Lista 1 e 2 - Álgebra I

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LISTA DE ÁLGEBRA I
(1) Verifique se a divide b nos seguintes caso:
(a) a = 15, b = 135. (f) a = 24, b = 146
(b) a = 8, b = 168. (g) a = 4, b = (315.8 + 721.24).
(c) a = 125, b = 25. (h) a = 6, b = (2515.36− 128.7).
(d) a = 1024, b = 32. (i) a = 15, b = (312.3010 − 2017.7).
(e) a = 32, b = 1024. (j) a = 9, b = (1111.81 + 225.42).
(2) Dê exemplos de a, b e m tais que:
(a) a|m, b|m mas ab 6 |m.
(b) a|m, a|m mas b 6 |m.
(c) a|b, a|m mas ab|m.
(d) a|b,m|a mas b 6 |m.
(3) Para cada par de inteiros a, b ∈ Z abaixo, encontre o par q, r ∈ Z tal que a = b.q + r,
com 0 ≤ r < |b|.
(a) a = 125, b = 4. (f) a = 72, b = 15
(b) a = −132, b = −4. (g) a = 100, b = 30.
(c) a = 360, b = −15. (h) a = −100, b = −30.
(d) a = 360, b = −32. (i) a = 100, b = −30.
(e) a = 32, b = −1024. (j) a = 9, b = 93.
(4) Represente cada inteiro abaixo como produto de potências de números primos:
(a) 9100 (c) 2310 (e) 550 (g) 2040
(b) 35672 (d) 9108 (f) 1092 (h) 6840
(5) Sejam a, b, p ∈ Z. Se p é primo e p|ab, mostre que p|a ou p|b.
(6) Sejam a, b ∈ Z∗+ e c ∈ Z. Se a|bc e mdc(a, b) = 1, mostre que a|c.
(7) Utilize o Algoritmo de Euclides para encontrar d = mdc(a, b) e o mmc(a, b) nos seguintes
casos:
(a) a = 32, b = 54. (f) a = 143, b = 227
(b) a = 27, b = 45. (g) a = 12378, b = 3054.
(c) a = 48, b = 64. (h) a = 1024, b = 510.
(d) a = 306, b = 227. (i) a = 321, b = 27.
(e) a = 1027, b = 32. (j) a = 861, b = 33.
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(8) Determine r, s ∈ Z tais que mdc(a, b) = a.r + b.s nos seguintes casos:
(a) a = 32, b = 312. (f) a = 252, b = 180
(b) a = 72, b = 56. (g) a = 550, b = 23.
(c) a = 1128, b = 336. (h) a = 1024, b = 512.
(d) a = 30, b = 312. (i) a = 6561, b = 81.
(e) a = 543, b = 72. (j) a = 861, b = 33.
(9) Nos itens dos exercícios (7) e (8), encontre o mdc(a, b) e o mmc(a, b) utilizando a fato-
ração em números primos.
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LISTA DE ÁLGEBRA I
(1) Sejam a, b, c,m, n ∈ Z. Se c|(ma+ nb) e c|ma, mostre que c|nb.
(2) Seja d = mdc(a, b). Se a|m e b|m, mostre que d|m.
(3) Dado o conjunto {2, 7, 8, 21, 69, 91, 23, 29, 43, 35, 77}, diga quais destes números são nú-
meros primos e quais são números compostos, justificando.
(4) Sejam a, b ∈ Z. Dado n ∈ N, mostre que mdc(a, b) = mdc(a, b+ na).
(5)Utilizando a fatoração em números primos, calcule omdc(a, b) e ommc(a, b) nos seguintes
casos:
(a) a = 23.100, b = 24500. (f) a = 4900, b = 53900
(b) a = 30300, b = 16698. (g) a = 22287, b = 342.
(c) a = 37791, b = 22542. (h) a = 1575, b = 300.
(d) a = 1026, b = 312. (i) a = 2028, b = 212.
(e) a = 2048, b = 32. (j) a = 868, b = 42.
(6) Utilizando o Algoritmo Euclidiano e o Algoritmo Euclidiano Estendido, encontre o
mdc(a, b), o mmc(a, b) e os inteiros r, s tais que mdc(a, b) = ar + bs, nos seguintes casos:
(a) a = 1575, b = 300. (f) a = 66, b = 1024.
(b) a = 4900, b = 53900. (g) a = 3041, b = 342.
(c) a = 1032, b = 204. (h) a = 1869, b = 301.
(d) a = 184, b = 3010. (i) a = 112, b = 2030.
(e) a = 2048, b = 32. (j) a = 948, b = 420.
(7) Sejam a, b, c, p ∈ Z, onde p é um número primo. Verifique se as seguintes afirmações
são verdadeiras ou falsas, demonstrando as verdadeiras e dando um contra-exemplo para as
falsas.
(a) ( ) Se a|b e b|c, então a|c.
(b) ( ) Se p|c e c|(a+ p) então p|a.
(c) ( ) Se a|b, p|b e c|b, então apc|b.
(d) ( ) Se b 6 |c e b|a , então a|c.
(e) ( ) Se p|b e p 6 |c, então p|(ab+ c).
(f) ( ) Se p 6 |a e p|ac, então p|c.
(g) ( ) Se p 6 |b então mdc(p, b) = 1.
(h) ( ) Se a 6 |b então mdc(a, b) = 1.
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