Equacoes Diferenciais Topico 11

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Equações Diferenciais – Tópico 11
• Vibrações mecânicas
• Modelagem física
• Vibrações livres amortecidas
• Vibrações livres 
Vibrações mecânicas
{ Duas importantes áreas de aplicação de equações lineares de 
segunda ordem com coeficientes constantes são na
modelagem de oscilações mecânicas e elétricas.
{ Neste tópico estudaremos o sistema massa mola em detalhe.
{ O entendimento do comportamento deste sistema simples é o 
primeiro passo na investigação de sistemas vibrantes mais
complicados.
Sistema massa mola
{ Suponha uma massa m suspensa por uma mola de 
comprimento original l. A massa produz uma elongação L na
mola devido ao seu peso. 
{ A força FG da gravidade puxa a massa para baixo. Esta força
possui magnitude mg, onde g é a aceleração gravitacional. 
{ A força de restauração FS da mola puxa a massa para cima. 
Para uma pequena elongação L, esta força é proporcional a L, 
dada pela lei de Hooke Fs = kL.
{ Se a massa está em equilíbrio então as forças se compensam.
kLmg =
Modelo massa mola
{ Estudaremos, o movimento da massa devido a um 
deslocamento inicial ou devido a uma força externa. 
{ Seja u(t) o deslocamento da massa referente a uma posição de 
equilíbrio no tempo t, medida para baixo. 
{ Seja f a soma das forças agindo em m. Aplicando a segunda
lei de Newton:
{ Para obter f, existem quatro forças a serem consideradas: 
z Peso: Pg = mg (para baixo)
z Força da mola: Fs = - k(L+ u) (força restauradora)
z Força de amortecimento: Fd(t) = - γ u′ (t) (contrária ao movimento)
z Força externa: F (t) (força externa)
)()( tftum =′′
Detalhe da força da mola
{ A força da mola Fs age no sentido de restaurar a mola para
sua posição natural, e é proporcional a L + u. Se L + u > 0, 
então a mola é estendida e a força atual para cima. Neste
caso,
{ Se L + u < 0, então a mola é comprimida de uma distância
|L + u|, e a força restaurado atua para baixo. Neste caso,
{ Em qualquer caso,
)( uLkFs +−=
( )[ ] ( )uLkuLkuLkFs +−=+−=+=
)( uLkFs +−=
Detalhes da força de amortecimento
{ A força de resistência ou amortecimento Fd atua na direção
oposta ao movimento da massa. 
{ Fd pode ser devido a resistência do ar ou a dissipação de 
energia interna. 
{ Assumiremos que Fd é proporcional a velocidade. 
{ Em particular, temos que
z Se u′ > 0, então u é crescente, e a massa se move para
baixo. Assim, Fd atua para cima e portanto Fd = - γ u′, 
onde γ > 0.
z Se u′ < 0, então u é decrescente, e a massa se move para
cima. Assim, Fd atua para baixo e portanto Fd = - γ u′
com γ > 0.
{ Em qualquer dos casos,
0),()( >′−= γγ tutFd
Equação diferencial
{ Levando em conta estas forças, a lei de Newton se torna:
{ Lembrando que mg = kL, esta equação se reduz a
onde m, γ, e k são constantes positivas. 
{ Podemos escrever também condições iniciais como:
{ Do primeiro teorema de EDO lineares sabemos que este
PVI possui uma única solução. Fisicamente isto significa
que dado a deslocamento e a velocidade inicial da massa a 
sua posição é unicamente determinada para todos os
tempos futuros.
[ ] )()()(
)()()()(
tFtutuLkmg
tFtFtFmgtum ds
+′−+−=
+++=′′
γ
)()()()( tFtkututum =+′+′′ γ
00 )0(,)0( vuuu =′=
Vibrações livres (1 de 4)
{ A equação diferencial para o sistema massa mola é:
{ Suponha qua não exista nenhuma força externa e nenhum
amortecimento. Então, F(t) = 0 e γ = 0, e nossa equação se 
torna
{ A solução geral desta equação é
0)()( =+′′ tkutum
)()()()( tFtkututum =+′+′′ γ
mk
nde
tBtAtu
/
o
,sincos)(
2
0
00
=
+=
ω
ωω
Vibrações livres (2 de 4)
{ Usando identidades trigonométricas, a solução
pode ser escrita como segue:
onde
{ Note que ao determinarmos δ, devemos escolher
cuidadosamente o quadrante correto. Isto é feito usando os
sinais de cos δ e sin δ.
mktBtAtu /,sincos)( 2000 =+= ωωω
( )
,sinsincoscos)(
cos)(sincos)(
00
000
tRtRtu
tRtutBtAtu
ωδωδ
δωωω
+=⇔
−=⇔+=
A
BBARRBRA =+=⇒== δδδ tan,sin,cos 22
Vibrações livres (3 de 4)
{ Assim, nossa solução é
onde
{ A solução obtida é uma curva senoide, que descreve um 
movimento harmônica simples de período
{ A frequência circular ω0 (radianos/tempo) é a frequência
natural de vibração, R é a amplitude de máximo
deslocamento da posição de equilíbrio, e δ é a fase
(adimensional).
( )δωωω −=+= tRtBtAtu 000 cos sincos)(
k
mT πω
π 22
0
==
mk /0 =ω
Vibrações livres (4 de 4)
{ A solução obtida
é uma senoide com período
{ As condições iniciais determinam A & B, e portanto a 
amplitude R. 
{ O sistema vibra sempre com a mesma frequencia ω0, 
independentemente das condições iniciais. 
{ O período T aumenta com o aumento de m, assim maiores
massas vibram mais devagar. Contudo, T diminui conforme
k aumenta, assim molas mais rígidas fazem o sistema vibrar
mais rapidamente.
( ) mktRtBtAtu /,cos sincos)( 0000 =−=+= ωδωωω
k
mT π2=
Vibrações livres amortecidas (1 de 8)
{ Suponha agora que temos amortecimento sem força externa F(t):
{ Qual é o efeito do coeficiente de amortecimento γ no sistema? 
{ A equação característica é
{ As três possíveis soluções são:
0)()()( =+′+′′ tkututum γ
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −±−=−±−= 2
2
21
411
22
4
, γ
γγγ mk
mm
mkrr
( )
( )
nto.amortecime do esperado como ,0)(limcasos, trêsos todosEm :Nota
.0
2
4
,sincos)(:04
;02/onde,)(:04
;0,0o,)(:04
2
2/2
2/2
21
2 21
=
>−=+=<−
>+==−
<<+=>−
∞→
−
−
tu 
m
mktBtAetumk
meBtAtumk
rrndeBeAetumk
t
mt
mt
trtr
γμμμγ
γγ
γ
γ
γ
Vibrações livres amortecidas (2 de 8)
{ Dos casos expostos, o último é o mais importante, pois
ocorre quando o amortecimento é pequeno:
{ Vamos examinar o último caso. Lembrando que
{ Então
e portanto
(oscilação amortecida)
( )
( ) 0,sincos)(:04
 02/,)(:04
0,0,)(:04
2/2
2/2
21
2 21
>+=<−
>+==−
<<+=>−
−
−
μμμγ
γγ
γ
γ
γ
tBtAetumk
meBtAtumk
rrBeAetumk
mt
mt
trtr
δδ sin,cos RBRA ==
( )δμγ −= − teRtu mt cos)( 2/
mteRtu 2/)( γ−≤
Vibrações livres amortecidas:
quase frequência (3 de 8)
{ Assim, obtemos oscilações amortecidas:
{ A amplitude R depende das condições iniciais, uma vez que
{ Embora o movimento seja não periódico, o parâmetro μ
determina a frequência de oscilação da massa.
{ Assim, μ é chamado de quase frequência.
{ Lembremos
( ) δδμμγ sin,cos,sincos)( 2/ RBRAtBtAetu mt ==+= −
( ) mtmt eRtuteRtu 2/2/ )(cos)( γγ δμ −− ≤⇒−=
m
mk
2
4 2γμ −=
Vibrações livres amortecidas: 
quase período (4 de 8)
{ Comparando μ com ω0 (frequência do sistema não amortecido):
{ Assim, um pequeno amortecimento reduz ligeiramente a 
frequência de oscilação. 
{ Similarmente, o quase período é definido como Td = 2π/μ. 
Então,
{ Assim, um pequeno amortecimento aumenta o quase período.
kmkmkm
km
mkm
km
mkm
km
8
1
4
1
4
4
/4
4
/2
4
222
2
22
0
γγγ
γγ
ω
μ
−≅−=−=
−=−=
Para pequeno γPara pequeno γ
kmkmkmT
Td
8
1
8
1
4
1
/2
/2 2
122/12
0
0
γγγ
μ
ω
ωπ
μπ +≅⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −≅⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −===
−−
Vibrações livres amortecidas: 
desprezando o amortecimento para γ 2/4km (5 de 8)
{ Considerando novamente a comparação entre a frequência e 
o período dos sistemas amortecido e não amortecido:
{ Para γ 2/4km pequeno, pode-se desprezar o efeito do 
amortecimento quando calcula-se a quase frequência e o 
quase período. Apenas quando estamos interessados nos
detalhes do movimento é que o termo de amortecimento
deve ser mantido.
{ Observe que γ pequeno não significa necessariamente que a 
razão γ 2/4km é pequena.2/122/12
0 4
1,
4
1
−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=
kmT
T
km
d γγ
ω
μ
Vibrações livres amortecidas: 
frequência e período (6 de 8)
{ Razão entre a frequência e o período amortecido e não
amortecido:
{ Assim,
{ A importância da relação entre γ2 e 4km é sustentada pelas
equações:
2/122/12
0 4
1,
4
1
−
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=
kmT
T
km
d γγ
ω
μ
∞==
→→ dkmkm
T
22
lim e 0lim
γγ
μ
( )
( ) 0,sincos)(:04
 02/,)(:04
0,0,)(:04
2/2
2/2
21
2 21
>+=<−
>+==−
<<+=>−
−
−
μμμγ
γγ
γ
γ
γ
tBtAetumk
meBtAtumk
rrBeAetumk
mt
mt
trtr
Vibrações livres amortecidas: 
Amortecimento crítico (7 de 8)
{ Assim o comportamento da solução muda conforme γ passa
pelo valor 
{ Este valor de γ é conhecido como valor de amortecimento
crítico, e para valores de γ maiores, o movimento é chamado de 
superamortecido. 
{ Então, para as três possibilidades de solução, 
vemos que a massa retorna para a posição de equilíbrio para as 
soluções (1) e (2), mas não oscila em torno do equilíbrio como
em (3). 
{ Soln (1) é superamortecida e soln (2) é criticamente amortecida.
.2 km
( )
( ) )3(0,sincos)(:04
)2( 02/,)(:04
)1(0,0,)(:04
2/2
2/2
21
2 21
>+=<−
>+==−
<<+=>−
−
−
μμμγ
γγ
γ
γ
γ
tBtAetumk
meBtAtumk
rrBeAetumk
mt
mt
trtr
Vibrações livres amortecidas: 
caracterizando as vibrações (8 de 8)
{ Assim, a massa retorna para a posição de equilíbrio para as 
soluções (1) e (2), mas não oscila em torno do equilíbrio
como em (3).
( )
( ) )3( (Azul)sincos)(:04
)2( Preta) (Vermelha,02/,)(:04
)1((Verde)0,0,)(:04
2/2
2/2
21
2 21
tBtAetumk
meBtAtumk
rrBeAetumk
mt
mt
trtr
μμγ
γγ
γ
γ
γ
+=<−
>+==−
<<+=>−
−
−
{ A solução (1) é chamada de 
solução superamortecida, a 
solução (2) é chamada de solução
com amortecimento crítico e a 
solução (3) é conhecida como
solução subamortecida.
Exemplo 1: Problema de valor inicial (1 de 4)
{ Suponha que o movimento do sistema massa mola é
governado pelo problema de valor inicial
{ Determine:
(a) a quase frequência e o quase período;
(b) o primeiro tempo no qual a massa passa pela posição de 
equilíbrio;
(c) o tempo τ no qual |u(t)| < 0.1 para todo t > τ.
{ Para a parte (a), obtemos:
onde
0)0(,2)0(,0125.0 =′==+′+′′ uuuuu
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ += −− δtettetu tt
16
255cos
255
32
16
255sin
255
2
16
255cos2)( 16/16/
)sin,cos (recall 06254.0
255
tan δδδδ RBRA ==≅⇒= 1
Exemplo 1: Quase frequência & período (2 de 4)
{ A solução do problema de valor inicial é:
{ O gráfico desta solução, em conjunto com a solução do 
problema sem amortecimento, é dado abaixo. 
{ A quase frequência é
e o quase período
{ Para o caso não amortecido:
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ += −− δtettetu tt
16
255cos
255
32
16
255sin
255
2
16
255cos2)( 16/16/
998.016/255 ≅=μ
295.6/2 ≅= μπdT
283.62,10 ≅== πω T
Exemplo 1: Quase frequência & período (3 de 4)
{ O coeficiente de amortecimento é γ = 0.125 = 1/8, e isto é
1/16 do valor crítico
{ Assim, o amortecimento é relativamente pequeno comparado
com a massa e a rigidez da mola. Contudo, a amplitude de 
oscilação diminui rapidamente. 
{ Utilizando um procedimento numérico, obtemos que |u(t)| < 
0,1 para t > τ ≈ 47,515 seg.
.22 =km
Exemplo 1: Quase frequência & período (4 de 4)
{ Para determinar o primeiro tempo no qual a massa passa pela
posição de equilíbrio, devemos resolver
{ Ou mais simplesmente, resolver
0
16
255cos
255
32)( 16/ =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −= − δtetu t
sec 637.1
2255
16
216
255
≅⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=⇒
=−
δπ
πδ
t
t
	Vibrações mecânicas
	Sistema massa mola
	Modelo massa mola 
	Detalhe da força da mola
	Detalhes da força de amortecimento
	Equação diferencial
	Vibrações livres (1 de 4)
	Vibrações livres (2 de 4)
	Vibrações livres (3 de 4)
	Vibrações livres (4 de 4)
	Vibrações livres amortecidas (1 de 8)
	Vibrações livres amortecidas (2 de 8)
	Vibrações livres amortecidas: �quase frequência (3 de 8)
	Vibrações livres amortecidas: �quase período (4 de 8)
	Vibrações livres amortecidas: �desprezando o amortecimento para  2/4km (5 de 8)
	Vibrações livres amortecidas: �frequência e período (6 de 8)
	Vibrações livres amortecidas: �Amortecimento crítico (7 de 8)
	Vibrações livres amortecidas: �caracterizando as vibrações (8 de 8)
	Exemplo 1: Problema de valor inicial (1 de 4)
	Exemplo 1: Quase frequência & período (2 de 4)
	Exemplo 1: Quase frequência & período (3 de 4)
	Exemplo 1: Quase frequência & período (4 de 4)