Introducao a Analise Matematica Vol 8

Prévia do material em texto

Funções trigonométricas, 
exponenciais e logarítmicas
9.1 - UMA DESIGUALDADE IMPORTANTE
n n
Seja x um numero real tal que — — < x < — e provemos que
Nas figuras abaixo, que representam a circunferência trigonométrica, 
temos que:
MP = | sen x |, AP = | x |, e AT = | tg x |
jt Jt _
tanto no caso em que 0 < x < — , como no caso em que — — < x < 0.
Além disso, vê-se que área do A OAP < área do setor OAP < área do AOAT.
144
Então
(OA)
2 2 2
(OA) • (MP) . (OA) ♦ (AP) , (OA) • (AT)
donde
MP < AP < AT
e assim
| sen x | < | x | < | tg x |
para todo x 0, tal que — < x < - y .
Se x = 0, temos | sen x | = | x | = | tg x | = 0.
Portanto, para todo x tal q u e ----- < x < — tem-se
2 2
| sen x | ^ | x | < | tg x |
9.2 - CONTINUIDADE DA FUNÇÃO SENO
Teorema
A função f: IR -► IR, f(x) = sen x é contínua em IR, istõ é, para todo x0 e IR 
tem-se ^
lim sen x = sen x0
_ x-^xp. 5
Demonstração
Faremos a prova deste teorema com o auxilio da desigualdade anterior. 
Lembremos, da Trigonometria (veja o volume 3 desta coleção), que
. x — x0 x + x0
sen x — sen x0 = 2 sen------ — • cos--------
2 2
e
I x + x«| jcos— _— | <c I
Dado e > 0, seja 5 = min Portanto se 0 < | x — Xo | < 8, tem-se
a) 0 < | x — x<> | < — , donde sen
2 2
X - x0
2
(Utilizamos aqui a desigualdade do item anterior.)
146
b) 0 < | x — x0 | < e 
Então
| sen x — sen x0 | = 2 
x - x0
X - x0 x + x0
sen--------
2
cos--------
2
1 = I x - x0 I < e
Fica provado, assim, que
lim sen x = sen x0
X -* X o
isto é, que a função seno é contínua em IR.
9.3 - CONTINUIDADE DAS DEMAIS FUNÇÕES 
TRIGONOMÉTRICAS
A partir do fato já provado, de que a função seno é contínua em IR, pode-se 
provar facilmente que as outras funções trigonométricas (cosseno, tangente, 
cotangente, secante e cossecante) são também contínuas em seus respectivos 
domínios.
1.°) Temos cos x = sen ( — - x j^, 
\2 )
logo a função cosseno é contínua em IR,
por ser a composta de duas funções contínuas em IR. 
sen x
2.°) tg x = •
3.°) cotg x =
4.°) sec x =
cos x 
cos x
sen x 
1
cos x
5.°) cossec x =
1
sen x
Logo, as funções tg x, cotg x, sec x e cossec x são contínuas em seus domínios, 
por serem quocientes de funções contínuas.
9.4 - TEOREMA DO CONFRONTO
Demonstraremos agora um teorema que permite determinar o limite de 
uma função f por comparação desta com duas outras funções, g e h.
146
Teorema
Sejam g, f e h funções cujos dominios co 
duzida V* de x0. Suponha-se que:
1.°) para todo xeV *, se tenha
g(x) < f(x) ^ h(x)
2.°) lim g(x) = lim h(x) = L
X -*X O X - * X o L
Nestas condições, lim f(x) = L.
*->*0 fy/
ntêm ao menos uma vizinhança re-
y
s > 4 t m
/ 4 - x° x
Demonstração
Dado e > 0, existem 6, > 0 e ô2 > 0 tais que:
a) se 0 < | x — x0 | < 6 i, tem-se | g(x) — L | < e, ou seja
L - e < g(x) < L + e
b) se 0 < | x — x0 | < 82, tem-se | h(x) — L | < e, ou seja
L — e < h(x) < L + £
Assim, pára S = min {5X, ô2}, temos que
se 0 < | x — x0 | < S, então 
L — e < g(x) ^ f(x) ^ h(x) < L + e
donde
L - £ < f(x) < L + £
e portanto
I f(x) — L | < £
Isto significa que lim f(x) = L.
Observação: O teorema do confronto é também válido sex-* + x>,oux-> —00, 
e também para limites laterais.
147
9.5 - LIMITE TRIGONOMÉTRICO FUNDAMENTAL
Vale a seguinte propriedade
Demonstração
Para fazer a prova, utilizaremos o teorema do confronto. Já havíamos pro-
it n
, para----- < x < — , t
2 2
| sen x | < | x | < | tg x |
vado (veja o item 9.1) que, para — c x tem-se
Para 0 < x < podemos escrever ainda
sen x < x < tg x
donde
i x tg x1 < -< —-— (pois sen x > 0)
sen x sen x
ou seja
sen x
cos x < -------< 1
x
„ n „
P ara----- < x < 0, escrevemos tarnbem
2
tg x < x < sen x
donde
tgx x . /> -------> 1 (pois sen x < 0)
sen x sen x
ou seja
sen x
cos x < -------< 1
x
Assim, se 0 < | x | < temos
sen x
cos x < -------< 1
x
148
Apliquemos agora o teorema do confronto, considerando as funções
SCO X
g(x) = cos x, f(x) = -------e h(x) = 1. Como
x 
lim g(x) = lim cos x = cos 0 = 1
x-*0 T-0
resulta que
lim h(x) = lim 1 = 1
x-*0 x-»0
sen x 
lim-------= 1
x - 0 x
Exercícios Resolvidos
9.1) Prove que o limite trigonométrico fundamental admite a seguinte forma ampíiada: para a^ O , 
temos
sen ax 
lim ---------= 1
Solução
Como lim —n X- = 1 , sabemos que, dado e > 0, existe 8 , > 0 tal que se 0 < | x I < 8 , ,
x-»0 \
tem-se
sen x
• — l < e
x
Como lim ax = 0 e a # 0, existe também 6 > 0 tal que se 0 < |x| < 5, tem-se 0 < | ax | < ô , .
x—0
Portanto, se 0 < | x | < 8 , teremos 0 < | ax | < S i, donde 
| senax
sen ax
lim ---------= 1
x-o ax
9.2) Mostre que, sendo a e (5 reais não nulos, tem-se
sen ax a
lim ----- — = —-
x -o sen px p
Solução
senax
um -
lim senax — i “ 001 _ a 1 - 0 ax a l a
*—o sen Px x-o p sen px p sen px p 1 p
— ------ lin i — --------Px x-c px
148
« ~ ^ sen x — sen í
9.3) Calcule lim ----------------
Solução
Como sen x — sen a = 2 sen —— - • cos x + a temos
2 2
x — a 
sen-
sen x — sen a 2* x + a
, cos—-—
x — a x — a
Assim
x — a
sen-
sen x — sen a 2 . x + a - a + a
lim —---------------- um----------------- lim cos — -— = 1 • cos — -— = cos a
X—a X — a *—a x — a x-a 2 2
2
é
9.4) Calcule lim ------ COS X .
Solução
Como
1 — cos x (I — cos x) (I + cos x) 1 - cos2 x sen2 x sen x sen x
x x (1 + cos x) x (I + cos x) x (I + cos x) x 1 + cos x
temos
I — cos x sen x sen x sen 0 .
l im ----------------= l im ---------- • l im -------------------- 1 ----------------— = 0
«—o x »-o x i-o 1 + cosx 1 + cosO
Exercícios Propostos
Calcule os limites indicados nos exercícios seguintes (de n.“ 9.5 a 9.34).
o 5V lim JEÍLÍL sen 8x „ „ 1 — secx
x 9.10) h m ------- — 9.15) l im -
x
9.6) lim -
«-o x
»-o sen 3x *-o x
« n __ tgx i- sen x
3 9.11) lim — — 9.16) hm----- 1—
«-o x
x 9.12) lim -tg í t )
9-7) i'-mo lS r 3 Í *~° X 9.17) lim x
* - 0 X-4 .
' ' x f s í è
x >-o ? sen x
, 1 - cos x
.. sen 5x 9.14) hm------ - j----- ,
9 9) * 9.19) lim ------- ^ ------
senx " u y m - J l
150
9.20) lim V - JS t l 9.26) lim 1 ^ ! ^ ! 9.3.) Hm-
J \ - COS 2 x „ . . s e n 2 x
9.22) lim — --------- 9'28)
9.23) lim Í * - - *
«■ c o s x — c o s a n -------- t t t
9'24) 1“ x ~ ~ á 9.30) lim ^ L - -”
»-o tg 2x
' 3
9.25) lim -
* - o x c o s s e c x
>-o x x—o x «-o tg 2x
9 .2 , ) |im Se-n ^ — 9.27) lim J S L Ü 9.32) lim " * X
y r + T - i *-° ‘8 3* *. *
2T ~ X
* » - o , _ Co s x 9 3 3 ) ( im s e n x + 1 - c o s x
* - 0 X
o scc x — 1 9.29) lim -
» ^ o s e n 2 x « s e n 3 x
9.34) lim
c o s x — c o s a n -------- x - - f
1 - 2 c o s x
9.6 - CONTINUIDADE DAS FUNÇÕES EXPONENCIAIS
Consideremos as funções exponenciais f : IR--+ IR, dadas por expressões do
tipo
f(x) = a1
com a > 0 e a ^ 1.
Recordemos algumas das características destas funções:
1.a) f(x) = ax assume somente valores positivos.
2.“) se a > 1, f(x) *= a* é crescente e, conseqüentemente,
{
se a > 1 e x > 0 , tem-se a* > 1 
se a > 1 e x < 0, tem-se 0 < a1 < 1
3.a) se 0 < a < 1, f(x) = ax é decrescente e, conseqüentemente, 
£Í
s e 0 < a < l e x > 0 , tem-se 0 < ax < 1 
s e 0 < a < l e x < 0 , tem-se a* > 1
151
Teorema
A função f: IR -*■ IR, f(x) = a*, com a > O e a ^ l , é continua em IR, isto 
é, para todo x0 e IR tem-se
lim a* = axo
Provemos este teorema para o caso a > 1. O caso 0 < a < 1 será deixa­
do para o leitor.
Como
ax =a10 [ax-x° — 1] + a*°
bastará provar que
o que eqüivale a provar que
lim a* 10 = 1
x-*xo
limah = 1 
h -0
Vamos demonstrar, primeiramente, o limite lateral
lim ah = 1
h -0 +
Investigação
Dado s > 0, desejamos provar que existe 8 > 0 tal que, se 0 < h < 8, 
tem-se
| ah - 1 | < e
Sendo a > 1 e h > 0, temos ah > 1. Assim, a condição acima escreve-se
af1 < 1 + e
Tentemos determinar um número natural p, para o qual se tenha
i
aT < 1 + e
qu seja
a < (1 + e)*1 
Como, pela fórmula do binômio de Newton,
o * . ? -
152
resulta que
(1 + e f > 1 + pe 
Assim, se tomarmos p de modo que
a < 1 + pe < (1 + e)p
ficará satisfeita a condição a p < 1 + e.
21 f
Daí resulta que devemos tomar p > -------.
E
Demonstração
£ __ 1
Dado e > 0, seja p um número natural tal que p > -------e consideremos
e
1 —
8 = — . Segue daí que a p < 1 + e. Então, se 0 < h < 8, teremos 
P
x
l < a h <a* = ap < l + e
donde | aí* - 1 | < e
e assim lim ah = 1h-»0 +
Para provarmos que lim ah = 1, basta fazer h = — h', onde h' > 0. 
h-»0-
Teremos ah = — 
a1*'
Se h -» 0 —, é claro que h' -» 0 + , donde
h ,• 1 1 1lim an = lim —t-t = — -----r-r = — = 1
h-ò- h ->o+ ar lim ar 1 
h'-»0 +
Portanto lim ah = lim ah = lim aí* = 1
h-0- h->0+ h-»0
Conseqüência
Uma conseqüência importante da continuidade das funções exponenciais 
é expressa pela seguinte propriedade
Se lim f(x) = L, então lim af(x) = a1*
Em particular, temos
Se lim f(x). =>;0, então lim af(K) = V>
X-T*XO .
s ■ ■>., ■
153
9.7 - LIMITES DAS FUNÇÕES EXPONENCIAIS PARA x -♦ ± »
Teorema
Provemos o teorema no caso a > 1, deixando para o leitor o caso 0 < a < 1.
1.°) Demonstremos que, sendo a > 1, tem-se
l im ax = + qo
X - * + 0 0
Devemos provar que, dado N > 0, existe M > 0 tal que se x > M, tem-se 
a* > N.
Basta tomar o número positivo M tal que M > loga N e teremos aM > N. 
Assim
se x > M, tem-se ax > aM, donde ax > N
2.°) Demonstremos que, sendo a > 1, tem-se
lim a1 = 0
X-» — 00
Devemos provar que, dado e > 0, existe M > 0 tal que se x < — M, tem- 
se | ax — 0 1 < e, o que é o mesmo que a* < e.
Basta, tomar o número positivo M tal que M > loga — e teremos aM > — ,
e e
donde a-M < e. Assim, se x < — M, tem-se a1 < a-M < e.
154
( imnwitíéiicu. 
Uma conseqüência do teorema acima é expressa pela seguinte propriedade
Se f(x) —►+ oo, então,
pa ra a > 1 tem*se af(I) -♦ + oo,
e para 0 < a < 1 tem-se af(x) -* 0.
Se f(x) —* — oo, então,
para a > 1 tem-se af<x) -♦ 0,
e para 0 < a < 1 tem-se af(I) -* +oo.
Exercícios Resolvidos
9,35) Calcule lim 2
X-» I
Solução
I
X— 1
_ x — 1 (x — 1 ) (x + x + 1 ) . . . 2
Temos lim -------— = lim ---------------- ----------- --- lim (x + x + I) = 3.
x - 1 . - i x - 1 « -1
Assim
lim 2 = 2 3 = 8
X—1
9,36) Calcule lim 
Solução
Tem os lim (1 — ^ T s e n x) = I - y j s e n - ^ - = 1 - >/3 • —
*-*— 2 2
Assim
___ L.
lim 3 ‘ ->/Ts” x = 3 2 = £ -
3
9,37) Culcule lim 5 x
«-o
Solução
_ . x - sen 3x
Temos lim ---------------
»-# x
Assim
í sen3x\
- í a O — — ) = 1- 3 = - 2-
lim 5 * = 5 = —
x-o 25
155
5»2 + 2»-l
9.38) Calcule lim 8 3l‘ + x" 5
I-» +00
Solução
5x2 + 2 x ~ l 5x2 5
Temos lim —— ----------- = lim — =■ = — .
»->■+» 3x + x — 5 3x2 3
Assim 
9.39) Calcule lim 2
X— — 00
Solução
5< N - 2x - l 5
lim 8 3l‘ + , " í = gT = 25 = 32+ ce
X + 1
7TT
X3 + 1 X
Temos lim —5------= lim —7 = — co.■—« x + 1 *--»xJ
Assim
9.40) Calcule lim 3
x— +a>
Solução
1-»'
| x"* — xJ
Temos lim --------? = lim ------=- = — » .
X-.+* 1 — X — x
Assim
Exercícios Propostos
Nos exercícios seguintes, de n.° 9.41 a 9.71, calcule os limites indicados.
9.41) lim 5* 9 47) l im ^ - 0 9.53) lira 3l2 + ,+ 1
2x + j
9.42) lim 7* 9 48) iim l0* 9.54) lim 4 1 - 1
9.44) tím 4*
X — -
9.46)
9.43) lim 3X o ^
«-0 9-49> l,m 5 9.55) lim 5
i- 9 5(ft lim í — 1 9-56> ,im 9
9.52) íira 2*
X+ 1
x* + 2x —3
9.45) lim 9* x* - 9
* / , N * 9.57) lim 2 x ~ 3
1 -x
9.58) lim 3 ' ^
X-» 1
156
9.59) lim 4
»» + i 
X+ 1
9.60) lim 5 
>-y
<7 7 - 3)54
9.61) lim 2 *°*
* T
9.62) lim 3* " 1 - " 31
*-4
9.63) lim 4 * *
*""r
aen4i l-x *
9.64) lim 2 1 9.68) lim 3
1 —X
x- 0 X^ + C©
x»-M l- x
9.65) lim 2 * _ l 9.69) lim 5
l - x 2
2x3 + l
9.66) lim 3 xJ" ‘ 9.70) lim (0íTftgl
x-» + ® £~
l-x 2 2
9.67) lim 4 1 - 1 9.71) lim (0,7) 18
X-» -®
9.8 - CONTINUIDADE DAS FUNÇÕES LOGARÍTMICAS
Consideremos as funções logarítmicas f : IR?. —► IR, dadas por expressões 
do tipo
f(x) = loga x
com a > 0 e a ^ l .
Recordemos algumas das características destas funções
1 ,a) Se a > 1, f(x) = loga x é crescente e, conseqüentemente,
íse a > 1 e x > 1, tem-se loga x > 0
1 se a > 1 e 0 < x < 1, tem-se loga x < 0
2.“) Se 0 < a < 1, f(x) = loga x é decrescente e, conseqüentemente,
íse 0 < a < 1 e x > 1, tem-se log, x < 0
íse 0 < a < 1 e 0 < x < 1, tem-se loga x > 0
157
Teorema
A função f : IR^ -*■ IR, f(x) = Ioga x, com a > 0 e a = f l , é continua en» IR^., 
isto é, para todo x0 > 0 tem-se
lim logg X = Ioga Xo
* -*o
Provemos este teorema para o caso a > 1. O caso 0 < a < 1 será deixa­
do para o leitor.
Como
x
Ioga X = Io g a ------ 1 -logaX o
Xo
x
bastará provar que lim Ioga— = 0, o que eqüivale a provar que
x-*x .o X o
lim Ioga h = 0 
h - l
Investigação
Dado s > 0, desejamos provar que existe 5 > 0 tal que, se 0 < | h — 1 | < 8, 
tem-se | Ioga h | < e.
Esta condição escreve-se: — e < Ioga h < s e, como a > 1, eqüivale a
a~E < h < a£
ou -
a 'E - 1 < h - 1 < a£ - 1
Temos a' > 1 e a-£ — 1 <0. Então, se tomarmos 8 = min {a£ — 1, |a_£ — 11}, 
resultará que
a~£ — 1 < — 8 e 8 < a£ — 1 
Assim, a condição — 8 < h — 1 < 8 acarretará que
a~£ - 1 < h — 1 < a£ — 1
Demonstração
Dado e > 0, seja 8 = min {a£ — 1, | a_E — 1 |}. Se 0 < | h — 1 | < 8, 
tem-se a_£ - l < h — 1 < a* — 1, donde a_£ < h < aE e assim — e <loga h < e, 
ou seja
| Ioga h ( < e
158
Conseqüência
Uma conseqüência importante da continuidade das funções logarítmicas 
é expressa pela seguinte propriedade
Se lim f(x) — L > 0, então lim loga f(x) = loga L.
x - » * o X - »X q
Em particular
Se lim f(x) = 1, então lim loga f(x) = 0.
9.9 - LIMITES DAS FUNÇÕES LOGARÍTMICAS PARA
x —> ± o o o u x - > 0 +
Teorema
Se a > 1, tem-se
lim log, x = +00 e lim loga x = —oo.
x-* + oo x-*0 +
Se 0 < a < 1, tem-se
lim log, x = — 00 e lim log*x = +oo.
x—* + oo x-*0 +
Provemos o teorema no caso a > 1, deixando para o leitor o caso 0 < a < 1.
1.”) Demonstremos que, sendo a > 1, tem-se
lim lo g a x = + oo
x-» + oo
Devemos provar que, dado N > 0, existe M > 0 tal que se x > M, tem-se 
log, x > N.
Basta tomar M = aN > 0 e teremos que se x > M = aN, então (sendo a > 1) 
log, x > N.
2.®) Demonstremos que, sendo a > 1, tem-se
lim logjí”= —oo 
1 - 0 +
159
Devemos provar que, dado N >0, existe 5 > 0 tal que se 0 < x < 8, tem- 
se Ioga x < — N. 
Basta tomar 8 = a-N > 0 e teremos que se 0 < x < 8 = a~N, então (sen­
do a > 1) logg x < — N.
Conseqüência
Uma conseqüência do teorema acima é expressa pela seguinte propriedade
Se f(x) + oo, então =
para a > 1, tem-se lo& f(x) -» +oo;
para 0 < a < 1, tem-se log, f(X> -» — SO.
Se f(x) - 0 + , então
para a > 1, tem-se Ioga f(x) -► -oo ;
para 0 < a < 1, tem-se log» f(x) -* + 00.
Exercícios Resolvidos
3^3 _ ^
9.72) Calcule lim log, — ----------- ---------------------.
. - 2 « x3 - 2x2 + 4x - 8
Solução
Temos
x3 - 8 = (x - 2) (x2 +2x + 4) e x3 - 2x2 + 4x - 8 = (x - 2) (x2 + 4)
donde
x3 - 8________ x2 + 2x + 4
' x3 - 2x2 + 4x - 8 _ x2 + 4
Esta expressão tende ao limite - y se x -► 2. Assim
i i *3 “ 8 i 3lim log, — ---- — ------------- --- log , ---= - 1
«-2 J x3 - 2x2 + 4x - 8 J- 2
9.73) Calcule lim log2 cos x.
x-»0
Solução
Se x 0, tem-se cos x -* 1. Assim
lim log2 cos x — log2 1 = 0I—o
9.74) Calcule lim log5—-—.
I x |
Solução
Se x -► - o o , tem-se t-Í-t- -» 0 + . Assim, lim lo g }— !— - _oo 
|x| » |x|
160
X* + 1
9.75) Calcule lim log3 —j-—
x- *® X — 1
Solução
o *2 + 1 I » •Se x -* — oo, tem-se —-------- > 1. Assim,
x - I
lim log3\ - + 7 = log3 1 = 0
X — I
Exercícios Propostos
Nos exercícios seguintes, de n.° 9.76 a 9.93, calcule os limites indicados.
9.76) lim logj x 9.82) lim lo g , x 9.88) lim lo g jtg x
—0+ T
9.77) lim log2 x 
í
1 í
9.83) lim log3 (x2 + x + 1) 
i - 1 9.89)
, 2x3 + 3x2 + 1
lim log2— j-----------—
x2 - x + 1
9.78) lim log3 x 
*— 1
9.84) l.m log5 5x _ , 9.90) lim log2 —
*-* + « X
9.79) lim log2 x
i-* + ao
.. , x2 — 6x + 8 
9 .8 5 )l.m lo g ^ 2 _ 5x + 4 9.91) lim log.-L-«--00 ±X
9.80) lim log3 x 9.86) lim log2 sen x 9.92) lim log3 tg x
*-4-
9.81) lim log, x 9.87) lim log3 tg x 9.93) lim log, tgx
X— +00 —- *-4- T
9.10 - FUNÇÃO DE VARIÁVEL INTEIRA
Seja f : A -> IR uma função tal que A cí Z. Como o domínio desta função 
è um conjunto de números inteiros, as definições de limite vistas até agora não 
se aplicam, pois o domínio de f não pode conter uma vizinhança de um ponto 
x0, ou de + oo, ou de —oo.
Admitamos que exista um número inteiro no tal que todo número.inteiro 
n > no pertence ao domínio A da função f, Neste caso, é possível definir o
lim f(n)
n-» +05
Analogamente, se existe n0 e Z tal que o domínio A contém o conjunto 
{n «Z | n < n0}, é possível definir o
As definições ficam assim:
1.a) Dizemos que lim f(n) = L se, dado e > 0, existe M > 0 tal que se
n-» + oo
n > M, tem-se
| f(n) - L| < e
2.a) Dizemos que lim f(n) = L se, dado s > 0, existe M > 0 tal que se
Ü-> —00
n < — M, tem-se
| f(n) - L | < e 
Definições análogas podem ser dadas para os casos 
lim f(n) = ±oo ou lim f(n) = ±oo
9.11 - O NÚMERO e
Consideremos a função f : IN* -»IR dada pela expressão:
Podemos provar que existe o
lim ( l + — Y
0-.+00 \ n/
Este limite é um número que desempenha um importante papel na Análise Ma­
temática. É, habitualmente, representado pela letra e, e tem-se
e = 2,718281828459045235
O número e é irracional.
Para demonstrar a existência deste limite, utiliza-se o teorema seguinte, 
que apresentamos sem demonstração.
Teorema
Se f : IN* -»IR é uma função crescente e limitada superiormente em IN*, 
então existe o
lim f(n) = L
n-* +oo
Além disso, se f(n) < M para todo n e IN*, tem-se L < M.
f(n) =
162
Aplicando-se este teorema, a existência do limite
lim (1 + — Y
o-»+oo y n /
ficará estabelecida quando provarmos que:
1.°) a função í :íN*-*!R dada por f(n) = 1^ + — ^ é crescente;
2.°) f é limitada superiormente em IN*.
Demonstração do 1.°
Pela fórmula do binômio de Newton, temos
H T - f i K - O - i *
+ ( " ) V + - + ( Í ) - P + - + ( « ) , Í
Nesta soma, uma parcela qualquer se escreve:
/n\ 1 n! _1_____1_ n(n - l)(n - 2) ... (n - p + 1) _
\p/ np p! (n — p)! np p! n * n « n * . . . *n
= ^ - ( ' - j t 1 )
Vê-se, então, que aumentando-se n, cada fração de. denominador n de- 
cresce. Assim, os fatores deste produto aumentam. Este fato garante que a fun­
ção dada por
f ( „> - ( , + - ! ) ■ 
6 crescente.
Demonstração do 2.°
Retomando a expressão
podemos notar que
163
pois cada fator, isoladamente, é menor do que 1. Além disso, como 
p! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • • (p — 1) • p >
> 1 «2 «2 *2 *2 .... *2 *2 = 2P_1
temos
Então
Assim
1 1
— <
p! 2P_1 
í nV - < —\ p ) np 2P_1
RJ , , 1 1 1 1< 1 + 1 H--— + TT + ... + ~T—r + ... + ——r^2 *yp—l •JD — 1
1 - —
T 1
- ■ + -----------T ‘ 3 - 2 ^ < 3
isto é, a função dada por
f(n)
1 ------
2
-RJ
é limitada superiormente.
As duas demonstrações acima garantem, portanto, que existe o
lim f 1 + —Y
Q-* +oo y ü )
e ainda que esse limite não é maior do que 3. Trata-se do número
e s 2,718281828459 
já mencionado anteriormente:
/ 1V*
lim ( 1 + — ) = e
o-» + oo \ n J
Vejamos agora outros exemplos de limites que são iguais a e
164
Demonstração
lim ( \ + — Y+k = lim ( l + — Y • lim ( l + — Y = e • 1 =
f W + oo y n / n - * + c o y n / n - » + < * > \ T í J
Demonstração
Façamos n + k = m, donde n = m — k. Se n -»+oo , é claro que m-> +oo. 
Assim
lim f i + - í - Y = í » + - r k - «n- + 00 \ n + k/ m-* + oo \ m/
3.°)
/ 1 \®
lim ( + II n
n -» — oo \ n }
■ .. ■-
Demonstração
Façamos n = — m. Se-> — oo, é claro que m -» + oo. Assim, 
lim f l + 4 = lim (1 - — V ”
n-+ - co y 11 J m-> +ao ^ ID /
Mas 
donde
lim (1 + — ) = lim ( l + — !— Y = e
n— - oo y n J m-> + oo y m — \ J
165
4.°) Seja f : A - » IR, f(x) = 1^ + , cujo domínio é A = IR — [ — 1, 0],
Tem-se
Demonstração
Seja n = [x], isto é, seja n o número inteiro tal que 
n < x < n + 1 (x eA )
Então
1 1 1
----------- < — ^ —
n + 1 x n
1 1 , 1
1 + ----------- < 1 + — 1 + —
n + 1 x n
Se x > 1, temos n > 1, donde 
e ainda, com maior razão,
( ' • r i r
/ i V / i \ n + 1Como lim ( 1 H-) = lim [ 1 H--------------- ) = e, resulta (pelo teorema do
n- +oo y n + 1 / n-. +oo y n )
confronto) que
lim | 1 + — ) = e
166
As demais partes podem ser provadas com os mesmos artifícios utilizados 
nos casos anteriores.
5.°) lim (1 + x ) ' = e
x - 0
Demonstração
Façamos x = — , donde — = y. S e x - > 0 + , é claro que y -» + oo e, se
y *
se x -+ 0 —, é claro que y -» — oo. Assim
lim (1 + x )1 = lim (1 + — ) = e
*-♦0 + y - » + » V y J
e lim (1 + x)T = lim ( 1 + — ) = e.
x -» 0 - y-* — oo y y J
Portanto
lim (1 + x) * = e
x - 0
6.°) Se lim f(x) = ± oo, então
X-**o
O mesmo é verdade se x -» ± oo, ou para limites laterais x -+x0 + oux->x<,—.
7.°) Se lim u(x) = L e lim v(x) = ± oo , então
X-*Xo X-*Xo
167
Façamos — - = ——. É claro que f(x) -*• ±oo donde 
v(x) f(x)
Demonstração
e que v(x) = f(x) • u(x). 
Assim
Para finalizar, eis aqui o aspecto que apresenta o gráfico da função 
f : IR - [-1 ,0 ] - IR, f(x) = ( l + - I Y
onde se pode ver que:
lim ( l + — ^ = e
9.12 - LOGARITMO NATURAL
Consideremos o número e. A expressão
log, x
é chamada logaritmo natural de x (ou logaritmo neperiano de x) e é comumente 
indicada por
ln x
168
Sendo a > 0, tem-se
Teorema
Demonstração
Suponhamos, primeiramente, que a =£1. Façamos y = a1 — 1. Dai, vem
a* = 1 + y e x = log, (1 + y)
Se x -» 0, é claro que y -+ 0. Assim
a* - 1 y .. 1
lim-------- -- lim---------------= lim - —
x - 0 X y - 0 log, (1 + y) y-»0 1
— l o g . ( l + y )
y
1 1 1 - .
----------------- i = ----- -— -------— = -------= loge a = ln a
lim log, (1 + y)7 log, lim (1 + y)7 log, e
y-*0 y-*0
No caso a = 1 , temos também
lim —------ = lim ------ - = lim 0 = 0 = ln l = ln a
x - 0 X x - 0 X x - 0
Exercícios Resolvidos
9.94) Calcule lim ( 1 — — ) .
» - + «o\ x/
Solução
Fazendo — — = — , temos x = — 5y, logo, se x - » + oo, tem-se y - » — oo.
x y ,
Assim
lim ( i _ _ 1 Y = Bm (l +—) *’ = [ lim ( l + —Y ] * = e '5 =
— */ y ) y / J e
9.95) Calcule lim (1 + 2x)*.
x - 0
Solução
1 2
Fazendo 2x = y, temos — = — . Se x — 0, tem-se y -> 0 . Assim,
x y
i i [ iTlim (l + 2x)* = lim (1 + y)y = I lim (1 + y)y I a e2
x-»0 y -0 [ y - 0 J
169
/ 2x — i V 1
9.96) Calcule lim ( - ----- - ) .
x - - «\ 2 x + l/
Solução
2x — 1 l
Façamos -------- = 1 H-----, donde obtemos 2x= — 2y — l.S e x - * —oo, tem-se y-> + oo.
2x + 1 y
Assim
9.97) Calcule lim (1 + 3 tgJ x r '*2
x—0
Solução
Façamos 3 tg2 x = — , donde cotg2 x = 3y. Se x -► 0, temos y -» + oo. Assim
lim (1+3 tg2 í)c°'*2 ' = lim ( 1 + —y r = T lim f 1 + —Y1 = e3 
x-o i - + « \ y J [y—*•“ V y j J
e ■
9.98) Calcu le l im --------
x - 0 X
Solução
Sendo a = e~3, temos
. e~ lJ - I a* - l , . •
lim ------------ - lim--------- --- In a = In e = — 3
x- 0 x x-o x
9.99) Calcule lim + .
x - 0 x
Solução
Temos = - i - I n (1 -t- x) = ln (1 + x ) *
donde
lim + - X ^ = In lim (1 + - x ) 1 = ln e = 1
x - 0 X x - 0
e“ — eta
9.100) Calcule lim -------------
x - 0 X
Solução
e»« - <?* e“ - 1 e * - 1
Como :----------- ---------------------------, temosx x x
e " - e““x e“ - 1 e"1 - 1
lim------------= lim -------------- lim ------------= ln e“ — ln e = a — b
x - 0 x x - 0 x * - o x
170
9.101) Calcule lim a(^f& — 1 ). (a > 0)
Solução
— a " - 1 1
Como n(^ía — 1) = ----- j— , se fizermos x = — , para n -> + oo teremos x - * 0 + , logo
_ a' — 1
lim n(.Va — 1 ) = lim ---------= ln ao- + «> ^ 1- 0+ x
9.102) Calcule lim -------—
x-o sen x
Solução
e~x - 1
Temos
1 - e '
donde
lim
1 - e '1 lim -
e~* - 1
lne 1
«-o sen x
• = 1
lim -
Exercícios Propostos
Nos exercícios seguintes, de n.° 9.103 a 9.132, calcule os limites indicados: 
19.103) lim
x—+ «
9.104) lim* I — +«
9.105) lim
X — +0C
9.106) lim
x— — oe
9.107) limX-» + Ot
9.108) lim
- 0
- t J
4J
4J
t ) ‘ *‘
>!)■
1 +
1 +
1 +
9 .1 0 9 ) lim (1 + /X ) 31
x -o
9 .1 1 0 ) lim (1 - 2 x ) 1 «-o
9.111) lim ( ———\*- + ® \x — 1/
»" (— 3+ ® \x — 1/
*■x --*. \^ 2x + 4/
*■ P r ) ’" ’x - + ® \ x — 1 /
/X + 1 Y , “ I
lim
- + . o \ 3 x - V
lim É ± I f +‘ 
i—-qo \x -+ 5J
9.112)
9.113)
9.114)
9.115)
9.116)
9.117)
9.118)
9.119) Hm f c í ) *-» + » \3x -f 2/
i+i
3
9.120) lim (1 + cos x)3 *“ *
9.121) lim (1 + sen x) 1 '
x - 0
9.122) lim- (a > 0)
9.123) linr^— — -x-0 X
9.124) lim x [In (x + 1) — ln x]
x — + ec-
9.125) lim IC g(1 + 10X)
x - 0 X
9.126) lim — ln / H 
x -o x V 1 -
171