Apostila de Calculo I

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Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
1/84 
 
Centro Universitário do Leste de Minas de Gerais 
UNILESTEMG 
Coronel Fabriciano - MG 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO I 
CÁLCULO DAS FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PROFº REGINALDO PINTO BARBOSA 
PROFª DAYSE MARA PEREIRA DA COSTA 
 
Janeiro de 2009 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
2/84 
Sumário 
 
1. NÚMEROS REAIS............................................................................................................................................. 4 
1.1. CONJUNTOS NUMÉRICOS ................................................................................................. 4 
1.2. DESIGUALDADES ............................................................................................................... 5 
1.3. SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES E INTERVALOS ................................................................ 6 
1.4. VALOR ABSOLUTO ........................................................................................................... 10 
 
2. FUNCÕES E SEUS GRÁFICOS ................................................................................................................ 12 
2.1. DEFINIÇÕES ....................................................................................................................... 12 
2.2. GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO ............................................................................................ 14 
 
3. TIPOS DE FUNÇÕES ..................................................................................................................................... 19 
3.1. FUNÇÕES PARES E ÍMPARES .......................................................................................... 19 
3.2. FUNÇÃO DO 1º GRAU ........................................................................................................ 20 
3.3. FUNÇÃO QUADRÁTICA ................................................................................................... 21 
3.4. FUNÇÃO POLINOMIAL ..................................................................................................... 22 
3.5. FUNÇÕES RACIONAIS ...................................................................................................... 23 
3.6. FUNÇÃO EXPONENCIAL.................................................................................................. 24 
3.7. FUNÇÃO LOGARÍTMICA.................................................................................................. 25 
3.8. FUNÇÃO MODULAR ......................................................................................................... 27 
3.9. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS...................................................................................... 28 
3.9.1. Função Seno ................................................................................................................... 29 
3.9.2. Função Cosseno ............................................................................................................. 30 
3.9.3. Função Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante ................................................... 30 
3.10. EXERCÍCIOS DE REVISÃO I ........................................................................................... 31 
3.11. ÁLGEBRA DE FUNÇÕES ................................................................................................. 33 
3.12. COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕES ......................................................................................... 34 
3.14. FUNÇÕES INVERSAS ...................................................................................................... 35 
3.15. EXERCÍCIOS DE REVISÃO II ......................................................................................... 37 
 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
3/84 
4. LIMITE E CONTINUIDADE ..................................................................................................................... 39 
4.1. DEFINIÇÃO ......................................................................................................................... 39 
4.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES DE FUNÇÕES .............................................................. 43 
4.2.1. Exercícios propostos....................................................................................................... 44 
4.3 CONTINUIDADE E LIMITES LATERAIS ......................................................................... 45 
4.3.1. Funções contínuas .......................................................................................................... 45 
4.3.2. Limites laterais ............................................................................................................... 48 
4.3.3. Exercícios propostos....................................................................................................... 49 
4.4 LIMITES TRIGONOMÉTRICOS ......................................................................................... 49 
4.4.1. Exercícios propostos....................................................................................................... 50 
4.5 LIMITES ENVOLVENDO O INFINITO .............................................................................. 51 
4.6 LIMITES NO INFINITO ....................................................................................................... 54 
4.6.1. Exercícios propostos....................................................................................................... 57 
 
5. A DERIVADA .................................................................................................................................................... 61 
5.1. TAXA DE VARIAÇÃO ........................................................................................................ 61 
5.2. COEFICIENTE ANGULAR DA RETA TANGENTE ......................................................... 63 
5.3. A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO ..................................................................................... 66 
5.4. REGRAS BÁSICAS DE DERIVAÇÃO ............................................................................... 67 
5.4.1. Exercícios propostos....................................................................................................... 69 
5.5. A REGRA DA CADEIA ....................................................................................................... 70 
5.5.1. Exercícios propostos....................................................................................................... 72 
5.6. DERIVADA DE FUNÇÕES ELEMENTARES ................................................................... 73 
5.6.1. Derivada da função exponencial .................................................................................... 73 
5.6.2. Derivada da função inversa ........................................................................................... 74 
5.6.3. Derivada da função logarítmica..................................................................................... 75 
5.6.4. Derivada das funções trigonométricas ........................................................................... 76 
5.7. DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR .............................................................................. 78 
5.7.1. Exercícios propostos....................................................................................................... 80 
5.8. DERIVAÇÃO IMPLÍCITA .................................................................................................. 81 
5.8.1. Exercícios propostos....................................................................................................... 83 
Cálculo I – Cálculodas Funções de uma Variável 
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1. NÚMEROS REAIS 
1.1. CONJUNTOS NUMÉRICOS 
 
Os primeiros números conhecidos são os chamados inteiros positivos ou naturais, representados 
por: 
  ,4 ,3 ,2 ,1
 
Os números -1, -2, -3, -4, ... são chamados inteiros negativos. A união dos números naturais com 
os inteiros negativos e o zero (0) define o conjunto dos números inteiros representados por: 
  ,4 ,3 ,2 ,1 ,0 
 
Os números da forma 
 Ζ e m, n , n 
n
m
 0
 são chamados de frações e formam o conjunto dos 
números racionais. 






 Ζ e m, n , n 
n
m
xxQ 0/
 
Os números que não podem ser representados por 
n
m
, tais como 
414,12 
, 
14159,3
, 
71,2 e
 formam o conjunto dos números irracionais, representados por Q’. 
Da união dos conjuntos dos números racionais com o conjunto dos números irracionais, resulta o 
conjunto dos números reais representados por: 
= Q  Q’ 
Se x e y são quaisquer números reais, então somente uma das alternativas abaixo é verdadeira: 
1. x < y 
2. x > y 
3. x = y 
 
Se fixarmos y = 0 observamos que somente uma das condições abaixo é verdadeira: 
1. x < 0, neste caso x é um número real negativo. 
2. x > 0, neste caso x é um número real positivo. 
3. x = 0, neste caso x não é nem positivo nem negativo. 
 
Numa escala numérica horizontal, os números positivos são coordenadas de pontos situados à 
direita da origem, e os números negativos são coordenadas de pontos situados à esquerda da 
origem. 
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
5/84 
1.2. DESIGUALDADES 
 
Suponha que a, b, c e d sejam números reais. 
1. Se a < b, então a + c < b + c 
2. Se a < b e c < d, então a + c < b + d 
3. Se a < b e c > 0, então 
bcac 
 e 
c
b
c
a

 
4. Se a < b e c < 0, então 
bcac 
 e 
c
b
c
a

 
5. Se a < b e b < c, então a < c 
 
Exemplo: 
a) Mostre que 
59
13
9
2

 
   259913118259117913 )( e )( 
 
 
Dividindo ambos os termos por 59.(9), temos 
 
)9(59
)2(59
)9(59
)9(13





 (regra 3) 
9
2
59
13

 
Multiplicando ambos os membros pelo negativo -1, inverte-se a desigualdade 
)1(
9
2
)1(
59
13

 (regra 4) 
9
2
59
13

 
 
b) Prove que se 0 < x < y, então x2 < y2. 
x < y 
Multiplicando ambos os termos por x e depois por y, temos: 
x (x) < y (x)  x2 < xy  x2 (y)< xy (y)  x2 y < xy2 
Como x > 0 e x < y, logo x2 < y2 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
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1.3. SOLUÇÃO DE INEQUAÇÕES E INTERVALOS 
 
Resolva a inequação 
153  xx
 
153  xx
 
xxxx  153
 somando-se –x a ambos os lados 
143  x
 
11413  x
 somando-se 1 a ambos os lados 
x44 
 
4
4
4
4 x

 dividindo ambos os lados por 4 
x1
 
 0 1 
 
 1 não pertence ao conjunto solução 
 
Portanto a solução é o conjunto de todos os números reais que são maiores que 1. O conjunto 
solução consiste de um trecho da reta. Tais conjuntos, denominados intervalos, sempre surgem 
como conjunto solução de inequações. 
Os intervalos são classificados da seguinte forma: 
Sejam a e b números reais com a < b 
1. Intervalo aberto 
 bxax /
 denota-se por 
   a, b ou a, b
. 
 
 
2. Intervalo fechado 
 bxax /
 denota-se por [a, b] . 
 
 
3. Intervalo aberto à direita 
 bxax /
 denota-se por [a, b) ou [a, b[. 
 
 
4. Intervalo aberto à esquerda 
 bxax /
 denota-se por (a, b] ou ]a, b]. 
 
( 
b a 
( ) 
b a 
[ ] 
b a 
[ ) 
b a 
( ] 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
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5. Intervalo aberto de a até +  
 axx /
 denota-se por (a, +) ou ]a, +[. 
 
 
 
6. Intervalo aberto de -  até a 
 axx /
 denota-se por (- , a) ou ]- , a[. 
 
 
7. Intervalo fechado de a até +  
 axx /
 denota-se por [a, +) ou [a, +[. 
 
 
8. Intervalo fechado de -  até a 
 axx /
 denota-se por (- , a] ou ]- , a]. 
 
 
Exemplos: 
Determine todos os intervalos que satisfazem as desigualdades abaixo: 
a) 
9873  xx
 
398373  xx
 
687  xx
 
xxxx 86887 
 
6 x
 
6x
 
 6/  xxS
 ou (-6, +) 
 
b) 
93 57  x
 
3933 537  x
 
6 54  x
 
5
6
 
5
5
5
4

x
 
5
6
 
5
4
 x
 







5
6
5
4
/ xxS
 ou 
]
5
6
,
5
4
(
 
 
a 
( 
a 
) 
a 
[ 
a 
] 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
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c) 
5
7

x
x
, x ≠ -7 
Multiplicar ambos os membros por x + 7. Devemos considerar dois casos. 
1º caso: x + 7 > 0 ou x > -7 
)7(5)7(
7


xx
x
x
 
355  xx
 
xxxx 53555 
 
354  x
 
4
35
4
4



 x
 
4
35
x
 
),7(),
4
35
(),7(  SS
 
 
2º caso: x + 7 < 0 ou x < -7 
)7(5)7(
7


xx
x
x
 
355  xx
 
xxxx 53555 
 
354  x
 
4
35
4
4



 x
 
4
35
x
 
)
4
35
,()
4
35
,()7,(  SS
 
A solução final é S = (-7, +)  
)
4
35
,( 
 ou 






 ]7,
4
35
[/ xxS
 
d) 
0232  xx
 
0)2)(1(  xx
 
A igualdade 
0)2)(1(  xx
 somente acontece quando x = -1 ou x = -2. A desigualdade 
0)2)(1(  xx
 ocorre se e somente se (x + 1) e (x + 2) têm o mesmo sinal algébrico. 
1º caso: x + 1 > 0 e x + 2 > 0 
 -1 
( 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
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x + 1 > 0 ou x > -1 
 
x + 2 > 0 ou x> -2 
 
Solução 
 
2º caso: x + 1 < 0 e x + 2 < 0 
 
x + 1 < 0  x < -1 
 
x + 2 < 0  x< -2 
 
Solução 
 
A solução final é S = [-1, +)  
]2,( 
 ou 
 )1,2(/  xxS
 
 
e) 
0
5
53



x
x
 
A inequação é verdadeira somente se o numerador e o denominador apresentarem sinais 
algébricos opostos. 
1º caso: 3x + 5 > 0 e x - 5 < 0 
3
5
3
5
3
3
53
50553
053





x
x
x
x
x
 
5
5055
05



x
x
x
 
3
5
x
 
5x
 
 
-2 
( 
-1 
( 
-1 
) 
-2 
) 
-2 
) 
3
5

 
( 
5 
) 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
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Solução 
 
2º caso: 3x + 5 < 0 e x - 5 > 0 
3
5
3
5
3
3
53
50553
053





x
x
x
x
x
 
5
5055
05



x
x
x
 
Observe que não haverá valor de x que atenda ao mesmo tempo o intervalo 
3
5
x
 e 
5x
. Portanto a solução do 2º caso é o conjunto vazio. 
 
A solução final portanto é o intervalo aberto 
)5 ,
3
5
(
 
 
 
 
1.4. VALOR ABSOLUTO 
 
Se x é um número real, então o valor absoluto de x, representado por | x |, é definido por: 






0 ,
0 ,
||
xsex
xsex
x
 
Geometricamente o valor absoluto de x, também chamado de módulo de x, representa a distância 
entre x e 0. Escreve-se então 
2xx 
. 
 
Propriedades do valor absoluto 
Suponha que x e y são números reais. Então: 
1. 
xxx 
 
5 
) 
3
5

 
( 
5 
) 
3
5

 
( 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável11/84 
2. 
yxyx 
 
3. 
yxyx 
 
4. 
y
x
y
x

 se y ≠ 0 
5. 
yx 
 se, e somente se, 
yx 
 
6. 
yx 
 se, e somente se, -y < x < y 
7. 
yx 
 se, e somente se, 
yx 
 ou 
yx 
 
 
Exemplos: 
Determine o valor de x nas equações e inequações abaixo. 
1. 
735  xx
 
Pela propriedade 5, a equação dada equivale 
)73(5  xx
 ou 
)73(5  xx
. 
6
122
573
735
)73(5





x
x
xx
xx
xx
 
2
1
24
573
735
)73(5





x
x
xx
xx
xx
 
 
2. 
423 x
 
Pela propriedade 6, a desigualdade acima equivale a 
4234  x
. 
2
3
2
3
6
3
3
3
2
632
2422324
4234





x
x
x
x
x
 
S = x  
)2,
3
2
(
 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
12/84 
2. FUNCÕES E SEUS GRÁFICOS 
2.1. DEFINIÇÕES 
 
A idéia geral de função é simples. Suponha que uma quantidade variável “y” dependa de um 
modo bem definido de outra quantidade variável “x”. Portanto para cada valor particular de x 
existe um único valor correspondente de y. Tal correspondência é denominada função e diz-se que 
a variável y é uma função da variável x. 
 
Exemplo: 
x representa o raio de um círculo. 
y representa a área deste círculo 
Então, y depende de x de um modo bem definido, ou seja, A =  r2 ou y =  x2. 
Por conseguinte, diz-se que a área de um círculo é uma função do seu raio. 
 
Se f é uma função, representa-se o valor de y que corresponde a x como f(x), lê-se “f de x”. Para o 
exemplo da área do círculo, tem-se que f(x) =  x2. 
 
Uma função f é uma regra ou correspondência que faz associar um e somente um valor da variável 
y para cada valor da variável x. A variável x é denominada variável independente e pode tomar 
qualquer valor num conjunto de números denominado “domínio de f”. Para cada valor de x no 
domínio de f, o valor correspondente de y é denotado por f(x) tal que y = f(x). A variável y é 
denominada variável dependente, visto que seu valor depende de x. O conjunto de valores 
assumidos por y à medida que x varia no domínio é denominado “imagem de f”. 
 
Exemplo: 
c) Sejam 
   4,5 3, 2, B e 4 3, 2, 1, A 
 
( i ) 
 Bf : A 
 dada pelo diagrama abaixo é uma função de A em B 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
13/84 
 
( ii ) 
 Bg : A 
 
 
1 xx 
 é uma função de A em B 
 
d) Sejam 
   2 1, B e 5 4, 3, A 
 
 
 BR : A 
 
 
3 xx 
 não é uma função de A em B pois o elemento 3  A não tem correspondente 
em B 
 
Exemplos: 
Determinar o domínio e a imagem das seguintes funções: 
a) 
x
 f (x) 
1

 
Esta função só não é definida para 
0x
. Logo 
 0)( fD
. 
 0Im (f)
 
 
b) 
x f (x) 
 
Para 
)(,0 xfx 
 não está definida. Então 
    ,0)Im( ,0)( fefD
. 
 
B 
1 . 
2 . 
3 . 
4 . 
. 2 
. 3 
. 4 
. 5 
A 
B 
1 . 
2 . 
3 . 
4 . 
. 2 
. 3 
. 4 
. 5 
A 
B 
3 . 
4 . 
5 . 
 . 
 
. 1 
. 2 
A 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
14/84 
c) 
1 x f (x) 
 
)(xf
 não está definida para 
1x
. 
   0,)Im( ,1)(  fefD
. 
 
 
2.2. GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO 
 
O gráfico de uma função f é o conjunto de todos os pontos (x, y) de um plano coordenado tal que 
x pertence ao domínio de f e y à imagem de f. Sendo 
f (x) y 
. 
 
Exemplo: 
Esboce o gráfico de uma função f definida pela equação 
 xy 22
 com a restrição x > 0. 
 
 
 
 
Observe que o ponto (0, 0) não pertence ao gráfico de f(x), dada a condição de restrição x > 0. 
Consideremos o gráfico seguinte: 
 
A curva ao lado representa o gráfico de uma função? 
Não. Porque se fx é uma função, um ponto do seu domínio pode 
ter somente uma imagem. 
Portanto o gráfico de uma função não pode passar acima ou 
abaixo de si mesma. Assim, o domínio de uma função é o 
conjunto de todas as abscissas dos pontos sobre o gráfico, 
enquanto que sua imagem é o conjunto de todas as ordenadas dos pontos do seu gráfico. 
 
fx 
y 
x x1 
Q 
P 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
15/84 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Seja f uma função definida pela equação 
1 x y 
 com a restrição 
2x
. Esboce o 
gráfico de f e determine o seu domínio e imagem. 
Lembre-se que 
01x
, ou seja, 
1x
 e que pela restrição 
2x
, portanto 
21  x
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f (x) 
1 0 
1,2 0,45 
1,4 0,63 
1,6 0,77 
1,8 0,89 
2 1 
 
 
 
   21/)(ou 2 ,1)(  xxfDfD
 
 
   10/)(Imou 1 ,0)Im(  yyff
 
 
 
Determine o domínio e a imagem de f definida pela equação e esboce o gráfico da função: 
1. 
13  xy
 
A variável x pode assumir qualquer valor, então 
)( fD
. Da mesma forma, a variável y 
também pode assumir qualquer valor, logo, 
)Im( f
. 
 
y 
Imagem de 
f(x) 
Domínio de fx 
x 
fx 
1x 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
16/84 
 
 
 
 
 
 
 
2. y = | x | 
)( fD
 
x - y 0 x se ,x
 xy 0 x s ,


x
exx 
  0, Im(f) 
 
 
A variável independente x pode assumir qualquer valor, 
portanto o domínio é o conjunto de todos os números reais 

. Para 
0x
, tem-se 
xy 
, enquanto que para 
0x
 
tem-se 
xy 
. A variável dependente y não pode ser negativa 
mas pode assumir qualquer valor não negativo. Assim a 
imagem de 
 0, é f
. 
 
 
3. 






3 x se 4
3 x se 2
2x
x
y
 
)( fD
 
 
 
 
Pelo gráfico, temos 
  ,4)Im( f
 
 
 
 
x y 
0 1 
1 4 
-1 -2 
3
1
 0 
y
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-4 -2 0 2 4 6 8
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
17/84 
4. 
2
42



x
x
y
 
A função é definida para todos os valores de 
x
, 
excetuando-se 
2x
 (que anula o denominador da 
fração); portanto o domínio consiste em dois 
intervalos. 
   2, 2,)( fD
. 
)2)(2(42  xxx
 
Portanto para 
2x
 
  
 
2
2
2 2
2
42






 x
x
xx
x
x
y
 
Concluímos então que a condição
2
42



x
x
y
 equivale a 
2 xy
 desde que 
2x
. 
Logo, o gráfico consiste em todos os pontos da reta 
2 xy
 exceto o ponto 
 4,2
, que é 
excluído, ou seja, com x ≠ 2, a função não existe para y = 4. A imagem de 
f
 são todos os 
números reais exceto o 4, ou seja, 
   4, 4,)Im( f
. 
 
5. Considere a função g(x) = 4x + 7. Calcule 
   
h
ghg 33 
 para h ≠ 0 e simplifique sua resposta. 
 
       
4
4712741273473433






h
h
h
h
h
h
h
ghg
 
 
Na notação para as funções não é essencial a escolha de x e y para representar as variareis 
independentes e dependentes, respectivamente. Assim, podemos denotá-las por y = f(t), s = f(t) ou 
mesmo x = f(y). Por exemplo, o volume V de uma esfera é uma função do seu raio r, assim:V = f(r) ou 
3 
3
4
)( rrf 
. 
 
Exercícios: 
1. Ache o domínio e a imagem da função definida pela equação dada e esboce o seu gráfico. 
a) y = -5x + 7 
b) y = | -2 x | 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
18/84 
c) 






2- x se 4
2- x se 76
x
x
y
 
d) 
23
49 2



x
x
y
 
 
2. Seja g a função definida por g(x) = x (x + 1) ( x + 2) (x + 3). Mostre que para a ≠ -1 e a ≠ -5, 
 
5
)2(
1
1





a
ag
a
ag
 
3. É necessário que um retângulo tenha a área de 25 cm2, mas suas dimensões podem variar. Se 
um lado tem comprimento x, expresse o perímetro p como função de x. 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
19/84 
3. TIPOS DE FUNÇÕES 
3.1. FUNÇÕES PARES E ÍMPARES 
 
Considere as funções f e g, definidas pelas equações 
42  xf (x) 
 e 
3 xg (x) 
. Esboçando o 
gráfico de cada uma delas, temos: 
 
 
 
Podemos observar que: 
1. O gráfico de f é simétrico em relação ao eixo y, isto é, se o ponto (x, y) pertence ao gráfico, 
o ponto (-x, y) também pertence. Logo f(-x) = f(x). 
2. O gráfico de g é simétrico em relação à origem, isto é, se o ponto (x, y) pertence ao 
gráfico, o ponto (-x, -y) também pertence. Portanto, g(-x) = - g(x). 
 
De modo geral podemos definir estes tipos de funções como: 
 “Uma função f é par se, para todo x no domínio de f, -x pertence também ao domínio de f e 
f(-x) = f(x).” 
 “Uma função f é ímpar se, para todo x no domínio de f, -x pertence também ao domínio de 
f e f(-x) = - f(x).” 
 
Função par  gráfico simétrico em relação ao eixo y. 
Função ímpar  gráfico simétrico em relação à origem. 
 
Exemplos: 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
20/84 
1. Mostre que as funções abaixo são pares 
 
a) g(x) = x4 b) f(t) = 2t2 + 3| t | 
a) g(-x) = (-x)4 = x4 = g(x), portanto g é uma função par 
b) f(-t) = 2(-t)2 + 3 | -t | = 2t2 + 3| t | = f(t), portanto f é uma função par. 
 
2. Mostre que as funções abaixo são ímpares: 
 
a) g(x) = x5 + x3 b) f(x) = x | x | 
 
a) g(-x) = (-x)5 + (-x)3 = -x5 – x3 = -( x5 + x3) = -g(x), portanto g é uma função ímpar 
b) f(-x) = -x | -x | = -x | x | = - f(t), portanto f é uma função ímpar. 
 
Funções nem pares nem ímpares: 
a) f(x) = 1 + x b) f(x) = x3 + 4 
 f(-x) = 1 – x f(-x) = - x3 + 4 
 
3.2. FUNÇÃO DO 1º GRAU 
 
Função do 1º grau é toda função que associa a cada número real x, o número ax + b, com a ≠ 0. 
Os números reais a e b são chamados coeficientes angular e linear, respectivamente. 
 
a > 0  f(x) = ax + b é crescente [f(x) cresce com x] 
a < 0  f(x) = ax + b é decrescente [f(x) decresce com x] 
 
O gráfico da função f(x) = ax + b é uma reta não paralela aos eixos coordenados. 
)( fD
 e 
)Im( f
 
12
12
xx
yy
a



 
 
Exemplos: 
a) f(x) = 2x + 3 
 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
21/84 
 
b) f(x) = -3x + 1 
 
 
c) No MRU, o espaço percorrido s = so + vt [s = f(t)] 
 
3.3. FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 
Função definida por f(x) = ax2 + bx + c, com a ≠ 0. O gráfico de uma função quadrática é uma 
parábola com o eixo de simetria paralelo ao eixo y. 
Se a > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima. Se a < 0, a concavidade está voltada 
para baixo. 
Exemplos: 
a) f(x) = - x2 + 2x – 1 x1 = x2 = 1 
b) f(x) = x2 – 2x + 4  = -12 
c) f(x) = x2 -2x – 3 x1 = 3 e x2 = -1 
 
Zeros ou raízes da função: 
a)  < 0  f(x) não tem zero real 
b)  = 0  f(x) tem zero real duplo 
c)  > 0  f(x) tem dois zeros reais desiguais 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
22/84 
 
Gráfico da função: 
a)  < 0  gráfico não toca o eixo dos x 
b)  = 0  gráfico tangencia o eixo dos x 
c)  > 0  gráfico corta o eixo dos x 
Coordenadas do vértice da parábola: 
a
b
xv
2

 e 
a
yv
4


 
Soma das raízes: 
a
b
S 
 Produto das raízes: 
a
c
P 
 
 
O domínio é igual a , ou seja, 
)( fD
 
A 
)Im( f
 depende do vértice em y e do sinal de a: 
a) a > 0  





a
yyf
4
/)Im(
 
  ,fxxxfx 4Im então , 322
 
b) a < 0  





a
yyf
4
/)Im(
 
 0 ,Im então , 122  fxxxfx
 
 
3.4. FUNÇÃO POLINOMIAL 
 
Função definida por uma equação da forma 
nxaxaxaxaaxf n
n
n 


1
1
2
210)( 
, onde n 
é um inteiro não negativo e os coeficientes 
naaaa , , 210 
 são números reais constantes. Se an ≠ 0 
diz-se que esta função polinomial é de grau n. 
 
Exemplo: 
a) f(x) = 7 + 5x - 3x2 – 8x3 (grau 3) 
b) f(x) = a0 (função constante) 
c) f(x) = x (função identidade) 
d) f(x) = 5x5 – 6x +7 (grau 5) 
 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
23/84 
Verifique se a função é uma função polinomial. Em caso afirmativo, indique o grau e identifique 
os coeficientes. 
a) f(x) = 6x2 – 3x - 8 
Função polinomial de grau 2 – coeficientes a0 = -8, a1 = -3 e a2 = 6 
 
b) f(x) = x -3 + 2x 
Como n não pode ser negativo, logo, f(x) não é uma função polinomial. 
 
c) g(x) = (x -3) (x-2) – x3 
g(x) = (x -3) (x-2) – x3 = x2 – 2x – 3x + 6 – x3 = - x3 + x2 – 5x + 6, logo, g(x) é uma função 
polinomial de grau 3 e seus coeficientes são a0 = 6, a1 = -5, a2 = 1 e a3 = -1 
d) f(x) = 
2
x4 – 5-1x3 + 20 
f(x) = 
2
x4 – 
5
1
x3 + 20, logo, f(x) é uma função polinomial de grau 4 e seus coeficientes 
são a0 = 20, a1 = 0, a2 = 0, a3 = 
5
1

 e a4 = 2 . 
 
3.5. FUNÇÕES RACIONAIS 
 
A soma, diferença ou produto de duas funções polinomiais é ainda uma função polinomial, mas o 
quociente de duas polinomiais não é, geralmente, uma função polinomial. 
Função racional é definida como o quociente de duas funções polinomiais, ou seja, 
)(
)(
)(
xq
xp
xf 
 
onde q(x) não é uma função constante nula. 
O domínio consiste em todos os valores de x para os quais q(x) ≠ 0. 
 
Exemplos: 
a) 
2
1
)(



x
x
xf
 
 2Dx
 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
24/84 
 
 
b)   
  3 12
9 43
)(
2
22



xxx
xxx
xf
 
 334 , , -Dx 
 
   
   
1
334
3341
312
943
2
22






 x
))(x) (x-(x
)) (x) (x-) (x(x
x xx
x xx
f(x)
 
 
3.6. FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
Chamamos de função exponencial de base a, a função f de  em  que associa a cada x real o 
número ax, sendo “a” um número real (com a ≠ 1 e a > 0). 
 
)( fD
 e 
*
)Im( f
 
 
Quanto ao seu gráfico, a função f(x) = ax apresenta as seguintes particularidades: 
a) A curva está toda acima do eixo das abscissas, pois 
xay 
 > 0 para todo x  . 
b) Corta o eixo das ordenadas no ponto (0, 1). 
c) f(x) é crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1. 
 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
25/84 
Exemplo: 
a) 
xey 
 
 
b) 
x,y 50
 
 
c) 
xy 2
 
 
3.7. FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
Dado um número real a (0 < a ≠ 1), chama-se função logarítmica de base “a” à função de +* em 
 que associa a cada x o número 
xalog
, ou seja, 
xxf alog)( 
. 
Condição de existência da função logarítmica: 






1a e 0
0
log)(
a
x
xxf a
 
*
)( fD
 e 
)Im( f
 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
26/84 
A função logarítmica é a inversa da função exponencial. Com relação ao gráficoda 
xxf alog)( 
 
pode-se afirmar: 
a) Está toda à direita do eixo y. 
b) Corta o eixo das abscissas no ponto (1, 0). 
c) 
xxf alog)( 
 é crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1. 
d) É simétrico ao gráfico da função 
xaxg )(
 em relação à reta y = x. 
 
 
 
 
Exemplos: 
a) 
xy 2log
 
 
 
 
b) 
)1( log 2  xy
 
Pela condição de existência da função logarítmica x2 – 1 > 0. Logo o domínio da função é 
   1, 1,)( fD
. 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
27/84 
 
x
-3,5 1,1
-3 0,9
-2,5 0,7
-2 0,5
-1,5 0,1
-1,3 -0,2
-1,1 -0,7
-1,001 -2,7
1,001 -2,7
1,1 -0,7
1,3 -0,2
1,5 0,1
2 0,5
2,5 0,7
3 0,9
3,5 1,1
-3,0
-2,0
-1,0
0,0
1,0
2,0
3,0
-3,7 -2,7 -1,7 -0,7 0,3 1,3 2,3 3,3
)1( log 2  xy
 
 
c) 
xy 5,0log
 
 
 
 
3.8. FUNÇÃO MODULAR 
 
A função definida por 
 xy 
 chama-se função modular. O seu domínio é  e sua imagem é 
  ,0)Im( f
. A função 
 xy 
 pode ser expressa por 






0 ,
0 ,
xsex
xsex
y
. 
 
Exemplo: 
Construir o gráfico das funções: 
a) 
|3|)(  xxf
 






303- x ),3(
303- x ,3
)(
xsex
xsex
xf
 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
28/84 
 
b) 
x 3 )( xf
 






003x ),3(
003x ,3
)(
xsex
xsex
xf
 
x
-2 -6
-1 -3
-0,01 0
0 0
1 -3
2 -6
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
-3 -2 -1 0 1 2 3
xy 3 xy 3
xy 3
xy 3
 
3.9. FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
Certas fórmulas fundamentais do cálculo tornam-se muito mais simples se os ângulos são medidos 
em radianos e não em graus. Por definição, a medida de um ângulo  em radianos é o número de 
vezes que o raio como unidade de comprimento está contido no arco s subentendido pelo ângulo  
num círculo de raio r. Isto é 
r
s
radianosem ) ( 
 
 
 
Visto que o comprimento da circunferência 
rs 2
 e o arco 
subentendido é 360º, tem-se 
r
r 2
360


 radianos, isto é, 
2360 
 radianos, ou 
0180 radianos . 
 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
29/84 
3.9.1. Função Seno 
 
Seja x um número real. Marcamos um ângulo com medida x radianos na circunferência unitária 
com centro na origem. Seja P o ponto de interseção do lado terminal do ângulo x, com essa 
circunferência. 
 
Denominamos sen de x a ordenada 
1OP
 do ponto P em relação ao sistema U 0 V. 
Definimos a função seno como a função f de  em 

 que a cada x   faz corresponder o 
número real 
senxy 
, isto é: 
f :    
 x  
senxy 
. 
O domínio da função seno é  e o conjunto imagem é o intervalo 
 1 ,1
. A função 
senxy 
 é 
periódica e seu período é 2, já que 
  senxxsen  2
. Em alguns intervalos sen x é crescente e 
em outros é decrescente. O gráfico da função 
senxxf )(
, denominado senóide, pode ser visto na 
figura abaixo. 
 
 
 
 
 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
30/84 
3.9.2. Função Cosseno 
 
Seja x um número real. Denominamos cosseno de x a abscissa 
2OP
 do ponto P em relação ao 
sistema U 0 V. Definimos a função cosseno como a função f de  em 

que a cada x   faz 
corresponder o número real 
xy cos
, isto é, 
f :    
 x  
xy cos
. 
O domínio da função cosseno é  e o conjunto imagem é o intervalo 
 1 ,1
. A função 
xy cos
 é 
periódica e seu período é 2, já que 
  xx cos2cos  
. Em alguns intervalos cos x é crescente e 
em outros é decrescente. O gráfico da função 
xy cos
, denominado cossenóide, pode ser visto na 
figura abaixo. 
 
 
3.9.3. Função Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante 
 
Estas funções são definidas em termos de seno e cosseno. As funções tangente e secante são, 
respectivamente, denotadas pelos símbolos tg e sec e definidas por: 
 x
sen x
tg x
cos

 ; 
 x
 x
cos
1
sec 
 
para todos os números reais x tais que 
0cos x
. 
As funções cotangente e cossecante são, respectivamente, denotadas por cotg e cosec e definidas 
por: 
sen x
 x
g x
cos
cot 
 ; 
sen x
ec x
1
cos 
 
para todos os números reais x tais que sen x ≠ 0. 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
31/84 
O domínio das funções tg x e sec x é o conjunto de todos os números reais x para os quais cos x ≠ 
0. Como cos x = 0 quando x for 
 ,
2
5
 ,
2
3
 ,
2


, isto é, quando 


nx 
2
, 
n
, temos 






 nnxDtgD ,
2
 x| (sec))( 
. 
Analogamente, o domínio das funções cotangente e cossecante é o conjunto de todos os números 
reais x para os quais sen x ≠ 0. Como sen x = 0 para 
nx 
, 
n
, temos 
 Ζnnπ | xxec)D(g)D(  ,coscot
. Os gráficos dessas funções podem ser vistos nas 
figuras abaixo. Podemos observar que as funções tangente e cotangente são periódicas de período 
 e que as funções secante e cossecante são periódicas de período 2. 
 
3.10. EXERCÍCIOS DE REVISÃO I 
 
1) De acordo com a sua definição, quais das seguintes relações não são funções? 
a) o conjunto de pares ordenados (x , y) com x y2 = 1 
b) o conjunto de pares ordenados (x , y) com x = y 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
32/84 
c) o conjunto de pares ordenados (x , y) com y = x2 
d) o conjunto de pares ordenados (x , y) com x = y2 
 
2) Ache o domínio e a imagem da função definida pela equação dada e esboce o seu gráfico: 
a) y = 2x - 3 
b) 
xy  4
 
c) 









1 xse 2,
1x1- ,1
-1 x ,3
)( se
se
xf
 
d) y = (x – 1) (x – 3) 
 
3) Seja f uma função com domínio R. 
a) Define-se uma função g pela equação 
2
)()(
)(
xfxf
xg


. Prove que g é ímpar. 
b) Define-se uma função h pela equação 
2
)()(
)(
xfxf
xh


. Prove que h é par. 
4) Verifique se a função dada é par, ímpar ou nem par nem ímpar 
a) 
3)( 4  xxf
 
b) 
xxxg 25)( 3 
 
c) 
x
x
xf



1
1
ln)(
 
d) 
 xx aaxs 
2
1
)(
 
e) 
1
1
)(
2 


x
x
xh
 
 
5) Escreva as funções abaixo, sabendo-se que são funções do 1º grau. Verifique se as mesmas são 
crescente ou decrescente. 
a) 
3221  ) e f()f(
 
b) 
1352  ) e f()f(
 
 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
33/84 
6) A função f definida pela equação 
x
x
xxf
1
)( 1

 
.é uma função constante? 
 
7) Se 
xxf 2)( 
, mostrar que 
)(
2
15
)1()3( xfxfxf 
. 
 
8) Construir o gráfico das seguintes funções: 
a) 
xay 
 se a = 2 e a = ½ 
b) 
xy 2
 
c) 
xy
1
10
 
 
9) Exprima como função de x, a área total de uma caixa de volume dado V, sabendo-se que a base 
é um quadrado de lado x. 
 
3.11. ÁLGEBRA DE FUNÇÕES 
 
Sejam f e g duas funções cujos domínios se sobreponham. Definem-se as f + g, f – g, f.g e f/g 
pelas seguintes equações: 
 
)()())(( xgxfxgf 
 
 
)()())(( xgxfxgf 
 
 
)()())(( xgxfxgf 
 
 
)(
)(
)(
xg
xf
x
g
f






 
Em cada caso, o domínio da função definida consiste em todos os valores de x comuns aos 
domínios de f e g, exceto que no quarto caso os valores para os quais g(x) = 0 serão excluídos. 
 
 
 
 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
34/84 
3.12. COMPOSIÇÃO DE FUNÇÕESSejam f e g duas funções que satisfaçam a condição de que pelo menos um número da imagem de 
g pertence ao domínio de f. Então a composição de f e g, simbolizada por 
gf 
, é a função 
definida pela equação 
   )()( xgfxgf 
 
Exemplo: 
Seja 
13)(  xxf
, 
3)( xxg 
 e 
 1
3
1
)(  xxp
 
a) Ache 
))(( xgf 
 e 
))(( xfg 
 
  13)())(( 3  xxgfxgf 
 
   313)())((  xxfgxfg 
 
 
b) Calcule 
)2)(( gf 
 e 
)2)(( fg 
 
  13)())(( 3  xxgfxgf 
 
23124183123)2)(( 3 gf 
 
23)2)(( gf 
 
   313)())((  xxfgxfg 
 
    125516123)2)(( 333 fg 
 
125)2)(( fg 
 
 
c) Ache 
   )(xpgf 
 
     )()( xpgfxpgf 
 
 
   
3
1
3
1
3
1
)()()( 33 
x
xxxxpxgxpg
 
   xxxxxxxxfxpgf 











 3333 31131
3
1
3
3
3
1
3
)(
 
   xxxpgf  33)(
 
 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
35/84 
3.14. FUNÇÕES INVERSAS 
 
Duas funções f e g são inversas, se as quatro condições seguintes são satisfeitas: 
a) a imagem de g está contida no domínio de f. 
b) 
xxgf ))(( 
 para todo número real x no domínio de g. 
c) a imagem de f está contida no domínio de g. 
d) 
xxfg ))(( 
 para todo número real x no domínio de f. 
Uma função f para a qual exista a tal função g é dita invertível. 
Exemplo: 
Verifique se as funções 
xxf 3)( 
 e 
3
)(
x
xg 
 são inversas. 
a) 
)ImIm D(f(g) , e D(f)(g) 
 
b) 
  xxxfxgfxgf 






3
3
3
)())(( 
 
c) 
)ImIm D(g(f) , e D(g)(f) 
 
d) 
    xxxgxfgxfg 
3
3
3)())(( 
 
Logo f e g são inversas 
Supondo que f seja uma função invertível, define-se a inversa da função f, simbolizada por 
1f
, 
como a função cujo gráfico é simétrico do gráfico de f em relação à reta 
xy 
. A função 
1f
 é 
denominada a inversa de f. 
 
Exemplo: Determine a inversa da função dada 
a) 
12)(  xxf
 
1º Passo: faça 
12)(  xyxfy
 
2º Passo: resolva a equação para x em função de y 
  )( 1
2
1
 12
12
1 yfxyxyx
xy

 
3º Passo: troque x por y na equação parra obter 
)(1 xfy 
 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
36/84 
 
 
 1
2
1
)(
1
2
1
y
 1
2
1
1 


 xxf
x
yx
 
 
b) 
8)( 3  xxf
 
3333 8xy 8y x 8 8  yxxy
 
31 8)(  xxf
 
 
c) 
23
32
)(



x
x
xf
 
 
 
x
x
y
y
y
x
yxyxyxy
xyxy xx y 
x
x
y
32
23
 
32
23
3232 3232
32233223
23
32











 
x
x
xf
32
23
)(1



 
d) Mostre que as funções f e g definidas por 
1
73
)(



x
x
xf
 e 
x
x
xg



3
7
)(
 são inversas uma 
da outra. 
  xx
x
x
x
x
xx
x
xx
x
x
x
x
xgfxgf 















10
10
3
10
3
10
3
37
3
721321
1
3
7
7
3
7
3
)())((  
  xx
x
x
x
x
xx
x
xx
x
x
x
x
xfgxfg 














10
10
1
10
1
10
1
7333
1
7377
1
73
3
1
73
7
)())((  
Como 
  xxfgxgf  )())(( 
, logo f e g são funções inversas uma da outra. 
 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
37/84 
3.15. EXERCÍCIOS DE REVISÃO II 
 
1) Construa o gráfico das seguintes funções: 
a) 
xxxf  2)(
 
b) 
xxf log)( 
 
c) 
 12)(  xxxf
 
d) 
|log|)( xxf 
 
e) 
    |32|)(  xxxf
 
 
2) Determine o domínio das funções abaixo: 
a) 
xxf 2log1)( 
 
b) 
 xf(x) x   2log 1
 
c) 
 1 log 2  xf(x)
 
d) 
12
1
)(  xexf
 
 
3) Seja f uma função definida por 15)( 2  xxf e g definida por 75)(  xxg . Determine 
cada expressão abaixo: 
a) 
  4gf 
 
b) 
  23gf 
 
c) 
  xff 
 
d) 
 
h
xfhxf )(
 
e) 
 
h
xghxg )(
 
 
4) Sejam f, g e h definidas por 
xxf 4)( 
, 
3)(  xxg
 e 
xxh )(
. Expresse cada uma das 
funções abaixo através das composições de funções escolhidas entre f, g e h. 
a) 
xxF 4)( 
 
b) 
3)(  xxG
 
c) 
124)(  xxH
 
d) 
6)(  xxJ
 
e) 
xxk 4)( 
 
 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
38/84 
5) Mostre que as funções 
1
73
)(



x
x
xf
 e 
x
x
xg



3
7
)(
 são inversas uma da outra. 
 
6) Determine a inversa de cada uma das funções abaixo: 
a) 
23
32
)(



x
x
xf
 
b) 
 1log)( 2  xxf
 
c) 
124)(  xxf
 
d) 
0,6)( 2  xxxf
 
e) 2
2
1
)(








x
xf
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
39/84 
4. LIMITE E CONTINUIDADE 
4.1. DEFINIÇÃO 
 
Considere a função f(x) = x2 definida para valores próximos de 2 mas não necessariamente 
igual a 2. Note que f(x) fica cada vez mais próximo de 4 quando mais e mais x se aproxima de 
2. 
Atribuindo valores para x próximos de 2, tal que x < 2, temos: 
x 1,00 1,25 1,50 1,75 1,85 1,90 1,95 1,99 1,999 
y 1,00 1,562 2,25 3,06 3,42 3,61 3,802 3,96 3,996 
 
Atribuindo valores para x próximos de 2, tal que x > 2, temos: 
x 3,00 2,75 2,50 2,25 2,15 2,10 2,05 2,01 2,001 
y 9,00 7,562 6,25 5,062 4,62 4,41 4,202 4,04 4,004 
 
Em ambas as tabelas quando x se aproxima de 2, f(x) aproxima-se cada vez mais de 4 como um 
limite. Dessa forma, podemos escrever que: 
4lim 2
2


x
x
 
Onde a notação “x  2” indica que x tende a 2 e “lim” significa “o limite de”. 
Este limite pode ser ilustrado geometricamente pelo gráfico da função f(x) = x2 
 
 
 
O gráfico de f(x) mostra claramente que f(x) pode 
assumir valores tão próximos de 4 pela simples 
escolha de x suficientemente próximo de 2. 
 
 
 
 
 
Analisando a função f(x) = 3x -1 
 
x 0 0,25 0,50 0,75 0,90 0,99 0,999 0,9999 
y -1 -0,25 0,5 1,25 1,7 1,97 1,997 1,9997 
 
x  2  x 
f(x) 
 
 
 
 
 
 4 
 
 
 
f(x) 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
40/84 
x 2 1,75 1,5 1,25 1,1 1,01 1,001 1,0001 
y 5 4,25 3,5 2,75 2,3 2,03 2,003 2,0003 
 
2)13(lim)13(lim
11

 
xx
xx
 ou 
2)13(lim
1


x
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seja f(x) a função definida pelo gráfico. Encontre intuitivamente os limites pedidos: 
1. 
a) 
1)(lim
3


xf
x
 
b) 
3)(lim
3


xf
x
 
c) 
existenãoxf
x
 )(lim
3


 
d) 
3)(lim
4


xf
x
 
 
2. 
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
 
a) 
0)(lim
2


xf
x
 
b) 
0)(lim
2


xf
x
 
c) 


)(lim xf
x
 
d) 


)(lim xf
x
 
 
e) 
1)(lim
1


xf
x
 
 
No cálculo, freqüentemente há interesse nos valores de 
)(xf
 quando x está muito próximo de 
um número a, mas não necessariamente igual a esse número a. Na verdade em muitos casos o 
número a não pertence ao domínio de f, isto é, 
)(afnão está definida. De modo não rigoroso, 
x 1 
2 
y 
-2
-1
0
1
2
3
4
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
y
x
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
41/84 
pergunta-se: na medida em que x se aproxima cada vez mais de a (mas x ≠ a), f(x) fica cada 
vez mais próximo de algum número L? Se a resposta é sim, dizemos que o limite de f(x) 
quando x tende para a é igual a L. 
 
Generalizando, se f é uma função e a é um número, entende-se a notação 
Lxf
ax


)(lim
 
como “o limite de f(x) quando x tende a a é L”, isto é, f(x) se aproxima do número L quando x 
se aproxima de a. 
Exemplo: Se 
2
4
)(
2



x
x
xf
, então calcule 
)(lim
2
xf
x
. 
Temos que 
 2)( fD
, logo não podemos substituir x = 2 na expressão acima. Agora para 
x ≠ 2, 
2
2
)2)(2(
2
4
)(
2






 x
x
xx
x
x
xf
. Portanto 
42lim)(lim
22


xxf
xx
. 
 
Voltando ao primeiro exemplo, chegamos ao seguinte: 
Se 1,9 < x < 2,1 então 3,6 < f(x) < 4,4 
Se 1,99 < x < 2,01 então 3,96 < f(x) < 4,04 
 
Para denotar o quanto L está próximo de f(x) e quanto x está próximo de a, utiliza-se os 
números reais representados pelas letras  e , respectivamente. 
 
Se 2 – δ < x < 2 + δ então 4 – ε < f(x) < 5 + ε 
Por exemplo, a primeira expressão decorre da sentença acima fazendo δ = 0,1 e ε = 0,2 e assim 
por diante. Podemos ainda afirmar que se x está no intervalo aberto (2 – δ, 2 + δ), então f(x) 
está no intervalo aberto (5 – ε, 5 + ε). 
 
Se f(x) está perto de L, implica que, | f(x) – L | é pequeno. Da mesma forma, x está perto de a 
quando | x – a | é pequeno. Sendo assim, afirmar que 
Lxf
ax


)(lim
 é afirmar que, para qualquer 
número positivo , por menor que ele seja, haverá sempre um número positivo  
suficientemente pequeno tal que | f(x) – L | <  sempre que 0 < | x – a | < . 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
42/84 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Geometricamente, 
Lxf
ax


)(lim
 significa que, para x ≠ a, podemos garantir que f(x) se 
encontra em qualquer pequeno intervalo aberto em torno de L se garantirmos que x está em um 
intervalo aberto escolhido em torno de a. 
 
Dessa forma, podemos definir limite como: 
“Seja f uma função definida em um intervalo aberto qualquer que contenha a, excluindo o 
valor a. A afirmação 
Lxf
ax


)(lim
 significa que, para cada numero positivo , há um número 
positivo  tal que | f(x) – L | <  sempre que 0 < | x – a | < .” 
 
Exemplo: 
1. Dado  = 0,03, determine um  positivo tal que |(3x + 7) – 1| <  sempre que 0 < | x – (-2) | 
< . 
Temos 
|(3x + 7) – 1| = |3x + 6| = |3(x + 2)| = 3 |x+ 2| e | x – (-2) | = |x + 2|, 
Devemos determinar um  positivo tal que 3 |x+ 2| < 0,03 seja válido sempre que 0 < |x + 
2| < . 
Podemos escrever 3 |x+ 2| < 0,03 como |x + 2| < 0,01. Logo podemos tomar  = 0,01, 
como qualquer outro valor menor. 
 
2. Usando a definição mostre que 
523lim
1


x
x
. 
f(a + ) 
 
 L 
 
f(a - ) 
a -  a a +  
 
 
f 
y 
x 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
43/84 
Devemos mostrar que para todo 
0
, existe 
0
 tal que 
 10 x
 e 
 
 5)23( x
. 
Assim: 
3
113)1(333523
  xxxxx 
tomando δ = 
3

 
De fato, temos que: 
  5)23(33)1(313
3
1
3
10 xxxxxx
 
4.2. PROPRIEDADES DOS LIMITES DE FUNÇÕES 
 
Se 
(x) lim
 
f
ax
 e 
(x) lim
 
g
ax
 existem, e c é um número real qualquer, então: 
a)  
  )(lim)(lim)((x) lim
)(lim)(lim)((x) lim
 
 
xgxfxgf
xgxfxgf
axaxax
axaxax



 
b) 
)(lim)( lim
 
xfcxcf
axax 

 
c) 
 
)(lim
)(lim
)(
)(
 lim
 
 
 xg
xf
xg
xf
ax
ax
ax




 desde que 
0)(lim
 


xg
ax
 
d) 
)(lim)(lim)()( lim
 
xgxfxgxf
axaxax 

 
e) 
   n
ax
n
ax
xfxf )(lim)(lim
 

, para qualquer inteiro positivo n. 
f) 
n
ax
n
ax
xfxf )(lim)(lim
 

 se 
0lim 

f(x)
ax
 e n é um número inteiro positivo, ou se 
0lim 

f(x)
ax
 e n é um inteiro ímpar. 
g) 
)(lim(x)lim
 
xff
axax 

 
h) 
cc
ax

 
lim
, se c é uma constante qualquer. 
i) 
ax
ax

 
lim
 
j) 
   )(limln)(lnlim
 
xfxf
axax 

, se 
0lim 

f(x)
ax
. 
k) 
)(lim
lim
xf
f(x)
ax
axee 

 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
44/84 
Exemplos: 
1. Calcule 
75
43
lim
2 

 x
x
x
 
17
10
710
46
7lim5lim
4lim3lim
75lim
43lim
75
43
lim
22
22
2
2
2

















xx
xx
x
x
x x
x
x
x
x
x 
2. Seja a função definida por 










1 ,3
1 ,
1
23
)(
2
xse
xse
x
xx
xf
.Calcule )(lim1 xfx . 
 
Como no cálculo do limite de uma função quando x tende a a interessa o comportamento da 
função quando x se aproxima de a e não o que ocorre com a função quando x = a, temos: 
 
  
12lim
1
21
lim
1
23
lim
11
2
1







x
x
xx
x
xx
xxx 
 
 
3. Calcule 
 
   
     













 213
41
lim
21
21
3
21
lim
3
21
lim
333 xx
x
x
x
x
x
x
x
xxx
 
 
   4
1
21
1
lim
213
3
lim
33





 xxx
x
xx
 
 
4.2.1. Exercícios propostos 
 
1. Calcule os limites abaixo, utilizando as propriedades dos limites. 
a) 
)573(lim 2
0 
xx
x


 
b) 
)273(lim 2
3 


tt
t
 
c) 
83
649
 lim
2
3
8
 

 x
x
x
 
d) 
3
2
2
3 y 1
35
 lim


 y
yy 
e) 
x
x
x
24
lim
0 


 
f) 
xx  1
8
lim
3
 
g) 
2
652
lim
23
2 

 x
xxx
x
 
h) 
x
x
3lim
4
 
i) 
3x)-2( lim
2- x 
 
j) 
3
9
 lim
2
3 x 

 x
x
 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
45/84 
k) 
2
65
lim
2
2 

 x
xx
x
 
l) 
1
1
lim
1 

 x
x
x
 
m) 
123
2
lim
35
23
0 

 xxx
xxx
x
 
n) 
xx
xx
x 

 2
3
0
lim
 
o) 
1
12
lim
1 

 x
xx
x
 
p) 
4
23
lim
2
3
2 

 x
xx
x
 
 
 
 
2. Seja a função definida em 

 por 
2)( xxf 
. Calcule 
h
xfhxf
h
)()(
lim
0


. 
3. É dada a função definida em 

 por 
1)( 3  xxf
. Calcule 
h
xfhxf
h
)()(
lim
0


 
 
Respostas: 
 
1) a) 3 b) 8 c) 16 d) 
2
3
 e) 
4
1
 f) 
)31(4 
 
g) 15 h) 12 i) 8 j) 6 k) 5 l) 
2
1
 
m) 0 n) -1 o) 
4
2
 p) 
4
9

 
 
2) 
x2
 3) 
23x
 
 
4.3 CONTINUIDADE E LIMITES LATERAIS 
4.3.1. Funções contínuas 
 
Diz-se que uma função f é contínua em um número a se e somente se as seguintes condições 
forem válidas: 
i. f(a) é definidoii. 
)(lim
 
xf
ax 
 existe 
iii. 
)()(lim
 
afxf
ax


 
 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
46/84 
Exemplo: 
1. Verificar se a função f(x) = x2 é contínua em 2. 
i. f(2) é definido? 
f(2) = 22 = 4, logo f(2) é definido 
ii. 
)(lim
2 
xf
x 
 existe? 
  42limlim 22
2 
2
2 


xx
xx
, logo 
)(lim
2 
xf
x 
 existe. 
iii. 
)2()(lim
2 
fxf
x


? 
4 = 4 
Portanto f(x) = x2 é contínua em 2. 
Graficamente 
-3 -2 -1 0 1 2 3
y
x
 
 
2. Verificar se a função f definida por 
 
1- x se 3
1- e 
1
132
)(
2










xs
x
xx
xf
 é contínua para o 
número -1. 
i. f(-1) é definido? 
f(-1) = 3, portanto definido 
 
ii. 
)(lim
1 
xf
x 
 existe? 
12
1
)12)(1(
1
132
)(
2






 x
x
xx
x
xx
xf
 
f(x) = 2x + 1 para todo x ≠ -1 
11)1(2)12(lim)(lim
1 1 


xxf
xx
 
1)(lim
1 


xf
x
, logo existe. 
 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
47/84 
iii. 
)1()(lim
1 


fxf
x
? 
-1 ≠ 3 
Conclui-se que f(x) é descontínua em -1. 
iv. Gráfico de f(x) 
 
 
OBSERVAÇÃO: 
Dizemos que uma função é contínua em um intervalo fechado se e somente se ela for contínua 
em todos os números do intervalo aberto. 
 
Definição.: Seja f uma função definida em um intervalo fechado [a, b], f é contínua em [a, b], 
se f é contínua em ]a, b[ e se, além disso 
)()(lim afxf
ax


 e 
)()(lim bfxf
bx


. 
 
Exemplo: 
 Verifique se 
0 x ,
1
)( 
x
xf
 é contínua em [1, 3] 
 
Condição de existência: (1, 3) 
c
cf
1
)( 
 
f
fxf
fxf
cf
c
xf
x
x
cx


















)3(
3
1
)(lim
)1(
1
1
)(lim
)(
1
)(lim
3
1
 é contínua em [1, 3] 
(-1, 3) 
x 
y 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
48/84 
4.3.2. Limites laterais 
 
A função f definida por 
 
3 x,- 5
3 e 2,-x3
)(






 se x
xs
xf
 é contínua em 3?. 
i. f(3) é definido? 
f(3) = 5 – 3 = 2, portanto definido 
 
ii. 
)(lim
3 
xf
x 
 existe? 
7233)23(lim)(lim
33 

 
xxf
xx
 
235)5(lim)(lim
33 

 
xxf
xx
 
)(lim)(lim
33 
xfxf
xx  

, logo 
)(lim
3 
xf
x 
 não existe. 
Portanto f(x) é descontínua em 3. 
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-4 -2 0 2 4 6 8
y = 3x - 2
y = 5 - x
 
Observe que 
7)(lim
3 


xf
x
, ou seja, f(x) tende a 7 quando x tende a 3 para valores menores que 3 ou 
pela esquerda. Denota-se x 3-. 
2)(lim
3 


xf
x
, ou seja, a função f(x) tende a 2 quando x tende a 3 para valores maiores 
que 3 ou pela direita. Denota-se x 3+. 
 
Os limites de f(x) pela esquerda e pela direita de um número são chamados limites laterais. 
Quando os limites laterais de f(x) não são iguais, não é possível haver o limite de f(x) quando x 
tende ao número “a”. 
Lxf
ax


)(lim
 
 se e somente se 
Lxf
ax


)(lim
 
 e 
Lxf
ax


)(lim
 
. 
 
 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
49/84 
4.3.3. Exercícios propostos 
 
1. Determinar os limites laterais de f(x) no ponto proposto. 
a) 
31)(  xxf
, a = 3 
b) 
 
0 ,1
0 e ,
|x|
)(







 se x
xs
xxf
, a = 0 
c) 
 
2 ,1
2 e |,2-x|
)(






 se x
xs
xf
, a = 2 
d) 
1
32
)(
2



x
xx
xf
, a = -1 
e) 
2
1
a |,36|5)(  xxf
 
 
4.4 LIMITES TRIGONOMÉTRICOS 
 
Vamos considerar a função 
x
senx
xf )(
, definida em 
 0
. Não chegaria a constituir 
problema o cálculo de limite como: 

2
2
1
lim)(lim
22

 x
senx
xf
xx
 
0
0
lim)(lim 
  x
senx
xf
xx
 

22
4
2
2
lim)(lim
44

 x
senx
xf
xx
 
 
Surge, entretanto, o problema do 
x
senx
x

0
lim
. Atribuindo a x sucessivamente os valores 0,10; 
0,09; 0,08; ...; 0,01 e calculando 
x
senx
xf )(
, construiremos a tabela: 
 
x
 
senx
 
x
senx
 
senx
x
 
0,10 0,0998334 0,99833 1,00166 
0,09 0,0898785 0,99865 1,00135 
0,08 0,0799147 0,99893 1,00106 

 

 

 

 
0,02 0,0199987 0,99993 1,000065 
0,01 0,0099998 0,99998 1,00002 

 

 

 

 
 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
50/84 
Observe que surge uma tendência de 
x
senx
 para o valor 1. É isso mesmo que ocorre, ou seja: 
 
1lim
0

 x
senx
x 1lim0  senx
x
x 
 
Exemplos: 
a) 
2
1
1
2
1
2
1
lim
2
lim
00

 x
senx
x
senx
xx
 
b) 
2212
2
2
lim
2
22
lim
2
lim
000

 x
xsen
x
xsen
x
xsen
xxx
 
c) 
3
2
21
3
1
2
2
2
3
1
lim
2
3
1
lim
3
2
lim
000

 x
xsen
x
xsen
x
xsen
xxx
 
d) 
  1lim
1
limseccoslim
000

 senx
x
senx
xxx
xxx
 
 
4.4.1. Exercícios propostos 
 
1. Dê os valores dos limites 
a) 
x
xsen
x 2
2
lim
0
 b) 
x
senx
x 3
lim
0
 c) 
x
xsen
x
3
lim
0
 
d) 
x
xsen
x 3
5
lim
0
 e) 
x
tgx
x 0
lim

 f) 
x
xtg
x
2
lim
0
 
g) 







 tgx
x
x
x
2coslim
0
 h) 
x
x
sen
x
2lim
0
 i) 
senx
x
x
2
0
lim

 
j) 
x
senx
x 0
lim

 k) 
x
xsen
x 2
3
lim
0
 
 
Respostas 
a) 1 b) 
3
1
 c) 3 d) 
3
5
 e) 1 f) 2 
g) 0 h) 
2
1
 i) 0 j) 1 k) 
2
3
 
 
 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
51/84 
4.5 LIMITES ENVOLVENDO O INFINITO 
 
1. Estudar a função 
2
1
)(
x
xf 
 quando x se aproxima de zero. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
2
0 0 
1
lim)(lim
x
xf
xx
 

 
2
0 0 
1
lim)(lim
x
xf
xx
 
 
2. Estudar a função 
32
4
)(


x
xf
 quando x se aproxima de 
2
3
. 
 
 
 
x
 -1 -0,5 -0,25 -0,1 -0,01 -0,001 
 0x
 
)(xf
 1 4 16 100 10000 1000000 
)(xf
 
x
 1 0,5 0,25 0,1 0,01 0,001 
 0x
 
)(xf
 1 4 16 100 10000 1000000 
)(xf
 
0 -1 1 x 
y 
 f(x) 
← x 
2
3
 
x  
x 
 f(x) 
y 
x f(x) x f(x)
1,4 -20 1,6 20
1,49 -200 1,51 200
1,499 -2.000 1,501 2.000
1,4999 -20.000 1,5001 20.000
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
52/84 




 32
4
lim)(lim
2
3
2
3 x
xf
xx
 




 32
4
lim)(lim
2
3
2
3 x
xf
xx
 
 
3. Estudar a função 
   2,
2
1


 x
x
xf
 quando x se aproxima de 2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 2
1
lim
2 xx
 
 

 2
1
lim
2 xx
 
 
 
 
 
Quando 
x
 se aproxima de 2 pela direita, 
)(xf
 aumenta sem limite. 
Quando 
x
 se aproxima de 2 pela esquerda, 
)(xf
diminui sem limite.Existem em geral quatro possibilidades para limites infinitos. 


)(lim
 
xf
ax
 


)(lim
 
xf
ax
 


)(lim
 
xf
ax
 


)(lim
 
xf
ax
 
 
Para funções do tipo 
)(
)(
)(
xq
xp
xf 
, se o denominador da fração tende a zero enquanto o 
numerador tende a um número qualquer diferente de zero, a fração tenderá a ter um enorme 
valor absoluto, ou seja, 
0)(lim
 


Lxp
ax
 e 
0)(lim
 


xq
ax
 então 

 )(
)(
lim
 xq
xp
ax
. 
x
 1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999 
 2x
 
)(xf
 -10 -100 -1.000 -10.000 -100.000 
)(xf
 
x
 2 2,01 2,001 2,0001 2,00001 
 2x
 
)(xf
 10 100 1.000 10.000 100.000 
)(xf
 
y 
x 
2 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
53/84 
Exemplo: 
1. Seja 
6
152
)(
2
2



xx
xx
xf
, determinar 
)(lim
 
xf
ax 
, 
)(lim
 
xf
ax 
 e 
)(lim
 
xf
ax
 quando a tende a 3. 
Note que: 
 
34)152(lim 2
3 


xx
x
 e 
0)6(lim 2
3 


xx
x
, consequentemente 



 6
152
lim
2
2
3 xx
xx
x
 
 
a) Quando x tende a 3 pela direita, tal que x > 3, o numerador tende a 34. 
x2 – x – 6 = (x - 3)(x + 2) 
Se x > 3, então x – 3 > 0 e x + 2 > 0, logo x2 – x – 6 > 0 
Conclui-se que 



 6
152
lim
2
2
3 xx
xx
x
 
 
b) Quando x tende a 3 pela esquerda, ou seja, x < 3, o numerador tende a 34. 
Se x < 3, então x – 3 < 0 e x + 2 > 0, logo x2 – x – 6 < 0 
Conclui-se que 



 6
152
lim
2
2
3 xx
xx
x
 
 
c) Como 



 6
152
lim
2
2
3 xx
xx
x
 e 



 6
152
lim
2
2
3 xx
xx
x
, segue-se que 
6
152
lim
2
2
3 

 xx
xx
x
 
não existe. 
 
2. Seja 
2)5(
4
)(


x
x
xf
, determinar 
)(lim
 
xf
ax 
, 
)(lim
 
xf
ax 
 e 
)(lim
 
xf
ax
 quando a tende a 5. 
204lim
5 


x
x
 e 
0)5(lim 2
5 


x
x
, consequentemente 

 23 )5(
4
lim
x
x
x
 
a) 

 25 )5(
4
lim
x
x
x
 
b) 

 25 )5(
4
lim
x
x
x
 
c) Como 
)(lim)(lim
55 
xfxf
xx  

, conclui-u se que 

 25 )5(
4
lim
x
x
x
 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
54/84 
4.6 LIMITES NO INFINITO 
 
Considere a função 
x
xf
1
)( 
. Cada vez que x cresce ilimitadamente, o valor da função f(x) se 
aproxima de zero. Podemos escrever que 
0)(lim 

xf
x
. 
Quando x decresce ilimitadamente, o valor da função tende a zero, ou seja 
0)(lim 

xf
x
. 
 
Naturalmente, a definição 


)(lim xf
x
 significa que f(x) pode se tornar bastante grande se 
escolhermos x adequadamente grande. Analogamente, podemos aplicar as expressões: 


)(lim xf
x
 


)(lim xf
x
 
 
No cálculo de limites no infinito, é sempre bom lembrar que para qualquer inteiro positivo p, 
0
1
lim
1
lim
 






 px
p
x xx
 e 
0
1
lim
1
lim
 






 px
p
x xx
. 
Ao se trabalhar com limites no infinito de funções racionais, é muito útil dividir o numerador e 
o denominador pela variável independente elevada à maior potência que apareça na fração. 
 
Exemplos: Calcule o limite dado 
1. 
32
5
lim
2
2
  x
x
x
 
Quando x cresce, tanto o numerador como o denominador crescem, ficando difícil prever o que 
acontece à fração. 
x
xf
1
)( 
 
x 
y 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
55/84 
222
2
2
2
2
2
3
2
5
32
5
32
5
xxx
x
x
x
x
x





 
Quando x tende a +, 
2
1
x
 tende a zero, logo 
2
3
x
 também tende a zero. 
2
5
02
5
3
2
5
lim
32
5
lim
2
 2
2
 





 
x
x
x
xx
 
2
5
32
5
lim
2
2
 

 x
x
x
 
 
2. 
1
1
lim
2
3
 

 x
x
x
 
3
3
 
33
2
33
3
 2
3
 11
1
1
lim
1
1
lim
1
1
lim
xx
x
xx
x
xx
x
x
x
xxx









 
Na última fração, quando x tende a -, o numerador tende a 1 enquanto que o denominador 
tende a 0. Então o valor absoluto da fração tende a +. 
O fato da fração tender a + ou - depende do denominador 
3
11
xx

 ser positivo ou negativo 
quando x é negativo e tem um valor absoluto grande, ou seja, quando x  -. 







23
1
1
111
xxxx
 



 1
1
lim
2
3
 x
x
x
 
 
3. 
8
52
lim
 

 x
x
x
 
Indeterminação do tipo 


 
2
0.81
0.52
8
1
5
2
lim
8
52
lim
8
52
lim
 













x
x
xx
x
xx
x
x
x
xxx
 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
56/84 
2
8
52
lim
 



 x
x
x
 
 
4. 
24
532
lim
5
3
 

 x
xx
x
 
Indeterminação do tipo 


 
0
4
0
0.24
0.50.30.2
2
4lim
532
lim
2
4
532
lim
24
532
lim
24
532
lim
5 
542 
5
542
 
55
5
555
3
 5
3
 































x
xxx
x
xxx
xx
x
xx
x
x
x
x
xx
x
x
xxx
 
0
24
532
lim
5
3
 



 x
xx
x
 
 
5. 
52
52
lim
2 

 x
x
x
 
Indeterminação do tipo 


 
























2 
 
2
 
22
2 2 2 5
2lim
5
2lim
5
2
5
2
lim
52
5
2
lim
52
52
lim
52
52
lim
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
xx
x
x
x
x
x
xxxx
 
2
2
22
22
22
2
2
052
2
5
2lim
052
2 

















 xx
 
2
52
52
lim
2 



 x
x
x
 
 
6. 
)143(lim 35
 


xx
x
 
Indeterminação do tipo  -  
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
57/84 








3)0.10.43(
14
3lim)143(lim
52
5
 
35
 xx
xxx
xx
 


)143(lim 35
 
xx
x
 
 
7. 
4
23
lim
2
3
2 

 x
xx
x
 
Indeterminação do tipo 
0
0
 
4
9
22
144
2
12
lim
)2)(2(
)2)(12(
lim
4
23
lim
2
2 
2
2 2
3
2 












 x
xx
xx
xxx
x
xx
xxx
 
4
9
4
23
lim
2
3
2 



 x
xx
x
 
 
8. 
x
x
x
5325
lim
0 


 
Indeterminação do tipo 
0
0
 
)5325(
3
lim
)5325(
25325
lim
)5325(
)5325)(5325(
lim
5325
lim
0 0 0 0 








 xx
x
xx
x
xx
xx
xx
xxxx
 
10
3
55
3
50.325
3
5325
3
lim
0 







 xx
 
10
35325
lim
0 


 x
x
x
 
 
4.6.1. Exercícios propostos 
 
1. Se 
12)(  xxf
, dê o valor de: 
a) 
)(lim xf
x 
 b) 
)(lim xf
x 
 
 
2. Para 
1)(  xxf
, dê o valor de: 
a) 
)(lim xf
x 
 b) 
)(lim xf
x 
 
 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
58/84 
3. Dê o valor do limite em cada caso: 
a) 
 11lim 2 

x
x
 b) 
 34lim x
x


 
c) 
x
x
3lim

 d) 
1lim 2
10


a
a
 
e) x
x






 3
2
lim
 f) 
1lim 2 

a
a
 
g) x
x






 3
2
lim
0
 h) 
1lim 2
2
3


a
a
 
 
4. Considerando a função 
3
1
)(


x
xf
, definida para 
3x
, dê o valor do limite quando 
existir: 
a) 
)(lim
0
xf
x
 b) 
)(lim
2
xf
x
 
c) 
)(lim
3
xf
x
 d) 
)(lim
3
xf
x 
 
e) 
)(lim
2
7
xf
x
 f) 
)(lim xf
x 
 
 
5. Para a função 
x
xf
1
)( 
, dê os “valores” de: 
a) 
xx
1
lim

 b) 
xx
1
lim

 
c) 
xx
1
lim
0
 d) 
xx
1
lim
0
 
 
6. Dê os valores de: 
a) 
xx
2
lim

 b) 
xx
2
lim

 
c) 







 xx
1
1lim
 d) 







 xx
1
1lim
 
e) 
xx
2
lim
0
 f) 
20
1
lim
xx
 
g) 
3 20
1
lim
xx
 
 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
59/84 
7. Para 
2332)( 23  xxxxf
,. Calcule: 
a) 
)(lim xf
x 
 b) 
)(lim xf
x 
 
c) 
)(lim
2
1
xf
x
 
 
8. Sendo 
123)( 34  xxxxf
, calcule: 
a) 
)(lim xf
x 
 b) 
)(lim xf
x 
 
 
9. Calcule: 
a) 
12
15
lim
2
2


 xx
xx
x
 b) 
xx
xx
x 

 3
3
2
1
lim
 
 
c) 
1
2
lim


 x
x
x
 d) 
1
3
lim
2
3


 x
xx
x
 
e) 
1
2
lim
3
34


 xx
xxx
x
 f) 
2
1
lim
3
2


 x
x
x
 
g) 
2
1
lim
3 

 x
x
x
 h) 
2
1
lim
 xx
 
i) 
2
1
lim
xx 
 j) 
xx  1
1
lim
 
k) 
1
2
lim
2  xx
 l) 
1
1
lim


 x
x
x
 
m) 
3
2
21
lim
xx
x
x 


 n) 
x
xx
x 35
2
lim
2



 
o) 
2
4
lim
2
235


 x
xxx
x
 
 
 
Respostas: 
1. a) 

 b) 

 
 
2. a) 

 b) 

 
 
3. a) 

 b) 

 c) 

 d) 3 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
60/84 
e) 0 f) 

 g) 1 h) 
2
5 
 
4. a) 
3
1

 b) -1 c) 

 e 

 
 d) 
6
1

 e) 2 f) 0 
 
5. a) 0 b) 0 c) 

 d) 

 
 
6. a) 0 b) 0 c) 1 d) 1 
e) 

 f) 

 g) 

 
 
7. a) 

 b) 

 c) 2 
 
8. a) 

 b) 

 
 
9. a) 
2
5
 b) 
2
1
 c) 1 d) 

 e) 

 
f) 0 g) 0 h) 0 i) 0 j) 0 
k) 0 l) 1 m) -1 n) 

 o) 

 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
61/84 
5. A DERIVADA 
5.1. TAXA DE VARIAÇÃO 
 
Um automóvel circula através de uma estrada da cidade A para a cidade B, com uma taxa 
variável de velocidade “v”. A distância “d” do automóvel à cidade A depende do tempo “t” 
gasto desde o início da jornada. Suponhamos que as funções f e g nos dão a distância d e a 
velocidade v, respectivamente, em termos de t, ou seja: 
d = f(t) 
v = g(t) 
 
 
 
 
 
 
Considerando que a velocidade v é constante e igual a 80 km/h, temos: 
80)( 
80)( 80


tg
ttfttvd
 
Após um pequeno intervalo de tempo adicional h, o automóvel está a f(t + h) distante da 
cidade A e sua velocidade é g(t + h). 
O percurso percorrido pelo automóvel no intervalo de tempo h é f(t + h) – f(t). Logo, sua 
velocidade média é 
h
tfhtf )()( 
. 
 
 
 
 
Se o intervalo de tempo h é muito pequeno, a velocidade g(t + h) não será muito diferente da 
velocidade g(t) no tempo t. E durante este pequeno intervalo de tempo, a velocidade do 
automóvel deverá ser aproximadamente igual à sua velocidade média 
h
tfhtf )()( 
. 
Quando o intervalo h tende a zero, ou seja, vai diminuindo, a velocidade neste instante é dada 
por: 
f(t) 
 A B t 
f(t + h) 
t + h 
d 
Cidade A Cidade B 
Posição do automóvel 
no tempo t 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
62/84 
h
tfhtf
tg
h
)()(
lim)(
0 



 
Generalizando, temos: 
Sejam x e y quantidades variáveis e suponha que y dependa de x, tal que y = f(x). Vamos 
calcular a taxa de variação de y por unidade de variação de x, quando este varia de x1 a x2. De 
forma que: 
y1 = f(x1) e y2 = f(x2) 
x = x2 – x1 
y = y2 – y1 = f(x2) – f(x1) 
 
A taxa de variação média de y por unidade de variação de x é dada por: 
12
12
12
12 )()(
xx
xfxf
xx
yy
x
y








 
xxxxxx  1212 
 
x
xfxxf
x
y




 )()( 11
 
Se a taxa de variação média de y em relação a x tende a um valor limitado quando x tende a 
zero, podemos chamá-lo de taxa de variação instantânea e defini-lo por: 
x
xfxxf
x
y
xx 





)()(
limlim 11
0 0 
 
Exemplo: 
1. Um cubo de metal com aresta x é expandido uniformemente quando aquecido. Calcule: 
a) A taxa de variação média de seu volume em relação à aresta quando x aumenta de 2 
para 2,01 cm. 
Volume do cubo = y  y = x3 
x = 2  y = 23 =8 
x = 2,01  y = (2,01)3 =8,120601 
sta/cm de arecm
x
y 3 060,12
01,0
120601,0
201,2
8120601,8






 
 
b) A taxa de variação instantânea de seu volume em relação a aresta x no instante em que 
x = 2 cm. 
x
xxx
x
x
x
fxf
x
y
xxxx 











8)()(6128
lim
2)2(
lim
)2()2(
limlim
32
0 
33
0 0 0 
 
Cálculo I – Cálculo das Funções de uma Variável 
63/84 
1200.612])(612[lim
)()(612
lim 22
0 
32
0 





xx
x
xxx
xx
 
sta/cm de arecm
x