AULA UNIDADE II UNIP

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Unidade II 
 
 
 
MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
 
 
 
 
Prof. Maurício Manzalli 
Assuntos da Unidade 
 Relembrando alguns conceitos e aplicações. 
 Diferenciando o ano exato do ano comercial. 
 Taxas de juros: efetiva. 
 Juros compostos. 
 Equivalências de taxas. 
 Montante composto. 
 Períodos de capitalização e séries. 
Taxa efetiva 
 Exemplo 1 – Uma instituição financeira faz empréstimos e cobra 8% 
a.m. de juros simples, que devem ser pagos antecipadamente pelo 
tomador. Qual a taxa efetiva que o tomador paga por empréstimos de 
R$ 50.000,00 por três meses? 
Solução: 
J = PV . i . n 
J = 50.000,00 . 0,08 . 3 
J = R$ 12.000,00 (juros retidos na data do empréstimo) 
Empréstimo efetivo = PV – J 
Empréstimo efetivo = 50.000,00 – 12.000,00 
PV efetivo = R$ 38.000,00 
Pagamento final = R$ 50.000,00 (FV efetivo) 
E a taxa efetiva? 
 
 
Taxa efetiva 
 Exemplo 2 – Uma instituição financeira faz empréstimos e cobra 8% 
a.m. de juros simples que devem ser pagos antecipadamente pelo 
tomador. Qual a taxa efetiva que o tomador paga por empréstimos de 
R$ 50.000,00 por três meses? 
Solução: 
FV = PV . (1 + i . n) 
50.000,00 = 38.000,00 . (1 + i . 3) 
3i = (50.000,00/38.000,00) – 1 
3i = 1,3158 – 1 
3i = 0,3158 
i = 0,3158 / 3 
i = 0,1053 
i = 0,1053 x 100 
i = 10,53% a.m. 
 Resposta: Paga a taxa efetiva de 10,53% a.m. 
Juros comerciais 
 Exemplo 3 – Calcular os juros comerciais produzidos por um 
capital de R$ 500.000,00; aplicado à taxa de 270% a.a., durante 
25 dias. 
Juros comerciais: 
J = PV . i . n 
Lembrando que i = 270/100 = i = 2,7 
J = 500.000,00 . (2,7/360) . 25 
J = 500.000,00 . 0,0075 . 25 
J = 93.750,00 
Juros comerciais = R$ 93.750,00 
 
Juros comerciais e juros exatos 
 Exemplo 4 – Calcular os juros comerciais e os juros exatos 
produzidos por um capital de R$ 500.000,00; aplicado à taxa de 
270% a.a., durante 25 dias. 
Juros exatos: 
J = PV . i . n 
Lembrando que i = 270/100 = i = 2,7 
J = 500.000,00 . (2,7/365) . 25 
J = 500.000,00 . 0,0073972 . 25 
J = 92.465,00 
Juros comerciais = R$ 92.465,00 
Comparações: 
Juros comerciais = R$ 93.750,00 
Juros exatos = R$ 92.465,00 
Diferença = R$ 1.285,00 
Juros compostos: conceitos básicos 
Denominações: 
 juro sobre juro; 
 juro capitalizado; 
 juro exponencial. 
Juros compostos: conceitos básicos 
 Montante: relembrando seu conceito, faremos sua aplicação 
período a período, construindo a fórmula. 
 Vamos indexar o montante ao final de cada período, 
com o número do período. 
1o – M1 = P + Pi = P.(1+ i) 
2o – M2 = M1 + M1 .i = P.(1 +i) + P.(1+i).i = P.(1+ i)2 
3o – M3 = M2 + M2 .i = P.(1+ i)2 + P.(1 + i)2 .i = P.(1+ i)3 
Juros compostos: fórmulas 
 Montante composto: 
M = P . (1 + i)n 
 Juro composto: 
J = P. [(1 + i)n – 1] 
 
 
 
 
 
Juros compostos: fórmulas 
 Valor atual: 
A = N 
 (1 + i)n 
 Valor nominal: 
N = A.(1 + i)n 
 
 
 
 
 
 
Juros compostos 
 Exemplo – Qual o montante produzido por um capital de 
R$ 250.000,00 que ficou aplicado durante um ano e dois meses à 
taxa de 7,5% a.m. de juros compostos? 
Fórmula: M = P . (1 + i)n 
Lembrando que: 
i = 7,5/100 = 0,075 
1 ano e dois meses = 14 meses 
Solução: 
M = P . (1 + i)n 
M = 250.000,00 . (1 + 0,075)14 
M = 250.000,00 . (1,075)14 
M = 688.111,01 
 Resposta: O montante é de R$ 688.111,01. 
Interatividade 
Que capital devo aplicar hoje em uma instituição que remunera 
as aplicações à taxa de juros compostos de 4% ao mês para ter 
R$ 5.000,00 de montante daqui a dez meses? 
Fórmula M = P . (1 + i)n 
 
a) R$ 3.377,82. 
b) R$ 3.575,00. 
c) R$ 2.890,92. 
d) R$ 1.495,00. 
e) R$ 3.400,00. 
 
Juros compostos: calculadoras financeiras 
 Montante (M)  FV 
 
 Principal (P)  PV 
 
 Taxa de juros ( i )  i 
 
 Número de períodos ( n )  n 
 
 Devemos lembrar que valores de entrada ou saída no fluxo de 
caixa deverão figurar com sinais diferentes (+ ou –). 
Juros compostos: calculadoras financeiras 
Aplicação 
 Qual o montante composto de um principal de R$ 8.000,00 à 
taxa de 3% ao mês, ao final de 10 meses? 
 
Calculadora: 
Entradas Teclas Visor 
8000 CHS PV - 8,000.00 
3 i 3,00 
10 n 10,00 
 FV 10,751.20 
 
Juros simples e juros compostos 
 O senhor Flávio emprestou $ 2.000,00 a seu amigo a uma taxa 
de 10% ao mês, para ser pago daqui a 4 meses. Quanto o 
senhor Flávio irá receber se cobrar o empréstimo pelo regime 
de juros simples? E pelo regime de juros compostos? 
Prazo Juros simples Saldo 
1º mês 
2.000,00 x 10% = 200.00 2.000,00 + 200,00 = 2200,00 
2º mês 
2.000,00 x 10% = 200,00 2.000,00 + 200,00 = 2400,00 
3º mês 
2.000,00 x 10% = 200,00 2.000,00 + 200,00 = 2600,00 
4º mês 
2.000,00 x 10% = 200,00 2.000,00 + 200,00 = 2800,00 
Juros simples e juros compostos 
 O senhor Flávio emprestou $ 2.000,00 a seu amigo a uma taxa 
de 10% ao mês, para ser pago daqui a 4 meses. Quanto o 
senhor Flávio irá receber se cobrar o empréstimo pelo regime 
de juros simples? E pelo regime de juros compostos? 
 
 
 
 
Prazo Juros compostos Saldo 
1º mês 
2000,00 x 10% = 200.00 2000,00 + 200,00 = 2200,00 
2º mês 
2200,00 x 10% = 220,00 2200,00 + 220,00 = 2420,00 
3º mês 
2420,00 x 10% = 242,00 2420,00 + 242,00 = 2662,00 
4º mês 
2662,00 x 10% = 266,20 2662,00 + 266,20 = 2928,20 
Juros simples e juros compostos 
 O senhor Flávio emprestou $ 2.000,00 a seu amigo a uma taxa 
de 10% ao mês, para ser pago daqui a 4 meses. Quanto o 
senhor Flávio irá receber se cobrar o empréstimo pelo regime 
de juros simples? E pelo regime de juros compostos? 
Conclusão: 
 Regime de juros Juros auferidos 
 Simples 800,00 
 Compostos 928,20 
 Diferença 128,20 
Juros simples e juros compostos 
 
 
 
 
Juros compostos: calculadoras financeiras 
 O investimento de $ 650.000 será remunerado com a taxa de 
juro de 1,35% ao mês durante os quatro primeiros meses e 
com a taxa de juro de 1,24% ao mês durante os oito meses 
restantes da operação. 
 Pede-se: calcular o resgate desse investimento 
no final de um ano. 
 
Informações: 
 Investimento: 650.000,00 
 Taxa: 1,35% a.m., durante 4 meses; 1,24 a.m., durante 
8 meses. 
 Resgate? 
 
Juros compostos: calculadoras financeiras 
 O investimento de $ 650.000 será remunerado com a taxa de 
juros de 1,35% ao mês durante os quatro primeiros meses e 
com a taxa de juros de 1,24% ao mês durante os oito meses 
restantes da operação. 
 Calcule o resgate desse investimento no final de um ano. 
n = 4 i = 1,35 PV = 650.000 FV = ? 
Visor = 682,82 
n = 8 i = 1,24 PV = 685.817,19 FV = ? 
Visor = 756.877,27 
 O resgate do investimento ao final de um ano será 
de R$ 756.877,27. 
Interatividade 
Foram investidos $ 10.000 durante três meses com a taxa de juros de 
2% ao mês. Calcule o valor resgatado, considerando o regime de juros 
compostos. 
Dados: 
VP = C = 10.000 n = 3 meses i = 2% a.m 
VF = M = ? 
Fórmula 
M = P . (1 + i)n 
a) R$ 10.500,00. 
b) R$ 10.612,00. 
c) R$ 10.415,00. 
d) R$ 10.000,00. 
e) R$ 10.112,00. 
 
 
 
Juros compostos e calculadora financeira 
 Calcule o montante composto de um principal de R$ 10.000,00 
à taxa de 5% ao mês, ao final de 7 meses. 
 
 
Entradas Teclas Visor 
10000 CHS PV -10000,00 
5 i 5,00 
7 n 7,00 
FV 14071,00Juros compostos e calculadora financeira 
 A que taxa mensal de juros compostos devo aplicar um capital 
qualquer para dobrá-lo em dez meses? 
 
 
Entradas Teclas Visor 
1 CHS PV -1,00 
2 FV 2,00 
10 n 10,00 
i 7,18 
Juros compostos e calculadora financeira 
 Um capital de R$ 2.500,00 esteve aplicado à taxa mensal de 
2% em um regime de capitalização composta. Após um 
período de 2 meses, os juros resultantes dessa aplicação 
serão? 
 Os juros resultantes são de R$ 101,00. 
Entradas Teclas Visor 
2 n 
2 i 
2500 PV 
FV 2601 
Juros compostos e calculadora financeira 
 Um capital de R$ 2.500,00 esteve aplicado à taxa mensal de 
2% em um regime de capitalização composta. Após um 
período de 2 meses, os juros resultantes dessa aplicação 
serão? 
 
Fórmula: M = P . (1 + i)n 
M = 2.500 . (1 + 0,02)² 
M = 2.500 . (1,02)² 
M = 2.500 . 1,0404 = 2.601 
J = M – C = 2.601 – 2.500 = 101 
Os juros resultantes são de R$ 101,00. 
Juros compostos e calculadora financeira 
 Podemos afirmar que o montante composto gerado por um 
capital de R$ 1.000,00; aplicado a 1% a.m. em 12 meses será 
de quanto? 
 
Juros compostos e calculadora financeira 
Resolução: 
 Podemos afirmar que o montante composto gerado por um 
capital de R$ 1.000,00; aplicado a 1% a.m. em 12 meses será 
de quanto? 
 
 
 
 
 
 
 Resposta: O montante composto será de R$ 1.126,83. 
Entradas Teclas Visor 
12 n 
1 i 
1000 PV 
FV 1126,83 
Outra resolução para o exercício anterior 
 Podemos afirmar que o montante composto gerado por um 
capital de R$ 1.000,00; aplicado a 1% a.m. em 12 meses será 
de quanto? 
 
M = 1000 . (1 + 0,01)¹² 
M = 1000 . (1,01)¹² 
M = 1000 . 1,1268 = 1.126,80 
 
 Resposta: O montante composto será de R$ 1.126,83. 
Taxa anual 
Exemplo 
 Uma empresa financia seu capital de giro a juros compostos 
de 3% ao mês. Calcule a taxa anual equivalente, pois, para 
fechar o balanço, a taxa deverá ser lançada em anos. 
ia = (1 + i)n 
 Fórmula da taxa anual equivalente. 
 
 
Taxa anual 
Resolução: 
ia = (1 + 0,03)12 
ia = 1,4257 
 
Finalizando: 
 Diminui 1 e multiplica por 100: 
 ia = 1,4257 – 1 . 100 = 42,57% 
 
 
 
 
 
Interatividade 
Um investidor aplicou R$ 50.000,00 a juros compostos de 
25% a.a., por três anos e dez meses. Qual o montante composto 
dessa aplicação, considerando critério exponencial? 
a) R$ 119.798,00 
b) R$ 125.990,00 
c) R$ 117.613,83 
d) R$ 110.265,43 
e) R$ 118.215,99 
Mesmo exercício com a calculadora 
 Mesmo exercício com a calculadora HP12C 
 
50000 CHS PV 
25 i 
46/12 n 
FV 117613,83 
 
 
 
 
 
 
Séries de capitais: conceitos básicos 
 Conceito de série: qualquer sequência de capitais reunidos 
sob uma determinada propriedade pode ser considerada uma 
série, também denominada anuidade. 
Exemplos: 
 aluguel; 
 condomínio; 
 mensalidade escolar; 
 pagamentos parcelados em geral; 
 seguros. 
Séries de capitais: conceitos básicos 
 Esses capitais podem ser valores que saem ou entram em um 
fluxo de caixa, caracterizando uma série de pagamentos, que 
tem como objetivo a quitação de uma dívida ou uma série de 
aplicações, denominada série de rendas, que tem como 
objetivo a capitalização de um valor futuro. 
Séries de capitais: modelo básico 
b) R$ 10.612,00 
Foram investidos $ 10.000 durante três meses com a taxa de juro de 2% ao mês. 
Calcule o valor resgatado considerando o regime de juros compostos. 
Dados: 
VP = C = 10.000 n = 3 meses i = 2% a.m. 
VF = M = ? 
Fórmula 
 M = P . (1 + i)n 
 M = 10.000,00 . (1 + 0,02)3 
 M = 10.000,00 . (1,02)3 
 M = 10.612,00 
Cálculo na HP12C (Calculadora Financeira) 
 n = 3 
 i = 2 
 PV = 10.000 
 FV = ? 
 Visor = 10.612,08 
 
Séries de capitais modelo básico: 
fórmula do valor atual 
 Valor presente ou à vista (A): teoricamente, o valor à vista da 
série de pagamentos poderia ser calculado, por meio da sua 
definição, termo a termo. 
 Na prática, isso seria complicado, pois podemos ter séries 
com um grande número de termos. 
 Para evitar esse transtorno, estabeleceremos uma fórmula que 
fará isso por nós. 
Séries de capitais modelo básico: 
 fórmula do valor atual 
 Adotando R para representar as prestações, n para o número 
de prestações e i para a taxa de juros e aplicando a definição 
de valor atual na data zero, teremos: 
 
 A = R/(1+i) + R/(1+i)2 + R/(1+i)3 + ... + R/(1+i)n 
 
Fatorando e agrupando os termos da expressão acima, teremos: 
 
 A = R . 
 
 
Séries de capitais modelo básico: 
fórmula do montante 
 Valor futuro ou montante (S): o valor futuro ou montante de 
uma série de rendas poderia ser calculado pela definição, 
corrigindo-se os valores dos depósitos para a data do último 
depósito e somando-os nessa data. 
 Esse procedimento seria, no entanto, impraticável para uma 
série com um número grande de termos. 
 Vamos, então, estabelecer uma fórmula que efetue todo esse 
cálculo para nós. 
Séries de capitais modelo básico: 
 fórmula do montante 
Adotando S para denominar o montante da série, poderíamos 
escrever, de acordo com a definição: 
 
S = 
 
Fatorando e simplificando a expressão, teremos: 
 
 
Séries de capitais modelo básico: 
 calculadora financeira 
Montante da série (S)  FV 
Valor à vista da série (A)  PV 
Taxa de juros (i)  i 
Número de termos da série (n)  n 
Valor dos termos da série (R)  PMT 
 
 Devemos lembrar que valores de entrada ou saída no fluxo de 
caixa deverão figurar com sinais diferentes (+ ou –) e que a 
calculadora deverá estar na opção END. 
Séries de capitais modelo básico: 
 calculadora financeira 
 Quanto devo aplicar mensalmente à taxa de juros compostos 
de 1,5% a.m., para resgatar daqui a seis meses a quantia de 
R$ 3.000,00; em termos postecipados? 
g end 
n = 6 
i = 1,5 
PMT = ? 
FV = 3.000 
PMT = 481,58 
Séries de capitais modelo básico: 
 calculadora financeira 
 Um aparelho de som é anunciado com um preço à vista de 
R$ 1.200,00 ou três parcelas mensais iguais a R$ 500,00. 
Calcule a taxa de juros cobrada pela loja, supondo que a 
primeira parcela seja paga. 
no ato. 
30 dias após a compra. 
 
 
 
Séries de capitais modelo básico: 
 calculadora financeira 
 Um aparelho de som é anunciado com um preço à vista de 
R$ 1.200,00 ou três parcelas mensais iguais a R$ 500,00. 
Calcule a taxa de juros cobrada pela loja, supondo que a 
primeira parcela seja paga no ato. 
Entradas Teclas Visor 
3 n 
1200 PV 
-500 FV 
i 27,47 
Séries de capitais modelo básico: 
 calculadora financeira 
 Um aparelho de som é anunciado com um preço à vista de 
R$ 1.200,00 ou três parcelas mensais iguais a R$ 500,00. 
Calcule a taxa de juros cobrada pela loja, supondo que a 
primeira parcela seja paga 30 dias após a compra. 
g end 
Entradas Teclas Visor 
3 n 
1200 PV 
-500 FV 
i 12,04 
Interatividade 
O preço de uma motocicleta é de R$ 20.000,00 à vista ou, caso o 
cliente desejar as facilidades do crediário, poderá pagá-la a 
prazo. No segundo caso, exigem-se 24 prestações mensais 
consecutivas e iguais de R$ 1.245,46. De quanto é a taxa mensal 
de juros compostos que está sendo cobrada? 
a) 3,0%. 
b) 2,0%. 
c) 1,0%. 
d) 3,5%. 
e) 0,5%. 
 
 
 
 
 
ATÉ A PRÓXIMA! 
	Slide Number 1
	Assuntos da Unidade
	Taxa efetiva
	Taxa efetiva
	Juros comerciais 
	Juros comerciais e juros exatos
	Juros compostos: conceitos básicos 
	Juros compostos: conceitos básicos 
	Juros compostos: fórmulas 
	Juros compostos: fórmulas 
	Juros compostos
	Interatividade
	Resposta
	Juroscompostos: calculadoras financeiras
	Juros compostos: calculadoras financeiras
	Juros simples e juros compostos
	Juros simples e juros compostos
	Juros simples e juros compostos
	Juros simples e juros compostos
	Juros compostos: calculadoras financeiras
	Juros compostos: calculadoras financeiras
	Interatividade
	Resposta
	Juros compostos e calculadora financeira
	Juros compostos e calculadora financeira
	Juros compostos e calculadora financeira
	Juros compostos e calculadora financeira
	Juros compostos e calculadora financeira
	Juros compostos e calculadora financeira
	Outra resolução para o exercício anterior
	Taxa anual
	Taxa anual
	Interatividade
	Resposta
	Mesmo exercício com a calculadora
	Séries de capitais: conceitos básicos
	Séries de capitais: conceitos básicos
	Séries de capitais: modelo básico
	Séries de capitais modelo básico: �fórmula do valor atual
	Séries de capitais modelo básico: � fórmula do valor atual
	Séries de capitais modelo básico:�fórmula do montante
	Séries de capitais modelo básico:� fórmula do montante
	Séries de capitais modelo básico:� calculadora financeira
	Séries de capitais modelo básico:� calculadora financeira
	Séries de capitais modelo básico:� calculadora financeira
	Séries de capitais modelo básico:� calculadora financeira
	Séries de capitais modelo básico:� calculadora financeira
	Interatividade
	Resposta
	Slide Number 50