p3_Exame_T6

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBA´
INSTITUTO DE MATEMA´TICA E COMPUTAC¸A˜O
EXAME DE MAT 003 - CA´LCULO III - 2014/I - PROF. ARTUR FASSONI - 15/07/2014
Nome: Matrı´cula: Turma: T6 (manha˜)
Atenc¸a˜o:
A prova conteˆm 6 questo˜es. Resolva-as em ordem, utilizando uma pa´gina de almac¸o por questa˜o.
Questo˜es fora da pa´gina correta ou ocupando mais de uma pa´gina sera˜o desconsideradas.
Apresente a resoluc¸a˜o de forma clara e concisa, omitindo ca´lculos intermedia´rios.
As duas u´ltimas pa´ginas de almac¸o podem ser utilizadas para rascunho.
Coloque nome e matrı´cula em todas as folhas. Esta folha de questo˜es tambe´m deve ser entregue.
Boa Prova!
1. (20 pontos) A figura mostra a regia˜o de integrac¸a˜o da integral∫ 1
0
∫ 1
√
x
∫ 1−y
0
f (x,y,z) dzdydx.
Re-escreva essa integral como uma integral iterada equivalente em outras 3 ordens de integrac¸a˜o (na˜o
e´ necessa´rio calcular a integral).
2. (15 pontos) Utilizando coordenadas polares, expresse, como uma integral dupla, a a´rea de superfı´cie
da parte da esfera x2+y2+z2 = a2 que esta´ dentro do cilindro x2+y2 = ay e acima do plano xy. (Na˜o
e´ necessa´rio calcular a integral, apenas escreveˆ-la em coordenadas polares e deixa´-la pronta para ser
calculada).
3. (a) (5 pontos) Escreva a integral que representa o comprimento da para´bola y = x2, do ponto (0,0)
ate´ o ponto (L,L2) (na˜o e´ necessa´rio calcula´-la, apenas expressa´-la da forma que fique pronta para ser
calculada).
(b) (10 pontos) Utilizando o Teorema de Green, calcule a a´rea compreendida no interior da elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1.
4. (15 pontos) Calcule o trabalho realizado por ~F(x,y,z) = (y2z+2xz2)~i+2xyz~j+(xy2 +2x2z)~k para
deslocar uma partı´cula ao longo da curva C, parametrizada por~r(t) =
√
t~i+(t+1)~j+t2~k, 0≤ t ≤ 1.
(Dica: pense antes de calcular!).
5. (15 pontos) Calcule a integral de linha ∮
C
~F · ~dr,
onde ~F = x2z~i+ xy2~j+ z2~k, e C e´ a intersec¸a˜o do cilindro x2 + y2 = 9 com o paraboloide z = x2 + y2.
(A orientac¸a˜o de C e´ no sentido anti-hora´rio, quando vista de cima).
6. (20 pontos) Calcule a integral de superfı´cie ∫∫
S
~F · ~dS,
onde ~F = (ye−z + xz2)~i+(cosz+ yx2)~j+(sen x+ y2z)~k, e S e´ a fronteira do so´lido
E = {(x,y,z)|
√
x2 + y2 ≤ z≤
√
4− x2− y2};
(a orientac¸a˜o de S e´ positiva, no sentido exterior ao so´lido).
(Dica: utilize um teorema importante e depois mude para coordenadas convenientes).
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