SÉRIES DE FOURIER

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SÉRIES DE FOURIER 
Prof. Me. Ayrton Barboni 
SUMÁRIO 
1. INTRODUÇÃO ............................................................................................................ 1 
2. SÉRIES DE FOURIER ................................................................................................ 1 
2.1. Funções Periódicas ................................................................................................... 2 
2.2. Funções seccionalmente diferenciáveis ..................................................................... 3 
2.3. Funções de arcos múltiplos ....................................................................................... 4 
2.4. Coeficientes de Fourier .............................................................................................. 5 
3. A EXPANSÃO DE UMA FUNÇÃO f EM SÉRIE DE FOURIER ......................... 7 
3.1. Integração de algumas funções trigonométricas ........................................................ 8 
3.2. O cálculo dos coeficientes da série de Fourier ............................................................ 8 
3.2.1. Cálculo de a0 .......................................................................................................... 8 
3.2.2. Cálculo de an .......................................................................................................... 9 
3.2.3. Cálculo de bn .......................................................................................................... 9 
3.3. Exercícios Resolvidos .............................................................................................. 10 
3.4. Exercícios Propostos ................................................................................................ 15 
4. FUNÇÕES PARES E ÍMPARES ................................................................................ 16 
4. 1. Exercícios Resolvidos ............................................................................................. 17 
4.2. Exercícios Propostos ................................................................................................ 22 
5. FUNÇÕES PERIÓDICAS DE PERÍODO SIMÉTRICO p = 2 ............................... 23 
5.1. Exercícios Resolvidos .............................................................................................. 23 
5.2. Exercícios Propostos ................................................................................................ 26 
6. FUNÇÕES PERIÓDICAS EM INTERVALOS NÃO SIMÉTRICOS ....................... 27 
6.1. Exemplo Resolvido .................................................................................................. 27 
6.2. Exercícios Propostos ................................................................................................ 28 
7. FUNÇÕES NÃO-PERIÓDICAS EM QUALQUER INTERVALO .......................... 29 
7.1. Exemplos Resolvidos ............................................................................................... 30 
7.2. Exercícios Propostos ................................................................................................ 34 
8. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS .................................................... 35 
 8.1. Exercícios propostos em 3.4 ............................................................................................35 
 8.2. Exercícios propostos em 4.2 ............................................................................................37 
 8.3. Exercícios propostos em 5.2 ............................................................................................39 
 8.4. Exercícios propostos em 6.2 ............................................................................................43 
 8.5. Exercícios propostos em 7.2 ............................................................................................45 
9. GRÁFICOS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS: ....................................................... 54 
10. TABELA DE INTEGRAIS MAIS UTILIZADAS ................................................... 66 
Bibliografia: ..................................................................................................................... 67 
Séries de Fourier Prof. Me. Ayrton Barboni 
https://sites.google.com/site/ayrtonbarboni 1 
SÉRIES DE FOURIER 
1. INTRODUÇÃO 
Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), estudando a propagação de calor em 
corpos sólidos e admitindo que tal propagação devesse ocorrer por ondas, acabou por 
descobrir as Séries de Fourier, conforme conceito introduzido no livro “Theorie 
Analytique de la Chaleur ”, escrito em 1822. 
A proposta de Fourier é a de escrever uma função periódica em série trigonomé-
trica cujos termos são formados apenas por senos e cossenos de arcos múltiplos. 
As séries de Fourier têm aplicações em estudos de matemática, vibrações, sinais 
digitais, eletricidade, etc. 
Diferentemente das séries de Taylor, em que as funções necessitam serem 
deriváveis até certa ordem num intervalo para que os polinômios de Taylor, de grau cada 
vez maior, possam se aproximar da função a partir de um dos pontos do intervalo de 
convergência da série (Fundamentos de Matemática - Cálculo e Análise – Cálculo 
Diferencial e Integral a Duas Variáveis – LTC), os polinômios trigonométricos, 
formados por soma de alguns termos de senos ou cossenos da série de Fourier, 
aproximam a função periódica de modo global, como veremos. 
2. SÉRIES DE FOURIER 
As séries de Fourier podem expressar uma função seccionalmente diferenciável e 
|periódica em uma série trigonométrica de senos e cossenos de arcos múltiplos: 
1 2 1 2
0 cos( ) cos(2 ) ... cos( ) ... sen( ) sen(2 ) ... sen( ) ... (I)
2
n n
a
a x a x a nx b x b x b nx         
 
Se (I) for convergente
1
, então representará a função f , periódica, com período 
2 ,
visto que as funções seno e cosseno envolvidas têm período comum 
2 .
 
 
O estudo será estendido para outras funções com períodos diferentes de 
2 .
 
 
A série de Fourier de f é a série trigonométrica: 
 
0
1
*( ) ( cos( ) sen( ) ), . (II)
2
n n
n
a
f x a nx b nx n


    
 
 
1
 “Se f é 2-periódica com f e f’ continuas por partes (ver 2.2 Funções seccionalmente 
diferenciáveis) em [- , ], então a série (I) converge em cada ponto do intervalo para a média 
aritmética dos limites laterais de f ”. As hipóteses desta proposição são apenas suficientes para 
a convergência da série. 
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Vamos entender o que significam: Função periódica, função seccionalmente 
diferenciável e, também, efeitos dos arcos múltiplos (argumentos) x, 2x, 3x, ... e dos 
coeficientes de Fourier 
0 1 2, , , ... ,a a a 1 2 3, , , ...b b b
 nas funções senos e cossenos da série 
trigonométrica. 
 
2.1. Funções Periódicas 
Uma função 
: , ( ),f y f x 
 é periódica de período p se existe 
*p 
 tal 
que 
( ) ( ), .f x p f x x   
 Isto é, os valores de f (x) se repetem a cada escolha de
( ), .x np n 
 
 
Apresentamos a função 
: , ( ) sen( ),f f x x 
 que é periódica de período 
2p 
 (Fig 1), visto que 
sen( ) sen( 2 ), .x x x    
 
 
Devemos entender que p=2π é apenas um dos muitos períodos de f, pois, no 
exemplo acima, 
4p 
 é também período da função seno, pois é fato que 
sen( 4 ) sen( ),x x  .x 
 
OBSERVAÇÃO 1: 
a) Toda função real de variável real constante é periódica de período p, 
* .p   
b) O menor valor de p de uma função periódica não constante é chamado de período 
fundamental. 
x
y
  




1
-1
2x+2 x+40 x
p
= 4
 = 2
 = 2
Fig 1
= 2
p
p
p
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2.2. Funções seccionalmente diferenciáveis 
Uma função 
: , ( ),f y f x 
é seccionalmente diferenciável se : 
1º) f é seccionalmente contínua 
Uma função f é seccionalmente contínua se, restrita a cada intervalo 
I 
, 
possuir um número finito de descontinuidades com saltos finitos. Isto é, os limites 
laterais nos pontos de descontinuidade são finitos. 
 
 
Foi escolhido na Fig 2 um intervalo [a, b] do domínio de f e, nele, vemos uma 
quantidade finita de pontos de descontinuidade. Os limites laterais em cada um destes 
pontos têm valor finito. 
Entendemos que as funções seccionalmente contínuas são limitadas e integráveis 
em [a, b]. 
2º) A derivada de f também é seccionalmente contínua (Fig 3) 
 
y
x
x xa b
Fig 2
1 2
y
x
x xa b
Fig 3
1 2
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Outros exemplos de função 
: , ( ),f y f x 
seccionalmente diferenciável 
de período 
= 2p 
: 
1) 
( ) = , e ( 2 ) ( )f x x x f x f x       
2)
, se 0
( ) = e ( 2 ) ( )
, se 0
x x
f x f x f x
x x
   
   
 
   
 
3)
, se 0
( ) = e ( 2 ) ( )
, se 0
x x
f x f x f x
x x
   
    
 
   
 
4) 
2( ) = , e ( 2 ) ( )f x x x f x f x       
2.3. Funções de arcos múltiplos 
Se 
: , ( ),f y f x 
é periódica de período p, então a função 
: ,g 
*
( ) ( ),g x f a x a  
, é periódica de período 
.
p
a
 
Veja o exemplo onde se tem f (x) = sen(x) e g(x) = sen(2x) , com 
0 2 .x  
 
 
 
O período fundamental da função g é metade do período fundamental da função f. 
Se o argumento da função g fosse (x/2), veríamos que o período de g seria o 
dobro do período de f . Faça o gráfico e confira! 
OBSERVAÇÃO 2: 
a) As equações de onda mostram que sua frequência e período estão relacionados com o 
número real positivo 
k 1
 que multiplica x nos argumentos: Sendo k > 1, a nova 
função terá seu período reduzido e frequência aumentada k vezes em relação a função 
original e sendo 0 < k < 1, veremos situação inversa.
 
x
y


p = 
Fig 4
0 2
fg
1
- 1
p =
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b) Se as funções f e g são periódicas de período p, então a função produto f.g é 
também periódica, mas não necessariamente de mesmo período fundamental de f e g . 
( . )( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( . )( )f g x p f x p g x p f x g x f g x      
Exemplo: 
As funções de sentenças f(x) = 2sen(x) e g(x) = cos(x) têm período fundamental 
= 2p 
, mas a função de sentença 
( . )( )=2sen( ).cos( )= sen(2 )f g x x x x
 tem período 
fundamental 
. 
2.4. Coeficientes de Fourier 
É importante, para entendermos o propósito dos coeficientes de Fourier, que se 
observem os seguintes fatos: 
a) Se uma função periódica, de período p e valor máximo igual a 
*M 
, for 
multiplicada por 
*k 
, então a nova função terá valor máximo (k M ) e o mesmo 
período p . 
Exemplo 1: Sejam 
( ) sen( ), 2f x x p  
 e 
( ) 3sen( ), 2 .g x x p  
 
 
 
 
 
 
x
y
0

 
1
- 1
- 3
3
p =
Fig 5
f
g
Máx
Máx
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Exemplo 2: Sejam 
( ) cos( ), 2i x x p  
 e 
1
( ) cos( ), 2 .
2
h x x p  
 
 
 
O valor máximo de cada função é chamado de AMPLITUDE. 
Vemos nas Fig 5 e Fig 6 que as funções f e i têm amplitudes iguais a 1, a 
função g tem amplitude 3 e h tem amplitude 1/2. 
As figuras mostram também que as funções f e i diferem em FASE. A 
diferença de fase entre elas é 
/ 2.
 
 
b) Sendo as funções f e g periódicas de mesmo período p, então toda função h, 
h(x) = a f (x) + b g (x) , a e b reais (combinação linear de f e g), é periódica de período p. 
 
O exemplo acima (Fig 7) mostra as funções f , g e h reais de variável x real, 
tais que : f (x) = sen(x), g (x) = cos(x) e h(x) = sen(x) + 3 cos(x) 
x
y
1
- 1
0 
 p =
Máx
Máx
1/2
- 1/2
i
h
Fig 6
x
y
1
- 1
0 
 p =
gf
Fig 7
h
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E, na Fig 8, o gráfico de h tal que h(x) = 2 cos(x) + sen(2x) + 2/3 cos(3x) é: 
 
Note que o gráfico do polinômio trigonométrico h, na Fig 8, parece se aproximar 
dos segmentos de retas em forma de “V”. 
Entendemos do exposto, que os polinômios trigonométricos são combinações 
lineares formadas de algumas funções senos ou cossenos de arcos múltiplos, que 
convenientemente escolhidas e multiplicadas por coeficientes adequados, são capazes de 
aproximarem fortemente dos valores de uma função periódica (p/exemplo: “V”) a cada x 
real do seu domínio. 
Vejamos, abaixo, como se obtém os coeficientes da série de Fourier. 
3. A EXPANSÃO DE UMA FUNÇÃO f EM SÉRIE DE FOURIER 
Suponhamos que f seja uma função periódica, com período 
2 ,
e que possa ser 
representada por uma série de Fourier. 
 
Assim, para facilitar o trabalho, consideremos a sentença (II) na forma: 
 
 
1 2 1 2
0( ) cos( ) cos(2 ) ... cos( ) ... sen( ) sen(2 ) ... sen( ) ...
2
n n
a
f x a x a x a nx b x b x b nx          
 
Queremos obter os coeficientes: a0 , a1 , a2 , a3 , ... , b1 , b2 , b3 , ... dos 
termos da série trigonométrica para que ela represente a função f. 
x
1
- 1
0 
 p =
g
f
h
- 3
3
y
Fig 8
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É conveniente, para este propósito, que nos lembremos das integrais envolvendo 
as funções senos e cossenos: 
3.1. Integração de algumas funções trigonométricas 
A obtenção das integrais de senos e cossenos de arcos múltiplos, bem como das 
integrais com produtos de combinações destas funções, serão facilitados se os seus 
períodos forem entendidos a partir do intervalo [–π, π]. 
Assim, 
*,n k 
, teremos: 
 
 a) 
sen( ) cos( ) 0nx dx nx dx
 
  
  
 
b) 
sen( )cos( ) 0nx kx dx



 
c) 0 se
sen( ) sen( )
se
n k
nx kx dx
n k

 

 

 
d) 0 se
cos( ) cos( )
se
n k
nx kx dx
n k

 

 

 
Convidamos o nobre leitor a comprovar a veracidade dos resultados acima. 
3.2. O cálculo dos coeficientes da série de Fourier 
Tomemos a sentença (II) : 
1 2 1 2
0( ) cos( ) cos(2 ) ... cos( ) ... sen( ) sen(2 ) ... sen( ) ...
2
n n
a
f x a x a x a nx b x b x b nx          
e consideremos os casos: 
3.2.1. Cálculo de a0 
Integrando (II), membro a membro, em 
[ , ]x   
 teremos: 
0
1 2 1 2( ) cos( ) cos(2 ) ... sen( ) sen(2 ) ...
2
a
f x dx a x dx a x dx b x dx b x dx
     
                     
 
Sabemos de 3.1(a) que as integrais envolvendo senos e cossenos de arcos 
múltiplos em 
[ , ] 
são iguais a zero. Logo,
0( ) 0 0 ... 0 0 ... e, dai,
2
a
f x dx dx
 
         
 
 Utilize as seguintes identidades 
para as comprovações de b), c) e d): 
 
p + q p q
p q
2 2
sen( )+sen( )= 2sen .cos
   
   
    
p q p + q
p q
2 2
sen( ) sen( )= 2sen .cos   
    
    
p + q p q
p q
2 2
cos( )+cos( )= 2cos .cos
   
   
    
p +q p q
p q
2 2
cos( ) cos( )= 2sen .sen
   
     
   
 
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   0 0 0 0 0 0( ) ( ) 22 2 2 2 2
a a a a a
f x dx dx dx x a
                     
Logo, 
0
1
( )f x dxa

 
  
3.2.2. Cálculo de an 
Multiplicando (II) por cos(k x), *k um valor escolhido com o propósito de 
obter ak , teremos: 
1 2
1 2
0( )cos( ) cos( ) cos( )cos( ) cos(2 )cos( ) ... cos( )cos( ) ...
2
... sen( )cos( ) sen(2 )cos( ) ... sen( )cos( ) ...
n
n
a
f x k x k x a x k x a x k x a n x k x
b x k x b x k x b n x k x
     
    
 
Integrando, membro a membro, segue que: 
0
1 2
1 2
cos( ) cos( ) cos( ) cos(2 ) cos( ) cos( ) cos( )
sen( ) cos( ) sen(2 ) cos( ) sen( ) cos( )
( ) cos( ) ... ...
2
... ... ...
n
n
kx dx x kx dx x kx dx nx kx dx
x kx dx x kx dx nx kx dx
f x kx dx
a
a a a
b b b
    
    
  
  
    
  
     
    
    
  
 
Sabemos de 3.1.(a) que 
cos( ) 0k x dx



, de 3.1.(b) que todas as integrais de 
coeficientes bi(i = 1,2,3, ... ) são iguais a zero e de 3.1.(d) que apenas a integral com 
n = k tem valor igual a π. Logo, 
0
1 2 1 2( )cos( ) .0 .0 .0 ... ... .0 .0 ...
2
n
a
f x n x dx a a b ba

           
Daí, 
1
( )cos( )n f x nx dxa

  
 
3.2.3. Cálculo de bn 
Multiplicando (II) por sen(k x) , *k um valor escolhido para se obter bk, e a 
integrando, membro a membro, teremos analogamente ao 3.2.2 que : 
1
( )sen( )n f x n x dxb

   
Resumindo: 
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Se f é uma função seccionalmente diferenciável e periódica, com período 
2 ,
e 
que pode ser representada por uma série de Fourier, então 
1
0 *( ) ( cos( ) sen( ) ),
2
n n
n
a
f x a n x b n x n


   
 
sendo, 
0
1
( ) ,f x dxa

 
  
1
( )cos( ) en f x n x dxa

   
1
( )sen( )nb f x n x dx

   
 
As fórmulas que calculam a0, an e bn são conhecidas como Fórmulas de 
Euler. 
 
3.3. Exercícios Resolvidos 
Obtenha a expansão em série trigonométrica das funções reais de variável 
indicadas a baixo : 
 
1) 0 se 0
( ) e ( 2 ) ( )
se 0
x
f x f x f x
x
  
  
  
 
 
 
0
1
( )f x dxa

 
 
= 0
0
1
0dx dx



 
 
  
     00
1 1
dx x
   
 
 
  
 
 
 
0
0 0
sen( )
( ) cos( ) cos( ) cos( )
1 1 1
0. . 0n
nx
n
f x nx nx nxdx dx dxa



                    
 
0
0
1 1 1
( )sen( ) 0.sen( ) .sen( ) [1 cos( )]n f x nx dx nx dx nx dx n
n
b



               
 
Sendo 1 se = impar
cos( )
1 se = par
n
n
n
  

, então 
2
se impar
0 se par
n
n
b n
n


 
 
 
Assim, teremos: 
1
2 2 2 sen[(2 1) ]
sen( ) sen(3 ) sen(5 ) ... 2
2 1 3 5 2 2 1
( )
n
n x
x x x
n
f x
  


      
 
 
 
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Gráfico de f : 
 
 
Gráfico de f é aproximado pelo polinômio: 
2
2 2
P ( ) sen( ) sen(3 )
2 1 3
x x x

  
 
 
Gráfico de f é aproximado por: 
3
2 2 2
P ( ) sen( ) sen(3 ) sen(5 )
2 1 3 5
x x x x

   
 
   0
x
y

Fig 9
   0
x
y

Fig 10

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Nota: 
a) A medida que aumenta a quantidade de termos dos polinômios trigonométricos da 
série de Fourier que representa a função, vemos os gráficos (dos polinômios) se 
aproximarem cada vez mais do gráfico da função. 
 
b) O valor dos polinômios convergem para a média aritmética dos limites laterais da 
função em seus pontos de descontinuidade. No caso, 
/ 2. 
 
c) O valor da série alternada +
+1
 = 1
1
(-1)
2 1
n
n
n


 é 
/ 4.
 
 Considerando a série obtida acima, temos, em 
/ 2
, que: 
3 5 7
2 2 2 2
1 1 1
( ) 2 sen( ) sen( ) sen( ) sen( ) ...
2 2 3 5 7
f
             
 
 
Logo, 
1 1 1
2 1 ...
2 3 5 7
        
 
, daí, 
1 1 1
2 1 ...
3 5 7 2
 
     
 
. 
Portanto, 
1 1 1
1 ...
3 5 7 4

     
-------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
2) se 0
( ) e ( 2 ) ( )
se 0
x
f x f x f x
x
   
   
  
  
 
 
0
1
( )f x dxa

 
 
= 0
0
1
dx dx


 
 
 
   
  
   
0
0
0x x

  
 
 
0
0
1 1
( )cos( ) .cos( ) .cos( ) 0n f x nx dx nx dx nx dxa
 
               
   0
x
y

Fig 11

Séries de Fourier Prof. Me. Ayrton Barboni 
https://sites.google.com/site/ayrtonbarboni 13 
0
0
0
0
1 1
( )sen( ) .sen( ) .sen( )
cos( ) cos( ) 2
[1 cos( )]
f x nx dx nx dx nx dx
nx nx
n
n n n
nb
 
 


  

 

 
     
 
    
       
   
  
 
Se 1 se = impar
cos( )
1 se = par
n
n
n
  

, então 
4
se impar
0 se par
n
n
n
n
b


 
 
 
Assim, teremos: 
1
4 4 4 4 sen[(2 1) ]
sen( ) sen(3 ) sen(5 ) sen(7 )... 4
1 3 5 7 2 1
( )
n
n x
x x x x
n
f x



    
 
O gráfico de f na Fig 12 é aproximado pelo polinômio: 
5
4 4 4 4 4
sen( ) sen(3 ) sen(5 ) sen(7 ) sen(9 )
1 3 5 7 9
P ( ) x x x x xx     
 
 
 
Vemos que o gráfico do polinômio P5 se aproxima dos valores de f e converge 
para a média aritmética dos limites laterais da função em seus pontos de descontinuida-
de, No caso, 0. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------- 
3) se 0
( ) e ( 2 ) ( )
0 se 0
x x
f x f x f x
x
 
   
  
  
 
0
1
( )f x dxa

 
 
= 2
0
0
01 1
( ) 0
2 2
x
x dx dx

 

 

  
      
   
  
   0
x
y

Fig 12

Séries de Fourier Prof. Me. Ayrton Barboni 
https://sites.google.com/site/ayrtonbarboni 14 
0
0
00
2
2 2 2
1 1
( )cos( ) ( ).cos( ) 0.cos( )
1 1 cos( ) 1
0 0 [1 cos( )]
1 1 sen( ) cos( )
cos( )
n f x nx dx x nx dx nx dx
n
n
n n n
x nx nx
x nx dx
n n
a




 
 
  
 

 
 
 
 
 
 
 
    
    
    
    
 
    
 
   
  

 
1 se =impar
cos( )
1 se = par
n
n
n
  

, então 2
2
se impar
0 se par
n
n
n
n
a 


 
  
0
0
1
( )sen( ) 0.sen( )
1
( )sen( )n x nx dx nx dxf x nx dxb
 
            
0
2
0 1 cos( ) sen( )1
sen( )
x nx nx
n n
x nx dx   
  
   

  
1 cos( ) 1 cos( ) cos( )
(0 0) ( 0)
n n n
n n n
                    
1 se =impar
cos( )
1 se = par
n
n
n
  

, então 
1
impar
1
par
se
se
n
n
n
n
n
b



 
 

 
 Temos que 
 0
1
cos( ) sen( )
2
( ) n n
n
a nx b nx
a
f x


  
 Assim,
 
2
2 1 2 1
cos sen 0.cos(2 ) sen(2 ) cos(3 ) sen(3 )
2 3 3
...
4
( ) x x x x x xf x                         
2 1 2 1 1
cos sen sen(2 ) cos(3 ) sen(3 ) sen(4 ) ...
4 2 9 3 4
( ) x x x x x xf x
        
 Agrupando os termos em cossenos e em senos, segue: 
 
 
2
1 1
cos (2 1)2 sen( )
( 1)
(2 1)4
( ) n
n n
n x nx
n n
f x 
  
 



    
 
O gráfico de f na Fig 13 é aproximado pelo polinômio: 
 7
2 2 1 2
cos sen cos(3 ) sen(2 ) cos(5 )
4 9 2 25
1 2 1 2 1
sen(3 ) cos(7 ) sen(4 ) cos(9 ) sen(5 )
3 49 4 81 5
2 1 2 1
cos(11 ) sen(6 ) cos(13 ) sen(7 )
121 6 169 7
P ( ) x x x x x
x x x x x
x x x x
x

  
 
 


    
    
   

 
Séries de Fourier Prof. Me. Ayrton Barboni 
https://sites.google.com/site/ayrtonbarboni 15 
 
 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
3.4. Exercícios Propostos 
Determinar as séries de Fourier das funções dadas por: 
 
1) f (x) = x + π , com –π <x< π e f (x + 2π) = f (x) 
 Resp: 
1 1 1
2 sen( ) sen(2 ) sen(3 ) sen(4 ) ...
2 3 4
( ) x x x xf x         
  
 
2) se 0
( )
0 se 0
x x
f x
x
 

   
 
  f (x + 2π) = f (x) 
 
Resp: 
2
...
sen(2 ) 2cos(3 ) sen(3 )
2cos( ) sen( )
4 2 3 3
1
( )
x x x
x xf x
          
 
3) f(x) = x
2
 , com –π < x ≤ π e f(x + 2π) = f(x) 
 
Obter, também, a soma da série: a) 
1
2
1 1( 1)
n
n
n



 b) 
1
2
1
n
n



 
x
y

   
Fig 13
Séries de Fourier Prof. Me. Ayrton Barboni 
https://sites.google.com/site/ayrtonbarboni 16 
Resp: 2
2 1 1 14 cos( ) cos(2 ) cos(3 ) cos(4 ) ...
3 4 9 16
( ) x x x xf x x
  
       
  
2
1
1
2
1
a) ( 1)
12
n
n
n


 
 
Utilize: (0)f
 
 
2
1
2
1
b)
6
n n



 
Utilize: ( )f 
 
 
Obs: Veja no parágrafo 9 os gráficos dos exercícios propostos acima. 
4. FUNÇÕES PARES E ÍMPARES 
Consideremos as funções f e g reais de variável x real. 
A função f é par se, para todo x de seu domínio, existir (-x) tal que f(-x) = f(x) 
A função g é ímpar se, para todo x de seu domínio, existir (-x) tal que g(-x) = -g(x) 
Exemplos: 
f(x) = cos(x) g(x) = sen(x) 
 
A integral definida de uma função ímpar num intervalo simétrico [-a, a] é zero, 
*
+a .
 
Vemos que a simetria de g ocorre a partir da origem do sistema cartesiano, 
assumindo valores positivos a direita de 0 e, de mesmo módulo, negativos a esquerda de 
0 (isto é, g(–x) = –g(x)) em π, π]. E, neste caso, a integral definida da região limitada 
por g, eixo x e o intervalo π, π] é dada pela soma das integrais definidas de π, 0] e de 
[0, π], isto é, nas regiões onde g é negativa e onde é positiva. Vemos, também, que a 
integral definida de g é igual a zero em qualquer intervalo simétrico [-a, a], onde a é real 
positivo. Temos, no exemplo da Fig 15, que g(x) = sen(x) é ímpar. 
A simetria da função par ocorre em relação ao eixo y do sistema cartesiano, pois 
assume iguais valores para cada x e –x. A integral definida de uma função par num 
intervalo simétrico [-a, a] será zero somente para determinados valores de a. Veja, no 



x
y
x-x
f(-x) f(x)
Fig 14



x
y
x
-x
g(-x)
g(x)
Fig 15
-1
Séries de Fourier Prof. Me. Ayrton Barboni 
https://sites.google.com/site/ayrtonbarboni 17 
exemplo da Fig 14, que f(x) = cos(x) é função par e tem integral igual a zero apenas nos 
intervalos 
  *, , .n n n  
 Neste caso, a = n π. 
O cálculo dos coeficientes 
0
1
( ) ,f x dxa


 
 
 
1
( )cos( )n f x nx dxa 

  
 e 
1
( )sen( )n f x nx dxb


  
 pode ser facilitado se soubermos que f é par ou é ímpar: 
1º) Se f é ímpar, então a0 será zero e, também, an o será , pois o produto de uma 
função ímpar por outra par (como se torna o integrando de an ) resulta em função ímpar. 
2º) Se f é par, então bn será zero, pois o produto de uma função par por outra 
ímpar (como se torna o integrando de bn ) resulta em função ímpar. 
OBSERVAÇÃO 3: 
a) O produto de duas funções ímpares é par. 
Sejam f e g funções ímpares, sendo 
I = D( ) D( )f g
) , então 
I, ( ) I tem-se ( . )( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( . )( )x x f g x f x g x f x g x f x g x f g x             
. 
Daí, ( f.g ) é par. 
b) O produto de duas funções pares é par. 
 
Sejam f e g funções pares, sendo 
I = D( ) D( )f g
) , então 
I, ( ) I tem-se ( . )( ) ( ). ( ) ( ). ( ) ( . )( )x x f g x f x g x f x g x f g x          
. 
Daí, (f.g) é par.
 
c) O produto de duas funções uma par e outra ímpar é ímpar. 
 
Sejam f par e g ímpar, sendo 
I = D( ) D( )f g
) , então 
I, ( ) I tem-se ( . )( ) ( ). ( ) ( ). ( ) [ ( ). ( )] ( . )( )x x f g x f x g x f x g x f x g x f g x              
 
Daí, ( f.g ) é ímpar. 
Nota: Se o integrando nas fórmulas que calculam os coeficientes a0, an ou bn for uma 
função par no intervalo [-π, π], então estes coeficientes poderão ser obtidos pelo dobro 
de suas integrais calculadas no intervalo [0, π]. Este procedimento é incorreto se o 
integrando é função ímpar. Neste caso, o coeficiente deve ser obtido pela soma das 
integrais nos intervalos [-π, 0] e [0, π]. A soma obtida será igual a zero. 
4. 1. Exercícios Resolvidos 
Obtenha a expansão em série trigonométrica das funções reais, de variável real x, 
indicadas a baixo: 
 
1) f (x) = – x, com –π <x ≤ π e f (x + 2π) = f (x) 
 
Séries de Fourier Prof. Me. Ayrton Barboni 
https://sites.google.com/site/ayrtonbarboni 18 
A função f é ímpar, pois f (– x) = – (– x) = x = – f (x), –π < x ≤ π. Temos, 
 
pela nota da Observação 3, que 
0 0na a 
. 
 
Cálculo de 
nb
: (o seu integrando é função par) 
 
2
1 1 1
( ) sen( ) ( ).sen( ) ( ).sen( )
1 cos( ) sen( ) 1 sen( )
cos( )
1 2
2 cos( ) cos( )
n f x nx dx x nx dx x nx dx
x nx nx nx
x nx
n n n n
n n
n n
b
 
 


 
 
  
 
  

 
 
   
       
   
     
       
   

  

  
 
 Veja de outro modo: (ver nota da OBSERVAÇÃO 3) 
 
 
0 0
2
0 0
1
( ) sen( ) ( ).sen( ) ( ).sen( )
cos( ) sen( )
2
sen( )
cos( )
cos( )
2
2
cos( )
2
2 2
n f x nx dx x nx dx x nx dx
x nx nx nx
x nx
n n n n
n n
n n
b
 

 
  
 
  


   
       
   
   
    

 
  
   
  


  
 
Se 1 se =impar
cos( )
1 se = par
n
n
n
  

, então 
2
se impar
2
se par
n
n
n
n
n
b


 
 
Portanto, a série de Fourier de f é dada por: 
1
1 1 sen( )
( ) 2[ sen( ) sen(2 ) sen(3 ) ...] 2 ( 1)
2 3
n
n nxf x x x x
n


      
 
 
 
 
O gráfico de f na Fig 16 abaixo é aproximado por 
4
2 2 2 2
sen( ) sen(2 ) sen(3 ) sen(4 )
1 2 3 4
P ( ) x x x xx     
 
Séries de Fourier Prof. Me. Ayrton Barboni 
https://sites.google.com/site/ayrtonbarboni 19 
 
 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
2) f (x) = – x2 com –π <x ≤ π e f (x + 2π) = f (x) 
 
A função f é par, pois f (– x) = – (– x)2 = – x2 = f (x), –π <x ≤ π. Temos, 
pelo item 2º) do cálculo dos coeficientes 
0a
,
na
 e 
nb
 discutidos em 4., que
0nb 
. 
 
Sendo as regiões limitadas pelo gráfico de f, eixo x e intervalos [
-
, 0] e 
[0, ]
 
de mesma área, então podemos obter os coeficientes da série de Fourier do seguinte 
modo: 
 
Cálculo de a0 e an : (os integrandos são funções pares) 
0
0
2
( )f x dxa


 
= 
0
3 3 2
2
0
2 2 2 2
3 3 3
x
x dx
  
  
      
      
     

 
 
2 2
0 00
2 2 2
( )cos( ) .cos( ) .cos( )n f x nx dx x nx dx x nx dxa
  
                 
 
2
2 3 2 2
0
2 sen( ) 2 cos( ) 2sen( ) 2 2 cos( ) 4cos( )
n
x nx x nx nx n n
n n n n n
a
                  


 
Fig 16y
x
Séries de Fourier Prof. Me. Ayrton Barboni 
https://sites.google.com/site/ayrtonbarboni 20 
 1 se =impar
cos( )
1 se = par
n
n
n
  

, então 
2
2
4
se impar
4
se par
n
n
n
n
n
a


 
 

 
Portanto, 
2 2
1
2 2 2
1
1 1 cos( )
( ) 4[cos( ) cos(2 ) cos(3 ) ...] 4 ( 1)
3 32 3
n
n
nx
f x x x x
n
   

 
        
O gráfico de f na Fig 17 é aproximado por 
3
2
2 2
4 4 4
cos( ) cos(2 ) cos(3 )
3 1 2 3
P ( ) x x xx

   
 
 
Nota: 
Se f não for par e nem ímpar, então deveremos calcular todos os coeficientes de 
Fourier utilizando as fórmulas de Euler. 
 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
3) se 0
( ) e ( 2 ) ( )
se 0
x x
f x f x f x
x x
   
   
  
   
Sendo as regiões limitadas pelo gráfico de f, eixo x e intervalos [
-
, 0] e 
[0, ]
 
de mesma área, então podemos obter os coeficientes da série de Fourier do seguinte 
modo: 
Fig 17
x
y
0

f(x) = -x
2
Séries de Fourier Prof. Me. Ayrton Barboni 
https://sites.google.com/site/ayrtonbarboni 21 
0
0
2
( )f x dxa


 
= 2 2
2
0
0
2 2 2
( )
2 2
x
x dx x
      
    
        
     

 
 
2 2 2
0
0 0
2
2 ( )sen( ) cos( ) 2 cos( ) 1 2
[1 cos( )]
2 2
( )cos( ) ( ).cos( )
x nx nx n
n
n n n n n
n f x nx dx x nx dxa

 
    
 
 
 
  
    
   
    
 
      
    
 
1 se =impar
cos( )
1 se = par
n
n
n
  

, então 2
4
se impar
0 se par
n
n
n
n
a 


 
 
 
( )
1
( )sen( ) 0. integrando imparn f x nx dxb

  
 
 
Assim, teremos: 
1
2
4 4 4 4 cos[(2 1) ]
cos( ) cos(3 ) cos(5 ) ...
2 9 25 2 (2 1)
( )
n
n x
x x x
n
f x
    



      


 
O gráfico de f na Fig 17ª é aproximado pelo polinômio: 
1
4
cos( )
2
P ( ) xx


 
 
 
Vemos, neste exemplo, que a aproximação de f pelos polinômios trigonométricos ocorre 
mais rapidamente. Isto é, não necessitamos de polinômios com muitos termos para 
obtermos uma boa aproximação de f . 
Tente você o gráfico: 
3
4 4 4
cos( ) cos(3 ) cos(5 )
2 9 25
P ( ) x x xx

    
 
 ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
x
y

   
Fig 17 a
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4.2. Exercícios Propostos 
 Determinar as séries de Fourier das funções dadas por 
 
1) 
( 2 ) ( )( ) , , f x f xf x x x       
 
 
1
1
Resp : 2
sen( )
( ) ( 1)n
n
nx
f x
n



  
2) 2
2
( ) , ( 2 ) ( )
, 0
, 0
x
f x f x f x
x
x
x
 

  

  
  
 
2
2
11
4
(2 1)
2 1
2 sen(2 )
Resp : sen[(2 1) ] 2
2
( )
nn
n
n
nx
n x
n
f x








 
 
  
 
  
  
3) 
3 ( 2 ) ( )( ) , , f x f xf x x x       
 
 2
3
1
6
Resp : sen( )( ) 2 ( 1)n
n
n n
nxf x



 
 
 
 
’ 
4) 
( ) , ( 2 ) ( )
, 0
, 0
f x f f
x
x x
x
x
x
 

  

  
  
 
2
1
4
Resp :
2
cos[(2 1) ]
( )
(2 1)
n
n x
f x
n









 
5) 
( ) , ( 2 ) ( )
, 0
, 0
f x f f
x
x x
x
x
x
 


 
  

  
  
 
2
1
4
Resp :
2
cos[(2 1) ]
( )
(2 1)
n
n x
f x
n









 
 
Obs: Veja no parágrafo 9 os gráficos dos exercícios propostos acima. 
 
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5. FUNÇÕES PERIÓDICAS DE PERÍODO SIMÉTRICO p = 2 
A série de Fourier que representa funções de período
= 2p 
 pode ser 
generalizada para representar funções periódicas de período p = 2, simétrico em relação 
a origem do sistema cartesiano, fazendo uma simples mudança de escala de variável. 
Se imaginarmos que f (t) possui período 2, então t poderá ser dado por: 
2
 =
2
t x

 (onde x é a variável da função de período 2π) e 
2
 =
2
x t
 .
 
Nota: Vemos, nas sentenças acima, que sendo 
x  
tem-se que 
=t 
. 
 
A série de Fourier que representa uma função f de período 2é dada por: 
 
0
1
*( ) ( cos( ) sen( ) ), . (III)
2
n n
n
n t n ta
f t a b n
 

   
 
onde 
0
1
( ) ,f t dta

  
1
( )cos( ) en
n t
f t dta


  
1
( )sen( )n
n t
b f t dt


  
OBSERVAÇÃO 4: 
a) Fazendo 

 veremos retornar as fórmulas deduzidas para o intervalo [–π , π]. 
 
b) A série de Fourier de uma função par, que possui período fundamental de 2 , terá o 
cálculo de bn igual a zero. E, sendo ímpar, terá os cálculos de a0 e an iguais a zero. 
5.1. Exercícios Resolvidos 
Obtenha a expansão em série trigonométrica das funções reais de variável 
indicadas a baixo : 
 
1)
( ) , sendo 2 2, ( ) ( 4)f x x x f x f x     
. Temos p = 2 = 4 e = 2.
 
Vemos que a função f é par. Logo, bn = 0. Devemos obter: a0 e an . 
Utilizaremos a letra “ x ”, ao invés de t, na obtenção da série de Fourier da 
função dada (de período p = 4), para ser coerente com a variável apresentada em f . 
 
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Cálculo dos coeficientes: 
Temos que se 2 0
( ) e 2.
se 0 2
x x
f x x
x x
   
  
 
 
222 2
2 0
0
0
1 1 (2)
( ) 22 2 2
x
f t dt x dx x dxa

 
     
   
 
 
2 2
2 0
1 1 (2)
( )cos( ) cos( ) cos( )
2 2 2 2
n
n t n x n x
f t dt x dx x dxa
  

     
 
2
2
2 2 2 2
0
0
2 sen( ) 4cos( )
42 2cos( ) cos( ) 1
2
n
n x n x
x
n x
x dx n
n n n
a
 
   
 
 
     
 
  
 
1 se =impar
cos( )
1 se = par
n
n
n
  

, então 2 2
8
se impar
0 se par
n
n
n
n
a 


 
  
Logo, 
2 2 2 2 2 2 2
1
(2 1)
cos
2
(2 1)
2 8 1 8 3 8 5 8
( ) cos( ) cos( ) cos( ) ... 1
2 2 3 2 5 2
n
n x
n
x x x
f x x
     




 
 
         
 
O gráfico de f na Fig 18 é aproximado por: 
2 2 2
8 8 3
P ( ) 1 cos cos
2 9 2
( ) ( )
x x
x
 
    
 
 ----------------------------------------------------------------------------------------------------- 
x
y
0 2-2 4-4
2
Fig 18
Séries de Fourier Prof. Me. Ayrton Barboni 
https://sites.google.com/site/ayrtonbarboni 25 
2)
( ) , sendo 2 2, ( ) ( 4)f x x x f x f x     
. Temos p = 2 = 4 e =2.
 
 
Vemos que a função f é ímpar. Logo, a0 = an = 0. Devemos obter: bn . 
 
Utilizaremos a letra “ x ”, ao invés de t, na obtenção da série de Fourier para a 
função dada (de período p = 4), para ser coerente com a variável apresentada em f . 
 
Cálculo dos coeficientes: 
 
2 2
2 0
1 1 (2)
( )sen( ) sen( ) sen( )
2 2 2 2
n
n t n x n x
b f t dt x dx x dx
  

      
 
2
2
2 2
0
0
2 cos( ) 4sen( )
42 2sen( ) cos( )
2
n x n x
x
n x
x dx n
n n n
 
   
 
  
    
 
 

 
 
 1 se =impar
cos( )
1 se = par
n
n
n
  

, então 
4
se impar
4
se par
n
n
n
b
n
n




 
 
 
Logo, 
1
1
sen
4 1 2 1 3 4 2
( ) sen( ) sen( ) sen( ) ... ( 1)
2 2 2 3 2
n
n
n x
x x x
f x x
n

  
 



 
 
          
 
 
O gráfico de f na Fig 19 é aproximado por: 
2
4 4 2
P ( ) sen( ) sen( )
2 2 2
x x
x
 
  
 
 
x
y
0 2-2 4-4
2 Fig 19
-2
Séries de Fourier Prof. Me. Ayrton Barboni 
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5.2. Exercícios Propostos 
Determinar as séries de Fourier das funções dadas por: 
1)
( ) , sendo 1 1, ( ) ( 2)f x x x f x f x      
Resp: 
2 2 2
1 4 1 1
cos( ) cos(3 ) cos(5 ) ...
2 53
( ) x x xf x           
ou 
 
2
1
2
1 4 cos[(2 1) ]
2 (2 1)
( )
n
n x
n
f x




 
   
  

 
2) *
0 2 1
( ) 1 1 , ( ) ( 4),
0 1 2
se x
f x k se x f x f x k
se x

   

      
  
 
Resp: 
2 1 3 1 5
cos( ) cos( ) cos( ) ...
2 2 2 5 23
( )
k k x x x
f x
  
        
ou 
1
1
(2 1)
cos
2 2
( 1)
2 2 1
( )
n
n
n x
k k
n
f x





   
      
 
  
 
3)
2( ) , sendo 1 1, ( ) ( 2)f x x x f x f x      
Resp: 
2 2 2
1 4 1 1
cos( ) cos(2 ) cos(3 ) ...
3 2 3
( ) x x xf x           
ou 
1
2
1
2
1 4 cos[ ]
( 1)
3
( ) n
n
n x
n
f x





 
   
  

 
 
4) se 0 1
( ) , ( ) ( 2)
1 se 1 2
x x
f x f x f x
x x
 
  
   
 Sugestão: Reduzir ao intervalo [–1, 1] 
Fazer: 
( ) 1 , ( 1 0)f x x x     
 e 
( ) , (0 1)f x x x  
 
 
Resp: 
2 2 2
4 1 1
cos( ) cos(3 ) cos(5 ) ...
3 5
( ) x x xf x   
 
      
 
 
2 1 1
sen( ) sen(3 ) cos(5 ) ...
3 5
x x x  
 
    
 
 ou 
 
2
1 1
2
4 cos[(2 1) ] 2 sen[(2 1) ]
(2 1) 2 1
( )
n n
n x n x
n n
f x
 

 
 
    
     
       
 
 
 
Séries de Fourier Prof. Me. Ayrton Barboni 
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5) 1 se 1 1
( ) , ( ) ( 4)
0 se 1 3
x
f x f x f x
x
  
  
 
 
 Sugestão: Reduzir ao intervalo [–2, 2] 
Fazer: f(x) = 0, (-2 < x < -1) , f(x) = 1, (-1 < x < 1) e f(x) = 0 , (1< x < 2) 
 
Resp: 
1 2 1 3 1 5
cos( ) cos( ) cos( ) ...
2 2 3 2 5 2
( )
x x x
f x
  
        
ou 
1
1
(2 1)
cos
1 2 2
( 1)
2 2 1
( ) n
n
n x
n
f x





   
       
 
  
 
Obs: Veja no parágrafo 9 os gráficos dos exercícios propostos acima. 
6. FUNÇÕES PERIÓDICAS EM INTERVALOS NÃO SIMÉTRICOS 
Suponhamos que f seja uma função periódica de período p = 2 , definida no 
intervalo não simétrico ] a, a +2 [, 
a
. 
 
Se f é uma função que pode ser representada por uma série de Fourier, então: 
0
1
*( ) ( cos( ) sen( ) ), . (IV)
2
n n
n
n t n ta
f t a b n
 

   
 
onde 
2
0
a
a
1
( ) ,f t dta

  
2a
a
1
( )cos( ) en
n t
f t dta

  
2a
a
1
( )sen( )n
n t
b f t dt

  
6.1. Exemplo Resolvido 
Obtenha a expansão em série trigonométrica da função f real de variável real: 
 
( ) 1 , sendo 1 5, ( ) ( 4)f x x x f x f x      
 
A função f é periódica, definida no intervalo [1, 1+2 [ , com p = 2
4
, logo, 
2
. 
Solução: 
22 1 4
1
5
0
1
a
a 2
1 1
( ) ( 1)
( )
1
4
2 2
f x dx x dx
x
xa
   
 
  
       
Séries de Fourier Prof. Me. Ayrton Barboni 
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1 4
1
5
2 2 2 2
1
2
(2)
a
a 2
1 1
( )cos( ) ( 1)cos( )
( )
5 5
2( 1)sen( ) 4cos( ) 2sen( ) cos( ) cos( )
1 22 2 2 2 2
2
n
n x n x
f x dx x dx
n x n x n n n
x
n nn n n
a
 
    
   

   
   
   
      
   
   

 
 1 4
1
2
5
2 2 2
1
2a
a 2 (2)
5
2 2 2
1 1
( )sen( ) ( 1) sen( )
( )
5
2( 1)cos( ) 4sen( ) 2cos( ) sen( ) sen( )
1 22 2
2
n
n x n x
n x n n
f x dx x dx
n x n
x
n nn n n
b
 
   
   

   
   
     
       
   
   
 
 
 
Substituindo n = 1, 2, 3, 4, ... nas formas de 
na
 e 
nb
e, depois, transferindo 
estes resultados para (IV), teremos: 
 
 n =1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 ... 
na
 4 / 0 
4/(3 )
 
0
 
4 /(5 )
 
nb
 
0
 
4 /(2 )
 
0
 
4 /(4 )
 
0
 
 
4 4 1 1 3 1
( ) cos( ) sen( ) cos( ) sen(2 ) ...
2 2 2 3 2 4
x x
f x x x
           
 
 
Veja o gráfico de f e do polinômio trigonométrico P3 abaixo representados:
 
 
6.2. Exercícios Propostos 
Determinar as séries de Fourier das funções dadas por 
1) 
( ) = 3f x x
, sendo 
1 3x  
, 
( ) = ( 4)f x f x
 
y
x
4
1-1 50
Fig 20
- 4 -3 
Séries de Fourier Prof. Me. Ayrton Barboni 
https://sites.google.com/site/ayrtonbarboni 29 
 Resp: 
2 2 3 1
( ) = 2 2cos sen( ) cos sen(2) ... .
2 3 2 2
x x
f x x x
      
     
         
 
 1
1 1
(2 1)
2
cos
2 sen[ ]
( ) 2 2 ( 1) ( 1)
2 1
n n
n n
n x
n x
n
f x
n





 
  
        
 
  
  
 2) 
2( ) = 1f x x 
, sendo 
1 3x 
, 
( ) = ( 2)f x f x
 
 Resp:
       
2 2
...
1 2
cos 2sen( ) cos 2 sen(2 )
2 2
10 4 1 2
( ) = cos 3 sen 3 .
3 3 3
1
x x x xf x x x                
2
1
1 1
4 cos10 [ ] sen[ ]
( ) ( 1) 2 ( 1)
3
n n
n n
n x n x
f x
n n
 



 
 
     
  
 
 
3) 
2( ) = 2f x x x
, sendo 
1 2x 
, 
( ) = ( 1)f x f x
 
 Resp:
       
2 2 22 2
( ) =
1
cos 2 sen(2 ) cos 6 sen 6
3
2 1 1 1 1
cos 4 sen(4 ) ...
3 2 2 3
1
+f x x x x xx x             
2 2
1 1
cos[2 ] sen[2 ]2 1 1
( )
3
n n
n x n x
n n
f x
 
 
 
 
   
 
Obs: Veja no parágrafo 9 os gráficos dos exercícios propostos acima. 
 
7. FUNÇÕES NÃO-PERIÓDICAS EM QUALQUER INTERVALO 
Suponhamos que f seja uma função real de variável real, NÃO-periódica e 
definida no intervalo ] a, a +2 [, 
a
. 
A nossa pretensão é escrevê-la em Série de Fourier... 
Se a = 0, então a estratégia que será utilizada é a de construir uma função h, 
periódica, de em
,
que seja ímpar (ou par) e coincida com os valores de f em ] 0,2 [ 
a) Se h for ímpar, então a sua expansão em série de Fourier (formada por senos de 
arcos múltiplos) coincidirá com f apenas no intervalo ] 0, 2 [ . 
b) Se h for par, então a sua expansão em série de Fourier (formada por cossenos de 
arcos múltiplos) coincidirá com f apenas no intervalo ] 0, 2 [ . 
Séries de Fourier Prof. Me. Ayrton Barboni 
https://sites.google.com/site/ayrtonbarboni 30 
 Se a ≠ 0, então construiremos uma função h, de em 
,
 periódica de intervalo 
não-simétrico (ver parágrafo 6.) tal que coincida com os valores de f em ] a, a +2 [ . 
Assim, teremos 
( ) ( ), ]a, a 2 [.f x h x x  
 
Observação: Caso a ≠ 0 e 
0 ]a, a 2 [ 
, então é possível construir h, de em 
,
 
periódica de intervalo simétrico que seja par ou ímpar e que coincida com os valores 
de f em ] a, a + 2 [ . Ver 7.2 - Exercícios Propostos – (5). 
7.1. Exemplos Resolvidos 
 1) Vamos expandir a função 
:]0,3[ , ( ) 4 ,f f x x  
em uma série de Fourier, 
cujos termos são formados de senos de arcos múltiplos ou, também, podendo ser 
formados de cossenos de arcos múltiplos, conforme a construção de h seja ímpar ou par.
 
a) Construir uma função h par e periódica de período p = 6 : 
Fazer 
( ) ( ) 4 , ]0,3[h x f x x  
 e 
( ) ( ) 4 ( ) 4 , ] 3,0[h x f x x x        
. 
Assim, 4 se 3 0
( )
4 se 0 3
x x
h x
x x
   
 
  
, onde se nota que h é par: 
( ) ( )h x h x 
.
 
 
Visto que 
2 6p  
, então 
3
. Calculando os coeficientes da série de 
Fourier: 
0 *
1
( ) ( cos( ) sen( ) ), . (III)
2
n n
n
n t n ta
h t a b n
 

   
 
temos que bn = 0 e 
2
0
3
3
0
0
1 (2) 2 2 15
( ) (4 ) 4 5
3 3 2 3 2
x
a f t dt x dx x

   
        
  
  
3
0
1 (2)
( )cos( ) (4 )cos( )
3 3
n
n t n x
f t dt x dxa
 

   
 
  2 2 2 2
0
3
3(4 )sen 9cos
2 63 3
1 cos( )
3
n x n x
x
n
n n n
 

  
    
     
     
 
  
  
1 se =impar
cos( )
1 se = par
n
n
n
  

, então 2 2
12
se impar
0 se par
n
n
n
n
a 


 
  
Portanto, 
Séries de Fourier Prof. Me. Ayrton Barboni 
https://sites.google.com/site/ayrtonbarboni 31 
2 2 2 2 2
1
(2 1)
3
cos
5 12 1 3 1 5 5 12
( ) cos( ) cos( ) cos( ) ...
2 3 3 3 23 5 (2 1)
n
n x
x x x
h x
n

  
 


 
 
            
 
A função f estará definida estabelecendo-se : 
2 2
1
(2 1)
3
cos
5 12
( ) ( ) , 0 3
2 (2 1)
n
n x
f x h x x
n




 
 
     
 
 
 
 
b) Construir uma função h ímpar e periódica de período p = 6 : 
Fazer h(x) = f(x) = 4 – x, ]0, 3[ e h(– x) = – f(– x) = – [4 – (– x)] = – 4 – x, ]– 3, 0[ 
Assim, 4 se 3 0
( )
4 se 0 3
x x
h x
x x
    
 
  
, onde se vê que h é ímpar:
( ) ( )h x h x  
 
 
Visto que
2 6p  
, então
3
. Calculando os coeficientes da série de Fourier: 
Temos que: 
0 0naa  
 e 
2 2
3
0
3
0
3(4 ) cos( ) 9sen( )
4 cos( )3 3
1 (2)
( )sen( ) (4 )sen( )
3 3
2 2
3
n
n t
n x n x
x
n
n n n
n x
b f t dt x dx

 

 



 


   
 
   
    
  
 

 
 
y
x
4 
3-3 60
Fig 21
1
Séries de Fourier Prof. Me. Ayrton Barboni 
https://sites.google.com/site/ayrtonbarboni 32 
1 se =impar
cos( )
1 se = par
n
n
n
  

, então 
10
se impar
6
se par
n
n
n
b
n
n





 
 

 
Portanto, 
1 1
10 6 2 10 3 6 4
( ) sen( ) sen( ) sen( ) sen( ) ...
3 2 3 3 3 4 3
10
(2 1) (2 )
sen sen
63 3
(2 1) 2
n n
x x x x
x
n x n x
n n
h
   
   

 

 
 
    
   
   
    
 
 
A função f estará definida estabelecendo-se : 
10 3 2 10 3
( ) ( ) sen( ) sen( ) sen( ) ..., 0 3
3 3 3 3
x x x
f x h x x
          
 
 
 
 2) Vamos expandir a função 
:[ 1, 1[ , ( ) 1,f f x x   
em uma série de Fourier. 
 A função f não é periódica! Devemos construir uma função h periódica, com 
período não simétrico, que contenha f. Isto é, h(x) = x + 1, sendo h(x) = h(x + p), p = 2. 
 Obtida a série de Fourier de h, a função f será definida por restrição ao domínio de 
h ao intervalo [

1, 1[. 
y
x
4
3-3 6
0
Fig 22
-4
Séries de Fourier Prof. Me. Ayrton Barboni 
https://sites.google.com/site/ayrtonbarboni 33 
 Temos que 
0
1
( ) ( cos( ) sen( ) ),
2
n n
n
n x n xa
h x a b
 

  
 onde p = 2 = 2 e = 1. 
Determinação dos coeficientes de Fourier: 
2
1
1
1
0
1
1
1 21 1
( ) ( 1) 2
(1) 2
x
a h t dt x dx x
 
   
 
  
      
 
1
1
1
1
2 2 2 2 2 2
1
1 2
cos
1
(1)
1
( ) ( 1)cos( )
( 1) sen( ) cos( ) cos( ) cos( )
(0 ) (0 ) 0
n
n t
a h t dt x n x dx
x n x n x n n
n n n n
 
   
   


 
 
 
 
   
   
  
   

     
 
 
1
1
1
1
2 2
1
1 2
sen
1
(1)
1
( ) ( 1) sen( )
( 1) cos( ) sen( ) 2cos( ) 2cos( )
( 0) (0 0)
n
n t
b h t dt x n x dx
x n x n x n n
n n nn
 
   
  


 
 
 
 
   
   
   
   
   
     
 
 
 Tem-se que: 
2
, imparn n
n
b


 e 
2
, parn n
n
b



 
 Assim, 
2 2 2 2 2
( ) sen( ) sen(2 ) sen(3 ) sen(4 ) ...
2 1. 2 3 4
h x x x x x           
 
 
1
1
2 sen( )
( ) 1 ( 1) ,n
n
n x
h x x
n





   
. 
 Portanto,1
1
2 sen( )
( ) 1 1 ( 1) , [ 1, 1 [n
n
n x
f x x x
n





      
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   




x
y Fig. 23
Séries de Fourier Prof. Me. Ayrton Barboni 
https://sites.google.com/site/ayrtonbarboni 34 
7.2. Exercícios Propostos 
 Dada a função f com domínio restrito num intervalo, construir uma função g par 
ou ímpar que contenha a função f e obter com ela uma série de Fourier para a função f. 
1) 
( ) 1, 0 4f x x x   
 
Rep. 
2 2 2 2 2
16 16 3 16 5
( ) 3 cos cos cos ...,0 4
4 3 4 5 4
x x x
f x x
                        
 é par ou 
 
12 8 2 12 3
( ) sen sen cos ...,0 4
4 2 4 3 4
x x x
f x x
  
                     
 é ímpar. 
Ou, também, 
 
2 2
1
16
..., 0 4
(2 1)
cos
4
( ) 3
(2 1)n
x
n x
f x
n



   
 
 
 

 (par) 
 
1
(2 1)
4
, 0 4
2
2sen
4 4
2 1 2
3sen
( )
n
n x
x
n x
n n
f x
 




 
   
    
    
 
  
  (ímpar) 
2) 
( ) 2, 0 3f x x  
 
Resp.
8 8 3 8 5
( ) sen sen cos ..., 0 3
3 3 3 5 3
x x x
f x x
                      
 (ímpar) ou 
1
(2 1)
3
, 0 3
8
2 1
3sen
( )
n
n x
x
n
f x





 
 
 
 

 
. 
3) 0 se 0 1
( )
1 se 1 3
x
f x
x x



 

  
 
Resp. (par)
2 2 2 2 2 2 2
9 9 2 9 4 9 5
( ) cos cos cos cos ..., ]0,3[
3 3 3 3
2
3 2 4 5
x x x x
f x x
                                
ou 
2 2 2 2 2
6 4, 5 12 4, 5
, ]0, 3[
2
( )
3 2
3 3 2 4 3 24 4,5 3 4
sen sen sen sen ...
3 3 3 3 4 3
xf x
x x x x                                      
 
4) 
2( ) 4 , 0 1f x x x   
 
Séries de Fourier Prof. Me. Ayrton Barboni 
https://sites.google.com/site/ayrtonbarboni 35 
Resp: Considerando f par 
       
2 2 2 2 2 2 2
4 4 4 4
( ) cos cos 2 cos 3 cos 4 ..., ]0,1[
11
3 2 3 4
f x x x x x x          
 
2
1
2
1
, 0 1
cos11 4
( 1)
3
( ) n
n
n x
x
n
f x





   
 
 Considerando f ímpar 
3 3 3
7 4 1 7 4
( ) 2 sen( ) 2 sen(2 ) 2 sen(3 ) ..., ]0,1[
2 3 3
f x x x x x                         
 
5) 
( ) 2, 2 4f x x x   
 (Refere-se aos intervalos ]a, a + 2 [ , sendo a ≠ 0) 
 Vemos que 
0 ]a, a 2 [ 
. Assim, partindo de h ímpar, vamos obter f 
2 2 2
2 1 2 3 2 3
( ) ( ) 4 sen 4 sen 4 sen ...
4 2 4 3 4
x x x
h x f x
                                              
, 
]2,4[x
. 
Obs: Veja no parágrafo 9 os gráficos dos exercícios propostos acima. 
8. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
8.1. Exercícios propostos em 3.4 
1) 
( ) ( 2 )( ) , , f x f xf x x x          
2
0
1 1 1
2
2
( ) ( )
x
xa f x dx x dx
 
  
    

 
 
 
     
 
2
cos( )1 1 1 ( )sen( )
0( )cos( ) ( )cos( )n
nx
n
x nx
n
a f x nx dx x nx dx
 
  
            
2
sen( )1 1 1 ( )cos( )
( )sen( ) ( )sen( )n
nx
b
n
x nx
n
f x nx dx x nx dx
 
  
             
 
2cos( )1 (2 )cos( ) n
n
n
n
 

 
 
 

 
 
 p/ n = ímpar, 2
nb n

 e p/ n = par, 2
nb n


 
Temos que: 
      1
1
2 2 2
( ) sen sen 2 sen 3 ... 2
1 2 3
2 sen( )
sen(4 ) ( 1)
4
n
n
f x x x x
nx
x
n
   

       
 
Séries de Fourier Prof. Me. Ayrton Barboni 
https://sites.google.com/site/ayrtonbarboni 36 
2) 
, se 0
( ) ( 2 )
0, se 0
( ) ,
x x
f x f x
x
f x
  
   
 
 

 
0
20
0
0 2
1 1 1
(0)
2
( ) ( )
x
dx xa f x dx x dx
 
  
   

  
  
   
       
 
2
00 cos( )1 1 1 ( )sen( )
( )cos( ) ( )cos( )n
nx
n
x nx
n
a f x nx dx x nx dx

  
            
 
2 2 2
1 cos( ) 1
0 0 [1 cos( )]
1 n
n
n n n
 
    
       
    
 
 
 Se n = ímpar, 
2
2
na
n

 e se n = par, 
0na 
. 
2
00 sen( )1 1 1 ( )cos( )
( )sen( ) ( )sen( )n
nx
b
n
x nx
n
f x nx dx x nx dx

  
             
 
 
1
0 0 0
1
n n


   
    
  
 
. 
Temos que: 
     
2
1
( ) cos sen sen 2 ...
2
2 2 1 1
1 cos(3 ) sen(3 ) sen(4 )
4 3 3 4
f x x x x x x x
          
   
 
2
sen 2
( ) 2cos sen ... .
2
1 2cos(3 ) sen(3 ) sen(4 )
4 3 3 4
x
f x x x
x x x           
 
3) 
2 ( ) ( 2 )( ) , , f x f xf x x x        
3 2
2
0
2
3
1 1 1
3
( )
x
a f x dx x dx
 
  

   

 
 
 
    
 
2 3
2
2 2 cos( ) 2sen( )1 1 1 sen( )( )cos( ) cos( )n
x nx nx
n n
x nx
n
a f x nx dx x nx dx
 
              
 
2 2 2 2
1 2 cos( ) 2 cos( ) 1 4 cos( ) 4cos( )
0 0 0 0
n n n n
n n n n
                               
 
 p/ n = ímpar, 
2
4
na n


 e p/ n = par, 
2
4
na n

 
Séries de Fourier Prof. Me. Ayrton Barboni 
https://sites.google.com/site/ayrtonbarboni 37 
2
2
2
3
2 sen( ) 2cos( )1 1 1 cos( )
( )sen( ) sen( )n
x nx nx
b
n n
x nx
n
f x nx dx x nx dx
 
              
 
3 3
2 2cos( ) 2cos( ) cos( ) 2cos( )
0 0
1
0
n n n n
n n n n
                         
 
Temos que: 
       
2 2 2 2
1
2 2 1
2
2 cos cos 2 cos 3 cos 4
( )
4 4 4 4 ( 1) cos( )
... 4
3 1 2 3 4 3
n
nx x x x
f x x
nx
n
  


  

      
Nota: 
 a) P/ x = 0 tem-se 
1
2 2
1
2
1 1 1 1
0 (0) 4 1 ... 0 4 ( 1)
3 4 9 16 3
n
nf
n
  

            
 

 
e , daí, 
1
2
1
2
1
( 1)
12
n
n
n


 
 
b) P/ x = π tem-se 
1
2 2
2
2 21 1 1 1( ) 4 1 ... 4
3 4 9 16 3
n
f
n
    

 
           
 

 e , 
daí, 
1
2
2
1
6
n
n




. 
8.2. Exercícios propostos em 4.2 
1) 
( 2 ) ( )( ) , , f x f xf x x x        
 Temos que f é ímpar: f( x) = x = f(x) 
2
0
0 0
(2) (2) (2) sen( )( )cos( )
( )sen( ) ( )sen( )n
nx
b
n
x nx
n
f x nx dx x nx dx

          
 
 
cos( ) 2cos( )
0 0 0
(2) n n
n n
  

   
    
  
 
 
 Se n = ímpar, 
2
nb n

 e se n = par, 
2
nb n


. 
   
1
12sen 2 sen 3
( ) ... 2
2
22sen( ) 2sen(4 ) sen( )
( 1)
1 3 4
n
nx x
f x x
x x nx
n



      
 
2) 2
2
( ) , ( 2 ) ( )
, 0
, 0
x
f x f x f x
x
x
x
 

  

  
 
 
 
Séries de Fourier Prof.Me. Ayrton Barboni 
https://sites.google.com/site/ayrtonbarboni 38 
 Temos que f é ímpar: f( x) = ( x ) 2 = x2 = f(x) e, daí, 
0 0na a 
 
2
0 0
(2) (2)
( )sen( ) ( )sen( )nb f x nx dx x nx dx
 
   
 
 = 
2 3
2
0
(2) 2 sen( ) 2cos( )( )cos( ) x nx nx
n n
x nx
n


 
 
 

 
2
3 3
(2) 2cos( ) 2cos( ) n
n n
n
n


  
  
 
 
 Se n = ímpar, 2 2
3 3 3
2 2 42 2
n
n n n n n
b
 
 
   
      
   

 e se n = par, 
2
nb n


. 
2
3
2( )
2 2 2 4 2
4 sen( ) sen(2 ) sen(3 ) sen(4 ) ...
2 3 3 4
f x x x x x
                
 
1 1
2
3
sen(2 )
( )
(2 )(2 1)
2 4
sen[(2 1) ] 2
2 1
n n
nx
f x
nn
n x
n
 
 
 
 
 
  


  
 
 
3) 
3 ( 2 ) ( )( ) , , f x f xf x x x        
 Temos que f é ímpar: f( x) = ( x ) 3 = x3 = f(x) e, daí, 
0 0na a 
 
3
0 0
(2) (2)
( )sen( ) ( )sen( )nb f x nx dx x nx dx
 
   
 
 = 
2 3 4
3 2
0
(2) 3 sen( ) 6 cos( ) 6sen( )( )cos( ) x nx x nx nx
n n n
x nx
n


 
  
 

 
 
 = 3 2
3 3
(2) 6 6
cos( ) ( 1) .2nn
n n nn
 
   
      
  
 
3
2 2
3 3
2
3
( ) 2 2 sen(2 ) 2 sen(3 ) ...
6 6 6
sen( )
1 1 2 2 3 3
f x x xx x
  
     
       
       
    
 
1
2
3
3
( )
6
2 ( 1) sen( )n
n
f x x nx
n n


 
 
  
 

 
4) 
( ) , ( 2 ) ( )
, 0
, 0
x
f x f x f x
x
x
x
 

  

  
 
 
 
 Temos que f é par: f( x) = ( x) = f(x) e, daí, 
0nb 
 
Séries de Fourier Prof. Me. Ayrton Barboni 
https://sites.google.com/site/ayrtonbarboni 39 
0
2 2
0
0
0
0 2 2
1 1 1
( )( ) ( )
x x
x dxa f x dx x dx
 
  
  

 
     
     
       
       
 
0
0
1 1 1
( )cos( ) cos( ) ( )cos( )na f x nx dx x nx dx x nx dx
 
         
 ou = 
 
2
00
2
cos( ) 2
(1 cos( ))
2 2 ( )sen( )
( )cos( )
nx
n
n n
x nx
x nx dx
n
          
 
 Se n = ímpar, 
2
4
na
n

 e se n = par, 
0na 
. 
     
1
2 2 2
cos cos 3 cos 5
( ) ...
4 4 4 4 cos[(2 1) ]
2 3 5 2 (2 1)
n
x x x
f x
n x
n
    


    
  
 

 
5) 
( ) , ( 2 ) ( )
, 0
, 0
x
f x f x f x
x
x
x

 


  

   
 
 
 
 Temos que f é par: f( x) = ( x) π = x π = f(x) e, daí, 
0nb 
 
0
2 2
0
0
0
0
2 2
1 1 1
( )( ) ( )
x x
x xx dxf x dx x dxa
 
  
    

 

      
     
               
   
0
0
1 1
( )cos( ) ( )cos( ) ( )cos( )na f x nx dx x nx dx x nx dx
 
              
0
2 2
0
2
1 ( )sen( ) cos( ) ( )sen( ) cos( ) 2
[1 cos( )]
x nx nx x n nx
n
n n n n n


    
      
          
     
 Se n = ímpar, 
2
4
na
n


 e se n = par, 
0na 
. 
 
1
2 2 2
4cos( ) 4cos(3 ) 4cos(5 ) 4 cos[(2 1) ]
...
2 3 5 2 (2 1)
( )
n
x x x n x
n
f x
    


  
     

 
 
8.3. Exercícios propostos em 5.2 
1) 
( ) , sendo 1 1, ( ) ( 2)f x x x f x f x      
 Outro modo: 
( ) , ( 2) ( )
, 1 0
, 0 1
x
f x f x f x
x
x
x

  

  
 
, com p = 2 = 2,  =1 
 Temos que f é par: f( x) = ( x) = x = f(x) e, daí, 
0nb 
 
Séries de Fourier Prof. Me. Ayrton Barboni 
https://sites.google.com/site/ayrtonbarboni 40 
2 1
0
1
0
0 2
(2)
2 1
1
x
a xdx
  
  
   
 
 
1
0
1
2 2 2 2
0
sen( ) cos( ) 2
[cos( ) 1]
1
(2)
2
1
cos( )n
n x x n x n x
n
n n n
a x dx
           
 
 Se n = ímpar, 
2 2
4
na
n


 e se n = par, 
0na 
. 
1
2 2 2 2 2 2 2
1 4 4 4 1 4 cos[(2 1) ]
cos( ) cos(3 ) cos(5 ) ...
2 3 5 2 (2 1)
( )
n
n x
x x x
n
f x x
     



      

 
 
2) *( ) , ( 4) ( ),
0, 2 1
, 1 1
0, 1 2
f x f x f x k
x
k x
x



   


   
  
 
, com p = 2 = 4,  = 2 
 
 Temos que f é par: f( x) = f(x) e, daí, 
0nb 
 
0
1
1
0
0
(2)
.
2
(1). kx ka k dx     
 
1
0
1
0
2
sen( )
2 2
2
sen( )
2
(2)
2
cos( )n
k n x n
n
n x k
n
a k dx
       
 
 n 1 2 3 4 5 6 7 
 
na
 
 
2k

 
 0 
 
2
3
k

 
 0 
 
2
5
k

 
 0 
2
7
k

 
 
 
2 1 3 1 5 1 7
cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) ...
2 2 2 5 2 7 23
( )
k k x x x x
f x
            
 ou
1
1
(2 1)
cos
2
( 1)
2 1
2
2
( )
n
n
n x
n
k k
f x








  
      
 
  
 
3) 
2 ( 2) ( )( ) , 1 1, f x f xf x x x     
, com p =2 = 2,  =1 
 Temos que f é par: f( x) = ( x)
2 
 = x
2
 = f(x) e, daí, 
0nb 
 
Séries de Fourier Prof. Me. Ayrton Barboni 
https://sites.google.com/site/ayrtonbarboni 41 
1
1
2
0
0
0
3(2)
1 3
2
2
3
x
a x dx
  
      
 
 
1
3 3
0
1 2
2
2 2 2 2
0
sen( ) 2 cos( ) 2sen( ) 4cos( )
1
(2)
2
1
cos( )n
n x x n x x n x n x n
n nn n
a x dx
           
 Se n = ímpar, 
2 2
4
na
n


 e se n = par, 
2 2
4
na
n

. 
1
2 22 2 2 2 2
2 1
2
1 4cos( ) 4cos(2 ) 4cos(3 ) 1 4 cos[ ]
... ( 1)
3 1 2 3 3
( )
n
nx x x n x
n
f x x
      


        
4) 
( ) , ( 2) ( )
1
0 1,
, 1 2
x
f x f x f x
x
x
x

  

 
 
 
 
 Reduzir a intervalo simétrico:
( ) , ( 2) ( )
1
0 1
1
,
, 0
x
f x f x f x
x
x
x

  
 
 
  
 
 Temos que p = 2 = 2, logo,  =1. 
 0 12 2
1 0
0 1
0
1 0
1 1 1 1
0
(1) (1) 2 2 2 2
( 1)
x x
xxdxa x dx

   
   
   
          
 
 0 1
1 0
1 1
(1) (1)
( 1)cos( ) cos( )n x n x dx x n x dxa  

   
 
 0 1
1 0
2 2 2 2
( 1)sen( ) cos( ) sen( ) cos( )x n x n x x n x n x
n nn n
     
   
    
   

  
 
 
2 2 2 22 2 2 2
1 cos( ) cos( ) 1
0 0 0 0
n n
n n n n
                                          
 
 
2 2 2 2 2 2
2cos( ) 2 2
[cos( ) 1]
n
n
n n n
      
 
 Se n = ímpar, 
2 2
4
na n


 e se n = par, 
0na 
. 
0 1
1 0
1 1
(1)(1)
( 1)sen( ) ( )sen( )nb x n x dx x n x dx 

    
 
Séries de Fourier Prof. Me. Ayrton Barboni 
https://sites.google.com/site/ayrtonbarboni 42 
 0 1
1 0
2 2 2 2
( 1)cos( ) sen( ) cos( ) sen( )x n x n x x n x n x
n nn n
     
   
    
   
  
  
 
 
   
1 cos( ) 1
0 0 0 0 0 0 [1 cos( )]
n
n
n n n
                               
 
 Se n = ímpar, 
2
nb n

 e se n = par, 
0nb 
. 
2 2 2
4 cos(3 ) cos(5 ) 2 sen(3 ) sen(5 )
( ) cos( ) ... sen( ) ...
3 5 3 5
x x x x
f x x x
                      
 
2
1 1
2
4 cos[(2 1) ] 2 sen[(2 1) ]
(2 1) 2 1
( )
n n
n x n x
n n
f x
 

 
 
    
     
       
 
 
5) 
( ) , ( 4) ( )
11, 1
0, 1 2
f x f x f x
x
x

  

 
 
 
 
 Reduzir a intervalo simétrico:
( ) 1 , ( 4) ( )
1
1
0, 2
, 1
0, 1 2
f x f x f x
x
x
x


  


  


 
 
 
 A função é par de período p = 2 = 4, logo,  =2 e 
0nb 
 
 
0
1
1
0
0
(2)
. 1
2
1 xa dx     
 
1
0
1
0
2
sen( )
2 2
2
sen( )
2
(2)
2
1.cos( )n
n x n
n
n x
n
a dx
       
 
 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
na
 
2

 
 0 
2
3

 
 0 
2
5
 
 0 
2
7

 
 0 
2
9
 
 
3 5 7
2cos 2cos 2cos 2cos
1 2 2 2 2
...
2 3 5 7
( )
x x x x
f x
   
   
       
       
            
Séries de Fourier Prof. Me. Ayrton Barboni 
https://sites.google.com/site/ayrtonbarboni 43 
1
1
(2 1)
cos
1 2 2
( ) ( 1)
2 2 1
n
n
n x
f x
n





 
    

 
8.4. Exercícios propostos em 6.2 
1) 
( ) 3 , sendo 1 3, ( ) ( 4)f x x x f x f x      
, com p = 2 = 4,  = 2. 
2
0
33
1 1
1
2
1
4
2 2
. 3(3 ) xa xx dx


 
 
  
  
 
2 2
3
1
3
1
2(3 )sen 4cos
1 2 2
22
1
2
(3 )cos( )n
n x n x
x
n n
n x
a x dx
 
 



    
     
    
 
 
 
   
 
2 2 2 2
3
4cos 8sen 4cos
1 2 2 2
2
n n n
n n n
  
  
      
       
       
 
 
 
 
2 2
3
1
3
1
2(3 )cos 4sen
1 2 2
22
1
2
(3 )sen( )n
n x n x
x
b
n n
n x
x dx
 
 



    
      
    
 
 
 
   
 
2 2 2 2
3
4sen 8cos 4sen
1 2 2 2
2
n n n
n n n
  
  
      
       
       
 
 
 
 
 Obter para cada n, 
*n
, os valores de 
na
 e 
nb
: 
 n 1 2 3 4 5 
 
na
 
 
4

 
 0 
 
4
3

 
 0 
 
4
5
 
 
nb
 0 
2


 
 0 
 
1

 
 0 
 
Séries de Fourier Prof. Me. Ayrton Barboni 
https://sites.google.com/site/ayrtonbarboni 44 
   
4 4 2 4 3 2 4 5
( ) cos sen x cos sen 2 x cos ...
2 2 3 2 2 5 2
x x x
f x
                            
 
 
   
2 2 3 1 2 5
2 2cos sen x cos sen 2 x cos ...
2 3 2 2 5 2
x x x                            
 
 
1 1
1
(2 1)
cos
sen2 2
( ) 2 ( 1) ( 1)
2 1
2
n n
n n
n x
n x
f x
n n



 
 

   
  
      
 
  
  
 
2) 
2( ) 1 , sendo 1 3, ( ) ( 2)f x x x f x f x     
,