron e´
‹
�
8
Ÿ
�
/SD
�

�
0Sƒ
�
0>D
�
/g
�
0
ƒ

�J�
D 0�H‚
�
0�¬ m/s D
Como a velocidade da luz e´ ­ �e� D C�C�G( � 0
¬
m/s, temos
‹ �
� D 0�H
� D C�C�G
­ � 0>D P�G“­�D
(b) Como a velocidade do ele´tron e´ pro´xima da veloci-
dade da luz,devemos usar expressa˜o relativı´stica para a
energia cine´tica:
Ł
� ZE­
�
x
�
®
�
I
‹
�
� ­
�
I
� z
� ' CSD
���

�
0
„
~
*7'@� D C�C�G…
�
0 ¬
* 
x
�
®
�
I
' 0>D P�G *
�
I
��z
� 2>D 0‚
�
0
ƒ
~
• J D
Este valor e´ equivalente a
Ł
�
2SD 0…
�
0Qƒ
~
•
�
D P�0…
�
0
ƒ
~¯
�
�
D C�0…
�
0
‰
�
�
C�0 keV D
(c) Classicamente a energia cine´tica e´ dada por
Ł
�
�
�
Zq‹
�
�
�
�
'
CSD
���

�
0
ƒ#„
~
*A'°�
D 0�H±
�
0�¬
*
�
�
�
D C�0f
�
0
ƒ
~
• J D
Portanto, o erro percentual e´, simplificando ja´ a poteˆncia
comum
�
0Qƒ
~
•
que aparece no numerador e denomina-
dor,
erro percentual
�
2SD 0
I
�
D C
2SD 0
�
0SD 2BT
ff
ou seja, 2BT�² . Perceba que na˜o usar a fo´rmula rela-
tivı´stica produz um grande erro!!
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 7
LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 10 de Novembro de 2003, a`s 10:23
Exercı´cios Resolvidos de Dinaˆmica Cla´ssica
Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fı´sica teo´rica,
Doutor em Fı´sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Instituto de Fı´sica
Mate´ria para a QUARTA prova. Numerac¸a˜o conforme a quarta edic¸a˜o do livro
“Fundamentos de Fı´sica”, Halliday, Resnick e Walker.
Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas
Conteu´do
8 Conservac¸a˜o da Energia 2
8.1 Questo˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
8.2 Problemas e Exercı´cios . . . . . . . . . 2
8.2.1 Determinac¸a˜o da Energia Po-
tencial . . . . . . . . . . . . . . 2
8.2.2 Usando a Curva de Energia Po-
tencial . . . . . . . . . . . . . . 7
8.2.3 Conservac¸a˜o da Energia . . . . 8
8.2.4 Trabalho Executado por Forc¸as
de Atrito . . . . . . . . . . . . 8
8.2.5 Massa e Energia . . . . . . . . 11
Comenta´rios/Sugesto˜es e Erros: favor enviar para jgallas @ if.ufrgs.br
(listam2.tex)
http://www.if.ufrgs.br/ � jgallas Pa´gina 1 de 11
LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 10 de Novembro de 2003, a`s 10:23
8 Conservac¸a˜o da Energia
8.1 Questo˜es
Q 8-10
Cite alguns exemplos pra´ticos de equilı´brio insta´vel,
neutro e esta´vel.
�
8.2 Problemas e