Equacoes Diferenciais Topico 2

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Equações Diferenciais – Tópico 2
• EDO linear de primeira ordem
• Exemplos deste método
• Método dos fatores integrantes
EDO linear de primeira ordem
{ Uma equação diferencial ordinária linear de primeira ordem
tem a seguinte forma geral:
onde f é linear em y. 
),( ytf
dt
dy =
)()( tgytp
dt
dy =+
bayy +−=′
{ Exemplos incluem equações com coeficientes constantes
como visto anteriormente,
ou equações com coeficientes variáveis:
Caso de coeficientes constantes
{ Para uma equação linear de primeira ordem com 
coeficientes constantes
Cat ekkeaby
Ctaaby
dta
aby
dy
a
aby
dtdy
±=+=
+−=−
−=−
−=−
−
∫∫
,/
/ln
/
/
/
,bay
dt
dy +−=
podemos utilizar diretamente o procedimento de 
integração:
Caso dos coeficientes variáveis: 
Método dos fatores integrantes
{ Vamos considerar agora uma EDO linear de primeira ordem
com coeficientes variáveis:
{ O método dos fatores integrantes envolve multiplicar esta
equação por uma função μ(t), de tal forma que a equação
resultante seja fácil de integrar.
)()( tgytp
dt
dy =+
Exemplo 1: Fator integrante (1 de 2)
2/2 teyy =+′
[ ] y
dt
td
dt
dytyt
dt
d )()()( μμμ +=
tettt
dt
d 2)()(2)( =⇒=′= μμμμ
)()(2)( 2/ teyt
dt
dyt t μμμ =+
{ Considere a seguinte equação:
{ Multiplicando ambos os lados μ(t), obtemos
{ Nós vamos escolher μ(t) de tal forma que o lado esquerdo é
derivada de uma quantidade conhecida. Assim, lembrando
da regra do produto temos:
{ Escolhemos μ(t) tal que
Exemplo 1: Solução geral (2 de 2)
{ Com μ(t) = e2t, resolvemos a equação original como segue:
[ ]
tt
tt
tt
ttt
t
t
Ceey
Ceye
eye
dt
d
eye
dt
dye
etyt
dt
dyt
eyy
22/
2/52
2/52
2/522
2/
2/
5
2
5
2
2
)()(2)(
2
−+=
+=
=
=+
=+
=+′
μμμ
Método dos fatores integrantes: 
Variável do lado direito
{ Em geral, para uma variável do lado direito g(t), a solução
pode ser determinada como segue:
[ ]
( ) atatat
atat
atat
atatat
Cedttgeety
dttgeye
tgeye
dt
d
tgeyae
dt
dye
tgtyta
dt
dyt
tgayy
−− +=
=
=
=+
=+
=+′
∫
∫
)(
)(
)(
)(
)()()()(
)(
μμμ
Exemplo 2: Solução geral (1 de 2)
tyy −=+′ 5
5
1
5/5/5/ )5()( tttatatat CedtteeCedttgeey −−−− +−=+= ∫∫
[ ]
5/5/
5/5/5/
5/5/5/
550
5525
5)5(
tt
ttt
ttt
tee
dtetee
dttedtedtte
−=
−−=
−=−
∫
∫∫∫
( ) 5/5/5/5/5/ 550550 ttttt CetCeteeey −−− +−=+−=
{ Nós podemos resolver a equação a seguir
usando o procedimento descrito no slide anterior:
{ Assim
{ Integrando por partes,
Exemplo 2: Solução gráfica (2 de 2)
{ O gráfico a esquerda mostra o campo de direções
juntamente com várias soluções. 
{ O gráfico a direita mostra várias soluções, e uma solução
particular em vermelho cuja condição inicial é y(0) = 50.
5/550)(5
5
1 tCettytyy −+−=⇒−+−=′
Método dos fatores integrantes para
uma EDO linear de primeira ordem geral
)()( tgytpy =+′
[ ] yttp
dt
dytyt
dt
dytyt
dt
d )()()()(')()( μμμμμ +=+=
)()()()()( ttgyttp
dt
dyt μμμ =+
{ Multiplicando ambos os lados por μ(t), obtemos
{ Queremos μ(t) tal que μ'(t) = p(t)μ(t), pois assim
{ Agora, consideraremos o caso geral de uma EDO linear 
de primeira ordem
Fator integrante para
Equações lineares de primeira ordem gerais
ktdtpttdtp
t
td +=⇒= ∫∫∫ )()(ln)()( )( μμμ
,)( )( tdtpet ∫=μ
{ Escolhendo k = 0, obtemos
e note que μ(t) > 0 como desejado.
{ Assim nós queremos escolher μ(t) tal que μ'(t) = p(t)μ(t). 
Assumindo μ(t) > 0, segue que
tdtpettgtyttp
dt
dyt
tgytpy
∫==+
=+′
)()( onde ),()()()()(
)()(
μμμμ
[ ]
tdtpetnde
t
cdttgt
ty
cdttgtyt
tgtyt
dt
d
∫=+=
+=
=
∫
∫
)()( o,
)(
)()(
)(
)()()(
)()()(
μμ
μ
μμ
μμ
{ Então,
Solução para
Equações lineares de primeira ordem gerais
{ Assim, nós temos o seguinte:
Exemplo 3: Solução geral (1 de 3)
( ) ,21,52 2 ==−′ ytyyt
0 p,52 ≠=−′ taraty
t
y
222
2
2
ln551
51
)(
)()(
CtttCdt
t
t
t
Ctdt
t
t
Cdttgt
y +=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +=
+
=+= ∫∫∫ μ
μ
2
1lnln2
2
)( 1)( 2
t
eeeet tt
dt
tdttp ===∫=∫= ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
−−μ
{ Para resolver o problema de valores iniciais (PVI)
colocamos a equação na forma padrão:
{ Então
e portanto
Exemplo 3: Solução particular (2 de 3)
{ Usando a condição inicial y(1) = 2 e a solução geral
segue que
ou equivalentemente,
22 2ln52)1( tttyCy +=⇒==
,ln5 22 Cttty +=
( )5/2ln5 2 += tty
Exemplo 3: Gráficos das soluções (3 de 3)
{ Os gráficos abaixo mostram várias curvas integrais (soluções) 
para a equação diferencial, e uma solução específica (em
vermelho) cujo a gráfico contem o ponto inicial (1,2).
( )
22
22
2
2ln5 :específica Solução
ln5 :geral Solução
21,52 :PVI
ttty
Cttty
ytyyt
+=
+=
==−′
	EDO linear de primeira ordem
	Caso de coeficientes constantes
	Caso dos coeficientes variáveis: �Método dos fatores integrantes
	Exemplo 1: Fator integrante (1 de 2)
	Exemplo 1: Solução geral (2 de 2)
	Método dos fatores integrantes: �Variável do lado direito
	Exemplo 2: Solução geral (1 de 2)
	Exemplo 2: Solução gráfica (2 de 2)
	Método dos fatores integrantes para�uma EDO linear de primeira ordem geral
	Fator integrante para �Equações lineares de primeira ordem gerais
	Exemplo 3: Solução geral (1 de 3)
	Exemplo 3: Solução particular (2 de 3)
	Exemplo 3: Gráficos das soluções (3 de 3)