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Capítulo 12

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Capítulo 12
ESCOAMENTO 
COMPRESSÍVEL
2
Imagem colorida Schlieren de alta velocidade do estouro de um balão de brinquedo
cheio com ar comprimido. Esta exposição de 1 microssegundo captura a pele balão
quebrado e revela a bolha de ar comprimido dentro começando a se expandir . A
explosão de balão também dirige uma fraca onda de choque esférico, visível aqui
como um círculo em torno do balão. A silhueta da mão do fotógrafo na válvula de ar
pode ser visto à direita centro.
3
Objetivos
• Apreciar as consequências da 
compressibilidade no escoamento de gás
• Entender o por que um bico deve ter uma 
seção divergente para acelerar um gás a 
velocidades supersônicas
• Prever a ocorrência de choques e calcular 
alterações de propriedade através de uma 
onda de choque
• Compreender os efeitos do atrito e da 
transferência de calor, em escoamentos 
compressíveis
4
12–1 ■ PROPRIEDADES DE ESTAGNAÇÃO
motores de aeronaves e jatos envolvem 
altas velocidades, e, assim, o termo 
energia cinética deve ser sempre 
considerada quando se analisa.
Entalpia de estagnação
Entalpia estática: a entalpia h
Steady flow of a fluid through an 
adiabatic duct.
Balanço de energia (sem troca de calor ou 
trabalho, nenhuma mudança na energia potencial) 
5
Se o fluido foi levado a uma parada brusca, o balanço de energia torna-se
Entalpia de estagnação: A entalpia de um fluido 
quando ele é parado adiabaticamente.
Durante um processo de 
estagnação, a energia 
cinética de um fluido é 
convertido em entalpia, o que 
resulta em um aumento na 
temperatura e pressão do 
fluido.
As propriedades de um 
fluido no estado estagnação 
são chamados propriedades 
de estagnação (emperatura
de estagnação, pressão de 
estagnação, densidade de 
estagnação, etc.). 
O estado de estagnação é 
indicado pelo índice 0.
A energia cinética é convertida em entalpia 
durante um processo de estagnação.
6
O estado atual, estado de 
estagnação real e estado de 
estagnação isentropico de um 
fluido em um diagrama h-s.
Estado de estagnação isentrópico: Quando
o processo de estagnação é reversível, bem
como adiabática (isto é, isentrópica).
Os processos de estagnação são muitas
vezes aproximadas para ser isentrópicos, e
as propriedades de estagnação isentrópicas
são simplesmente referido como
propriedades de estagnação.
Quando o fluido é aproximada como um gás
ideal com calores específicos constantes
Temperatura de estagnação T0 : Ela 
representa a temperatura de um gás 
ideal atinge quando é colocado em 
repouso adiabaticamente .
Temperatura dinâmica: V2/2cp :
corresponde ao aumento de temperatura 
durante um tal processo.
7
Pressão de estagnação P0 :A pressão 
de um fluido alcança quando colocado 
em repouso isentropicamente.
Densidade de estagnação 0
Quando são utilizados entalpia de
estagnação, o balanço de energia para
um dispositivo com escoamento
permanente.
Quando o fluido é aproximado como um gás 
ideal com calores específicos constantes
A temperatura de um gás ideal 
que flui a uma velocidade V 
sobe por V2/2cp quando é 
parado bruscamente.
8
9
10
12–2 ■ ESCOAMENTO ISOENTRÓPICO 
UNIDIMENSIONAL
Durante o escoamento de um fluido através de diversos dispositivos, 
tais como bicos, difusores, e passagens de lâmina de turbina, as 
variações do escoamento ocorrem principalmente em apenas na 
direção do escoamento, e o escoamento pode ser aproximado como 
escoamento isentrópico unidimensional com boa precisão.
Velocidade do som
Para um 
gás ideal
número de 
Mach
k a razão de calor específico do gás
R constante dos gases
11
12
13
14
Note-se que com a diminuição da pressão, a temperatura e a 
velocidade do som diminuem enquanto que a velocidade do 
fluído e o numero de Mach aumentam na direção do escoamento.
A densidade diminui lentamente no início e rapidamente mais 
tarde, com o aumento da velocidade do fluido.
15
Variação das propriedades de um fluido normalizado e a área da 
seção transversal ao longo de um conduto com a pressão 
caindo de 1400 para 200 kPa.
16
A seção transversal de um bocal na 
área de menor escoamento é 
chamada de garganta.
Notamos a partir do Exemplo que a área do
escoamento diminui com a diminuição da
pressão até um valor de pressão crítica (Ma =
1), e, em seguida, começa a aumentar com
mais reduções na pressão. O número de
Mach é a unidade no local da menor área do
escoamento, chamada garganta.
A velocidade do fluido continua aumentando
após a passagem da garganta, embora a área
do escoamento aumenta rapidamente daquela
região.
Este aumento de velocidade ocorre na
garganta, devido à rápida redução na
densidade do fluido.
A área do escoamento no conduto
considerado neste exemplo primeiro diminui e
depois aumenta. Este conduto é conhecido
como bocais convergente-divergente.
Esses bocais são utilizados para acelerar os
gases para velocidades supersónicas e não
devem ser confundidos com Venturi, que são
usados estritamente em escoamentos
incompressíveis.
17
Variação da Velocidade do Fluído
com a Area do Escoamento
Nesta seção, a relação para a variação
das razões entre as propridades estáticas
e de estagnação com o número de Mach 
para a pressão, a temperatura e a 
densidade são fornecidas.
Derivação da forma diferencial da 
equação de energia para o escoamento 
isoentrópico permanente.
Esta relação descreve a variação da 
pressão com a área do escoamento.
Nas velocidades subsônicas, a pressão 
diminui na em dutos convergentes (bocais 
subsônicos) e aumenta em dutos 
divergentes (difusores subsônicas).
Nas velocidades supersônicas, a pressão 
diminui em dutos divergentes (bocal 
supersônicos) e aumenta em dutos 
convergentes (difusores supersônicas) 
18
Não podemos obter velocidades 
supersónicas, anexando uma seção 
convergente a um bocal convergente. 
Ao fazer isso só vai passar a seção 
transversal sonora mais a jusante e 
diminuir a vazão mássica.
Esta equação governa a forma de um bocal 
ou um difusor de escoamento isoentrópico 
subsónico ou supersónico
A forma adequada de um bocal depende da 
velocidade mais elevada desejada em 
relação à velocidade do som.
Para acelerar um fluído, devemos usar um 
bocal convergente em velocidades 
subsônicas e um bocal divergente em 
velocidades supersônicas. 
Para acelerar um fluido a velocidades 
supersónicas, devemos usar um bocal 
convergente-divergente.
19
Variação de propriedades de fluxo em bocais e difusores 
subsônicas e supersônicas.
20
Relações de Propriedades para Escoamento Isoentrópico
de Gases Ideais
Razões
criticas
(Ma=1)
Quando Mat = 1, as propriedades na 
garganta do bocal tornam as propriedades 
críticas .
As relações entre as propriedades 
estáticas e propriedades de 
estagnação de um gás ideal com 
calores específicos constantes
21
22
1
12–3 ■ ESCOAMENTO ISOENTRÓPICO ATRAVÉS DE BOCAIS
Os bocais convergentes ou covergentes-
divergentes encontram-se em muitas
aplicaçãoes de engenharia, incluindo as
turbinas a vapor e a gás, nos aviões e em
sistemas de propulsão de foguetes.
Nesta seção são considerados os
efeitos da contra pressão (a pressão
aplicada na região do bocal) sobre a
velocidade de saída, a vazão mássica e a
distrinuição de pressão ao longo do bocal.
Bocal Convergente
O efeito da contra pressão sobre a 
distribuição de pressão ao longo 
de um bocal convergente.
A vazão mássica através de uma bocal
convergente
Máxima vazão mássica
2
O efeito da contra pressão Pb na vazão 
mássica e na pressão de saída Pe de 
um bocal convergente.
A variação da vazão mássica através de 
um bocal com propriedades de estagnação 
de entrada.
3
Diversas razões 
de propriedades 
para escoamentoisoentrópico 
através de bocais 
e difusores são 
listadas na Table 
A–13 for k = 1.4.
Ma* é a relação 
entre a velocidade 
local e a velocidade 
do som na garganta.
Ma é a relação entre 
a velocidade local e 
a velocidade do som 
local.
4
5
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9
Bocais Convergente-Divergente
A velocidade mais elevada num bocal convergente é limitada à velocidade sónica 
(Ma = 1), que ocorre no plano de saída (garganta) do bocal. 
Acelerar um fluido a velocidades supersónicas (Ma > 1) pode ser atingida apenas 
pela agregação de uma seção de escoamento divergente ao bocal subsônico na 
garganta (um bocal convergente-divergente), que é equipamento padrão em aviões 
supersônicos e propulsão de foguetes.
Bocais convergente-divergente são comumente 
usados em motores de foguete para fornecer alta 
pressão.
Os efeitos da contra pressão sobre 
o escoamento através de um bocal 
convergente-divergente.
Quando Pb = P0 (case A), não haverá
escoamento através do bocal.
1. Quando P0 > Pb > PC, o escoamento
permanece subsônico em todo o bocal e
o escoamento de massaé menor do que
aquele do escoamento bloqueado. A
velocidade do fluído aumenta na
primeira seção (convergente) e atinge o
máximo na garganta (mas Ma < 1).
Entretanto, a maior parte do ganho de
velocidade se perde na segunda seção
(divergente) do bocal que age como
difusor. A pressão diminui na seção
convergente, atinge um mínimo na
garganta e aumenta ás custas da
velocidade na seção divergente.
10
11
2. Quando Pb = PC, a pressão da
garganta torna-se P* e o fluído atinge a
velocidade sônica na garganta. Mas a
seção divergente do bocal ainda age
como um difusor, diminuindo a velocidade
até a velocidade subsônica. A vazão
mássica que aumentava com a
diminiução de Pb atinge seu valor
máximo.
3. Quando PC > Pb > PE, o fluído que
atingiu uma velocidade sônica na
garganta continua acelerando até a
velocidade supersônica na seção
divergente a medida que a pressão
diminui. Entretanto, essa aceleração para
repentinamente à medida que um choque
normal se forma em uma seção entre a
garganta e o plano de saída, causando
uma queda repentina da velocidade atá
níveis subsônicos e um aumento
repentino da. Em seguida, o fluído
continua desacelerando ainda mais na
parte restante do bocal convergente-
divergente.
12
4. Quando PE > Pb > 0, o escoamento
na seção divergente é supersônico e o
fluído se expande até PF na saída do
bocal sem a formação de choque
normal dentro do bocal. Assim, o
escoamento através do bocal pode ser
aproximado como isoentrópico.
Quando Pb = PF, nenhum choque
ocorre dentro ou fora do bocal.
Quando Pb < PF, ondas irreversíveis de
mistura e expansão ocorrem a jusante
do plano de saída do bocal.
Quando Pb > PF, porém, a pressão do
fluído aumenta de PF para Pb de forma
irreversível na esteira da saída do
bocal, criando o que se chama de
choques oblíquos.
13
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15
1
12–4 ■ ONDAS DE CHOQUE E ONDAS DE EXPANSÃO
Para alguns valores da contrapressão, as variações bruscas nas propriedades do
fluido ocorrer em uma secção muito fina de um bocal convergente-divergente sob
condições de escoamento supersónico, criando uma onda de choque.
É interessante estudar as condições em que as ondas de choque se desenvolvem
e como eles afetam o escoamento.
Choque Normal
Ondas de Choque Normal: As
ondas de choque que ocorrem em
um plano perpendicular à direção
do escoamento. O processo de
escoamento por meio da onda de
choque é altamente irreversível.
Imagem Schlieren de um choque normal em
um bocal de Laval. O número de Mach no
bocal logo a montante (lado esquerdo) da
onda de choque é de cerca de 1,3. A
camadas limite distorcer a forma do choque
normal, junto as paredes e leva a separação
do escoamento abaixo do choque.
2
Volume de controle do 
escoamento através de uma 
onda de choque normal.
Conservação da massa
Conservação da energia
Quantidade de movimento
Aumento de entropia
Linha de Fanno: Combinando a 
conservação da massa e energia em uma 
única equação e traçando um diagrama h-
s diagram obtem-se uma curva. É o locus 
de estados que têm o mesmo valor de 
entalpia de estagnação e de fluxo de 
massa. 
Linha de Rayleigh: Combinando a 
conservação da massa e a equação de 
momento em uma única equação e 
traçando um diagrama h-s obtem-se uma 
curva O diagrama h- s para o escoamento através de um choque normal.
3
Variação de propriedades 
do escoamento através de 
um choque normal em um 
gás ideal.
As relações entre várias propriedades antes e após o 
choque de um gás ideal com calores específicos constantes.
Várias proporções das propriedades 
do escoamento em todo o choque 
estão listados na Table A–14.
Isto representa as intersecções 
das linhas Fanno e Rayleigh.
4
A imagem Schlieren da onda de choque ( 
expansão de choque normais esférica ) produzida 
pela explosão de um fogo de artifício explodiu 
dentro de uma lata de metal que estava sentado 
num banco . O choque expandida radialmente 
para fora em todas as direções a uma velocidade 
supersónica que diminuiu com o raio a partir do 
centro da explosão . O microfone na parte inferior 
direita sentiu a mudança súbita na pressão da 
onda de choque passagem e provocou a flashlamp 
microssegundo que expôs a fotografia.
A entrada de ar de um jato 
supersônico é concebido de tal 
modo que uma onda de 
choque na entrada desacelera 
o ar a velocidades subsônicas, 
aumentando a pressão e a 
temperatura do ar antes de 
entrar no motor.
5
Mudança de entropia através do choque 
normal.
Uma vez que o escoamento
através do choque é adiabática e
irreversível , a segunda lei da
termodinâmica requer o aumento
da entropia do outro lado da onda
de choque.
Assim , uma onda de choque não
pode existir para os valores de
Ma1 menor que a unidade, onde
a variação de entropia seria
negativo.
Para os escoamentos adiabática,
ondas de choque podem existir
apenas para escoamento
supersônicos, Ma1 > 1.
6
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10
11
Quando um domador de leões estala seu 
chicote, uma onda de choque esférica fraca 
se forma perto da ponta e se espalha 
radialmente; a pressão no interior da onda de 
choque em expansão é maior do que a 
pressão do ar ambiente, e é isso que causa o 
estalo quando a onda de choque atinge a 
orelha do leão.
Exemplo 12–8 Ilustra que a pressão de estagnação e a diminuição da velocidade, 
enquanto a pressão, temperatura, densidade, e o aumento da entropia estática entre o 
choque .
O aumento da temperatura do fluido a 
jusante de uma onda de choque é de 
grande preocupação para o engenheiro 
aeroespacial porque cria problemas de 
transferência de calor sobre os bordos de 
ataque das asas e cones de ogiva de 
veículos de reentrada espaciais e os aviões 
espaciais hipersônicos recentemente 
propostos.
Superaquecimento levou à trágica do ônibus 
espacial Columbia em Fevereiro de 2003 
durante a reentrada na atmosfera da Terra.
12
Choque Oblíquo
Quando o ônibus espacial viaja a velocidades supersônicas através da 
atmosfera, produz um padrão de choque complicado que consiste em ondas de 
choque inclinadas chamada de choque oblíquo. 
Algumas partes de um choque oblíquo são curvas, enquanto outras partes são 
retas 
Imagem Schlieren de 
um pequeno modelo do 
ônibus espacial Orbiter 
sendo testado a Mach 3 
no túnel de vento 
supersônico do Penn 
State Gas Dynamics 
Lab. Vários choques 
oblíquos são vistos no 
ar que envolve a sonda.
13
Um choque oblíquo angulo de 
choque  formado por uma cunha 
delgada e bidimensional de 
semiângulo . O escoamento é 
girado com o angulo de deflexão 
a jusante do choque e o número de 
Mach diminui.
Os vetores de velocidade através deum 
choque oblíquo com ângulo de choque  e 
ângulo de deflexão .
Ao contrário de choques normais , em 
que o número Mach jusante é sempre 
subsônico, Ma2 a jusante de um choque 
oblíquo pode ser subsónicas , sónico ou 
supersónico , dependendo do número 
de Mach a montante Ma1 e o ângulo de 
deflexão.
14
Os mesmos vetores de velocidade 
da Fig. 12–35, mas rotados com o
ângulo /2–, para que o choque 
oblíquo seja vertical. Os números
de Mach normais Ma1,n e Ma2,n
também são definidos.
Relações em um choque oblíquo para um gás 
ideal em termos da componente normal do 
número de Mach a montante Ma1,n.
Todas as equações, tabelas de choque, etc, para 
aplicar choques normais de choques oblíquos, bem 
como, desde que se utilize apenas as components 
normais do número de Mach.
15
16
A dependência do ângulo de deflexão de choque oblíqua reto  sobre o ângulo de
choque  para vários valores de número Mach a montante Ma1. Os cálculos são para
um gás ideal com k = 1.4. A linha vermelha tracejada conecta os pontos de ângulo de
deflexão máxima ( =  max). Os choques oblíquos fracos estão à esquerda dessa
linha, enquanto os choques oblíquos fortes estão à direita dessa linha. A linha verde
tracejada conecta pontos onde o número Mach á jusante é sônico (Ma2 = 1). O
escoamento supersônico à jusante (Ma2 > 1) está à esquerda dessa linha, enquanto o
escoamento subsônico à jusante (Ma2 < 1) está à direita desta linha.
17
Um choque oblíque separado ocorre a
montante de uma cunha bidimensional de
semiângulo  quando  é maior do que o
ângulo de deflexão máximo possível . Um
choque deste tipo é chamado onda de proa por
causa de sua semelhança com a onda de água
que se forma na proa de um navio.
Quadros fixos de video Schlieren ilustrando a
separação de um choque oblíquo de um cone
com o aumento do semiângulo do cone  no ar
a Mach 3. A (a)  =20 e (b)  =40, o choque
oblíquas permanece colado, mas (c)  =60,
o choque oblíquo se separou, formando uma
onda de proa.
Mach angle
18
O gráfico de sombras de uma
esfera de ½ polegada de
diâmetro em voo livre através do
ar a Ma = 1.53. O escoamento é
subsônico atrás da parte da onda
de proa que está à frente da
esfera e sobre a superfície de
volta a cerca de 45. A cerca de
90 a camada limite laminar se
separa através de uma onda de
choque oblíqua e torna-se
rapidamente turbulenta. A esteira
flutuante gera um sistema de
perturbações fracas que se
combinam na segunda onda de
choque de “recompressão”.
19
Ondas de Expansão de Prandtl–Meyer
Agora vamos tratar situações em que o escoamento supersónico é girado na direção 
oposta, como na parte superior de uma cunha bidimensional com um ângulo de ataque 
superior ao seu semiângulo .
Chamamos este tipo de escoamento de escoamento de expanção, considerando que 
um escoamento produza um choque oblíquo este escoamento pode ser chamado de
escoamento de compressão. 
Como anteriormente, o escoamento muda de direção para conservar a massa . No 
entanto, ao contrário de um escoamento de compressão, um escoamento de expansão não 
resulta em uma onda de choque. 
Em vez disso, uma região de expansão contínua chamado leque de expansão aparece, 
composto por um número infinito de ondas de Mach chamadas Prandtl–Meyer expansion 
waves. 
Um leque de expansão na parte superior do
escoamento formado por uma cunha
bidimensional, com o ângulo de ataque de um
escoamento supersônico. O escoamento é
girado com o ângulo  e o número de Mach
aumenta através do leque de expansão. Os
ângulo de Mach a montante e a jusante do leque
de expansão são indicados. Apenas três ondas
de expansão são mostradas por questões de
simplicidade mas, na verdade, existe um número
infinito delas. (Um choque oblíquo está presente
na parte inferior desse escoamento).
20
(a) Um cilindro cônico de semiângulo de12.5 em um escoamento com número
de Mach de 1.84. A camada limite torna-se turbulento logo a jusante do nariz,
gerando ondas de Mach que são visíveis neste gráfico por sombras. Ondas de
expansão são vistos nos cantos e no bordo de fuga do cone. (b) Um padrão
similar para escoamento de Mach 3 em uma cunha 2-D de 11°.
Função de Prandtl–Meyer
21
As interações complexas 
entre ondas de choque e 
ondas de expansão em um 
jato supersônico 
“superexpandido”. (a) O 
escoamento é visualizado 
por um interferograma 
diferencial do tipo 
Schlieren. (b) Imagem
Shlieren. (c) Configuração 
de choque de “rabo de 
tigre”.
22
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26
27
1
12–5 ■ ESCOAMENTO EM DUTO COM TRANSFERÊNCIA DE
CALOR E ATRITO DESPREZÍVEL (ESCOAMENTO DE RAYLEIGH).
Muitos problemas de escoamentos 
compressíveis práticos envolvem 
combustão, que pode ser modelado como o 
ganho de calor através da parede do 
conduto .
Até agora, temos limitado a nossa 
consideração, principalmente, 
escoamento isentrópico (sem 
transferência de calor e sem 
irreversibilidades tais como atrito). 
Muitos problemas de escoamentos 
compressíveis encontrados na prática 
envolvem reações químicas, tais como 
a combustão, reações nucleares, 
evaporação e de condensação, assim 
como o ganho de calor ou a perda de 
calor através da parede do duto.
Tais problemas são difíceis de analisar 
exatamente, uma vez que pode 
envolver mudanças significativas na 
composição química durante o 
escoamento, e a conversão de latente, 
químicos e energias nucleares para a 
energia térmica.
Um modelo simplificado é o fluxo de 
Rayleigh.
Escoamento Rayleigh: Escoamento 
unidimensional permanente de um gás 
ideal com calores específicos constantes 
através de um duto com uma área 
constante e transferência de calor , mas 
com atrito desprezível.
2
Equação da continuidade
Equação de 
momento em x
Equação da 
energia
Variação da 
entropia
Equação de 
estado
Volume de controle para o escoamento 
em um duto com área constante com 
transferência de calor e atrito desprezado.
Considerar um gás com propriedades conhecidas R, k, e cp. Para um 
estado de entrada especificado 1, as propriedades na entrada P1, T1, 1, V1, e s1 são conhecidas. As cinco propriedades de saída P2, T2, 2, 
V2, e s2 pode ser determinada a partir das equações acima para 
qualquer valor de transferência de calor q.
3
Diagrama T-s para o escoamento em um 
duto de área constante, com transferência de 
calor e atrito desprezível (escoamento
Rayleigh). 
1. Todos os estados que satisfazem 
a equações de conservação da 
massa , momento e energia, bem 
como as relações de propriedade 
estão na linha de Rayleigh .
2. A entropia aumenta com o ganho 
de calor e, portanto, procede-se à 
direita na linha de Rayleigh como 
o calor é transferido para o fluido.
3. O aquecimento aumenta o 
número Mach do escoamento 
subsónico, mas diminui para o 
escoamento supersônico .
4. O aquecimento aumenta a 
temperatura de estagnação T0
para ambos os escoamentos, 
subsônicas e supersônicas, e o 
resfriamento diminui.
5. A velocidade e a pressão estática 
têm tendências opostas.
6. A densidade e a velocidade são 
inversamente proporcionais.
7. A variação de entropia que 
corresponde a uma mudança de 
temperatura especificada (e, assim, 
uma determinada quantidade de 
transferência de calor ) é maior no 
escoamento supersônico .
A partir da linha de Rayleigh e das equações.
4
Durante o aquecimento, a 
temperatura do fluido aumenta 
sempre se o escoamento de 
Rayleigh é supersônico, mas a 
temperatura pode cair na verdade , 
se o escoamento for subsônico .
Aquecimento ou resfriamento tem efeitos opostos 
sobre a maioria das propriedades. Além disso, a 
pressão de estagnação diminui durante o 
aquecimento e durante o resfriamento aumenta, 
independentemente do escoamento ser 
supersônicoou subsônico. 
5
6
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9
O aquecimento aumenta a 
velocidade do escoamento 
no escoamento subsônico, 
mas a diminui no 
escoamento supersônico .
10
Relações de Propriedades para o escoamento de Rayleigh
Os resultados representativos são apresentados naTabela A–15.
Para um determinado estado de entrada, a transferência 
máxima possível de calor ocorre quando as condições 
sonoras são alcançados no estado de saída.
O fluido no estado crítico (Ma =1) não pode ser 
acelerado para velocidades supersônicas no 
aquecimento. Portanto, o escoamento é 
bloqueado. Para um dado estado de entrada, o 
estado crítico correspondente fixa a tranferência 
de calor máxima possível para o escoamento 
permanente.
Escoamento Bloqueado de Rayleigh
11
Resumo das relações do escoamento de Rayleigh.
12
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14
15
12–6 ■ ESCOAMENTO ADIABÁTICO EM UM 
DUTO COM ATRITO (ESCOAMENTO DE FANNO)
O atrito na parede associada com ao escoamento de alta velocidade
por meio de dispositivos curtos com grandes áreas de seção
transversal, tais como bocais de grandes, quase sempre é desprezível,
e o escoamento através de tais dispositivos podem ser aproximado
como sendo sem atrito.
Mas o atrito na parede é importante e deve ser considerado quando se
estudam os escoamentos através das seções de escoamentos longos,
tais como dutos longos, especialmente quando a área de seção
transversal é pequena.
Nesta seção consideramos o escoamento compressível com o atrito na
parede significativo, mas a transferência de calor desprezível em dutos
de área transversal constante.
Considere o escoamento adiabático unidimensional permanente de um
gás ideal com calores específicos constantes através de um duto de
área constante com efeitos de atrito significativos. Esse escoamento é
conhecido como escoamento de Fanno.
16
O volume de controle do escoamento 
em um duto adiabático de seção 
constante com atrito.
Para um gás ideal
 
Equação da continuidade
Equação de 
momento em x
Equação da 
energia
Variação da 
entropia
Equação de 
estado
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Considerar um gás com propriedades conhecidas R, k, e cp. Para um 
estado de entrada especificado 1 as propriedades na entrada P1, T1, 1, V1, e s1 são conhecidas. As cinco propriedades de saída P2, T2, 2, 
V2, e s2 pode ser determinada a partir das equações acima para 
qualquer valor da força de atrito Ffriction.
Diagrama T-s para um 
escoamento adiabático com 
atrito em um duto de área 
constante (escoamento de 
Fanno). Valores numéricos para 
ar com k = 1,4 e condições de 
entrada para T1 = 500 K, P1 = 
600 kPa, V1 = 80 m/s, e um 
valor atribuído s1 = 0.
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1. Todos os estados que satisfazem as equações de conservação da 
massa, momento e energia, bem como as relações de propriedade 
estão na linha Fanno.
2. O atrito provoca o aumento da entropia e, portanto, o processo sempre 
procede à direita ao longo da linha Fanno. No ponto de entropia 
máxima, o número de Mach é igual a 1. Todos os estados da parte 
superior da linha Fanno são subsônico, e todos os estados na parte 
inferior são supersônica.
3. O atrito aumenta o número Mach para o escoamento de Fanno
subsônico, mas diminui para o escoamento de Fanno supersônico.
4. O balanço energético exige que temperatura de estagnação 
permanecem constantes durante o escoamento de Fanno. Mas a 
temperatura real pode mudar. A velocidade aumenta e, portanto, a 
temperatura diminui durante o escoamento subsônico, mas o oposto 
ocorre durante o escoamento supersônico.
5. A equação de continuidade indica que a densidade e a velocidade são 
inversamente proporcionais. Portanto, o efeito do atrito diminui a 
densidade no escoamento subsônico (uma vez que a velocidade e o 
número de Mach aumentam), mas aumenta no escoamento 
supersônico (uma vez que a velocidade e número de Mach diminuem). 
.
A partir da linha de Fanno e das equações
19
O atrito faz com que o 
número de Mach aumente e 
a temperatura diminua no 
escoamento de Fanno
subsônico, mas faz o oposto 
no escoamento de Fanno
supersônica.
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Relações de 
Propriedades para o 
escoamento de Fanno
Volume de controle 
diferencial para um 
escoamento adiabático 
em um duto de área 
constante com o atrito.
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Resumo das relações do escoamento de Fanno.
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Escoamento de Fanno Bloqueado
Se o comprimento do duto L é 
maior do que L*, o escoamento de 
Fanno supersônico é sempre 
sonoro na saída do duto. A 
extensão do duto apenas moverá o 
local do choque normal, mais a 
montante .
O atrito faz com que o 
escoamento de Fanno subsônico 
em um duto de área constante se 
acelere na direção da velocidade 
sônica, e o número de Mach
torna-se exatamente a unidade 
na saída para um determinado 
comprimento do duto.
Este comprimento do duto é 
conhecido com comprimento
máximo, e comprimento
sônico, ou comprimento crítico, 
e é indicado por L*.
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• Stagnation properties
• One-dimensional isentropic flow
 Variation of fluid velocity with flow area
 Property relations for isentropic flow of ideal gases
• Isentropic flow through nozzles
 Converging nozzles
 Converging–diverging nozzles
• Shock waves and expansion waves
 Normal shocks 
 Oblique shocks
 Prandtl–Meyer expansion waves
• Duct flow with heat transfer and negligible friction (Rayleigh flow)
 Property relations for Rayleigh flow
 Choked Rayleigh flow
• Adiabatic duct flow with friction (Fanno flow)
 Property relations for Fanno flow
 Choked Fanno flow
Summary
	Aula 4_1 MecFlu_II
	Aula 4_2 MecFlu_II
	Aula 4_3 MecFlu_II
	Aula 4_4 MecFlu_II

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