Solucoes em Serie Topico 1

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Soluções em série – Tópico 1
• Séries de potência
• Raio de convergência
• Série de Taylor
Revisão de séries de potência
• Para determinar a solução geral de uma equação diferencial
linear é necessário determinar um conjunto fundamental de 
soluções da equação homogênea. 
• Como visto anteriormente, existe um procedimento
sistemático para obter o conjunto de soluções fundamentais
no caso em que os coeficientes da EDO são constantes. 
• Para uma grande classe de EDO lineares com coeficientes
variáveis devemos procurar por soluções além das 
familiares funções elementares presentes no cálculo. 
• Assim, a principal ferramenta necessária é a representação
de uma dada função em séries de potência. 
• Similar ao método dos coeficientes indeterminados, 
assume-se que as soluções possuem representações em
série de potência, e então determinamos as coeficientes de 
tal forma que a EDO seja satisfeita.
Convergência de séries de potência
• Uma série de potência em torno do ponto x0 tem a forma 
e é dito que ela converge ao redor de x0 se 
existe para todo x. 
• Note que a série converge em x = x0. Porém, ela pode
convergir para todo x, ou pode convergir apenas para alguns
valores de x.
( )∑∞
=
−
1
0
n
n
n xxa
( )∑
=
∞→
−
m
n
n
n
m
xxa
1
0lim
Convergência absoluta
• Uma série de potências em torno do ponto x0
converge absolutamente se a série
converge. 
• Lembremos que se a série converge absolutamente, então a 
série é convergente. Porém, o contrário não é necessariamente
verdade. 
( )∑∞
=
−
1
0
n
n
n xxa
( ) ∑∑ ∞
=
∞
=
−=−
1
0
1
0
n
n
n
n
n
n xxaxxa
Teste da razão
• O teste mais usado para testar a convergência absoluta de 
uma série de potências
é o teste da razão. Se an ≠ 0, e se, para um valor fixo de x,
então a série de potências converge absolutamente se 
|x - x0|L < 1 e diverge se |x - x0|L > 1. O teste é
inconclusivo se |x - x0|L = 1.
( )∑∞
=
−
1
0
n
n
n xxa
,lim)(
)(lim 010
0
1
01 Lxx
a
a
xx
xxa
xxa
n
n
nn
n
n
n
n
−=−=
−
− +
∞→
+
+
∞→
Raio de convergência
• Existe um número não negativo ρ, chamado de raio de 
convergência, tal que Σ an(x - x0)n converge absolutamente para
todo x que satisfaz |x - x0| < ρ e diverge para todo |x - x0| > ρ. 
• Para uma série que converge somente em x0, define-se ρ = 0.
• Para uma série que converge para todo x, diz-se que ρ é infinito.
• Se ρ > 0, então |x - x0| < ρ é chamado de intervalo de 
convergência. 
• Nos extremos |x - x0| = ρ a série pode convergir ou divergir e a 
análise deve ser feita separadamente.
Exemplo 1
• Determine o raio de convergência para a série abaixo:
• Usando o teste da razão, obtemos
• Para x = -2 e x = 0, a série corresponde, respectivamente à
• Ambas séries divergem, uma vez que o n-ésimo termo não se 
aproxima do zero.
• Portanto o intervalo de convergência é ]-2, 0[ e ρ = 1. 
02 para 1, 11lim)1(
)1(lim
1
<<−<+=+=
+
+
∞→
+
∞→
xxx
x
x
nn
n
n
( )∑∞
=
+
0
1
n
n
x
( ) ( ) ( ) ( )∑∑∑∑ ∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
=+−=+−
0000
110,112
n
n
n
n
n
n
n
n
Exemplo 2
• Determine o raio de convergência para a série abaixo:
• Usando o teste da razão, obtemos
• Para x = -2 e x = 4, a série corresponde, respectivamente à
• A primeira série converge (série harmônica alternada), já a 
segunda série não converge (série harmônica). Portanto, o 
intervalo de convergência é [-2, 4[, e ρ = 3. 
( ) ∑∑ ∞
=
∞
=
−
00
1
,
1
nn
n
nn
( )∑∞
=
−
1 3
1
n
n
n
n
x
( ) 42- para 1, 3
1
1
lim
3
1
)1(31
)1(3lim 1
1
<<<
−
=
+
−
=
−+
−
∞→+
+
∞→
x
x
n
nx
xn
xn
nnn
nn
n
Exemplo 3
• Determine o raio de convergência para a série abaixo:
• Usando o teste da razão, obtemos
• Assim, o intervalo de convergênica é (-∞, ∞), e portanto o 
raio de convergência é infinito. 
( ) ( ) ∞<<∞<=++=++
+
∞→
+
∞→
x
nn
n
x
xn
xn
nn
n
n
- para 1, 0
!1
!lim2)2(!1
)2(!lim
1
( )∑∞
=
+
1 !
2
n
n
n
x
Série de Taylor
• Suponha que Σ an(x - x0)n converge para f (x) se |x - x0| < ρ. 
• Então o valor de an é dado por
e a série é chamada de série de Taylor para f em torno de 
x = x0. 
• Assim, se 
então f é contínua e tem derivadas de todas as ordens no 
intervalo de convergência. Além disso, as derivadas de f
podem ser calculadas através de diferenciações envolvendo
cada termo da série.
,
!
)( 0)(
n
xf
a
n
n =
( ) ,
!
)()(
1
0
0
)(
∑∞
=
−=
n
n
n
xx
n
xf
xf
Funções analíticas
• Uma função f que possui uma expansão em Taylor em
torno de x = x0
com um raio de conergência ρ > 0, é chamada de função
analítica em x0. 
• Todas as funções básicas do cálculo são analíticas. 
• Por exemplo, sin x e ex são analíticas em todos os pontos, 
1/x é analítica em qualquer ponto exceto em x = 0, e tan x
é analítica em todas os pontos excetuando-se os múltiplos
ímpares de pi /2.
• Se f e g são analíticas em x0, então f ± g, fg, e f /g também
serão.
( ) ,
!
)()(
1
0
0
)(
∑∞
=
−=
n
n
n
xx
n
xf
xf
Igualdades entre séries
• Se duas séries de potência são iguais, i.e,
para cada x em um intervalo aberto com centro em x0, então
an = bn para n = 0, 1, 2, 3,…
• Em particular, se 
então an = 0 para todo n = 0, 1, 2, 3,….
( ) ( )∑∑ ∞
=
∞
=
−=−
1
0
1
0
n
n
n
n
n
n xxbxxa
( ) 0
1
0 =−∑∞
=n
n
n xxa
Deslocamento do índice de somatória
• O índice de soma em uma série infinita é um parâmetro
mudo análogo a variável de integração em uma integração
definida. 
• Assim, o resultado independe da letra que usamos para o 
índice de soma:
• Assim como fazemos mudanças na variável de integração
em uma integral definida, podemos mudar
convenientemente os índices de soma em séries de 
potênciais no cálculo de soluções em séries de equações
diferenciais.
( ) ( )∑∑ ∞
=
∞
=
−=−
1
0
1
0
k
k
k
n
n
n xxaxxa
Exemplo 4
• Podemos verificar a equivalência entre 
fazendo m = n -1 na série da esquerda. Então n = 1 
corresponde a m = 0, e assim por diante
• Em seguida repassamos o índice mudo m para n, e 
obtemos
com desejado.
n
n
n
n
n
n xaxa )1()1(
0
1
1
1
+=+ ∑∑ ∞
=
+
−
∞
=
m
m
m
n
n
n xaxa )1()1(
0
1
1
1
+=+ ∑∑ ∞
=
+
−
∞
=
n
n
n
n
n
n xaxa )1()1(
0
1
1
1
+=+ ∑∑ ∞
=
+
−
∞
=
Exemplo 5: reescrevendo um termo genérico
• Podemos escrever a série
como uma soma cujo termo genérico involve xn fazendo
m = n + 3. 
• Então n = 0 corresponde a m = 3, e n + 1 igual m – 2. 
• Assim, segue que
• Repassando o índice mudo m para n, obtemos
como desejado.
3
0
)1( +
∞
=
∑ + n
n
nxan
.)2()1(
3
3
3
0
m
m
m
n
n
n xamxan ∑∑ ∞
=
−
+
∞
=
−=+
n
n
n xan∑∞
=
−−
3
3)2(