Solucoes em Serie Topico 4

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Soluções em série – Tópico 4
• Soluções em série em torno de um ponto 
singular regular
• Método de Frobenius geral
• Equação de Bessel
Soluções em série em torno de um 
ponto singular regular
{ Estudaremos agora o método de resolução em séries de EDO 
lineares de segunda ordem nas vizinhanças de um ponto
singular regular. Por simplicidade adotaremos x0 = 0.
{ Lembrando que o ponto x0 = 0 é um ponto singular regular de
se
e portanto
0)()()( 2
2
=++ yxR
dx
dyxQ
dx
ydxP
0 analíticas são )(
)(
)(e)( 
)(
)( 22 === xxqx
xP
xRxxxp
xP
xQx
 para convergem ,)( e )(
0
2
0
ρ<== ∑∑ ∞
=
∞
= n
n
n
n
n
n xxqxqxxpxxp
Transformando a equação diferencial
{ Nossa equação diferencial tem a forma
{ Dividindo por P(x) e multiplicando por x2, obtemos
{ Substituindo p e q pela sua representação em série de 
potências,
obtemos
0)()()( =+′+′′ yxRyxQyxP
∑∑ ∞
=
∞
=
==
0
2
0
 ,)(,)(
n
n
n
n
n
n xqxqxxpxxp
[ ] [ ] 0)()( 22 =+′+′′ yxqxyxxpxyx
( ) ( ) 0221022102 =++++′++++′′ yxqxqqyxpxppxyx LL
Comparando com as equações de Euler
{ Do slide anterior obtivemos
{ Note que se
nossa equação diferencial se reduz a equação de Euler 
{ De qualquer forma, nossa EDO é similar a equação de Euler 
mas com coeficientes em série de potências.
{ Assim, é razoável assumirmos como solução a seguinte forma: 
( ) 0,0 p,)(
0
0
2
210 ∑∞
=
+ >≠=+++=
n
nr
n
r xaaraxaxaxaaxxy L
( ) ( ) 0221022102 =++++′++++′′ yxqxqqyxpxppxyx LL
02121 ====== LL qqpp
000
2 =+′+′′ yqyxpyx
Exemplo 1: ponto singular regular (1 de 13)
{ Considere a equação diferencial
{ Esta equação pode ser escrita como
{ Os coeficientes da EDO são polinômios. Assim, segue que
x = 0 é um ponto singular regular, pois ambos os limites
abaixo são finitos:
( ) 012 2 =++′−′′ yxyxyx
0
2
1
2
2 =++′−′′ yxyxyx
∞<=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +∞<−=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛− →→ 2
1 
2
1lime 
2
1 
2
lim 2
2
020 x
xx
x
xx
xx
Exemplo 1: equação de Euler (2 de 13)
{ Agora, xp(x) = -1/2 e x2q(x) = (1 + x )/2, e portanto para
segue que
{ Assim, a equação de Euler correspondente é
{ Como mostrado no tópico anterior, obtemos
{ Utilizaremos este resultado futuramente.
0,2/1,2/1,2/1 3221100 ========−= LL qqppqqp
∑∑ ∞
=
∞
=
==
0
2
0
 ,)(,)(
n
n
n
n
n
n xqxqxxpxxp
020 200
2 =+′−′′⇔=+′+′′ yyxyxyqyxpyx
[ ] ( )( ) 2/1,1011201)1(2 ==⇔=−−⇔=+−− rrrrrrrxr
( ) 012 2 =++′−′′ yxyxyx
Exemplo 1: equação diferencial (3 de 13)
{ Para nossa equação diferencial, assumimos uma solução da
forma
{ Por substituição, obtemos
ou
( ) 012 2 =++′−′′ yxyxyx
( )
( )( )∑
∑ ∑
∞
=
−+
∞
=
∞
=
−++
−++=′′
+=′=
0
2
0 0
1
1)(
,)(,)(
n
nr
n
n n
nr
n
nr
n
xnrnraxy
xnraxyxaxy
( )( ) ( ) 012
0
1
000
=+++−−++ ∑∑∑∑ ∞
=
++∞
=
+∞
=
+∞
=
+
n
nr
n
n
nr
n
n
nr
n
n
nr
n xaxaxnraxnrnra
( )( ) ( ) 012
1
1
000
=+++−−++ ∑∑∑∑ ∞
=
+
−
∞
=
+∞
=
+∞
=
+
n
nr
n
n
nr
n
n
nr
n
n
nr
n xaxaxnraxnrnra
Exemplo 1: combinando séries (4 de 13)
{ Nossa equação
pode ser escrita como
{ Segue que
e
( )( ) ( ) 012
1
1
000
=+++−−++ ∑∑∑∑ ∞
=
+
−
∞
=
+∞
=
+∞
=
+
n
nr
n
n
nr
n
n
nr
n
n
nr
n xaxaxnraxnrnra
[ ] ( )( )[ ]{ } 01)(121)1(2
1
10 =+++−−++++−− ∑∞
=
+
−
n
nr
nn
r xanrnrnraxrrra
[ ] 01)1(20 =+−− rrra
( )( )[ ] K,2,1,01)(12 1 ==+++−−++ − nanrnrnra nn
Exemplo 1: equação indicial (5 de 13)
{ Do slide anterior, temos
{ A equação
é chamada de equação indicial, e foi abtido no slide 6 quando
examinamos a equação de Euler correspondente. 
{ As raízes r1 = 1 e r2 = ½, da equação indicial são chamados de 
expoentes de singularidade, para o ponto singular regular x = 
0. 
{ Os expoentes de singularidade determinam o comportamento
qualitativo da solução nas vizinhanças do ponto singular 
regular.
[ ] 0)1)(12(13201)1(2 200 0 =−−=+−⇔=+−− ≠ rrrrrrra a
[ ] ( )( )[ ]{ } 01)(121)1(2
1
10 =+++−−++++−− ∑∞
=
+
−
n
nr
nn
r xanrnrnraxrrra
Exemplo 1: relação de recorrência (6 de 13)
{ Lembremos que
{ Trabalharemos agora com os coeficientes de xr+n :
{ Segue que
[ ] ( )( )[ ]{ } 01)(121)1(2
1
10 =+++−−++++−− ∑∞
=
+
−
n
nr
nn
r xanrnrnraxrrra
( )( )[ ] 01)(12 1 =+++−−++ −nn anrnrnra
( )( )
( )
( )[ ] ( )[ ] 1,112
1)(32
1)(12
1
2
1
1
≥−+−+−=
++−+−=
++−−++−=
−
−
−
n
nrnr
a
nrnr
a
nrnrnr
aa
n
n
n
n
Exemplo 1: primeira raiz (7 de 13)
{ Temos
{ Começando com r1 = 1, esta relação de recorrência se torna
{ Assim,
( )[ ] ( )[ ] 2/1 e 1 ,1 p,112 111 ==≥−+−+−= − rrnaranrnr
aa nn
( )[ ] ( )[ ] ( ) 1,1211112 11 ≥+−=−+−+−= −− nnn
a
nn
aa nnn
( )( )215325
13
01
2
0
1
⋅⋅=⋅−=
⋅−=
aaa
aa ( )( )
( )( ) 1,!12753
)1(
etc,
32175337
0
02
3
≥+⋅⋅
−=
⋅⋅⋅⋅−=⋅−=
n
nn
aa
aaa
n
n L
Exemplo 1: primeira solução (8 de 13)
{ Do slide anterior, temos a expressão para o n-ésimo termo:
{ Portanto, para x > 0, uma das soluções da nossa equação
diferencial é
( )( ) 1,!12753
)1( 0 ≥+⋅⋅
−= n
nn
aa
n
n L
( )( )
( )( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+⋅⋅
−+=
+⋅⋅
−+=
=
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
+
+∞
=
1
0
1
1
0
0
0
1
!12753
)1(1
!12753
)1(
)(
n
nn
n
nn
rn
n
n
nn
xxa
nn
xaxa
xaxy
L
L
Exemplo 1: raio de convergência
para a primeira solução (9 de 13)
{ Se omitirmos a0, a solução para a nossa equação diferencial é
{ Para determinar o raio de convergência usamos o teste da razão:
{ Assim, o raio de convergência é infinito, e consequentemente a 
série converge para todo x.
( )( ) 0,!12753
)1(1)(
1
1 >⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+⋅⋅
−+= ∑∞
=
x
nn
xxxy
n
nn
L
( )( )
( )( )( )( )
( )( ) 10132lim
)1(!13212753
)1(!12753limlim
111
1
<=++=
−+++⋅⋅
−+⋅⋅=
∞→
++
∞→
+
+
∞→
nn
x
xnnn
xnn
xa
xa
n
nn
nn
nn
n
n
n
n L
L
Exemplo 1: segunda raiz (10 de 13)
{ Lembre que
{ Quando r1 = 1/2, esta relação de recursão se torna
{ Assim
( )[ ] ( )[ ] 2/1 e 1 ,1 para,112 111 ==≥−+−+−= − rrnnrnr
aa nn
( )[ ] ( )[ ] ( ) ( ) 1,122/1212/112/12 111 ≥−−=−−=−+−+−= −−− nnn
a
nn
a
nn
aa nnnn
( )( )312132
11
01
2
0
1
⋅⋅=⋅−=
⋅−=
aaa
aa ( )( )
( ) ( )( ) 1,!12531
)1(
etc,
53132153
0
02
3
≥−⋅⋅
−=
⋅⋅⋅⋅−=⋅−=
n
nn
aa
aaa
n
n L
Exemplo 1: segunda solução (11 de 13)
{ Do slide anterior, temos a expressão para o n-ésimo termo:
{ Portanto, para x > 0, a segunda solução da nossa equação
diferencial é
( )( ) 1,!12531
)1( 0 ≥−⋅⋅
−= n
nn
aa
n
n L
( )( )
( )( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−⋅⋅
−+=
−⋅⋅
−+=
=
∑
∑
∑
∞
=
∞
=
+
+∞
=
1
2/1
0
1
2/1
02/1
0
0
2
!12531
)1(1
!12531
)1(
)(
n
nn
n
nn
rn
n
n
nn
xxa
nn
xaxa
xaxy
L
L
Exemplo 1: Raio de convergência
para a segunda solução (12 de 13)
o Assim, se omitirmos a0, a segunda solução resulta em
{ Para determinar o raio de convergência usamos o teste da
razão:
{ Assim, o raio de convergência é infinito, e consequentemente a 
série converge para todo x.
( )( )
( )( )( )( )
( ) 1012lim
)1(!11212531
)1(!12531limlim
111
1
<=+=
−++−⋅⋅
−−⋅⋅=
∞→
++
∞→
+
+
∞→
nn
x
xnnn
xnn
xa
xa
n
nn
nn
nn
n
n
n
n L
L
( )( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−⋅⋅
−+= ∑∞
=1
2/1
2 !12531
)1(1)(
n
nn
nn
xxxy LExemplo 1: solução geral (13 de 13)
{ As duas soluções da nossa EDO são
{ Uma vez que os termos mais baixos de y1 e y2 são x e x1/2, 
respectivamente, segue que y1 e y2 são linearmente
independentes, e portanto formam um conjunto fundamental 
de soluções.
{ Consequentemente, a solução geral da equação diferencial é
onde y1 e y2 são dados acima.
( )( )
( )( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−⋅⋅
−+=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+⋅⋅
−+=
∑
∑
∞
=
∞
=
1
2/1
2
1
1
!12531
)1(1)(
!12753
)1(1)(
n
nn
n
nn
nn
xxxy
nn
xxxy
L
L
,0),()()( 2211 >+= xxycxycxy
Discussão
{ Para esta primeira análise, estudamos x = 0 como um ponto
regular singular. Para um caso mais geral, com um ponto
singular x = x0, a solução em série terá a forma
{ Se as raízes r1 e r2 da equação indicial são iguais ou diferem
por um inteiro, então a segunda solução y2 normalmente
possui uma estrutura mais complexa. Estes casos serão
discutidos a seguir. 
{ Se as raízes da equação indicial são complexas, então existe
sempre duas soluções com a forma acima. Estas soluções
assumem valores complexos, porém pode-se obter soluções
reais através das partes real e imaginaria das soluções
complexas. 
( ) ( )n
n
n
r xxaxxxy 0
0
0)( −−= ∑∞
=
Método geral de Frobenius
{ Relembrando o começo do tópico: o ponto x0 = 0 é um ponto
singular regular de
com
e a equação de Euler correspondente sendo
{ Assim, assumimos que a solução tem a forma
[ ] [ ] 0)()( 22 =+′+′′ yxqxyxxpxyx
 para econvergent ,)(,)(
0
2
0
ρ<== ∑∑ ∞
=
∞
= n
n
n
n
n
n xxqxqxxpxxp
.000
2 =+′+′′ yqyxpyx
( ) 0,0 p,,)(
0
0∑∞
=
+ >≠==
n
nr
n xaaraxaxrxy φ
Substituindo as derivadas na EDO
{ Calculando as derivadas, temos
{ Substituindo estas derivadas na equação diferencial, obtemos
( )
( )( )∑
∑ ∑
∞
=
−+
∞
=
∞
=
−++
−++=′′
+=′=
0
2
0 0
1
1)(
,)(,)(
n
nr
n
n n
nr
n
nr
n
xnrnraxy
xnraxyxaxy
( )( )
( ) 0
1
0000
0
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−++
∑∑∑∑
∑
∞
=
+∞
=
∞
=
+∞
=
∞
=
+
n
nr
n
n
r
n
n
nr
n
n
r
n
n
nr
n
xaxqxnraxp
xnrnra
[ ] [ ] 0)()( 22 =+′+′′ yxqxyxxpxyx
Multiplicando séries
( )
[ ] ( ) ( )[ ][ ] [ ]
[ ] ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( )[ ] ( ) ( )( )[ ]
( ) ( )( ) ( )( )[ ] LL
L
LLL
L
LLLL
LLLL
+++++−++++
++++++++=
+++++++−+++
++++++++=
++++++++
+++++++++++=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+
−
+
+
−−
+
++
++
∞
=
+∞
=
∞
=
+∞
=
∑∑∑∑
nr
nnnn
rr
nr
nnnnnn
rr
nr
n
rrn
n
nr
n
rrn
n
n
nr
n
n
r
n
n
nr
n
n
r
n
xqnrpaqnrpaqrpa
xqrpaqrpaxqrpa
xaqaqaqrapnrapnrap
xaqaqraprapxaqrap
xaxaxaxqxqq
xnraxrarxaxpxpp
xaxqxnraxp
001110
1
001110000
01100110
1
011001100000
1
1010
1
1010
0000
1
1
1
1
1
Combinando termos
{ Nossa equação se torna
( )( )
( )
( )( )
( )[ ] ( ) ( )( )[ ]
( ) ( )( ) ( )( )[ ]
( )[ ] ( ) ( )( )[ ]
( ) ( )( ) ( )( )[ ] 01
1)1()1(
01
1
1
0
1
000
1
001110000
001110
1
001110000
0
0000
0
=++++−++++++
++++++++++−=
=+++++−+++++
++++++++
−++=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−++
+
+
+
−
+
∞
=
+
∞
=
+∞
=
∞
=
+∞
=
∞
=
+
∑
∑∑∑∑
∑
LL
L
LL
L
nr
nnn
rr
nr
nnnn
rr
n
nr
n
n
nr
n
n
r
n
n
nr
n
n
r
n
n
nr
n
xqnrpnrnraqrpa
xqrprraqrpaxqrprra
xqnrpaqnrpaqrpa
xqrpaqrpaxqrpa
xnrnra
xaxqxnraxp
xnrnra
Reescrevendo a EDO
{ Definindo F(r) por
{ Podemos reescrever a nossa equação
em uma forma mais compacta:
( )[ ] ( ) ( )( )[ ]
( ) ( )( ) ( )( )[ ] 01
1)1()1(
000
1
001110000
=++++−+++++++
+++++++++−
+
+
LLL nrnnn
rr
xqnrpnrnraqrpa
xqrprraqrpaxqrprra
00)1()( qrprrrF ++−=
[ ] 0)()()(
1
1
0
0 =⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ +++++ +
∞
=
−
=
−∑ ∑ nr
n
n
k
kknkn
r xqpkranrFaxrFa
Equação indicial
{ Copiando o resultado do slide anterior:
{ Para a0 ≠ 0, devemos impor que
{ Esta equação indicial é a mesma que foi obtida quando
procurávamos soluções y = xr para a equação de Euler 
correspondente. 
{ Note que F(r) é quadrático em r, e portanto possui duas raízes, 
r1 e r2. Se r1 e r2 são reais, então assumiremos que r1 ≥ r2. 
{ Estas raízes são chamadas de expoentes de singularidade, e 
eles determinam o comportamento da solução em torno do 
ponto singular.
0)1()( 00 =++−= qrprrrF
[ ] 0)()()(
1
1
0
0 =⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ +++++ +
∞
=
−
=
−∑ ∑ nr
n
n
k
kknkn
r xqpkranrFaxrFa
Relação de recorrência
{ De nossa equação,
derivamos a seguinte relação de recorrência:
{ Esta relação de recorrência mostra que em geral, an depende
de r e de todos os coeficientes anteriores a0, a1, …, an-1. 
{ Observe que r = r1 ou r = r2.
[ ] 0)()()(
1
1
0
0 =⎭⎬
⎫
⎩⎨
⎧ +++++ +
∞
=
−
=
−∑ ∑ nr
n
n
k
kknkn
r xqpkranrFaxrFa
[ ] 0)()( 1
0
=++++ ∑−
=
−
n
k
kknkn qpkranrFa
Primeira solução
{ Com a relação de recorrência
podemos calcular a1, …, an-1 em termos de a0, pm e qm, desde
que F(r + 1), F(r + 2), …, F(r + n), … não sejam zero. 
{ Lembre-se que r = r1 ou r = r2, sendo estas as únicas raízes de 
F(r). 
{ Uma vez que r1 ≥ r2, temos r1 + n ≠ r1 e r1 + n ≠ r2 para n ≥ 1.
{ Assim, F(r1 + n) ≠ 0 para n ≥ 1, e ao menos uma solução existe: 
onde a notação an(r1) indica que an é obtido usando r = r1.
[ ] ,0)()( 1
0
=++++ ∑−
=
−
n
k
kknkn qpkranrFa
0,1,)(1)( 0
1
11
1 >=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ += ∑∞
=
xaxraxxy
n
n
n
r
00)1()( qrprrrF ++−=
Segunda solução
{ Agora considere r = r2. Usando a relação de recorrência
calculamos a1, …, an-1 em termos de a0, pm e qm, desde que
F(r2 + 1), F(r2 + 2), …, F(r2 + n), … não sejam zero. 
{ Se r2 ≠ r1, e r2 - r1 ≠ n para n ≥ 1, então r2 + n ≠ r1 para n ≥ 1.
{ Assim, F(r2 + n) ≠ 0 para n ≥ 1, e a segunda solução existe: 
onde a notação an(r2) indica que an tem de ser determinado
usando r = r2.
[ ] ,0)()( 1
0
=++++ ∑−
=
−
n
k
kknkn qpkranrFa
0,1,)(1)( 0
1
22
2 >=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ += ∑∞
=
xaxraxxy
n
n
n
r
Convergência das soluções
{ Se as restrições sobre r2 forem satisfeitas, teremos duas soluções
onde a0 =1 e x > 0. A série converge para |x| < ρ, e
definem funções analíticas dentro do raio de convergência.
{ Segue que qualquer comportamento singular das soluções y1 e 
y2 é devido aos fatores xr1 e xr2. 
{ Pode-se mostrar que para obter soluções onde x < 0, basta trocar
xr1 e xr2 por |xr1| e |xr2| em y1 e y2 acima.
{ Se r1 e r2 são complexos, então r1 ≠ r2 e r2 - r1 ≠ n para n ≥ 1, e 
soluções em série com valores reais podem ser construidas.
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ += ∑∑ ∞
=
∞
= 1
22
1
11 )(1)(,)(1)( 21
n
n
n
r
n
n
n
r xraxxyxraxxy
∑∑ ∞
=
∞
=
+=+=
1
2
1
1 )(1)( e )(1)(
n
n
n
n
n
n xraxgxraxf
Exemplo 1: pontos singulares (1 de 5)
{ Determine todos os pontos singulares regulares, obtenha a 
equação indicial e os expoentes de singularidade para cada
ponto singular regular. Então, discuta a natureza da solução
próximo dos pontos singulares regulares.
{ Solução: A equação pode ser reescrita como
{ Os pontos singulares são x = 0 e x = -1. 
{ Então x = 0 é um ponto singular regular, uma vez que
0)3()1(2 =−′++′′+ xyyxyxx
0
)1(2)1(2
3 =+−′+
++′′ y
xx
xy
xx
xy
∞<=+
−=∞<=+
+= →→ 0 )1(2lim e , 2
3 
)1(2
3lim 2
0000 xx
xxq
xx
xxp
xx
Exemplo 1:equação indicial, x = 0 (2 de 5)
{ A equação indicial correspondente é dada por
ou
{ Os expoentes de singularidade para x = 0 são determinados
resolvendo-se a equação indicial:
{ Assim, r1 = 0 e r2 = -1/2, para pontos singulares regulares x = 0.
0)1()( 00 =++−= qrprrrF
0
2
3)1( =+− rrr
( ) 012
02
03)1(2
2
=+
=+
=+−
rr
rr
rrr
Exemplo 1: soluções em série, x = 0 (3 de 5)
{ A solução correspondente a x = 0 tem a forma 
{ Os coeficientes an(0) e an(-1/2) são determinados pelos suas
relações de recorrência correspondentes. 
{ Ambas as séries convergem para |x| < ρ, onde ρ é o menor
raio de convergência para a representação em série em torno
de x = 0 para
{ O menor valor de ρ será 1, que é a distância entre os dois
pontos sigulares x = 0 e x = -1. 
{ Note que y1 é limitado para x→ 0, e y2 diverge quando x→ 0.
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−+=+= ∑∑ ∞
=
−∞
= 1
2/1
2
1
1 2
11)(,)0(1)(
n
n
n
n
n
n xaxxyxaxy
)1(2
)(,
)1(2
3)( 2
xx
xxqx
xx
xxxp +=+
+=
Exemplo 1: equação indicial, x = -1 (4 de 5)
{ Continuando, x = -1 também é um ponto regular singular, uma
vez que
e
{ A equação indicial é dada por
e portanto os expoentes de singularidade para x = -1 são
{ Note que r1 e r2 diferem por um inteiro positivo.
( ) ∞<=+
++= −→ 1- )1(2
31lim
10 xx
xxp
x
( ) ∞<=+
−+= −→ 0 )1(21lim
2
10 xx
xxq
x
0)1( =−− rrr
( ) 0,20202 212 ==⇔=−⇔=− rrrrrr
Exemplo 1: solução em série, x = -1 (5 de 5)
{ A primeira solução correspondente a x = -1 tem a forma 
{ Esta série converge para |x| < ρ, onde ρ é o menor raio de 
convergência para as representações em série de x = -1 para
{ O menor valor de ρ é 1. Note que y1 é limitado quando x→ -1. 
{ Uma vez que r1 = 2 e r2 = 0 diferem por um inteiro positivo, 
pode ou não existir uma segunda solução sob a forma
( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +++= ∑∞
=1
2
1 1)2(11)(
n
n
n xaxxy
)1(2
)(,
)1(2
3)( 2
xx
xxqx
xx
xxxp +=+
+=
( )∑∞
=
++=
1
2 1)0(1)(
n
n
n xaxy
Raízes iguais
{ Lembremos que a equação indicial geral é dada por
{ No caso de raízes iguais, F(r) simplifica para
{ Pode-se mostrar que as soluções são dadas por
onde bn(r1) são determinados substituindo y2 na EDO e 
resolvendo-a usualmente. Alternativamente, podemos
determinar bn(r1) como segue,
0)1()( 00 =++−= qrprrrF
2
1 )1()( −= rrF
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ += ∑∑ ∞
=
∞
= 1
112
1
11 )(1ln)()(,)(1)( 11
n
n
n
r
n
n
n
r xrbxxxyxyxraxxy
1
)()( 1
rr
nn radr
drb
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
Raízes diferindo por um inteiro
{ Se as raízes da equação indicial diferem por um inteiro
positivo, i.e., r1 – r2 = N, pode-se mostrar que as soluções da
EDO são dadas por
onde cn(r1) são obtidos substituindo y2 na equação diferencial
e resolvendo-a da forma usual. Alternativamente,
e
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ += ∑∑ ∞
=
∞
= 1
212
1
11 )(1ln)()(,)(1)(
21
n
n
n
r
n
n
n
r xrcxxxayxyxraxxy
( )[ ] K,2,1,)()(
221
=−= = nrarrdr
drc rrnn
( )[ ] Nrronderarra rrNrr =−−= =→ 212 ,)(lim 22
Equação de Bessel
{ Equação de Bessel de ordem ν:
{ Note que x = 0 é um ponto singular regular.
{ Friedrich Wilhelm Bessel (1784 – 1846) estudou distúrbios
no movimento planetário, o que levou-o em 1824 a fazer a 
primeira análise sistemática das soluções desta equação. As 
soluções desta equação se tornaram conhecidas como funções
de Bessel.
{ Estudaremos a seguir a equação de Bessel de ordem zero.
( ) 0222 =−+′+′′ yxyxyx ν
Equação de Bessel de ordem zero (1 de 12)
{ A equação de Bessel de ordem zero é
{ Assumiremos que as soluções tem a forma
{ Calculando derivadas,
{ Substituindo-as na equação diferencial obtemos
( )
( )( )∑
∑ ∑
∞
=
−+
∞
=
∞
=
−++
−++=′′
+=′=
0
2
0 0
1
1)(
,)(,)(
n
nr
n
n n
nr
n
nr
n
xnrnraxy
xnraxyxaxy
( ) 0,0for ,,)(
0
0∑∞
=
+ >≠==
n
nr
n xaxaxrxy φ
022 =+′+′′ yxyxyx
∞ ++∞ +∞ +( )( ) ( ) 01
0
2
00
=+++−++ ∑∑∑
=== n
nr
n
n
nr
n
n
nr
n xaxnraxnrnra
Equação indicial (2 de12)
{ Do slide anterior,
{ Reescrevendo,
{ ou
{ A equação indicial resulta em r2 = 0, e portanto r1 = r2 = 0.
( )( ) ( ) 01
0
2
00
=+++−++ ∑∑∑ ∞
=
++∞
=
+∞
=
+
n
nr
n
n
nr
n
n
nr
n xaxnraxnrnra
[ ] [ ]
( )( ) ( )[ ]{ } 01
)1()1()1(
2
2
1
10
=+++−+++
+++++−
+∞
=
−
+
∑ nr
n
nn
rr
xanrnrnra
xrrraxrrra
( ){ } 0)1(
2
2
212
1
2
0 =+++++ +
∞
=
−
+ ∑ nr
n
nn
rr xanraxraxra
Relação de recorrência (3 de 12)
{ Do slide anterior,
{ Note que, para r = 0, temos a1 = 0 e a seguinte relação de 
recorrência
{ Portanto, concluimos que a1 = a3 = a5 = … = 0, com 
{ Observação: como an depende de r, escreveremos an(r). Ou
seja, a2m passa para a2m(0).
( ) K,3,2,22 =+−= − nnr
aa nn
( ){ } 0)1(
2
2
212
1
2
0 =+++++ +
∞
=
−
+ ∑ nr
n
nn
rr xanraxraxra
K,2,1,
)2( 2
22
2 =−= − mm
aa mm
Primeira solução (4 de 12)
{ Copiando a relação de recorrência,
{ Assim, 
e em geral, 
{ Então,
K,2,1,
)2( 2
22
2 =−= − mm
aa mm
( ) ( ) K,1232,122244,2 26 0624 022 0224202 ⋅⋅−=⋅==−=−=
aaaaaaaa
( ) K,2,1,!2
)1(
22
0
2 =−= mm
aa
m
m
m
( ) 0,!2
)1(1)(
1
22
2
01 >⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+= ∑∞
=
x
m
xaxy
m
m
mm
Função de Bessel de primeiro tipo, 
ordem zero (5 de 12)
{ A primeira solução da equação de Bessel de ordem zero é
{ A série converge para todo x, e é conhecida como função de 
Bessel de primeiro tipo de ordem zero, designada por
{ Os gráficos de J0 e de várias
aproximações de soma parcial
são dadas na figura ao lado.
( ) 0,!2
)1(1)(
1
22
2
01 >⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+= ∑∞
=
x
m
xaxy
m
m
mm
( ) 0,!2
)1()(
0
22
2
0 >−= ∑∞
=
x
m
xxJ
m
m
mm
Segunda solução: coeficientes ímpares (6 de12)
{ Uma vez que a equação indicial possui raízes repetidas, os
coeficientes da segunda solução podem ser determinados
usando
{ Agora
{ Assim, 
{ Como,
temos que
0)0(0)( 11 =′⇒= ara
( ){ } 0)()()1)(()(
2
2
212
1
2
0 =+++++ +
∞
=
−
+ ∑ nr
n
nn
rr xranrraxrraxrra
( ) K,3,2,
)()( 2
2 =+−=
− n
nr
rara nn
0
)( =′ rn ra
K,2,1,0)0(12 ==′ + ma m
Segunda solução: coeficientes pares (7 de 12)
{ Portanto é necessário calcular apenas as derivadas dos 
coeficientes pares, dados por
{ É possível mostrar que
e portanto
( ) ( ) ( ) 1,22
)1()(
2
)()( 22
0
22
22
2 ≥++
−=⇒+−=
− m
mrr
ara
mr
rara
m
m
m
m L
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
++++++−=
′
mrrrra
ra
m
m
2
1
4
1
2
12
)(
)(
2
2 L
)0(
2
1
4
1
2
12)0( 22 mm am
a ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +++−=′ L
Segunda solução: representação em série (8 de 12)
{ Assim, 
onde
{ Fazendo a0 = 1 e usando o resultado para raízes iguais
(enunciado anteriormente), obtemos
( ) K,2,1,!2
)1()0( 22
0
2 =−−=′ mm
aHa
m
m
mm
m
Hm
1
3
1
2
1
1
1 ++++= L
( ) 0,!2
)1(ln)()( 2
1
22
1
02 >−+= ∑∞
=
+
xx
m
HxxJxy m
m
m
m
m
Função de Bessel de segundo tipo, 
ordem zero (9 de 12)
{ Ao invés de usar y2, a segunda solução Y0 é usualmente
construida como uma combinação linear de J0 and y2, 
conhecida como função de Bessel de segundo tipo de ordem
zero. A combinação usada é
{ A constante γ é a constante de Euler-Mascheroni, definida por
{ Substituindo a expressão para y2 na equação de Y0 acima, 
obtemos
( )[ ])(2ln)(2)( 020 xJxyxY −+= γπ
( ) 5772.0lnlim ≅−= ∞→ nHnnγ
( ) 0,!2
)1()(
2
ln2)( 2
1
22
1
00 >⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=∑∞
=
+
xx
m
HxJxxY m
m
m
m
m
γπ
Solução geral da equação de Bessel, 
ordem zero (10 de 12)
{ Assim, a solução geral da equação de Bessel de ordem zero, 
x > 0, é dada por
onde
{ Note que J0 → 0 quando x → 0 enquanto que Y0 possui uma
singularidade logarítmica em x = 0. Se a solução procurada
tiver de ser limitada na origem, então Y0 deve ser descartada.
( )
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −+⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
−=
∑
∑
∞
=
+
∞
=
m
m
m
m
m
m
m
mm
x
m
HxJxxY
m
xxJ
2
1
22
1
00
0
22
2
0
!2
)1()(
2
ln2)(
,
!2
)1()(
γπ
)()()( 0201 xYcxJcxy +=
Gráficos da função de Bessel, 
ordem zero (11 de 12)
{ Os gráficos de J0 e Y0 são dados abaixo. 
{ Note que o comportamento de J0 e Y0 parece ser similar com 
sin x e cos x para valores grandes de x, com a diferença de 
que as oscilações diminuem de amplitude. 
Aproximação de função de Bessel, 
ordem zero (12 de 12)
{ O fato de que J0 e Y0 são similares a sin x e cos x para grandes
valores de x pode ser obtido diretamente da EDO 
reescrevendo-a como
{ Assim, para grandes valorede de x, esta equação pode ser 
aproximada por
cuja as solns são sin x e cos x. De fato, pode-se mostrar que
( ) 0110 22222 =⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+′+′′⇔=−+′+′′ y
x
vy
x
yyvxyxyx
∞→⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛≅
∞→⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛≅
xx
x
xY
xx
x
xJ
 as,
4
sin2)(
 as,
4
cos2)(
2/1
0
2/1
0
π
π
π
π
,0=+′′ yy
	Soluções em série em torno de um ponto singular regular
	Transformando a equação diferencial
	Comparando com as equações de Euler
	Exemplo 1: ponto singular regular (1 de 13)
	Exemplo 1: equação de Euler (2 de 13)
	Exemplo 1: equação diferencial (3 de 13)
	Exemplo 1: combinando séries (4 de 13)
	Exemplo 1: equação indicial (5 de 13)
	Exemplo 1: relação de recorrência (6 de 13)
	Exemplo 1: primeira raiz (7 de 13)
	Exemplo 1: primeira solução (8 de 13)
	Exemplo 1: raio de convergência�para a primeira solução (9 de 13)
	Exemplo 1: segunda raiz (10 de 13)
	Exemplo 1: segunda solução (11 de 13)
	Exemplo 1: Raio de convergência �para a segunda solução (12 de 13)
	Exemplo 1: solução geral (13 de 13)
	Discussão
	Método geral de Frobenius
	Substituindo as derivadas na EDO
	Multiplicando séries
	Combinando termos
	Reescrevendo a EDO
	Equação indicial
	Relação de recorrência
	Primeira solução
	Segunda solução
	Convergência das soluções
	Exemplo 1: pontos singulares (1 de 5)
	Exemplo 1: equação indicial, x = 0 (2 de 5)
	Exemplo 1: soluções em série, x = 0 (3 de 5)
	Exemplo 1: equação indicial, x = -1 (4 de 5)
	Exemplo 1: solução em série, x = -1 (5 de 5)
	Raízes iguais
	Raízes diferindo por um inteiro
	Equação de Bessel
	Equação de Bessel de ordem zero (1 de 12)
	Equação indicial (2 de12)
	Relação de recorrência (3 de 12)
	Primeira solução (4 de 12)
	Função de Bessel de primeiro tipo, �ordem zero (5 de 12)
	Segunda solução: coeficientes ímpares (6 de12)
	Segunda solução: coeficientes pares (7 de 12)
	Segunda solução: representação em série (8 de 12)
	Função de Bessel de segundo tipo, �ordem zero (9 de 12)
	Solução geral da equação de Bessel, �ordem zero (10 de 12)
	Gráficos da função de Bessel, �ordem zero (11 de 12)
	Aproximação de função de Bessel, �ordem zero (12 de 12)