CAP1 e CAP2 2S 2014

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ELETRICIDADE 
BÁSICA 
 
CAP 01 
CIRCUITOS EM 
CORRENTE 
CONTÍNUA 
 
CAP 02 
CORRENTE 
ALTERNADA EM 
REGIME SENOIDAL 
PERMANENTE 
FEI 2S_2014 
 
Sobre o Autor 
 
Prof. Dr. Devair 
Aparecido Arrabaça. 
 
Formação Acadêmica: 
Graduado pela 
Faculdade de 
Engenharia Industrial 
(FEI) com o título de: 
“Engenheiro Eletricista 
Modalidade Eletrônica” 
Concluído em 1976. 
 
Mestre em Engenharia 
Elétrica pela 
Faculdade de 
Engenharia Industrial, 
Título da Dissertação: 
“Aplicação dos 
Diagramas de Fasores 
no Estudo de 
Retificadores 
Industriais”, concluído 
em 1995. 
 
Doutor em Engenharia 
Elétrica na área de 
Sistemas de Potência, 
pela Escola Politécnica 
da Universidade de 
São Paulo (EPUSP), 
Título da Tese: 
“Formulação 
Matemática da 
característica CC de 
Retificadores 
Trifásicos de Múltiplos 
Pulsos”, concluído em 
2004. 
 
 
Coautor dos livros: 
Conversores de 
Energia Elétrica 
CC/CC para Aplicações 
em Eletrônica de 
Potência. e 
Conversores de 
Energia Elétrica CA/CC 
Teoria, Prática e 
Simulação. 
 
Coordenador do 
Curso de Eletricidade 
Básica na FEI 
 
 
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Sumário 
 
CAPÍTULO 01 – Circuitos em Corrente contínua 04 
 
1. – Teoria de Circuitos Elétricos em Corrente Contínua. 04 
1-1. Postulados, Convenções e Definições Básicas. 04 
 Bipolo Elétrico, Circuito Elétrico 04 
 Ramo, Nó, Laço, Malha, Gerador Ideal de Tensão Elétrica 05 
 Corrente Elétrica 06 
 Característica Elétrica de Bipolos, Potência Elétrica 07 
 Convenção Elétrica de Gerador 07 
Convenção Elétrica de Receptor 08 
 Associação de Bipolos Elétricos 08 
 Associação Série de Bipolos Elétricos 09 
 Associação Paralela de Bipolos Elétricos 08 
 Balanço Geral das Potências Elétricas 08 
1-2. Análise de Circuitos Elétricos e as Leis de Kirchhoff. 09 
 1º. Lei de Kirchhoff 10 
2º. Lei de Kirchhoff 11 
Característica Elétrica do Resistor 12 
Característica Elétrica da Fonte Real de Tensão Contínua 12 
1-3. Análise de Kirchhoff e Maxwell para Circuitos Elétricos. 17 
 Análise de Kirchhoff 17 
 Análise de Maxwell ou Análise de Malhas 19 
 Circuitos com Duas Malhas 20 
 Circuitos com três Malhas 22 
1-4. Solução de Circuitos com Uma, Duas e Três Malhas. 23 
 Circuitos com Uma Malha 26 
 Circuitos com Duas Malhas 32 
 Circuitos com Três Malhas 35 
1-5. Exercícios Propostos. 40 
1-6. Desafios. 46 
 
 
 
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CAPÍTULO 02 – Circuitos Monofásicos em Corrente Alternada 51 
2. –Circuitos Elétricos em Corrente Alternada Senoidal. 51 
2-1. Característica Elétrica do Bipolo Ativo ou Fonte. 51 
2-2. Característica Elétrica dos Bipolos Passivos ou Receptores. 53 
2-2.1 Característica Elétrica do Resistor em CA–Regime 
Senoidal. 54 
 2-2.2 Característica Elétrica do Indutor Ideal em CA–Regime 
 Senoidal. 56 
 2-2.3 Característica Elétrica do Capacitor Ideal em CA–Regime 
 Senoidal. 58 
2-3. Circuito R,L,C Série em Corrente Alternada Senoidal. 60 
2-4. Circuito R,L,C Paralelo Corrente Alternada Senoidal. 64 
2-5. Fator de Potência em Regime Senoidal Monofásico. 67 
2-5.1 Cálculo do Capacitor para Correção do Fator 
 De Potência. 69 
2-6. Solução de Exercícios com Uma ou Duas Malhas. 73 
2-7. Exercícios Propostos. 83 
2-8 Desafios. 89 
 
ANEXO A 94 
ANEXO B 100 
 
 
 
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CAPÍTULO 01 
Circuitos em Corrente Contínua 
Neste capítulo será estudado o comportamento dos circuitos elétricos com 
cargas puramente resistivas alimentadas por um ou mais geradores elétricos de 
tensão contínua. Serão introduzidos conceitos sobre: corrente elétrica, tensão 
elétrica, potência elétrica, característica de bipolos elétricos, as leis de Kirchhoff 
e análise de malhas. Para fixar os conceitos introduzidos serão apresentados 
exercícios resolvidos e exercícios propostos com respostas. Nesta obra não há a 
preocupação de apresentar informações detalhadas sobre a origem e o 
comportamento das grandezas elétricas envolvidas, a preocupação maior é a de 
ensinar o leitor a construir e resolver um sistema linear de equações, a partir do 
circuito elétrico fornecido, tendo como base os postulados, as convenções e as 
leis fundamentais da eletricidade. Espera-se que, após estudar a teoria 
apresentada e resolver os exercícios propostos nesse capítulo, o leitor tenha 
adquirido condições de analisar e dimensionar a maioria dos circuitos elétricos 
contendo resistores e fontes de tensão contínua. 
1. – TEORIA DE CIRCUITOS ELÉTRICOS EM CORRENTE CONTÍNUA 
 
1-1. POSTULADOS, CONVENÇÕES E DEFINIÇÕES BÁSICAS. 
 Por questão de simplicidade de comunicação e de evitar redundâncias nos 
textos, ao citar os termos referentes à eletricidade, tais como; circuito(s) 
elétrico(s), bipolo(s) elétrico(s), corrente(s) elétrica(s), tens(ões) elétrica(s), 
gerador(es) elétrico(s), receptor(es) elétrico(s), potência(s) elétrica(s),....serão, 
dentro do possível, subtraídas as palavras elétrico(s) ou elétrica(s). 
 Bipolo Elétrico: Qualquer componente elétrico com apenas dois terminais 
de acesso é denominado de bipolo elétrico. O bipolo é classificado como ativo 
quando ele gera potência (fontes ou geradores) e como passivo quando ele 
absorve potência (cargas ou receptores). 
 
 Circuito Elétrico: Um circuito elétrico é formado pela associação de bipolos 
elétricos. No exemplo apresentado na figura 1.1 o circuito é formado pela 
associação de quatro bipolos, dos quais “B1” é um bipolo ativo (gerador ou 
fonte) e “B2”, “B3” e “B4” são bipolos passivos (receptores ou cargas). 
 
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 FIG. - 1.1 Exemplo de Circuito Elétrico 
 Ramo: Cada bipolo é considerado um ramo do circuito. O circuito desenhado 
na figura 1.1 possui quatro bipolos elétricos. 
 Nó: O encontro de dois ou mais bipolos definem um nó no circuito. Para 
efeito de equacionamento das correntes no circuito, serão considerados 
apenas os nós devido ao encontro de três ou mais bipolos no circuito, o nó 
devido ao encontro de, apenas, dois bipolos é considerado degenerado, ou 
seja, nele a corrente que entra é a mesma que sai, não havendo necessidade 
de equacioná-lo. No circuito desenhado na figura 1.1 há três nós, o nó “1”, 
degenerado, e os nós “2” e “3”. 
 Laço: Qualquer caminho fechado percorrido no circuito define um laço. O 
circuito elétrico desenhado na figura 1.1 possui três laços: “B1, B2 e B3”, “B3 
e B4” e “B1, B2 e B4”. 
 Malha: Qualquer laço que não possui bipolos elétricos no seu interior é 
definido como malha. No circuito elétrico desenhado na figura 1.1 existem 
apenas duas malhas: “B1, B2 e B3” e “B3 e B4”, observem que o caminho 
formado pelos bipolos “B1, B2 e B4” é laço porem não é malha, pois o bipolo 
elétrico “B3” está inserido no seu interior. 
 Gerador Ideal de Tensão Elétrica: É um bipolo que mantém a tensão nos 
seus terminais qualquer que seja a corrente solicitada, os exemplos mais 
comuns são: a bateria elétrica do carro e as pilhas alcalinas. Na figura 1.1 o 
bipolo elétrico “B1” simboliza um gerador ideal de tensão. A tensão elétrica 
também é denominada de diferença de potencial elétrico “ddp”, sendo 
representadano circuito por uma flecha cuja seta sempre indica o potencial 
elétrico positivo do bipolo. A unidade básica da tensão elétrica é o Volt (V) e 
os seus derivados mais comuns estão indicados na tabela 1.1. 
 
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 Tabela 1.1 
Derivado MV kV mV V 
Valor 
 V610 V310 V310 V 610 
 
 
Nasceu na cidade de Como na Itália, 
estudou em colégio Jesuíta e em 1800 
construiu um aparelho com discos 
alternados de prata e zinco, separado por 
discos de cartão embebidos em uma solução 
salina, empilhados uns sobre os outros, que 
ficou conhecido como a Pilha de Volta. A 
unidade de medida de tensão, Volt, no 
Sistema Internacional, leva o seu nome. 
 Corrente Elétrica: é um movimento ordenado de cargas elétricas no interior 
de um condutor elétrico, provocado pela presença de uma diferença de 
potencial elétrico criada por um gerador de tensão elétrica e aplicada nos 
seus terminais. O sentido convencional da corrente elétrica em um circuito é 
sempre indo do potencial elétrico de tensão mais positivo em direção ao 
potencial elétrico de tensão mais negativo (movimento de cargas positivas). 
A unidade básica da corrente elétrica é o Ampère (A) e os seus derivados 
mais comuns estão indicados na tabela 1.2. 
 Tabela 1.2 
Derivado MA kA mA A 
Valor 
 A610 A310 A310 A 610 
 
 
Nascido em Lyon, dentre outros feitos 
pesquisou o magnetismo provocado por uma 
corrente elétrica dando origem a toda a teoria 
da eletrodinâmica. Foi professor de física, 
química e matemática em Paris, por volta de 
1820 em Paris. Em sua homenagem, a unidade 
de medida de corrente elétrica, Ampere, no 
Sistema Internacional, leva o seu nome. 
 
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 Característica Elétrica de Bipolos: Qualquer bipolo elétrico é caracterizado 
por uma função característica do tipo “V = f(I)”, onde a variável “V” é a 
tensão elétrica e a variável “I” é a corrente elétrica, aplicadas nos seus 
terminais. Por este motivo, analisar um circuito elétrico corresponde a 
determinar a tensão e a corrente elétrica em cada bipolo, ou ramo, deste 
circuito. Por exemplo, analisar o circuito elétrico desenhado na figura 1.1, 
corresponde a encontrar os valores das correntes “I1”, “I2”, “I3” e “I4” e das 
tensões “V1”, “V2”, “V3” e “V4”. 
 Potência Elétrica: Em qualquer bipolo elétrico o produto da tensão pela 
corrente elétrica nos seus terminais define a sua potência elétrica 
"IVP" 
, 
que é fornecida (gerada) ou recebida (dissipada ou útil) pelo bipolo. Essa 
potência será sempre fornecida se o bipolo for um gerador ou uma fonte e 
recebida, dissipada ou útil se o bipolo for um receptor ou carga elétrica. A 
unidade básica da potência é o Watts (W) e os seus derivados mais comuns 
estão indicados na tabela 1.3. 
 Tabela 1.3 
Derivado MW kW mW W 
Valor 
 W610 W310 W310 W 610 
 
 
Nascido em Greenock Escócia, aperfeiçoou a 
máquina a vapor e definiu a grandeza horse 
power (HP) que equivaleria aproximadamente 
a capacidade de elevar a um metro de altura 
uma massa de cerca de 76 kg em um segundo, 
observando a capacidade com que um cavalo 
levantava peso. Em sua homenagem, a 
unidade de medida de potência, Watt, no 
Sistema Internacional, leva o seu nome. 
 Convenção elétrica de Gerador: O bipolo será considerado um gerador 
elétrico se a corrente entrar pelo seu terminal de potencial elétrico negativo, 
(Corrente e tensão elétrica representadas com setas no mesmo sentido). 
Investigando o circuito elétrico desenhado na figura 1.1, se conclui que 
apenas o bipolo elétrico “B1” é um gerador ou fonte, pois nele as setas 
 
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representativas da corrente e da tensão são concordantes em sentido. 
Portanto, ao analisar um circuito elétrico e concluir que as setas que 
representam a tensão e a corrente elétrica em um determinado bipolo deste 
circuito são concordantes, este bipolo é caracterizado como um gerador 
elétrico e o valor desta potência gerada é igual ao produto da tensão pela 
corrente elétrica neste bipolo. 
 Convenção elétrica de Receptor: O bipolo será receptor se a corrente 
entrar pelo seu terminal de potencial positivo, (Corrente e tensão 
representadas com setas discordantes em sentidos). Investigando o circuito 
elétrico desenhado na figura 1.1, se conclui que os bipolos “B2”, “B3” e “B4” 
são receptores ou cargas, pois neles as setas representativas das correntes e 
das tensões são discordantes em sentido. Portanto, ao analisar um circuito e 
concluir que as setas que representam a tensão e a corrente em um bipolo 
são discordantes, este bipolo é caracterizado como um receptor e o valor da 
potência recebida (dissipada ou utilizada) é igual ao produto da tensão pela 
corrente deste bipolo. 
 Associação de Bipolos Elétricos: Um circuito elétrico é formado por 
bipolos associados em série, em paralelo ou associação mista. 
 Associação Série de Bipolos Elétricos: Dois ou mais bipolos estão 
associados em série quando forem atravessados pela mesma corrente 
elétrica. Na associação série a tensão total aplicada na associação dos 
bipolos é dividida entre os bipolos, por isso esta associação é denominada de 
divisor de tensão. Analisando o circuito elétrico desenhado na figura 1.1, os 
bipolos B1 e B2 estão associados em série, pois são atravessados pela 
mesma corrente elétrica, “I1 = I2”. 
 Associação Paralela de Bipolos Elétricos: Dois ou mais bipolos estão 
associados em paralelo quando estão submetidos à mesma tensão. Na 
associação paralela a corrente total que entra ou sai da associação se divide 
pelos bipolos, por isso esta associação é denominada de divisor de corrente. 
Analisando o circuito elétrico desenhado na figura 1.1, os bipolos “B3” e “B4” 
estão associados em paralelo, pois estão submetidos à mesma tensão, “V3 = 
V4”. 
 Balanço Geral das Potências Elétricas: A potência total gerada 
(fornecida) é sempre igual à potência total recebida (dissipada ou útil) no 
 
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circuito, ou seja: uma vez analisado e selecionado quais são os bipolos 
geradores e quais são os bipolos receptores em um determinado circuito, o 
balanço das potências deve ser verificado. 
 
1-2. ANÁLISE DE CIRCUITOS ELÉTRICOS E AS LEIS DE KIRCHHOFF. 
 
Nascido em Königsberg, Alemanha, formado 
em física, teve participação fundamental no 
entendimento e análise de circuitos elétricos, 
na teoria da ciência de espectroscopia e no 
desenvolvimento do estudo da emissão da 
radiação do corpo negro para aquecimento de 
objetos. Com base na teoria da conservação 
das cargas elétricas e da energia, em 1845 
enunciou as duas leis básicas da eletricidade. 
 Dimensionar um circuito elétrico corresponde a determinar o valor da 
potência em cada bipolo elétrico deste circuito e então selecionar, junto aos 
fabricantes, os bipolos de forma que suportem, com segurança, estes valores 
encontrados para as potências. No final da análise do circuito sempre é possível 
fazer o balanço das potências, isto é, verificar que o valor da potência total 
fornecida é igual ao valor da potência total recebida. 
 Um circuito elétrico pode ser analisado praticamente em laboratório, 
através do uso dos instrumentos de medidas, ou então teoricamente através do 
seu equacionamento matemático fundamentado nas leis e postulados da 
eletricidade; em ambos os casos é preciso determinar o valor da tensão e o 
valor da corrente em cada bipolo, para finalmente determinar as potências 
envolvidas. 
 No caso do estudo prático (laboratório), o circuito elétrico já está pronto 
com os seus bipolos interligados,então a análise é feita utilizando-se 
instrumentos de medidas adequados, que no caso se restringe ao uso do 
instrumento denominado de Multímetro, que permite realizar vários tipos de 
medidas elétricas, dentre elas podem-se ressaltar as seguintes: 
a) Medida de Tensão contínua: Nesta condição o Multímetro é denominado 
de Voltímetro e deve ser inserido em paralelo com o bipolo no qual se 
 
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deseja determinar a tensão aplicada. Na maioria das aplicações ele pode 
ser considerado ideal, ou seja, é um bipolo que não dissipa potência do 
circuito. (Se trata de um instrumento com resistência elétrica interna 
muito grande e, consequentemente, com corrente desprezível). 
b) Medida de Corrente Contínua: Nesta condição o Multímetro é denominado 
de Amperímetro e deve ser inserido em série com o bipolo no qual se 
deseja determinar a corrente. Na maioria das aplicações ele é considerado 
ideal, ou seja, é um bipolo que não dissipa potência no circuito. (Se trata 
de um instrumento com resistência elétrica interna muito pequena e, 
consequentemente, com tensão desprezível). 
No caso do estudo teórico, realiza-se o estudo aplicando-se os conceitos 
básicos das duas leis de Kirchhoff e da característica elétrica “V=f(I)” de 
bipolos, obtendo-se um sistema de equações que, uma vez resolvido, permite 
obter os valores da tensão e da corrente em cada bipolo do circuito e, então 
efetuar o balanço das potências dimensionando corretamente este circuito. 
É possível fazer a seguinte afirmativa: Aplicando-se as duas leis de 
Kirchhoff e conhecendo-se a característica elétrica dos bipolos que constituem o 
circuito, é possível analisar e dimensionar qualitativamente qualquer circuito 
elétrico, motivo pelo qual se apresenta o estudo a seguir. 
 1o. Lei de Kirchhoff: Em qualquer nó (encontro de três ou mais bipolos) 
do circuito a soma algébrica das correntes é sempre igual à zero. Para 
aplicar essa lei e obter as equações das correntes no circuito, adota-se um 
sentido arbitrário para representar a corrente em cada bipolo e considera-
se que: a soma das correntes que entram em um nó é igual à soma das 
correntes que saem desse nó. De acordo com essa orientação, os nós (2 e 
3) do circuito ilustrado na figura 1.1 fornecem as seguintes equações: 
Nó “2” -> I1= I2+I3 (01) 
Nó “3” -> I2+I3= I1 (02) 
Como é fácil de perceber a equação do nó “3” é a mesma que a equação 
do nó “2” e não precisa ser considerada, pois não trás informação nova para o 
sistema de equações. Desta observação conclui-se que: “Em um circuito com 
“n” nós, não degenerados, apenas “n-1” equações de “nós” interessam para o 
sistema final de equações.” O nó não considerado no equacionamento é adotado 
como nó de referência e a ele é atribuído o potencial zero ou terra. Como no 
 
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circuito da figura 1.1 existem dois “nós”, apenas uma única equação de nó é 
relevante para o sistema final de equações, que é a equação (01) ou a equação 
(02). 
 2o. Lei de Kirchhoff: Em qualquer laço (caminho fechado) do circuito a 
soma algébrica das tensões pertencentes a esse laço é sempre igual à 
zero. Existem alguns métodos para se aplicar corretamente essa lei e obter 
o sistema final de equações das tensões do circuito. Nessa obra será 
considerado o seguinte método: 
1º. Caso não sejam fornecidos os sentidos para representação das 
correntes e tensões no circuito, adotar arbitrariamente estes sentidos. 
2º. Seleciona-se um determinado laço, percorre-se esse laço no sentido 
horário somando-se algebricamente as tensões pelo caminho, atribuindo 
sinal positivo para as tensões cujas setas representativas discordam do 
sentido de percurso e sinal negativo para aquelas que concordam com o 
sentido de percurso. 
De acordo com essa orientação, os laços (L1, L2 e L3) do circuito ilustrado 
na figura 1.1 fornecem as seguintes equações: 
Laço=Malha (B1,B2 e B3) -> - V1 + V2 + V3 = 0 (03) 
Laço (B1, B2 e B4) -> - V1 + V2 + V4 = 0 (04) 
Laço=Malha (B3 e B4) -> - V3 + V4 = 0 (05) 
 Analisando este sistema de equações se observa que a equação obtida no 
laço (B1, B2 e B4) é combinação linear das equações obtidas nos outros dois 
laços, ou seja, somando-se as equações obtidas nos laços (B1, B2 e B3) e (B3 e 
B4) obtém-se a equação do laço (B1, B2 e B4). Então se pode generalizar e 
afirmar que: “Em um circuito elétrico as equações de tensões que interessam 
para o sistema final são aquelas obtidas pela aplicação da 2º. lei de Kirchhoff 
aplicada apenas às malhas do circuito”. Por exemplo, no circuito ilustrado na 
figura 1.1 existem duas malhas e, portanto há duas e apenas duas equações de 
tensões que interessam para o sistema final de equações, que são as equações 
(03) e (05). 
Obs: Os circuitos, aqui considerados, serão constituídos por fontes reais de 
tensão contínua e por resistores elétricos associados em série, paralelo ou 
misto. Para representar as correntes e as tensões nesses circuitos, basta 
lembrar que nas fontes a corrente e a tensão concordam em sentidos e nos 
resistores a corrente e a tensão discordam em sentidos. 
 
 
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 Característica Elétrica do Resistor: O resistor é sempre um bipolo 
elétrico receptor ou passivo, cuja equação característica V = f(I) é definida 
pela lei de Ohm, que estabelece a seguinte relação: 
IRV 
. 
 
Físico alemão nascido em Erlangen. No ano 
de 1827 publicou o seguinte enunciado: "A 
intensidade da corrente elétrica que percorre 
um condutor é diretamente proporcional à 
diferença de potencial e inversamente 
proporcional à resistência do circuito". Até 
hoje conhecido como a Lei de Ohm. Em sua 
homenagem a unidade de resistência elétrica, 
Ohm, do Sistema Internacional, tem seu nome. 
A tabela abaixo apresenta de forma resumida, as principais considerações 
atribuídas ao bipolo resistor elétrico: 
Bipolo Receptor Característica Potência Recebida Símbolo 
Resistência 
Unidade 
(Ohm - ) 
IRV 
 
2
2
I R 
V
IV P 
R
 
 
 
 Característica Elétrica da Fonte Real de Tensão Contínua: A fonte 
real de tensão contínua é um bipolo ativo que corresponde à associação 
série (mesma corrente) de uma fonte ideal de tensão com um resistor 
(perdas), conforme ilustra o desenho da figura 1.2, a tensão gerada “E” é 
denominada de “Força Eletromotriz” e a sua unidade é o Volts (V). 
 
FIG. - 1.2 – Fonte Real de Tensão Contínua 
A partir da segunda lei de Kirchhoff e da característica elétrica de bipolos, 
pode-se escrever as seguintes equações: 
VrEV 
 (06) 
IrVr 
 (07) 
 
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Combinando as equações (06) e (07), obtêm-se a equação característica 
elétrica da fonte real de tensão contínua, estabelecida equação (08) a seguir: 
IrEV 
 (08) 
A equação (08) permite estabelecer as seguintes conclusões: 
a) Em uma fonte real de tensão, a tensão fornecida ou útil “E” é igual à 
tensão gerada “V” menos a tensão perdida internamente “Vr”. 
b) Multiplicando-se a equação (08) pela corrente “I” que atravessa a fonte, 
obtêm-se as expressões que representam as potências em fonte real de 
tensão, conforme ilustra a tabela 1.4. 
Tabela 1.4 
Equação das Potências 
2IrIEIV  
Potências envolvidas 
PdPgPu 
 
Potência útil 
IVPu 
 
Potência gerada 
IEPg 
 
Potência dissipada internamente 
IVrIrPd 2 
 
A seguir são apresentados dois exemplos a título de fixação dos conceitos 
apresentados. 
1º. Dado o circuito elétrico desenhado na figura1.3a, onde a tensão 
gerada pela fonte é igual a 60 Volts, responda as seguintes perguntas: 
a) Indicar no circuito os sentidos reais da corrente e das tensões. 
b) Qual o valor da potência dissipada no resistor de 10. 
c) Qual o valor da potência total gerada. 
 
FIG. - 1.3 a) Circuito fornecido. b) Circuito com indicações das 
correntes e das tensões. 
 
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Como no circuito da figura 1.3a há somente uma fonte e lembrando que 
na fonte a corrente e a tensão possuem mesmo sentido, é fácil verificar que o 
“real” sentido da corrente no circuito é o horário e como os resistores são 
sempre receptores, o sentido das tensões sobre eles é o oposto ao da corrente, 
resultando as representações indicadas no circuito desenhado na figura 1.3b. 
 Para determinar os valores das correntes e das tensões aplicam-se as leis 
de Kirchhoff e a característica elétrica de bipolos, obtendo-se equações a seguir: 
 Como há somente um laço no circuito, adotando-se o sentido horário de 
percurso obtém-se a seguinte equação das tensões: 
 
0E4V3V2V1V 
 (09)
 Como a tensão da fonte é igual a “60 Volts”, a equação característica de 
cada resistor é igual a “V=R.I” e que a corrente “I” é única no circuito, pode-se 
escrever a seguinte equação: 
060I5I10I5I5 
 (10) 
Dando como resultado o valor para a corrente: 
 
2,4A I 
 (11) 
 Como o sentido da corrente “I” foi “adotado corretamente” o resultado 
encontrado para a corrente foi positivo “+2,4A”, caso contrário esse resultado 
seria negativo, indicando que o sentido que foi “adotado” é contrário ao sentido 
real da corrente no circuito. Portanto, neste caso, a corrente percorre o circuito 
no sentido horário com módulo de valor igual a 4A. 
Em seguida se calcula a queda de tensão sobre cada bipolo do circuito, 
conforme a indicação feita no circuito desenhado na figura 1.4, obtendo-se as 
respostas procuradas. 
a) Indicação e valores das correntes e tensões no circuito. 
 
 FIG. - 1.4 Circuito desenhado com as indicações dos sentidos e valores 
das tensões e das correntes. 
 
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b) Potência dissipada no resistor de 10 . 
I3VP10 
  
4,224P10 
  
W6,57P10 
 (11) 
c) Potência total gerada: 
4,260PTg 
  
W144PTg 
 (12) 
Observações: 
 Como a potência total gerada ou fornecida (bipolos geradores ou fontes) é 
sempre igual à potência total recebida (bipolos receptores) é prudente 
verificar se o balanço confere: 
I4VI3VI2VI1VPTr 
  
4,2124,2244,2124,212PTr 
  
W144PTr 
. (balanço de potências conferido) (13) 
 Como os resistores são percorridos pela mesma corrente estão associados 
em série e podem ser substituídos por um único resistor igual à soma 
desses resistores, ou seja: 
 2551055
. Generalizando, pode-se 
afirmar que na associação série o resistor equivalente é igual à soma dos 
resistores individuais, ou que: 
 sérieeq RR
. 
 No circuito existem 5 bipolos: 1 gerador e 4 receptores, sendo que a 
potência fornecida pelo gerador é, proporcionalmente, recebida, dissipada 
ou utilizada pelos resistores. 
2º. Dado o circuito elétrico desenhado na figura 1.5a, onde as forças 
eletromotrizes são, respectivamente, iguais a 60V e 85V, responda as seguintes 
perguntas: 
a) Indicar no circuito os sentidos reais da corrente e das tensões. 
b) Qual o valor da e a natureza da potência no bipolo E1. 
c) Qual o valor da potência total gerada. 
 
FIG. - 1.5 a) Circuito Fornecido. b) Circuito com indicação dos sentidos 
adotados para a corrente e as tensões. 
 
FEI_2S_201
4 
 
16 
 
No circuito da figura 1.5a os resistores são bipolos receptores, porem os 
bipolos E1 e E2 podem funcionar como receptor ou gerador, então adotando 
“E1” como bipolo gerador a corrente pelo circuito terá sentido horário e 
consequentemente as tensões nos resistores terão sentidos opostos ao da 
corrente, como ilustra o circuito desenhado na figura 1.5b. Os sentidos das 
tensões nos supostos geradores (E1 e E2) sempre indicam o potencial positivo, 
independente do sentido da corrente no bipolo. De acordo com o circuito da 
figura 1.5b pode-se obter as seguintes equações: 
 Laço=Malha: 
01E2E4V3V2V1V 
 (14) 
Característica: 
02085I5I10I5I5 
 
Solução: 
25I25 
 
 Portanto: 
A0,1I 
 (15) 
 Como resultou um valor negativo para a corrente, o sentido “real” é o 
sentido oposto ao adotado, ou seja, sentido anti-horário e com o módulo de 
valor igual a “1A”. Conhecendo-se o valor e o sentido da corrente é possível 
obter as respostas procuradas: 
a) Indicação e valores das correntes e tensões no circuito. 
Resulta o circuito desenhado na figura 1.6, onde estão representados os 
valores e os sentidos das tensões e da corrente em cada bipolo. 
 
FIG. - 1.6 Circuito elétrico com as indicações dos sentidos e dos valores 
das tensões e da corrente. 
b) Potência dissipada no resistor de 10 . 
I3VP10 
  
110P10 
  
W10P10 
 (16) 
c) Potência total gerada: 
185PTg 
  
W85PTg 
 (17) 
 
FEI_2S_201
4 
 
17 
 
OBS: 
 No circuito apenas o bipolo E2 é gerador, a princípio se imagina que há 
dois geradores, porem a corrente calculada entra pelo terminal positivo de 
“E1” caracterizando-o como receptor. Esta situação é possível quando se 
está energizando (carregando) a bateria do carro. 
 Como a potência total gerada é sempre igual à potência total recebida é 
prudente verificar se o balanço confere: 
I1EI4VI3VI2VI1VPTr 
  
160151101515PTr 
  
W85PTr 
. (balanço de potências conferido) (18) 
 No circuito existem 6 bipolos elétricos: 1 gerador e 5 receptores, sendo 
que a potência total fornecida é igual a 85W dos quais, 25W são dissipados 
nos resistores e 60W são recebidos pelo bipolo E1. 
1-3. ANÁLISES DE KIRCHHOFF E MAXWELL PARA CIRCUITOS ELÉTRICOS. 
 a) ANÁLISE DE KIRCCHHOFF 
Em geral os circuitos elétricos podem ser analisados aplicando-se as duas 
leis básicas de Kirchhoff e o conceito de característica de bipolos. Assim sendo, 
considere o circuito desenhado na figura 1.7, onde uma fonte de tensão contínua 
fornece 110V a quatro resistores, 10kΩ, 2kΩ, 1kΩ e 1kΩ, de carga. 
 
FIG. - 1.7 Circuito com 5 bipolos. 
O sistema de equações que permite analisar este circuito pode ser obtido 
da seguinte maneira: 
1º. Acrescentar os sentidos das correntes e das tensões em cada bipolo 
obedecendo as convenções de gerador e receptor, obtendo o circuito desenhado 
na figura 1.8. 
 
FEI_2S_201
4 
 
18 
 
 
FIG. - 1.8 Circuito com as indicações das correntes e das tensões. 
2º. Aplicar as duas leis de Kirchhoff e obter o sistema de equações das 
correntes e das tensões do circuito, de acordo com o seguinte 
procedimento: 
- Selecione no circuito os nós não de referência, neste caso apenas o nó 
”B”, e aplique a 1º. Lei de Kirchhoff obtendo a equação (19). 
Nó B: 
IcIbIa 
 

 
IcIaIb 
 (19) 
 - Selecione no circuito as malhas, neste caso as malhas “ABEF” e “BCDE” 
e aplique a 2º. Lei de Kirchhoff obtendo as equações (20) e (21). 
Malha ABEF: 
2V1V110 
 

 
1102V1V 
 (20) 
Malha BCDE: 
4V3V2V 
 

 
02V4V3V 
 (21) 
3º. Utilize a equação característica “
IRV 
” aplicada a cada resistor do 
circuito, obtendo as equações (22), (23), (24) e (25). 
Iak101V 
 (22) 
Ibk22V 
 (23) 
Ick13V 
 (24) 
Ick14V 
 (25)Substitua as equações características nas respectivas equações de 
malhas, obtendo as equações (26) e (27). 
110Ibk2Iak10 
 (26) 
0Ibk2Ick1Ick1 
 (27) 
4º. Resolva o sistema final de equações, formado pelas equações (19), 
(26) e (27), que permite calcular as correntes do circuito e consequentemente 
dimensioná-lo. A seguir é feito os calculados dessas correntes. 
Substitua a equação (19) nas equações (26) e (27) e realize o tratamento 
matemático até obter o sistema matricial de equações (28). 
 
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4 
 
19 
 
110)IcIa(k2Iak10 
 
0)IcIa(k2Ick1Ick1 
 








0Ick4Iak2
110Ick2Iak12 
Organizando esse sistema de equações em forma de matriz, resulta o 
seguinte sistema matricial de equações: 




















0
110
Ic
Ia
k4k2
k2k12
 
 (28) 
 
A solução do sistema fornece os seguintes valores: 
mA 5Ic e mA 10Ia 
, 
que substituídos na equação (19) fornece o valor: 
mA 5Ib 
. 
 Como todos os valores encontrados para as correntes são positivos, todas 
elas foram “chutadas” no sentido correto, então se calcula as potências em cada 
bipolo e em seguida se faz o balanço das potências. Resultam os seguintes 
valores: 
Potência total gerada 

 
3
TG 1010110P

 
mW 1100PTG 
 
Potência total dissipada 

 
       2222TR Ick1Ick1Ibk2Iak10P 
 
       233233233233TR 105101051010510210101010P  
 
mW 1100PTR 
 (Balanço conferido). 
 
b) ANÁLISE DE MAXWELL OU ANÁLISE DE MALHAS 
 
 
Nascido em Edimburgo, Escócia, foi o físico que 
mais contribuiu para a física matemática, 
explicando os fenômenos físicos da época através 
de equações. Entre os anos de 1860 e 1865 
elaborou a teoria do eletromagnetismo, ainda 
hoje ensinada como foi desenvolvida a mais de 
um século atrás. No estudo da eletricidade 
elaborou a análise de circuitos elétricos através 
das “Equações de Maxwell”. 
 
 
FEI_2S_201
4 
 
20 
 
O método enunciado por Maxwell é uma simplificação das leis de 
Kirchhoff, cujo procedimento é o de se fixar para cada uma das “m” malhas 
isoladas do circuito “m” correntes fictícias, todas circulando no mesmo sentido 
(será considerado o sentido horário) e em seguida montar um sistema matricial 
com “m” equações e “m” incógnitas, que resolvido permite determinar os 
valores e os sentidos corretos dessas correntes fictícias. Uma vez conhecido os 
valores das correntes fictícias das “m” malhas, por analogia é possível 
determinar o valor de cada corrente de ramo e então dimensionar os bipolos 
que constituem o circuito. 
Para mostrar praticidade da aplicação desse método serão considerados 
circuitos com duas ou três malhas e em seguida determinado os valores das 
correntes dos ramos destes circuitos a partir de um enunciado, passo a passo, 
para aplicação do método. Com isto espera-se que o leitor consiga estender o 
método para a solução de circuito com “m” malhas. 
 Circuitos com duas malhas. 
Considere o circuito desenhado na figura 1.7, antes resolvido pela 
aplicação das Leis de Kirchhoff, a solução por Maxwell é assim obtida: 
1º. Identificar todas as Malhas do circuito. (Malha “

” e Malha “

”) 
2º. Adotar obrigatoriamente todas as correntes fictícias de malhas no 
sentido horário (correntes “

” e “

”). Resultando o circuito desenhado na 
figura 1.9. 
 
FIG. - 1.9 Circuito com as indicações das correntes de malhas. 
3º. Obter um sistema matricial de duas equações a duas incógnitas com o 
formato indicado na equação (29): 
 


























E
E
RR
RR (29) 
 
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4 
 
21 
 
 Onde os elementos em cada matriz são assim obtidos: 
“
R
” é um elemento sempre positivo e igual à soma dos resistores que 
pertencem a malha “

”. No caso: 
 R
= 10k + 2k = 12k 
“
R
” é um elemento sempre positivo e igual à soma dos resistores que 
pertencem a malha "

". No caso: 
 R
= 1k + 1k + 2k = 4k 
“
 R R  
” são elementos sempre iguais entre si e negativos, com valor 
igual ao da resistência comum às malhas "

” e “

". No caso: 
 R R  
= 2K 
“
E
” é um elemento sempre igual à soma algébrica das forças 
eletromotrizes das fontes de tensões que pertencem à malha “

”, sendo 
positivo se a corrente da malha sair pelo polo positivo da fonte e negativo caso 
contrário. No caso: 
 E
= + 110. 
 “
E
” é um elemento sempre igual à soma algébrica das forças eletromotrizes 
das fontes de tensões que pertencem à malha "

", sendo positivo se a corrente 
da malha "

" sair pelo polo positivo da fonte e negativo caso contrário. No 
caso: 
E
 = 0, pois não há gerador na malha "

". 
 Resulta então o seguinte sistema matricial de equações apresentado em 
(30), que é o mesmo sistema obtido em (28), sem passar pelas equações de 
Kirchhoff. 
 




















0
110
Ic
Ia
K4K2
K2K12 (30) 
A solução do sistema fornece os módulos (valores) e os sentidos (sinais) 
das correntes fictícias de malha, ou seja: 
mA 10
 e 
mA 5
, como os 
sinais são positivos os sentidos adotados estão corretos, caso contrário se 
inverteria o sentido. As correntes de ramos (Ia, Ib e Ic) são iguais à soma 
algébrica das correntes fictícias de malhas (

 e 

), obtendo as seguintes 
relações: 
 IIa
  pois o ramo “a” pertence apenas à malha “

” e o seu sentido no ramo 
coincide com o sentido na malha, obtendo: 
mA 10Ia 
 
 
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22 
 
 IIc
  pois o ramo “c” pertence apenas à malha “

”e o seu sentido no ramo 
coincide com o sentido na malha, obtendo: 
mA 5Ic 
 
  IIIb
  pois o ramo “b” pertence simultaneamente às malhas “

” e “

”, 
sendo que o sentido da corrente no ramo “b” concorda (sinal +) com o sentido 
da corrente da malha “

” e discorda (sinal -) do sentido da corrente de malha 
“

”, obtendo: 
mA 5Ib 
. 
 Circuitos com três malhas. 
Dado um circuito elétrico qualquer contendo fontes de tensão contínua e 
resistores formando três malhas 
" e ," 
, pode-se, pela aplicação da análise 
de Maxwell, obter diretamente o sistema matricial de equações que permite 
determinar os valores das correntes dos ramos, seguindo os seguintes passos: 
1° - Adotam-se as correntes fictícias “
 e ,
” nas respectivas malhas, 
todas orientadas no sentido horário. 
2° - Montar diretamente do circuito um sistema matricial de equações 3X3 
conforme indicação a seguir: 
 



















































E
E
E
RRR
RRR
RRR
 
 Os elementos da matriz (3X3) de resistores e do vetor (3X1) das fontes 
são assim obtidos: 
 “
R
” é um elemento sempre positivo e igual à soma dos resistores que 
pertencem a malha “

”. 
“
R
” é um elemento sempre positivo e igual à soma dos resistores que 
pertencem a malha "

". 
“
R
”é um elemento sempre positivo e igual à soma dos resistores que 
pertencem a malha "

" 
“
 R R  
” são elementos sempre negativos e iguais entre si eà 
resistência comum às malhas "

” e “

". 
“
 R R  
” são elementos sempre negativos e iguais entre si e à 
resistência comum às malhas "

” e “

". 
 
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4 
 
23 
 
“
 R R  
” são elementos sempre negativos e iguais entre si e à 
resistência comum às malhas "

” e “

". 
“
 E
” é um elemento sempre igual à soma algébrica das forças 
eletromotrizes das fontes de tensões que pertencem à malha “

”, sendo 
positivo se a corrente fictícia da malha "

" sair pelo polo positivo da fonte e 
negativo caso contrário. 
 “
 E
” é um elemento sempre igual à soma algébrica das forças 
eletromotrizes das fontes de tensões que pertencem à malha "

", sendo 
positivo se a corrente da malha "

" sair pelo polo positivo da fonte e negativo 
caso contrário. 
“
 E
” é um elemento sempre igual à soma algébrica das forças 
eletromotrizes das fontes de tensões que pertencem à malha “

”, sendo 
positivo se a corrente fictícia da malha “

” sair pelo polo positivo da fonte e 
negativo caso contrário. 
 Exemplos de aplicação: 
a) Dado o circuito desenhado na figura 1.10 determine as correntes fictícias das 
malhas e desenhe o circuito com os sentidos e valores corretos das correntes 
dos ramos. 
 FIG. - 1.10 Circuito com três malhas. 
 









































1628
288
820
)6104( 4 0 
4 )442( 2 
0 2 )28(
 
 









































44
20
12
2040
4102
0210
 
 Cuja solução fornece os seguintes valores fictícios: 
2 e 1- 1, 
 a partir dos quais se determinam as correntes de 
ramos, ou seja: 
 
FEI_2S_201
4 
 
24 
 
 
1A Ia Ia 
 
 
2A Ib (-1)-1 Ib - Ib 
 
 
1A- Ic Ic 
 
 
2A Id Id 
 
 
3A- Ie 2-(-1) Ie - Ie 
 
As correntes com resultados positivos foram “adotadas” no sentido correto 
e as correntes com resultados negativos foram “adotadas” no sentido inverso e, 
portanto o sentido correto é o oposto do sentido “adotado”. Desta forma, 
obtém-se o circuito da figura 1.11 com as indicações corretas das correntes dos 
ramos. Observe que o bipolo de “8V” funciona como receptor, pois a corrente 
entra pelo seu terminal de potencial positivo. 
 
FIG. - 1.11 Circuito com as indicações corretas das correntes nos ramos. 
b) Dado o circuito desenhado na figura 1.12 determine as correntes fictícias das 
malhas e desenhe o circuito com os sentidos e valores corretos das correntes 
dos ramos. 
 
 FIG. - 1.12 Circuito com três malhas. 
 
FEI_2S_201
4 
 
25 
 









































40
4020
2520
)1010( 0 10 
0 )15105( 5 
10 5 )1055(
 
 









































40
20
45
20010
0305
10520
 
 Cuja solução fornece os seguintes valores fictícios: 
1 e 1- 2,- 
 a partir dos quais se determinam as correntes de 
ramos, ou seja: 
 
A2Ia(-2)- Ia Ia 
 (sentido correto) 
 
1A- Ib (-1)-2- Ib - Ib 
(sentido invertido) 
 
1A- Ic Ic 
 (sentido invertido) 
 
1A- Id Id 
(sentido invertido) 
 
2A Ie(-1)-1 Ie - Ie 
 (sentido correto) 
 
3A If (-2)-1 If - If 
(sentido correto) 
Então resulta o circuito desenhado na figura 1.13 com as indicações 
corretas das correntes dos ramos. 
 
 FIG. - 1.13 Circuito com as indicações corretas das correntes nos ramos. 
OBS: Verifique o balanço das potências. 
 
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26 
 
1-4. SOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS COM UMA, DUAS E TRÊS MALHAS. 
A) Circuitos com uma malha. 
A–01 Dado o circuito elétrico desenhado na figura 1.14a, pede-se responder as 
seguintes perguntas: 
a) Desenhar o circuito com as indicações corretas dos sentidos e valores das 
correntes e tensões. 
b) Calcule o valor da potência dissipada no resistor de 10. 
c) Calcule o valor da potência total gerada. 
Solução: 
 
FIG. - 1.14 a) Circuito elétrico 
 b) Indicação do sentido adotado para a corrente. 
Como há somente uma malha, obtém-se apenas uma equação matricial, 
ou seja: 
  40601015 
  
4 
  
A4II 
 (sentido correto) 
a) Indicação e valores da corrente e das tensões no circuito. 
 
FIG. - 1.15 Circuito com as indicações de corrente e tensões. 
 
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27 
 
b) Potência dissipada no resistor de 10 . 
IVP10 
  
440P10 
  
W160P10 
 
c) Potência total gerada 
440460PTg 
 
W400PTg 
 
OBS: Verifique o balanço das potências. 
A–02 Dado o circuito elétrico desenhado na figura 1.16a, sabe-se que o resistor 
de 15 dissipa 240W, pede-se determinar: 
a) O valor da força eletromotriz “E”. 
b) O valor da tensão 
 ABV
 entre os pontos A e B. 
c) O valor da tensão 
 CAV
 entre os pontos C e A. 
d) O valor da potência total recebida. 
 
FIG. - 1.16 a) Circuito elétrico 
 b) Indicação do sentido adotado para a corrente. 
Solução: 
Equação obtida a partir da malha “

”  
  E608215 
 (31) 
Equação obtida a partir da potência  
 2R IRP 
  
 215240 
 (32) 
Combinando as equações (31) e (32) obtém-se as respostas indicadas em (33): 
4
 ou 
4
 (33) 
É necessário verificar se as duas respostas são possíveis: 
Para 
4
  
  E6048215 
  E=40V (resposta válida) 
Para 
4
  
    E6048215 
  E=-160V como “E” deve assumir 
um valor positivo, esta resposta deve ser descartada. 
Portanto as respostas procuradas estão calculadas a seguir: 
 
FEI_2S_201
4 
 
28 
 
a) Cálculo do valor da tensão 
 BAAB VVV 
 entre os pontos A e B. 
 
Separando o circuito em duas partes, conforme figura acima, e adotando 
o sentido horário para percurso do laço, obtêm-se os seguintes resultados: 
Circuito 1  
06048415VAB 
  
V32VAB 
 
Circuito 2  
0V4042 AB 
  
V32VAB 
 
Os resultados são iguais, mostrando que uma vez dividido o circuito em 
partes, no caso duas, o resultado independe da parte selecionada para análise, 
bastando equacionar uma delas para obter a resposta procurada. Escolher para 
análise a parte mais simples, que neste caso é o circuito 2. 
b) O valor da tensão 
 ACCA VVV 
 entre os pontos C e A. 
 
Adotando o sentido horário para analisar a parte 
selecionada, obtém-se o seguinte resultado: 
041560VCA 
  
 
V0VCA 
 
OBS: Verifique que o resultado se mantém caso se 
faça a análise utilizando a outra parte do circuito. 
c) O valor da potência total dissipada. 
Os resistores são os bipolos receptores, portanto a potência total dissipada é 
obtida pela seguinte equação: 
   2Td 42815P 
  
W400PTd 
. 
A–03 No circuito desenhado na figura 1.17a o resistor de 10 dissipada 160W. 
Pede-se determinara polaridade e o valor da força eletromotriz “E” do bipolo 
ativo ideal ligado entre os pontos “A e B”. Sinalize a corrente e as tensões nos 
possíveis circuitos que satisfazem essa condição. 
 
FEI_2S_201
4 
 
29 
 
 
FIG. - 1.17 a) Circuito elétrico 
 b) Indicação do sentido adotado para a corrente. 
Solução: 
Equação obtida a partir da malha “

”: 
  E40 1087 
 
Equação obtida a partir da potência: 
 210 10P 
  
 210160 
  
4 
 
Para 
4 
  
    E40 41087 
  E=+60V 
Para 
4 
  
    E40 41087 
  E=-140V 
Resultam então os circuitos desenhados na figura 1.18 que satisfazem a 
condição imposta pelo exercício. Estão indicadas em cada circuito os valores e 
sentidos da corrente e tensões. 
 
FIG. - 1.18 Circuitos que satisfazem a condição do exercício A-03. 
Obs: Como a força eletromotriz “E” sempre é um valor positivo a polaridade o 
bipolo ativo ideal do circuito “B” possui polaridade invertida em relação ao do 
circuito “A”. Confira o balanço das potências. 
 
FEI_2S_201
4 
 
30 
 
A–04 Considere o circuito desenhado na figura 1.19 e calcule o valor do resistor 
“R” para que o mesmo dissipe 240W. 
 
FIG. - 1.19 a) Circuito elétrico 
 b) Indicação do sentido adotado para a corrente. 
Solução: 
Equação obtida a partir da malha “

”: 
  16060 64R 
 (34) 
Equação obtida a partir da potência dissipada em “R”: 
 2R RP 
  
 2R240 
  
 
R
240
 
2

 (35) 
A equação (34) pode ser assim reescrita: 
    222 )100(10R 
 (36) 
Combinando as equações (35) e (36) obtém-se os seguintes resultados 
apresentados em (37). 
  10000
R
240
10R
2

 
R1000024000R4800R240 2 
 
024000R5200R240 2 
 
0300R65R3 2 
 
 
6
300346565
R
2


  
6
2565
R


 
 15R
 ou 

3
20
R
 (37) 
Como os resultados são positivos, ambos atendem a exigência do 
exercício. 
OBS: Verifique que substituindo “R” pelos valores encontrados a potência nele 
dissipada é igual a 240W. Confira o balanço das potências. 
 
FEI_2S_201
4 
 
31 
 
A–05 Considere o circuito desenhado na figura 1.19a, estudado no exercício 
anterior, e determine o valor da potência que o resistor “R” deve dissipar para 
que se tenha um valor único para “R”. 
Solução: 
Equação obtida a partir da malha “

”: 
  16060 64R 
 
  10010R 
 (38) 
Equação obtida a partir da potência dissipada em “R”: 
 2R RP 
 
 2
RPR


 (39) 
Substituindo a equação (39) na equação (38) obtém-se equação (40) a 
seguir: 
 
10010
P
2
R 










 
  
 
100
10P
2
2
R 









 
 
100
10P
2
R 









 
  0P10010 R
2

 
0P1,010 R
2 
 
 
6
P1,041010 R
2


 (41) 
Então, para que a resposta da equação (41) seja única o seu discriminante 
“

” deve ser nulo, obtendo-se o resultado apresentado na equação (42): 
  0P1,0410 R
2

 
100P4.0 R 
 
.W250PR 
 (42) 
OBS: Como exercício, desenhe o circuito correspondente e indique o valor da 
corrente e das tensões nos bipolos. Verifique o balanço das potências. 
 
FEI_2S_201
4 
 
32 
 
B) Circuitos com duas malhas. 
B–01 Considere o circuito desenhado na figura 1.20a e responda as perguntas: 
a) Desenhe o circuito com os valores e as indicações das correntes e tensões 
em cada bipolo. 
b) O valor da potência dissipada no resistor de 10 . 
c) O valor da potência total gerada. 
 
FIG. - 1.20 a) Circuito elétrico 
 b) Indicação do sentido adotado para a corrente. 
Solução: 
Equações das malhas: 
























4060
4060
200
025 
A solução do sistema fornece os valores das correntes fictícias: 
4
 e 
5
 
Obtendo-se os seguintes valores para as correntes de ramos: 
1I
  
A41I 
 (sentido real concorda com o sentido adotado) 
2I
  
A52I 
 (sentido real discorda do sentido adotado) 
3I
  
A93I 
 (sentido real concorda com o sentido adotado) 
a) O circuito desenhado na figura 1.21 mostra a indicação das correntes e 
tensões reais nos bipolos: 
 
FIG. - 1.21 a) Circuito com as indicações das correntes e tensões. 
 
FEI_2S_201
4 
 
33 
 
b) Potência dissipada no resistor de 10. 
 210 1IRP 
 
 210 410P 
 
W160P10 
 
c) Cálculo do valor da potência total gerada. 
Há três geradores no circuito, portanto a potência total gerada é obtida 
somando-se a potência em cada um deles: 
560940460PTg 
 
W900PTg 
 
OBS: Verifique o balanço das potências. 
B–02 Determine o valor da resistência “R” indicada no circuito desenhado na 
figura 1.22a, para que a tensão sobre ela seja igual a 25V. Desenhe o circuito 
resultante com as indicações das correntes nos ramos. 
 
FIG. - 1.22 a) Circuito elétrico 
 b) Indicação do sentido adotado para a corrente. 
Há dois casos a serem considerados: Chamando de “A” e “B” os terminais 
do resistor “R” a tensão sobre ele poderá ser: 
a) 
V25VAB 
 
b) 
V25VBA 
 
Equações das malhas: 
























4060
405010
15R(0
0 25 (43) 
  10015R 
 (44) 
 
FEI_2S_201
4 
 
34 
 
 Para a condição em que “
V25VAB 
” obtém-se a equação: 
 RVAB
 
 R25
 
R
25

 (45) 
Combinando as equações (44) e (45) obtém-se o resultado apresentado 
na equação (46) a seguir: 
  100
R
25
15R 
 
R100375R25 
 
3 R 
 (46) 
Esta condição é impossível do ponto de vista de circuitos, pois não existe 
resistor com valor negativo. 
 Para a condição em que “
V25VBA 
” obtém-se a equação: 
  RVAB   R25
 
R
25

 (47) 
Combinando as equações (44) e (47) obtém-se o resultado apresentado 
na equação (48) a seguir: 
    100
R
25
15R 


 
R100375R25 
 
5 R 
 (48) 
Portanto o único valor que satisfaz as condições impostas pelo enunciado 
do exercício é 
 5R
. Resolvendo o sistema de equações apresentado em (43) 
obtém-se os valores: 
"4 " 
 e 
"5 " 
. 
Obtendo-se os seguintes valores para as correntes de ramos: 
 1I
  
A51I 
 (sentido real discorda do sentido adotado) 
2I
  
A92I 
 (sentido real concorda com o sentido adotado) 
3I
  
A43I 
 (sentido real concorda com o sentido adotado) 
 
FIG. - 1.23 Circuito elétrico com as indicações das correntes. 
OBS: Como exercício, verifique o balanço das potências e determine a tensão 
 CAV
 entre os pontos “C e A” do circuito. 
 
FEI_2S_201
4 
 
35 
 
C) Circuitos com três malhas. 
 
Charles Wheatstone (1802-1875) Físico e 
inventor inglês nascido em Gloucester. Foi 
um autodidata no campo da ciência, inventor 
do estereoscópio, do pêndulo eletromagnético, 
do telégrafo automático. A significante 
contribuição para o mundo da ciência da 
eletricidade foi imortalizar a “Ponte de 
Wheatstone”, circuito elétricoidealizado por 
Samuel Hunter Christie em 1833. 
 
 Para exemplificar circuitos com três malhas foi, propositalmente, escolhido 
o circuito da “Ponte de Wheatstone”, cujo arranjo possui várias aplicações em 
eletricidade e dentre elas se destaca o uso para a leitura de valores de resistores 
elétricos. O circuito, apresentado na figura 1.24, é composto por uma fonte de 
tensão “E”, um galvanômetro “G” e um arranjo formado por quatro resistores, 
dos quais dois resistores “
1R
” e “
2R
” com valores fixos e conhecidos, um 
resistor “
3R
” com valor ajustável e conhecido (década de resistores) e um 
resistor “
xR
” com valor desconhecido. 
 
FIG. - 1.24 – Circuito da Ponte de Wheatstone 
Para determinar o valor do resistor “
xR
” ajusta-se o valor do resistor “
3R
” 
para que a corrente elétrica no galvanômetro “G” seja nula, condição em que a 
ponte está em equilíbrio, então analisando o circuito nestas condições 
determina-se a equação que fornece o valor do resistor “
xR
” em função dos 
demais resistores, conforme procedimento a seguir: 
 
FEI_2S_201
4 
 
36 
 
 Se a ponte está em equilíbrio a indicação do galvanômetro e a diferença 
de potencial entre os pontos “B” e “D” é zero ou curto-circuito, então o circuito 
equivalente é o desenhado na figura 1.25. 
 
FIG. - 1.25 – Circuito equivalente da Ponte de Wheatstone em equilíbrio 
Soma das tensões no sentido horário do caminho ABD: 
0VV ABAD 
 
ADAB VV 
 (49) 
Soma das tensões no sentido horário do caminho BCD: 
0VV BCDC 
 
DCBC VV 
 (50) 
Dividindo a equação (49) pela equação (50) se obtém a equação (51). 
DC
AD
BC
AB
V
V
V
V

 
2
2
1
1
IRx
I2R
I3R
I1R





 
3R
1R
2R
Rx 
 (51) 
 Portanto, com a ponte em equilíbrio, independentemente dos valores de 
“E”, “r” e “
gr
”, conhecendo-se os valores dos resistores “
1R
”, “
2R
” e “
3R
” 
determina-se o valor do resistor “
xR
”. 
C-01 Determine o valor do resistor variável “
R
” no circuito da figura 1.26 para 
que a diferença de potencial entre os pontos “A” e “B” seja: a) Nula. b) 12V. 
 
FIG. - 1.26 
 
FEI_2S_201
4 
 
37 
 
a) Para 
V0VAB 
a ponte está em equilíbrio, então a equação (51) fornece 
o valor do resistor “R”, ou seja: 
5
5
2
R 
 portanto 
 2R
 
b) Para 
V12VAB 
 a ponte não está equilibrada e o circuito equivalente é 
o da figura 1.27 com três malhas. 
 
 
FIG. - 1.27 
Solução: 






































0 
0 
100
 
 
 
)R55( 5 5 
5 )552( 2 
5 2 )52(
 
100527 
 (52) 
05122 
 (53) 
0R1055 
 (54) 
A4,2
5
12
5
V
I ABAB 
 
4,2
 
4,2
 (55) 
Substituindo a equação (55) na equação (52) e multiplicando o resultado por 2, 
obtém-se a equação (56) 
10054,2227 
 
4,1901414 
 (56) 
Substituindo a equação (55) na equação (53) e multiplicando o resultado por 7, 
obtém-se a equação (57) 
054,212122 
 
6,2014914 
 (57) 
 
FEI_2S_201
4 
 
38 
 
Somando-se as equações (56) e (57) obtém-se o valor da corrente 
""
. 
6,2016,201)1449( 
 
A2,11
 
Substituindo o valor de 
""
 na equação (55) obtém-se o valor de 
""
. 
4,22,11 
 
A8,8
 
Substituindo os valores de 
""
 e 
""
 na equação (53) obtém-se o valor de 
""
. 
    02,1158,8122 
 
A8,24
 
A equação (54) fornece o valor do resistor “R”. 
        02,11R2,11108,858,245 
 
  56R2,11 
 
 5R
 
C-02 Com as informações no circuito desenhado na figura 1.28, responda as 
perguntas: 
a) Qual o valor da força eletromotriz “E”? 
b) Qual o valor da tensão “
BAV
”? 
c) Qual o valor da potência total gerada? 
 
FIG. - 1.28 
Solução: 
 









































E70 
705725
2542 
 
8
 
)166( 6 0 
6 )465( 4 
0 4 )142(
 
 
FEI_2S_201
4 
 
39 
 









































E70
120 
67 
 
8
 
1360
6154
047
 
Resolvendo o sistema obtêm-se os valores: 
A5
 
A2
 
V4E 
 
Resultando as respostas: 
a) 
V4E 
 
b) 
0524VBA 
 
 
V3 VBA 
 
c) 
7010245784252513PTg 
 
 
W 1699PTg 
 
C-03 Considere o circuito desenhado na figura 1.29 e determine os seguintes 
valores: 
a) Da resistência “R” para que se tenha “
V20VAB 
”. 
b) Da potência total gerada nas condições do item anterior. 
 
FIG. - 1.29 
Solução: 
 








































0 
100
50
 
 
 
)R20( 20 0 
20 )201510( 10 
0 10 )1030(
 
 
FEI_2S_201
4 
 
40 
 








































0 
100
50
 
 
 
)20R(20 0
20 4510
0 1040
 
 
20AB I20V  
 
20I 
 
  2020 
 
1 








































0 
100
50
1
 
 
)20R(20 0
20 4510
0 1040
 
Resolvendo o sistema obtêm-se os valores: 
 10R 
 
3 
 
2 
 
5,0 
Resultando as respostas a seguir: 
a) 
 10R 
a) 
  31005,050P geradaT  
 
  W 325P geradaT  
 
1-5. EXERCÍCIOS PROPOSTOS. 
 
5.01 Considere o circuito desenhado na figura 1.30 e determine os seguintes 
valores: 
a) Das correntes Ia e Ib. 
b) Da tensão Va. 
c) A potência dissipada em cada resistor. 
d) A potência fornecida pela fonte de 50V. 
 
FIG. - 1.30 
 
FEI_2S_201
4 
 
41 
 
5.02 Determine a potência total dissipada (recebida) no circuito desenhado na 
figura 1.31. 
 
 
FIG. - 1.31 
 
5.03 Considere o circuito desenhado na figura 1.32 e responda as seguintes 
perguntas: 
a) Os valores das correntes de malhas. 
b) A tensão no resistor de 800 Ohms. 
c) A potência na fonte de 23 V. 
d) A potência total dissipada. 
 
FIG. - 1.32 
 
 
FEI_2S_201
4 
 
42 
 
 
5.04 Considere o desenhado na figura 1.33 e determine o valor do resistor “R” 
para que a tensão sobre ele seja 3,69V. 
 
 
 FIG. - 1.33 
 
5.05 – Determine o valor da diferença de potencial entre os pontos “B e A” 
indicados no circuito desenhado na figura 1.34. 
 
 
FIG. - 1.34FEI_2S_201
4 
 
43 
 
 
5.06 – Calcule os valores da tensão entre os pontos “A e B” e da corrente “I” 
no circuito desenhado na figura 1.35. 
 
FIG. - 1.35 
5.07 – Determine a indicação dos instrumentos ligados no circuito desenhado 
na figura 1.36. 
 
FIG. - 1.36 
5.08 – Considere o circuito desenhado na figura 1.37 e determine o valor da 
corrente “I” indicada. 
 
FIG. - 1.37 
 
FEI_2S_201
4 
 
44 
 
5.09 Determine a indicação dos instrumentos ligados no circuito desenhado na 
figura 1.38. 
 
 FIG. - 1.38 
5.10 Considere o circuito desenhado na figura 1.39 e determine o valor da 
corrente “I” indicada. 
 
FIG. - 1.39 
5.11 Considere o circuito desenhado na figura 1.40 e determine o valor da 
tensão VAB. 
 
FIG. - 1.40 
 
FEI_2S_201
4 
 
45 
 
 
5.12 O amperímetro do circuito desenhado na figura 1.41 indica “- 8mA”. 
Determine o valor da tensão sobre o resistor “R”. 
 
FIG. - 1.41 
5.13 Determine o valor da potência total dissipada (fornecida) no circuito 
desenhado na figura 1.42. 
 
FIG. - 1.42 
5.14 Considere o circuito desenhado na figura 1.43 e determine o valor da 
tensão “VAB”. 
 
FIG. - 1.43 
 
FEI_2S_201
4 
 
46 
 
1-6. DESAFIOS 
6.01 Considere o circuito desenhado na figura 1.44 e responda os itens a 
seguir: 
a) O valor da tensão E. 
b) O valor da corrente IX. 
b) O valor da tensão VBA. 
 
FIG. - 1.44 
6.02 Considere o circuito desenhado na figura 1.45 e responda os itens abaixo: 
a) O valor da tensão “E” 
b) O valor da tensão “VBA”. 
c) A potência total gerada. 
 
FIG. - 1.45 
 
FEI_2S_201
4 
 
47 
 
6.03 Considere o circuito desenhado na figura 1.46. Sabendo que a diferença 
de potencial “
ADV
” é igual a 40V, calcule os seguintes valores: 
a) Do resistor “R”. 
b) Da tensão “
DBV
”. 
c) Da potência total gerada. 
d) Da corrente “I”. 
 
FIG. - 1.46 
6.04 Considere o circuito desenhado na figura 1.47 e responda as seguintes 
perguntas: 
a) O valor da tensão “
xV
”. 
b) O valor da tensão “
BAV
”. 
c) A corrente no “I”. 
d) Da potência total fornecida. 
 
FIG. - 1.47 
 
FEI_2S_201
4 
 
48 
 
6.05 Considere o circuito desenhado na figura 1.48 e responda as seguintes 
perguntas: 
a) O valor da resistência “R” para que a tensão “VX” seja igual a “–116V”. 
b) O valor da corrente “IX”. 
c) A potência total gerada. 
 
FIG. - 1.48 
6.06 Dado o circuito desenhado na figura 1.49, pede-se calcular os valores 
aproximados da: 
a) Tensão 
BAV
. 
b) Corrente no bipolo de 50V. 
c) Potência total fornecida. 
 
FIG. - 1.49 
 
 
FEI_2S_201
4 
 
49 
 
6.07 A corrente “IX“ indicada no circuito desenhado na figura 1.50 é igual a 
2,68 A. Pede-se calcular os valores: 
a) Da força eletromotriz “E”. 
b) Da tensão 
BAV
 
c) Da potência dissipada no resistor de “
25
”. 
d) Da potência total recebida. 
 
 
FIG. - 1.50 
6.08 Considere o circuito desenhado na figura 1.51. Sabendo que a corrente 
“Ix” indicada é igual à zero, pede-se calcular os valores: 
a) Da força eletromotriz “E”. 
b) Da tensão “
ABV
”. 
c) Da potência dissipada no resistor de “
25
”. 
d) Da potência total gerada. 
 
FIG. - 1.51 
 
FEI_2S_201
4 
 
50 
 
6.09 Na ponte de Wheatstone abaixo desenhada, “Rt” é um sensor de 
temperatura que obedece a equação: “
900R2T t 
”, com “T” expresso em 
graus Celsius e “Rt” em Ohms. Sabe-se que a ponte é dimensionada para 
funcionar com a máxima sensibilidade possível (ponte com 4 resistores iguais 
entre si) à uma temperatura de 100°C. Qual a indicação no detector (ideal de 
tensão) quando a temperatura subir para 110°C? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FEI_2S_201
4 
 
51 
 
CAPÍTULO 02 
Circuitos Monofásicos em Corrente Alternada Senoidal 
Neste capítulo será estudado o comportamento elétrico dos circuitos 
contendo fontes monofásicas em regime senoidal permanente alimentando 
cargas compostas por resistores, capacitores ideais e indutores ideais, 
associadas em série, paralelo ou misto. Usando os mesmos conceitos definidos 
e praticados em circuitos de corrente contínua para análise de circuitos 
elétricos, serão introduzidos os conceitos de potência ativa, potência reativa, 
potência aparente e correção do fator de potência. A ferramenta matemática 
usada para analisar circuitos em corrente alternada são os números complexos 
ou imaginários com o apoio dos diagramas vetoriais ou fasores. As características 
elétricas dos bipolos estudados serão apresentadas sem a preocupação de 
demonstração física e sem muito formalismo matemático, será apresentado 
apenas o necessário para que se possa analisar um circuito nesse regime, 
finalizando com exercícios resolvidos, propostos e desafios. 
2. - CIRCUITOS ELÉTRICOS EM CORRENTE ALTERNADA SENOIDAL 
 
2-1. CARACTERÍSTICA ELÉTRICA DO BIPOLO ATIVO OU FONTE. 
 
Nikolas Tesla (Никола Тесла) foi um 
engenheiro eletricista e físico, de Etnia 
Sérvia, radicado nos USA. Foi responsável 
pela invenção da corrente alternada 
senoidal (AC), da bobina de Tesla e dos 
circuitos trifásicos senoidais, utilizados na 
geração e distribuição de energia elétrica. 
Em 1956 a unidade de medida de densidade 
de fluxo magnético do sistema MKS foi 
denominada Tesla, em sua homenagem. 
A fonte de alimentação monofásica alternada disponibiliza à carga uma tensão do 
tipo senoidal, cuja função de tempo é expressa pela equação, 
)tw(senV)t(v p 
, 
onde: 
 
FEI_2S_201
4 
 
52 
 
 
“
pV
” é o valor máximo ou valor de pico da função expresso em Volts (V). 
“

” é a frequência angular expressa em radianos por segundo (rad/s). 
“

” é a fase inicial expresso em radianos (rad). 
“
t
” é o tempo expresso em segundos (s). 
Nessa expressão são válidas as seguintes igualdades: 
“
efp V2V 
” em que “
efV
” é o valor eficaz da tensão (para maiores 
detalhes ver anexo “A”). 
 “
f2w 
” em que “f” é a frequência expressa em Hertz. 
Resultando a expressão geral escrita em (01) a seguir: 
 
)tf2(senV2)t(v ef 
 (01) 
OBS: No Brasil a frequência da tensão residencial (e industrial) é padronizada 
em 60Hz (
rad 377w 
) e os valores de “110V ou 220V” são valores eficazes de 
tensão. Por exemplo, a tensão de 110V disponível na rede elétrica doméstica é 
expressa pela função de tempo escrita em (02) e cujo gráfico correspondente 
está desenhado na figura 2.01. 
)t377( sen155)t(v 
 (02) 
 
Fig. 2.01 Função senoidal 
É possível representar a função seno por um vetor girante (fasor) que 
colocado em um plano de fase (dois eixos perpendiculares) girando no sentido 
anti-horário com velocidade angular igual a “

” e módulo (raio) igual ao valor 
de pico (ou eficaz), quando projetado no eixo vertical desse plano descreve no 
tempo a função seno. O resultado matemático dessa representação é um fasor 
definido por um módulo (
pV
) e uma fase (

) assim concebido: 
 
FEI_2S_201
4 
 
53 
 
 
OBS: Para maiores detalhes e entendimentos consulte o anexo “A” apresentado 
no final do livro. 
 Em seguida é apresentada a tabela 2.01 com algumas funções senoidais e 
os correspondentes fasores. 
 Tabela2.01 
Função no tempo Fasor correspondente 
)30t377( sen100)t(V 
 
)120t377( sen400)t(V 
 
)t400( sen2400)t(V 
 
Dessa forma, o bipolo elétrico fonte de tensão em circuitos de corrente 
alternada será representado pelo símbolo desenhado na figura 1.02, indicando a 
polaridade da tensão e da corrente fasoriais e a frequência de operação. 
 
Fig. 2.02 Símbolo do Gerador Senoidal 
 
2-2. CARACTERÍSTICA ELÉTRICA DOS BIPOLOS RECEPTORES 
No estudo da característica dos bipolos dos receptores em corrente 
alternada, a fase inicial da tensão aplicada ao bipolo será considerada nula, 
“ ” e como foi citado anteriormente não existe a preocupação em 
demonstrar como foram obtidas as equações que correspondem as suas 
características e sim como utilizá-las para obter o sistema de equações que 
permita analisar e compreender o comportamento dos circuitos elétricos em 
corrente alternada. 
O termo “impedância” (grandeza fasorial, representado pela letra 
"Z" 
) é 
utilizado para caracterizar o bipolo receptor em regime de corrente alternada e 
obtida pela equação fasorial 
"
I
V
Z" 

 
. Neste estudo serão contemplados os 
 
FEI_2S_201
4 
 
54 
 
seguintes receptores: Resistor (impedância resistiva 
"Z" R

), indutor ideal 
(impedância indutiva 
"Z" L

) e o capacitor ideal (impedância capacitiva 
"Z" C

). 
2-2.1 Característica Elétrica do Resistor em C.A. - Regime Senoidal. 
A constante associada ao resistor é um número real 
"R"
 e a sua 
característica elétrica é representada pela impedância resistiva “ ” (ver 
anexo B). A impedância resistiva 
"Z" R

 é obtida pela relação entre atenção e a 
corrente no resistor, então a corrente pode ser assim obtida: 
I
V
ZR 

 
 
 
 
Identificando o módulo e a fase encontra-se os valores procurados: 
R
V
I
p
p 
 e 
 0I
 
Conclusão: Em um resistor o módulo da corrente é igual a relação entre o 
módulo da tensão e o valor do resistor e a corrente está em fase com a tensão. 
No sistema CA em regime senoidal o bipolo resistor será representado 
conforme o desenho da figura 2.01. 
 
Fig. 2.03 a) Forma Temporal b) Forma Fasorial 
Exemplo: Considere o circuito desenhado na figura 2.04 e sabendo que a 
tensão no gerador é 110Vef/60Hz e o resistor é igual a 
 55
, responda: 
a) Desenhar em gráficos diferentes e sincronizados as formas de ondas da 
tensão e da corrente dentro de um período. 
b) Qual o valor eficaz da corrente? 
c) Qual a defasagem entre a corrente e a tensão. 
 
FEI_2S_201
4 
 
55 
 
 
 Fig. 2.04 Circuito puramente resistivo 
)tw( senV)t(v p 
 
 2110Vp   V 156Vp  
f2w   602w   rad/s 377w  
)t377( sen156)t(v  
 
 0 e 
55
156
I Ip
 
 A 84,2Ip  
A 2Ief 
 
)t377( sen84,2)t(i  
Como a fase inicial da corrente é igual a fase inicial da tensão (
 0
) a 
defasagem é nula, conforme mostra o desenho na figura 2.05. 
 Fig. 2.05 Formas de Ondas da Tensão e Corrente no Indutor 
 
FEI_2S_201
4 
 
56 
 
2-2.2 - Característica Elétrica do Indutor Ideal em C.A. - Regime 
Senoidal. 
 A constante associada ao indutor é um número real representado por 
"LwX" L 
 e a sua característica elétrica é representada pela impedância 
indutiva, denominado de reatância indutiva. A impedância indutiva é expressa 
pela equação fasorial “ ” (ver anexo B) e permite obter os 
seguintes resultados: 
I
V
ZL 

 
 
 
 
 
Identificando o módulo e a fase obtém-se o seguinte desenvolvimento: 
L
p
p
X
V
I 
 
 900I
 
  90I 
Conclusão: Em um indutor ideal a corrente que o atravessa está atrasada de 
90° da tensão aplicada nos seus terminais e o módulo dessa corrente é igual à 
relação entre o módulo dessa tensão e o valor da sua reatância. 
Em regime senoidal permanente o bipolo indutor ideal será representado 
conforme o desenho da figura 2.06. 
 
Fig. 2.06 a) Forma Temporal b) Forma Fasorial 
Exemplo: Considere o circuito desenhado na figura 2.07 e sabendo que a 
tensão no gerador é 110Vef/60Hz e o indutor é igual a 146 mH, responda: 
a) Desenhar em gráficos diferentes e sincronizados as formas de ondas da 
tensão e da corrente dentro de um período. 
b) Qual o valor eficaz da corrente? 
c) Qual a defasagem entre a corrente e a tensão. 
 
FEI_2S_201
4 
 
57 
 
 
Fig. 2.07 Circuito puramente indutivo 
)tw( senV)t(v p 
 
2110Vp 
 
 V 156Vp  
f2w   602w  
rad/s 377w 
 
 LwXL  
146,0377XL 
 
  55XL 
)t377( sen156)t(v  
55
156
Ip 
 
 A 84,2Ip  
A 2Ief  e  90I  )90t377( sen84,2)t(i  
Resultam as formas de ondas desenhadas na figura 2.08. Observe que a 
corrente está 90° atrasa da tensão. 
Fig. 2.08 Formas de Ondas da Tensão e Corrente no Indutor Ideal 
 
FEI_2S_201
4 
 
58 
 
2-2.3 - Característica Elétrica do Capacitor Ideal em C.A. Regime 
Senoidal. 
 A constante associada ao capacitor é um número real representado 
por 
"
Cw
1
X" C


 e a sua característica elétrica é representada pela impedância 
capacitiva, denominada de reatância capacitiva. A impedância capacitiva é 
expressa pela equação fasorial “ ” (ver anexo B) e permite 
obter os seguintes resultados: 
I
V
ZC 

 
 
 
 
 
Identificando o módulo e a fase obtém-se o seguinte desenvolvimento: 
C
p
p
X
V
I 
 
 900I
 
  90I 
Conclusão: Em um capacitor ideal a corrente que o atravessa está adiantada de 
90° da tensão aplicada nos seus terminais e o módulo dessa corrente é igual à 
relação entre o módulo dessa tensão e o valor da sua reatância. 
Em regime senoidal permanente o bipolo capacitor ideal será representado 
conforme o desenho da figura 2.09. 
 
Fig. 2.09 a) Forma Temporal b) Forma Fasorial 
Exemplo: Considere o circuito desenhado na figura 2.10 e sabendo que a 
tensão no gerador é 110Vef/60Hz e o capacitor é igual a 48uF, responda: 
a) Desenhar em gráficos diferentes e sincronizados as formas de ondas da 
tensão e da corrente dentro de um período. 
b) Qual o valor eficaz da corrente? 
 
FEI_2S_201
4 
 
59 
 
c) Qual a defasagem entre a corrente e a tensão. 
 
 Fig. 2.10 Circuito puramente capacitivo 
)tw( senV)t(v p 
 
 2110Vp   V 156Vp  
602w   rad/s 377w  
Cw
1
XC

 
48377
10
X
6
L

   55XC 
)t377( sen156)t(v  
55
156
Ip 
 
 A 84,2Ip  
A 2Ief 
  90I  )90t377( sen84,2)t(i  
Resultam as formas de ondas desenhadas na figura 2.11. Observe que a 
corrente está 90° adiantada da tensão. 
 Fig. 2.11 Formas de Ondas da Tensão e Corrente no Capacitor Ideal 
 
FEI_2S_201
4 
 
60 
 
2-3. CIRCUITO R,L,C SÉRIE EM CORRENTE ALTERNADA SENOIDAL 
 Considere o circuito R, L, C série desenhado na figura 2.12 com as 
seguintes condições: "XX" CL  e a corrente com módulo igual a “I” e fase nula. 
 
Fig. 2.12 Circuito R,L,C série em C.A. Regime Senoidal. 
A soma das tensões na malha fornece a seguinte equação: 
 
CLR VVVV
  
Com auxilio das equações características resulta a equação (03) a seguir: 
 IXjIXjIRIZ CL   
)XX(jRZ CL 

 (03) 
 A impedância 
"Z" 
 equivalente é um número complexo composto por uma 
parte real que corresponde à