Equacoes Diferenciais Topico 1

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Equações Diferenciais – Tópico 1
• Introdução
• Classificação de equações diferenciais
• Campos de direções
• Exemplos de campos de direções
Introdução
{ Equações diferenciais são equações que envolvem derivadas. 
{ Exemplos de fenômenos físicos que envolvem taxas de 
variação:
z Fluidodinâmica
z Movimento de sistemas mecânicos
z Fluxo de corrente em circuitos elétricos
z Dissipação de calor em objetos sólidos
z Ondas sísmicas
z Dinâmica de população
{ Uma equação diferencial que descreve um processo físico é
muitas vezes chamado de modelo matemático.
Classificação de equações diferenciais
{ O principal propósito deste curso é estudar métodos de 
resolução de equações diferenciais e suas principais
propriedades.
{ Assim, antes de começarmos, é interessante classificar
os vários tipos de equações diferenciais.
Equações diferenciais ordinárias
{ Quando a função desconhecida depende apenas de uma
única variável independente, aparecem apenas derivadas
ordinárias na equação. 
{ Neste caso a equação é chamada de equação diferencial
ordinária (EDO).
{ Exemplos:
BAp
dt
dpv
dt
dv −=−= ,2.08.9
{ Quando a função desconhecida depende de várias variáveis
independentes, derivadas parciais aparecem na equação. 
{ Neste caso, a equação é chamada de equação diferencial
parcial (EDP). 
{ Exemplos:
onda) de (equação ),(),(
calor) do (equação ),(),(
2
2
2
2
2
2
2
2
t
txu
x
txua
t
txu
x
txu
∂
∂=∂
∂
∂
∂=∂
∂α
Equações diferenciais parciais
Sistema de equações diferenciais
{ Outra classificação de equações diferenciais depende do 
número de funções desconhecidas envolvidas.
{ Se há apenas uma única função desconhecida, então uma
única equação é suficiente. Agora, se há duas ou mais
funções desconhecidas, então é necessário um sistema de 
equações diferenciais.
uvcvdtdv
uvuadtdu
γ
α
+−=
−=
/
/
{ Por exemplo, equações de um sistema presa-predador tem 
a seguinte forma:
onde u(t) e v(t) são as respectivas populações da presa e do 
predador. 
Ordem de equações diferenciais
{ A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada
mais alta que aparece na equação.
{ Exemplo:
tuu
e
dt
yd
dt
yd
tyy
yy
yyxx
t
sin
1
023
03
2
2
2
4
4
=+
=+−
=−′+′′
=+′
( ))1()( ,,,,,,)( −′′′′′′= nn yyyyytfty K
{ De uma forma geral, uma equação diferencial de ordem n
linear na n-ésima derivada pode ser escrita como:
Equações diferenciais lineares e não lineares
{ Uma equação diferencial ordinária
é linear se F é linear nas variáveis
{ Assim, uma EDO linear geral é da forma
{ Exemplo: Determine se as equações abaixo são lineares os
não lineares.
tuuutuuut
dt
ydt
dt
yd
tyytyeyyy
yyxxyyxx
y
cos)sin()6(sin)5(1)4(
023)3(023)2(03)1(
2
2
2
4
4
2
=+=+=+−
=−′+′′=−′+′′=+′
( ) 0,,,,,, )( =′′′′′′ nyyyyytF K
.,,,,, )(nyyyyy K′′′′′′
)()()()( )1(1
)(
0 tgytaytayta n
nn =+++ − L
Solução de equações diferenciais
{ A solução φ(t) de uma equação diferencial ordinária
satisfaz a seguinte equação:
ttyttyttyyy sin2)(,cos)(,sin)(;0 321 =−===+′′
( ))1()( ,,,,,)( −′′′= nn yyyytfty K
( ))1()( ,,,,,)( −′′′= nn tft φφφφφ K
{ Temos três questões importantes no estudo de equações
diferenciais:
z Existe uma solução? (Existência)
z Se existe uma solução, ela é única? (Unicidade)
z Se existe uma solução, como fazemos para determina-la?
{ Exemplo: Verique as soluções da seguinte EDO
Campos de direções
{ Campos de direções são gráficos de flechas que indicam o 
comportamento das soluções de equações diferenciais.
{ Eles são ferramentas valiosas no estudo de soluções de 
EDO de primeira ordem uma vez que eles podem ser 
obtidos sem termos o conhecimento da solução.
{ Apresentaremos a seguir, através de exemplos, o 
procedimento de como construí-los. 
),( ytf
dt
dy =
Exemplo 1: Queda livre (1 de 2)
{ Vamos formular uma equação diferencial para descrever o 
movimento de um objeto caindo na atmosfera próximo do 
nível do mar. 
{ Variáveis: tempo t, velocidade v
{ 2nd Lei de Newton: F = ma = m(dv/dt) ← força resultante
{ Força da gravidade: F = mg ← força p/ baixo
{ Força de resistência do ar: F = γ v ← força p/ cima
{ Assim
{ Usando g = 9.8 m/s2, m = 10 kg, γ = 2 kg/s, 
obtemos: 
vmg
dt
dvm γ−=
v
dt
dv 2.08.9 −=
Exemplo 1: Campos de direção (2 de 2)
{ As flechas mostram as linhas tangentes as curvas de sol., e 
indicam onde e por quanto a sol. é crescente ou decrescente. 
{ Curvas de solução horizontal são chamadas soluções de 
equilíbrio. 
{ No gráfico abaixo é mostrado as campos de direção para o 
nosso exemplo. E ao lado é determinado analiticamente a 
solução de equilíbrio.
49
2.0
8.9
02.08.9
:0Fazendo
=⇔
=⇔
=−⇔
=′
v
v
v
v
vv 2.08.9 −=′
Soluções de equilíbrio
{ Em geral, para uma equação diferencial da forma
achamos a solução de equilíbrio fazendo y' = 0 e resolvendo
para y :
{ Exemplo: Ache a solução de equilíbrio das seguintes
equações.
,bayy −=′
a
bty =)(
)2(352 +=′+=′−=′ yyyyyyy
Exemplo 2: Análise gráfica
{ Discuta o comportamento da solução e a 
dependência da condição inicial y(0) através dos 
campos de direção das seguintes equações
diferenciais:
yy −=′ 2 35 +=′ yy
Exemplo 3: 
Análise gráfica de uma eq. não linerar
)2( +=′ yyy
{ Discuta o comportamento da solução e a 
dependência da condição inicial y(0) através dos 
campos de direção das seguintes equações
diferenciais:
Exemplo 5: Ratos e Corujas
{ Considere uma população de ratos que se reproduzem a 
uma taxa constante de 0.5 rato/mês proporcional a própria
população (sem corujas a princípio).
{ Quando as corujas estão presentes, elas comem os ratos. 
Suponha que as corujas comam em média 15 ratos por dia. 
{ A equação diferencial que descreve a polulação de ratos é
4505.0 −= p
dt
dp
	Introdução
	Classificação de equações diferenciais
	Equações diferenciais ordinárias
	Equações diferenciais parciais
	Sistema de equações diferenciais
	Ordem de equações diferenciais
	Equações diferenciais lineares e não lineares
	Solução de equações diferenciais
	Campos de direções
	Exemplo 1: Queda livre (1 de 2)
	Exemplo 1: Campos de direção (2 de 2)
	Soluções de equilíbrio
	Exemplo 2: Análise gráfica 
	Exemplo 3: �Análise gráfica de uma eq. não linerar
	Exemplo 5: Ratos e Corujas