Equacoes Diferenciais Topico 6

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Equações Diferenciais – Tópico 6
• Equações autônomas e análise de pontos críticos.
• Equação logística e dinâmica de população.
Equações autônomas
{ Equações autônomas são equações na forma y' = f (y), onde
a variável independente não aparece explicitamente.
{ O principal objetivo deste tópico é aprender como métodos
geométricos podem ser usados para obter informações
qualitativas diretamente da equação diferencial sem de fato
resolve-la. 
0, >=′ rryy
rteyy 0=
{ Exemplo (crescimento exponencial de população):
{ Solução:
Crescimento Logístico
{ Um modelo exponencial y' = ry, com solução y = ert, prevê
um crescimento ilimitado, com taxa r > 0 independente da
população. 
{ Um modelo mais realista para dinâmica de população assume 
que a taxa de crescimento depende da população. Assim
devemos substituir r por uma função h(y) obtendo y' = h(y)y. 
{ Queremos uma taxa de crescimento que
z h(y) ≅ r quando y é pequeno, 
z h(y) decresce conforme y aumenta, e
z h(y) < 0 quando y é suficiente grande.
{ A função mais simples que satisfaz estas condições é h(y) = r
– ay, onde a > 0. 
Equação Logística
{ A equação logística pode ser reescrita na forma
onde K = r/a. A constante r é chamada de taxa de crecimento
intrínsico e K representa o nível de saturação da população.
,1 y
K
yr
dt
dy ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
( ) 0,, >−=′ aryayry
{ Assim, a equação diferencial se torna
e é chamada de equação de Verhulst ou equação logística.
{ O campo de direção para a equação
logística com r = 1 e K = 10 é dado 
ao ladois given here.
Equação Logística: Soluções de Equilíbrio
{ Nossa equação logística é
{ Duas soluções de equuilíbrio estão claramente presentes:
{ Para r = 1 e K = 10, observe o comportamento dos campos
de direção perto das soluções de equilíbrio:
y = 0 é instável,
y = 10 é assintoticamente estável.
0,,1 >⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −= Kry
K
yr
dt
dy
Ktyty ==== )(,0)( 21 φφ
Equações Autônomas: Soluções de Equilíbrio
{ Soluções de equilíbrio para uma equação de primeira
ordem autônoma y' = f (y) pode ser determinada
localizando as raízes de f (y) = 0. 
y
K
yr
dt
dy ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −= 1
{ Estas raízes são chamadas de pontos críticos.
{ Por exemplo, os pontos críticos da equação logística
são y = 0 e y = K. 
{ Assim, os pontos críticos são
funções constantes – soluções
de equilíbrio).
Equação Logística: Análise Qualitativa (1 de 7)
{ Para entender melhor a natureza da solução de equações
autônomas, vamos graficar f (y) vs. y. 
{ No caso de crescimento logístico, significa graficar, usando
técnicas de cálculo, a seguinte função:
y
K
yryf ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −= 1)(
Equação Logística : Pontos Críticos (2 de 7)
{ As raízes y = 0 e y = K, são os pontos críticos da equação
logística. 
{ Os vértices da parábola (K/2, rK/4), são obtidos como
segue:
[ ]
422
1
2
2
02
11)(
1)(
rKK
K
KrKf
KyKy
K
r
K
yy
K
ryf
y
K
yryf
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
=⇒=−−=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=′
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
Solução Logística: Aumento e Decréscimo (3 de 7)
{ Note que dy/dt > 0 para 0 < y < K, assim y é uma função
crescente em t (indicado pelos setas para a direita ao longo do 
eixo y 0 < y < K).
0,1 >⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −= ry
K
yr
dt
dy
{ Similarmente, y é uma função decrescente em t para y > K
(indicado por setas para a esquerda ao longo do eixo y).
{ Neste contexto o eixo y é chamado de linha de fase.
Solução Logística: Planura (4 de 7)
{ Veja que dy/dt ≅ 0 quando y ≅ 0 ou y ≅ K, assim y é
aproximadamente plano próximo destes pontos. 
{ A função y se torna mais inclinado conforme se afasta
de 0 ou K.
y
K
yr
dt
dy ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −= 1
Solução logística: Concavidade (5 de 7)
{ Agora, vamos examinar a concavidade de y(t), através de y'':
{ Assim, o gráfico de y é convexo quando f e f ' tem o mesmo
sinal, que ocorre quando 0 < y < K/2 e y > K.
{ O gráfico de y é côncavo quando f e f ' tem o sinais opostos, 
que ocorre quando K/2 < y < K.
{ Ponto de inflexão ocorre na intersecção de y(t) e a linha y = 
K/2.
)()()()( 2
2
yfyf
dt
dyyf
dt
ydyf
dt
dy ′=′=⇒=
Solução Logística: Esboço da Curva (6 de 7)
{ Combinando as informações dos slides anteriores, temos:
z Gráfico de y aumenta quando 0 < y < K.
z Gráfico de y decresce quando y > K.
z Inclinação de y é aproximadamente zero quando y ≅ 0 ou y ≅ K.
z Gráfico de y convexo quando 0 < y < K/2 e y > K.
z Gráfico de y côncavo quando K/2 < y < K.
z Ponto de inflexão quando y = K/2.
{ Usando estas informações, podemos
esboçar curvas de solução y para
diferentes condições iniciais.
Solução Logística: Discussão (7 de 7)
{ Usando somente as informações acima (sem resolver a 
equação), obtemos boas informações qualitativas sobre y(t). 
{ Por exemplo, nós sabemos onde o gráfico de y é mais
inclinado, e portanto onde y muda mais rapidamente. Também, 
y tende assintoticamente para a linha y = K, para t grande. 
{ A constante K é conhecida como nível de saturação das 
espécies.
{ Observe a diferença de comportamento
da eq. exponencial para a eq. logística, 
e o efeito decisivo do termo não linear
na equação logística.
Resolvendo a Equação Logística (1 de 3)
{ Supondo y ≠ 0 e y ≠ K, podemos reescrever a EDO logística:
( ) rdtyKy
dy =−1
rdtdy
Ky
K
y
=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
−+ /1
/11
Crt
K
yy +=−− 1lnln
( ) ( ) KABKyBAyy
B
Ky
A
yKy
1,111
11
1 ==⇒−+=⇒+−=−
{ Assim, a equação logística pode ser reescrita como
{ Integrando o resultado acima, obtemos
{ Expandindo o lado esquerdo e usando frações parciais,
Resolvendo a Equação Logistíca (2 de 3)
{ Segue:
Crt
K
yy +=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −− 1lnln
Crt
K
yy +=−− 1lnln
( ) )0( o,ou 
111
ln
0
00
0 yynde
eyKy
Kyy
ce
Ky
ye
Ky
yCrt
Ky
y
rt
rtCrt
=−+=
=−⇔=−⇔+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−
−
+
{ Se 0 < y0 < K, então 0 < y < K e portanto
{ Usando as propriedades dos logaritmos:
Solução da Equação Logística (3 de 3)
{ Assim,
para 0 < y0 < K.
( ) rteyKy
Kyy −−+= 00
0
( ) rteyKy
Kyty −−+= 00
0)(
{ É possível mostrar que a solução é válida também para
y0 > K. 
{ Veja que esta solução contem as soluções de equilíbrio
y = 0 e y = K. 
{ Portanto a solução da equação logística é
Solução Logística: Comportamento Assintótico
{ Solução da EDO logística:
( ) rteyKy
Kyty −−+= 00
0)(
( ) Ky
Ky
eyKy
Kyy
trttt
==−+= ∞→−∞→∞→ 0
0
00
0 limlimlim
{ Vejamos o comportamento assintótico da solução:
{ Assim, podemos concluir de fato que a solução de 
equilíbrio y(t) = K é assintóticamente estável, enquanto
que a solução y(t) = 0 é instável. 
{ Então, o único jeito para que a solução permaneça
próxima de zero é que y0 = 0.
	Equações autônomas
	Crescimento Logístico
	Equação Logística
	Equação Logística: Soluções de Equilíbrio
	Equações Autônomas: Soluções de Equilíbrio
	Equação Logística: Análise Qualitativa (1 de 7)
	Equação Logística : Pontos Críticos (2 de 7)
	Solução Logística: Aumento e Decréscimo (3 de 7)
	Solução Logística: Planura (4 de 7)
	Solução logística: Concavidade (5 de 7)
	Solução Logística: Esboço da Curva (6 de 7)
	Solução Logística: Discussão (7 de 7)
	Resolvendo a Equação Logística (1 de 3)
	Resolvendo a Equação Logistíca (2 de 3)
	Solução da Equação Logística (3 de 3)
	Solução Logística: Comportamento Assintótico