Roteiros de Aula 01 com gabarito ( Álgebra II)

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UNEB - Universidade do Estado da Bahia
UAB - Universidade Aberta do Brasil
Professora: E´rica Maceˆdo Semestre: 2017.2 Data: 31.08.2017
Aluno:
Roteiro de Estudos 01 - A´lgebra II
Subgrupos
Definic¸a˜o 1. Seja < G, ∗ > um grupo. Um subcon-
junto na˜o vazio H de G e´ um subgrupo de G (denota-
mos H < G) quando, com a operac¸a˜o de G, o conjunto
H e´ um grupo, isto e´, quando as condic¸o˜es seguintes
sa˜o satisfeitas:
(ı)h1 ∗ h2 ∈ H,∀h1, h2 ∈ H.
(ıı)h1 ∗ (h2 ∗ h3) = (h1 ∗ h2) ∗ h3, ∀h1, h2, h3 ∈ H.
(ııı)∃e ∈ H tal que e ∗ h = h ∗ e = h, ∀h ∈ H.
(ıv) Para cada h ∈ H, existe k ∈ H tal que h ∗ k =
k ∗ h = e.
Questa˜o 1. Verifique se os conjuntos abaixo sa˜o subgru-
pos dos grupos indicados.
a. H1 = {0, 2, 4} subconjunto do grupo < Z6,+ >;
b. H2 = Z
∗ subconjunto do grupo < R∗, · >;
c. H3 = {a + b
√
2; a, b ∈ Q} subconjunto do grupo
< R,+ >.
a. H1 e´ subgrupo de Z6 pois e´ um subconjunto fechado
em Z6; observe sua ta´bua:
+ 0 2 4
0 0 2 4
2 2 4 0
4 4 0 2
. Ale´m
disto, 0 e´ seu elemento neutro e os elementos 2 e 4
sa˜o inversos aditivos um do outro.
b. O conjunto H1 = Z
∗ na˜o e´ subgrupo do grupo mul-
tiplicativo R∗, pois em Z∗ os elementos na˜o possuem
inversos multiplicativos, com excec¸a˜o dos nu´meros 1 e
−1.
c. O conjunto H3 = {a+ b
√
2; a, b ∈ Q} e´ subconjunto
do grupo < R,+ >. Verificaremos todas as condic¸o˜es
descritas acima. Considere x, y, z ∈ H3 sendo que
x = a1 + b1
√
2, y = a2 + b2
√
2 e z = a3 + b3
√
2
em que a1, a2, a3, b1, b2, b3 ∈ Q. Veja que x + y =
(a1 + a2) + (b1 + b2)
√
2 ∈ H3 pois a1 + a2 ∈ Q e
b1 + b2 ∈ Q ; (x+ y) + z = [(a1 + a2) + (b1 + b2)
√
2] +
a3 + b3
√
2 = (a1 + a2 + a3) + (b1 + b2 + b3)
√
2 =
[a1 + (a2 + a3)] + [b1 + (b2 + b3)]
√
2 = [a1 + b1
√
2] +
(a2 + a3) + (b2 + b3)
√
2 = x + (y + z); temos que
0 = 0 + 0
√
2 ∈ H3 e´ o elemento neutro deste conjunto
pois x+0 = a1+ b1
√
2+ 0+ 0
√
2 = a1+ b1
√
2 = 0+ x
e para todo x ∈ H3, x = a1 + b1
√
2 temos que
−x = −a1 − b1
√
2 ∈ H3 e´ tal que x+ (−x) = 0.
Grupos/Subgrupos C´ıclicos
Definic¸a˜o 2. Sejam G um grupo e a ∈ G. Denomina-
se subgrupo gerado por a o conjunto de todas as
poteˆncias inteiras de a, isto e´, < a >= {am;m ∈ Z} =
{· · · , a−2, a−1, a0, a1, a2, · · · } e´ o subgrupo gerado por
a.
Questa˜o 2. Considere o grupo aditivo Z12. Determine
os subgrupos pedidos:
a. H1 =< 2 > = {0, 2, 4, 6, 8, 10}
b. H2 =< 5 > = Z12
c. H3 =< 6 > = {0, 6}
d. H4 =< 1 > = Z12
Questa˜o 3. Considere o grupo G = {e, a, b, c, d, f}, mu-
nido da operac¸a˜o ∗, dada pela seguinte ta´bua:
Profa. Ms. E´rica N. Maceˆdo Bons Estudos!
UNEB - Universidade do Estado da Bahia
UAB - Universidade Aberta do Brasil
* e a b c d f
e e a b c d f
a a b e f c d
b b e a d f c
c c d f e a b
d d f c b e a
f f c d a b e
Determine os subgrupos pedidos:
a. H1 =< a > = {e, a, b}
b. H2 =< c > = {e, c}
c. H3 =< d > = {e, d}
Teorema de Lagrange
Definic¸a˜o 3. Sejam G um grupo finito e H um sub-
grupo de G. Enta˜o |G| = |H| · (G : H); em particular,
a ordem e o ı´ndice de H dividem a ordem de G.
Questa˜o 4. Um grupo finito de ordem 12 pode ter um
subgrupo com 8 elementos? Porque?
Temos que a ordem do grupo G e´ 12, ou seja, |G| =
12. Usando o Teorema de Lagrange temos que os
poss´ıveis valores para as ordens dos subgrupos de G
sa˜o 1, 2, 3, 4, 6 e 12, ou seja, os divisores de 12. Desse
modo na˜o poder´ıamos ter um subgrupo de ordem 8.
Questa˜o 5. Considere o grupo aditivo Z16. Este grupo
e´ c´ıclico? Qual o seu gerador? Determine a ordem de
cada um dos subgrupos gerados pelos elementos 4, 5, 8
e 10.
O grupo aditivo Z16 e´ c´ıclico e seu gerador e´ o elemento
1. Para determinar a ordem dos subgrupos gerados
pelos elementos pedidos basta determinar a ordem de
cada um destes elementos, pois por definic¸a˜o, a ordem
do elemento e´ a ordem do subgrupo gerado por ele.
Assim, 4
4
= 0, enta˜o | < 4 > | = 4; 516 = 0, enta˜o
| < 5 > | = 16; 82 = 0, enta˜o | < 8 > | = 2 e 108 = 0,
enta˜o | < 10 > | = 8.
Profa. Ms. E´rica N. Maceˆdo Bons Estudos!