Método das forças

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28/02/2014
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Goiânia - 2014
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
Disciplina: TEORIA DAS ESTRUTURAS
Tópico: MÉTODO DAS FORÇAS
Professor: Elias Rodrigues Liah, Engº Civil, M.Sc.
MÉTODO DAS FORÇAS
� O Método das Forças, na solução de uma estrutura 
hiperestática, considera os grupos de condições a serem 
atendidas pelo modelo estrutural na seguinte ordem:
� 1° Condições de equilíbrio;
� 2° Condições sobre o comportamento dos materiais (leis 
constitutivas);
� 3° Condições de compatibilidade.
� Na prática, entretanto, a metodologia utilizada pelo 
Método das Forças para analisar uma estrutura 
hiperestática é:
� Somar uma série de soluções básicas que satisfazem as 
condições de equilíbrio, mas não satisfazem as 
condições de compatibilidade da estrutura original, 
para na superposição restabelecer as condições 
de compatibilidade.
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MÉTODO DAS FORÇAS
� A estrutura utilizada para a superposição de 
soluções básicas é, em geral, uma estrutura 
isostática auxiliar obtida a partir da 
estrutura original pela eliminação de 
vínculos. 
� Essa estrutura isostática é chamada Sistema 
Principal (SP). 
� As forças ou os momentos associados aos 
vínculos liberados são as incógnitas do 
problema e são denominados hiperestáticos.
� Para facilitar o entendimento do método, é feita 
uma presentação com base em um exemplo, que é 
mostrado na Figura 5.1.
MÉTODO DAS FORÇAS
� Metodologia de análise pelo Método das Forças
� A configuração deformada do pórtico da Figura 5.1 é 
mostrada de forma exagerada;
� Todas das barras da estrutura têm os mesmos valores 
para área (A = 5⋅10-3 m2) e momento de inércia (I = 
5⋅10-4 m4) da seção transversal, e para o módulo de 
elasticidade (E = 2⋅108 kN/m2) do material.
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MÉTODO DAS FORÇAS
� Hiperestáticos e Sistema Principal
� Para analisar a estrutura com respeito às condições de 
equilíbrio, são mostradas na Figura 5.2 as cinco componentes 
de reações de apoio da estrutura.
� São três as equações do equilíbrio global da estrutura 
no plano
� ΣFx = 0→somatório de forças na direção horizontal igual a 
zero;
� ΣFy = 0→somatório de forças na direção vertical igual a zero;
� ΣMo = 0→somatório de momentos em relação a um ponto 
qualquer igual a zero.
� Como a estrutura é hiperestática, não é possível determinar 
os valores das reações de apoio da estrutura utilizando 
apenas as três equações de equilíbrio que são disponíveis.
� O número de incógnitas excedentes ao número de 
equações de equilíbrio é definido como:
� g → grau de hiperestaticidade.
� No exemplo, g = 2.
MÉTODO DAS FORÇAS
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MÉTODO DAS FORÇAS
� Conforme mencionado, a solução do problema hiperestático 
pelo Método das Forças é feita pela superposição de 
soluções básicas isostáticas. 
� Para isso cria-se uma estrutura isostática auxiliar, 
chamada Sistema Principal (SP), que é obtida da 
estrutura original hiperestática pela eliminação de vínculos. 
� O SP adotado no exemplo da Figura 5.1 é a estrutura 
isostática mostrada na Figura 5.3.
MÉTODO DAS FORÇAS
� Observa-se na Figura 5.3 que foram eliminados dois 
vínculos externos da estrutura original: a imposição de 
rotação θA nula do apoio da esquerda e a imposição de 
deslocamento horizontal ∆HB nulo do apoio da direita. 
� O número de vínculos que devem ser eliminados para 
transformar as estrutura hiperestática original em uma 
estrutura isostática é igual ao grau de hiperestaticidade, g.
� A escolha do SP é arbitrária: qualquer estrutura isostática 
escolhida é válida, desde que seja estável estaticamente.
� Os esforços associados aos vínculos eliminados são as reações de 
apoio MA e HB, que estão indicadas na Figura 5.2;
� X1 = MA → reação momento associada ao vínculo de apoio θA = 
0;
� X2 = HB → reação horizontal associada ao vínculo de apoio ∆HB 
= 0.
� Os hiperestáticos do exemplo são mostrados na Figura 5.3 com 
sentidos que foram convencionados como positivos: momento 
positivo no sentido anti-horário e força horizontal 
positiva com sentido da esquerda para a direita.
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MÉTODO DAS FORÇAS
� Restabelecimento das condições de 
compatibilidade
� A solução do problema pelo Método das Forças recai em 
encontrar os valores que X1 e X2 devem ter para, 
juntamente com o carregamento aplicado, recompor os 
vínculos de apoio eliminados;
� Caso (0) – Solicitação externa (carregamento) 
isolada no SP
� O caso básico (0), mostrado na Figura 5.4, isola o efeito 
da solicitação externa (carregamento aplicado) no SP;
� A rotação δ10 e o deslocamento horizontal δ20, nas 
direções dos vínculos eliminados para a criação do SP, 
são chamados de termos de carga. 
� Um termo de carga é definido formalmente como:
� δ0i → termo de carga: deslocamento ou rotação na 
direção do vínculo eliminado associado ao hiperestático 
Xi, quando atua a solicitação externa 
isoladamente no SP (com hiperestáticos com valores 
nulos).
MÉTODO DAS FORÇAS
• O sinal negativo da rotação δ10 indica que a rotação tem o 
sentido contrário do que é considerado para o hiperestático X1 no 
caso (1) a seguir. 
• Analogamente, o sinal positivo de δ20 indica que este 
deslocamento tem o mesmo sentido que é considerado para o 
hiperestático X2 no caso (2) a seguir.
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MÉTODO DAS FORÇAS
� Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP
� A Figura 5.5 mostra a configuração deformada do SP 
no caso (1). 
� Considera-se um valor unitário para X1, sendo o efeito 
de X1 = 1 multiplicado pelo valor final que X1 deverá 
ter. 
� A rotação δ11 e o deslocamento horizontal δ21
provocados por X1 = 1, nas direções dos vínculos 
eliminados para a criação do SP, são chamados de 
coeficientes de flexibilidade. 
� Formalmente, um coeficiente de flexibilidade é 
definido como:
� δij → coeficiente de flexibilidade: deslocamento ou 
rotação na direção do vínculo eliminado associado ao 
hiperestático Xi devido a um valor unitário do 
hiperestático Xj atuando isoladamente no SP.
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MÉTODO DAS FORÇAS
� Caso (2) – Hiperestático X2 isolado no SP
� A Figura 5.6 mostra a configuração deformada do 
SP no caso (2). 
� De maneira análoga ao caso (1), o hiperestático 
X2 é colocado em evidência, considerando-se um 
valor unitário multiplicado pelo seu valor final. 
� A rotação δ12 e o deslocamento horizontal δ22
provocados por X2 = 1, nas direções dos vínculos 
eliminados para a criação do SP, também são 
coeficientes de flexibilidade.
� As unidades destes coeficientes, por definição, são 
unidades de deslocamento ou rotação divididas 
pela unidade do hiperestático X2.
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MÉTODO DAS FORÇAS
� Restabelecimento das condições de compatibilidade
� A partir dos resultados obtidos nos casos mostrados, 
pode-se utilizar superposição de efeitos para restabelecer 
as condições de compatibilidade violadas na criação do 
SP. Isto é feito a seguir.
� Superposição das rotações do nó inferior esquerdo (nó A):
� δ10 +δ11 . X1 + δ12 . X2 = 0
� Superposição dos deslocamentos horizontais no nó 
inferior direito (nó B):
� δ20 +δ21 . X1 + δ 22 . X2 = 0
� Sistema de equações de compatibilidade:
MÉTODO DAS FORÇAS
� A solução deste sistema de equações de compatibilidade 
resulta nos seguintes valores das reações de apoio X1 e X2:
� X1 = +13,39 kNm
� X2 = −17,29 kN
� O sinal de X1 é positivo pois tem o mesmo sentido (anti-
horário) do que foi arbitrado para X1 = 1 no caso (1);
� e o sinal de X2 é negativo pois tem o sentido contrário 
(da direita para a esquerda) ao que foi arbitrado para X2
= 1 no caso (2), tal como indica a Figura 5.7.
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MÉTODO DAS FORÇAS
� Os valores encontrados para X1 e X2 fazem com que θA
= 0 e ∆HB = 0.
� Dessa forma, atingiu-sea solução correta da estrutura, 
pois além de satisfazer as condições de equilíbrio – que 
sempre foram satisfeitas nos casos (0), (1) e (2) –
também satisfaz as condições de compatibilidade.
MÉTODO DAS FORÇAS
� Escolha do Sistema Principal para uma viga 
contínua:
� Esta seção analisará uma estrutura com duas 
alternativas para o SP: uma eliminando vínculos 
externos de apoio e,
� outra eliminando a continuidade interna na sua 
configuração deformada. 
� No exemplo adotado vai ficar claro que a segunda 
alternativa é a mais conveniente, pois resulta em 
cálculos bem mais simples para a determinação dos 
termos de carga e coeficientes de flexibilidade.
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MÉTODO DAS FORÇAS
� Considere a viga contínua mostrada na Figura 5.8, 
com três vãos e com uma carga uniformemente 
distribuída abrangendo o vão da esquerda
• A estrutura da Figura 5.8 tem grau de 
hiperestaticidade g = 2. 
• Para a resolução pelo Método das Forças, duas opções 
para o Sistema Principal (SP) vão ser consideradas.
MÉTODO DAS FORÇAS
� Sistema Principal obtido por eliminação de apoios
• Caso (0) – Solicitação externa (carregamento) 
isolada no SP
• Neste caso somente a solicitação externa atua no SP e os 
valores dos hiperestáticos são nulos (X1 = 0 e X2 = 0).
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MÉTODO DAS FORÇAS
� Caso (1) – Hiperestático X1 isolado no SP
� Neste caso somente o hiperestático X1 atua no SP, sem a 
solicitação externa e com X2 = 0.
MÉTODO DAS FORÇAS
� Caso (2) – Hiperestático X2 isolado no SP
� Neste caso somente o hiperestático X2 atua no SP, sem a 
solicitação externa e com X1 = 0.
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MÉTODO DAS FORÇAS
� Restabelecimento das condições de 
compatibilidade
� Cálculo de δ10
MÉTODO DAS FORÇAS
� Cálculo de δ10
USO DE TABELAS PARA CÁLCULO DAS INTEGRAIS
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MÉTODO DAS FORÇAS
� Cálculo de δ20
MÉTODO DAS FORÇAS
� Cálculo de δ11
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MÉTODO DAS FORÇAS
� Cálculo de δ12 e δ21
MÉTODO DAS FORÇAS
� Cálculo de δ22 
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MÉTODO DAS FORÇAS
� Reações de apoio e diagrama de momentos fletores finais
MÉTODO DAS FORÇAS
� Sistema Principal obtido por introdução de 
rótulas internas
� Nesta outra opção para o SP, são eliminados vínculos internos de continuidade de 
rotação da elástica (configuração deformada) da viga. 
� Neste caso, são introduzidas duas rótulas nas seções dos dois apoios internos. Os 
hiperestáticos X1 e X2 são momentos fletores associados à continuidade de rotação 
da viga nestas seções, tal como mostrado na Figura 5.19.
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MÉTODO DAS FORÇAS
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