Equacoes Diferenciais Topico 7

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Equações Diferenciais – Tópico 7
• Modelagem em Cosmologia.
Expansão do Universo
{ O objetivo deste exemplo é construir um modelo
Newtoniano para descrever a expansão do universo. 
{ Premissas básicas: 
ƒ Em larga escala o universo é homogêneo e isotrópico, i.e. a 
distribuição de galáxias é “uniforme” em todo o universo observável
(princípio cosmológico).
ƒ As galáxias estão se afastando umas das outras e em primeira
aproximação este afastamento segue a lei de Hubble (expansão do 
universo).
ƒ Existe um tempo cosmológico universal e (absoluto) condizente com a 
mecânica Newtoniana.
Construção do Modelo Matemático
{ Suponha que uma galáxia a uma distância R(t) da Terra 
esteja se afastando a uma velocidade v(t).
{ A dinâmica desta galaxia é determinada pela mecânica 
Newtoniana e pela lei de gravitação universal.
{ Como a lei da gravitação universal 
produz uma força conservativa 
então podemos escrever,
onde T é a energia cinética, Ugra é a energia 
potencial gravitacional e E é a energia total 
constante.
gravUTE +=
Construção do Modelo Matemático
{ Assim,
Densidade de massa
gravUTE +=
[ ]
)(
)(
2
1 2
tR
mMGtvmE −=
[ ]
)(
2)(
3
4
)(
3
4)(
2 3
3
2
tR
tR
tR
MGtv
m
E π
π
−=
[ ]
m
EtRGtv 2)(
3
8)( 22 += επ
)(
3
4 3 tR
M
π
ε =
Construção do Modelo Matemático
{ Suponhamos agora que exista uma coordenada r fixa na 
galáxia que independa da taxa de expansão (coordenada 
conforme). 
Distância física
Velocidade física
e
{ Neste caso a distância e a 
velocidade físicas podem 
ser expressas como:
rtatR )()( =
rar
dt
datv
•≡=)(
Construção do Modelo Matemático
{ Substituindo
e
em
obtemos:
onde Equação de 
Friedmann
rtatR )()( = rar
dt
datv
•≡=)(
[ ]
m
EtRGtv 2)(
3
8)( 22 += επ
m
EarGar 2
3
8 22
2
2 +=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ • επ 22
2
2
3
8
amr
EG
a
a +=⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛ •
επ
2
2
3
8
a
kG
a
a −=⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛ •
επ
3
0
0
3 )(
3
4 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛≡=
a
a
tR
M ε
π
ε
2
2
mr
Ek −≡
Determinando a Equação Autônoma
e
na equação de Friedmann obtemos:
onde Q e C são constantes positivas e E é a energia total.
{ A função a(t) é conhecida como fator de escala e ela está
associado com o tamanho do universo observável.
{ Substituindo 3
0
0 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
a
aεε
2
2
mr
Ek −≡
2
2
3
8
a
kG
a
a −=⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛ •
επ
kaG
dt
da −±=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ 2
3
8 επ
E
mra
aG
dt
da
2
3
00 21
3
8 +±=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ επ CE
a
Q +±=
Análise do Modelo para E < 0
{ A equação obtida do slide anterior é uma equação 
autônoma, veja:
{ Usando as técnicas de análise qualitativa de equações 
autônomas, vamos investigar as possíveis soluções para 
E < 0, fixando Q = C =1.
com)(af
dt
da = CEa
Qaf +±=)(
com)(af
dt
da = Eaaf −±=
1)(
Ponto Crítico e Convexidade
{ Determinando o ponto crítico:
{ Determinando a convexidade:
0=
dt
dac( ) a expansão cessa.EaEaaf c
101 =⇒=−±=
)()(')(')( 2
2
afaf
dt
daaf
dt
adaf
dt
da ==⇒=
⇒⇒
Eaa
af −= /12
1)('
2
m ⇒ 0
2
1
/12
/1
222
2
<−=−
−−=
aEaa
Ea
dt
ad
{ Ou seja, como a segunda derivada é sempre negativa 
então a(t) é sempre convexo, e em particular ac é um 
ponto de máximo.
Gráfico de f(a)
{ Existe duas funções distintas para f(a):
Gráfico de f(a) com o sinal positivo:
E
a
af +±= 1)(
Gráfico de f(a) com o sinal negativo:
{ Veja que no primeiro gráfico da/dt > 0, e portanto a(t) é
uma função crescente de t. Já no segundo gráfico a 
situação é justamente a contrária. 
Esboço da Solução
{ Combinando as informações dos dois slides anteriores temos:
z Gráfico de a aumenta quando 0 < a < ac (sinal positivo).
z Gráfico de a diminui quando 0 < a < ac (sinal negativo).
z Inclinação de a é zero quando a = ac (expansão cessa).
z O ponto a = ac é um ponto de máximo.
z Gráfico de a é sempre convexo. 
{ Utilizando a condição inicial a(0)=0 para um universo em 
expansão (sinal positivo) obtemos o seguinte esboço:
{ Quando a = ac a expansão 
cessa, porém a aceleração 
continua negativa. Assim, 
entramos no regime de 
contração (sinal negativo).
Resolvendo o PVI da Cosmologia
{ Vamos agora resolver a EDO do nosso problema,
,1 E
adt
da +=
com a condição a(0)=0. Obs: Como a deve ser não negativo, 
então a condição inicial elimina a solução negativa
{ Para determinar a(t) é interessante separar em três casos: 
E > 0, E < 0 e E = 0.
{ O caso de E = 0 é bastante simples:
Ctadtdaa
adt
da +=⇒=⇒= ∫∫ 23321
{ Aplicando a condição de inicial obtemos C = 0, assim,
3
2
2
3
2
3)(
3
2 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⇒= ttata
Resolvendo o PVI da Cosmologia
{ Para o caso de E > 0 e E < 0 a resolução é um pouco mais 
complicada pois a integral de a envolve substituições e 
identidades trigonométricas.
,1 E
adt
da ±=
{ Vamos resolver ambos os casos utilizando a seguinte 
truque:
onde o sinal superior significa energia positiva e o sinal 
inferior significa energia negativa.
{ Segue:
Ctda
aE
adt
a
aE
daE
adt
da +=±⇒=±⇒±= ∫ 11
1
Resolvendo a Integral em a
Ctda
aE
aI +=±≡ ∫ 1Definimos:
{ Vamos fazer a seguinte substituição:
dx
E
xxda
E
xaxaE cossin2sinsin
2
2 mm =⇒=⇒−=±
{ Segue:
dxx
E
xdxx
x
x
E
I ∫∫ ⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛≡ 2
2
3
2
22
3
sin112cossin
sin1
sin12 mmmm
{ O próximo passo é resolver a integral de sin2x.
Resolvendo a Integral em a
2
cossin
4
2sin
22
2cos1sin2 xxxxxdxxdxx −=−=−= ∫∫
{ Vamos relembrar algumas identidade trigonométricas:
2
2cos1sinsin21sinsin12cos
cossin22sin1sincos;sincos2cos
2222
2222
θθθθθθ
θθθθθθθθ
−=⇒−=−−=
==+−= e
{ Substituindo este resultado na integral de sin2x, temos:
{ Voltando para nossa integral em a, segue:
( )xxx
E
dxx
E
I cossin11sin112
2
3
2
2
3
−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛= ∫ mmmm
Resolvendo a Integral em a
{ Vamos voltar para a variável a através de
( )[ ]
( )[ ]aEArcaEaE
E
I
aEArcaEaE
E
I
1sin111
1sin1111
2
3
2
3
mm
mmmm
−±⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
⇒±+±⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛=
aExaExaEx
aExaEx
±±=⇒±=⇒=−
±=⇒=
1cos1coscos1
1sinsin
22
2
m
mm
{ Substituindo este resultado em I:
( )xxx
E
I cossin11
2
3
−⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛= mm
Aplicando a condição de inicial
{ Lembrando que a condição inicial é a(0)=0, temos:
( ) ( )[ ] 01sin1123 =⇒+=−±= − CCtaEArcaEaEEI mm
Ctda
aE
aI +=±≡ ∫ 1
{ Vamos agora separar a solução em duas partes:
( ) ( )[ ]aEArcaEaEEt 1sin1123 mm−±= −
{ Energia negativa (sinais inferiores):
( ) ( )[ ]aEArcaEaEEt sin123 −−= −
{ Energia positiva (sinais superiores):
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]aEArcaEaEEt
aEiiArcaEaEEt
sinh1
sin1
2
3
2
3
−+=
⇒−+=
−
−
Analisando a solução
{ Assim, as três soluções são:
( ) ( )[ ]aEArcaEaEEt sinh123 −+= −
( ) ( )[ ]aEArcaEaEEt sin123 −−= −
3
2
2
3
2
3)(
3
2 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⇒= ttata
0>E
0<E
0=E
{ Veja que para E diferente de 
zero, existe apenas a solução 
implícita. Assim, a análise 
gráfica só é possível através 
de procedimento paramétrico.
Discussão dos resultados
gravUTE +=
{ Sabemos que no momento atual, o universo está em 
expansão. A expansão continuará para sempre? 
{ Por outro lado se T < Ugrav (E < 0) a força gravitacional 
supera a taxa de expansão. Assim, o universo se expande 
até um tamanho máximo ac e depois começa a se contrair 
até um ponto singular (Big Crunch).
{ A resposta está na energia total E.
{ Se a energia cinética T que 
representa a energiade expansão 
for maior que a energia potencial 
gravitacional Ugrav o universo se 
expandirá para sempre (E > 0).
Discussão dos resultados
gravUTE +=
{ No caso limite onde T = Ugrav (E = 0), o universo 
também se expande para sempre porém para t 
tendendo para o infinito o universo tende a parar, i. e. 
0→⇒∞→
dt
dat
{ Se voltarmos para a equação 
de Friedmann
2
2
2
3
8
a
kG
a
aH −=⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛
≡
•
επ
e calcularmos as quantidades a e ε hoje, obtemos:
2
0
2
0
2
0
202
03
81
Ha
k
Ha
k
H
G
c
−=−= ε
εεπ
Discussão dos resultados
e lembrando que
2
0
2
01
Ha
k
c
−= ε
ε
2
2
mr
Ek −=
{ Do resultado anterior, 
obtemos:
E = 0 universo plano
E > 0 universo aberto
E < 0 universo fechado
k < 0
k = 0
k > 010 >
cε
ε
10 =
cε
ε
10 <
cε
ε
{ Assim, a densidade de energia ε0 atual determina o 
destino do universo. 
Considerações Finais
{ O modelo Newtoniano para cosmologia é incompleto 
pois, entre outros defeitos, leva em conta apenas a 
matéria não relativística. 
{ As três premissas básicas utilizadas (princípio 
cosmológico, expansão do universo e tempo 
cosmológico universal) parecem ser condizentes com 
as observações atuais. 
{ Para descrevermos a expansão do universo na fase 
atual é necessário, além da matéria não relativística, 
uma outra componente chamada de energia escura. 
{ Esta energia escura é responsável por produzir uma 
gravitação repulsiva e sua natureza é um dos maiores 
mistérios da física contemporânea.