Lista 09, estatística

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Universidade Federal de Lavras - UFLA
Departamento de Estatística - DES
Estatística - GES 101
Prof.Paulo Henrique Sales Guimarães
Lista 9 - Distribuições amostrais e Introdução à Inferência
Estatística
(Questão 1) - Defina:
a) População
b) Amostra
c) Estimador
d) Parâmetro
e) Distribuição amostral
f) Teorema Central do Limite.
(Questão 2) - Quais são as quatro propriedades dos estimadores discu-
tidas em aula? Fale sobre cada uma delas.
(Questão 3) - As alturas de 1000 estudantes têm distribuição aproxi-
madamente normal com média de 174,5 centímetros e desvio padrão de 6,9
centímetros. Se 200 amostras aleatórias de tamanho 25 forem retiradas dessa
população e suas médias registradas até o décimo mais próximo de um cen-
tímetro, determine:
a) a média e o desvio padrão amostral da distribuição amostral de X¯.
b) o número de médias amostrais que estão entre 172,5 e 175,8 centímetros,
inclusive.
Resposta: a) X¯ = 174, 5 cm; σ = 1, 38cm b) 150 médias.
(Questão 4) - A capacidade máxima de um elevador é de 500 kg. Se a
distribuição dos pesos dos usuários é N(70; 100). a) Qual é a probabilidade
de que 7 pessoas ultrapassem este limite? b) E de 6 pessoas?
Resposta: a)0, 32276; b) 0, 00054.
(Questão 5) - Uma v.a. X tem distribuição normal com média 100 e
desvio padrão 10. a) Calcule P (90 < X < 110); b) Se X¯ é a média de uma
amostra aleatória simples de tamanho 16, encontre P (90 < X¯ < 110).
Resposta: a)0, 68268; b) 1, 00.
(Questão 6) - Uma moeda é lançada 50 vezes, com o objetivo de se
verificar sua honestidade. Se ocorrem 36 caras nos 50 lançamentos, o que
podemos concluir?
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Resposta: Note que essa probabilidade é bastante pequena (0, 00094), ou
seja, há uma pequena probabilidade de obtermos 36 ou mais caras em um
lançamento de uma moeda honesta. Isso pode nos levar a suspeitar sobre a
honestidade da moeda.
(Questão 7) - O fabricante de uma lâmpada especial afirma que o seu
produto tem vida média de 1600 horas, com desvio padrão de 250 horas.
O dono de uma empresa compra 100 lâmpadas desse fabricante. Qual é a
probabilidade de que a vida média dessas lâmpadas ultrapasse 1650 horas?
Resposta: 0, 02275.
(Questão 8) - De um lote de produtos manufaturados, extrai-se uma
amostra aleatória simples de 100 itens. Se 10% dos itens do lote são de-
feituosos, calcule a probabilidade de serem sorteados no máximo 12 itens
defeituosos.
Resposta:0, 802.
(Questão 9) - Admita-se uma população Normal com parâmetros des-
conhecidos. Seleccionou-se ao acaso uma amostra de dimensão 20 da qual
resultou uma variância igual a 5. Calcule a probabilidade da média amostral
ser inferior à média populacional em mais de 1.43 unidades.
Resposta: 0.005.
(Questão 10) - Uma amostra aleatória simples de tamanho 100 é sele-
cionada de uma população com p = 0, 4.
a) Qual o valor esperado de pˆ.
b) Qual o desvio padrão de pˆ.
Resposta: a) 0,4; b) 0,05.
(Questão 11) - Qual é o fator mais importante para as pessoas que
viajam a negócios quando estão hospedados em um hotel? De acordo com
certo jornal da questão anterior, 74% desses viajantes declaram que ter um
quarto para fumante é o fator mais importante. Considere uma amostra de
200 viajantes será seleciona.
a) Qual é a probabilidade de que a proporção da amostra esteja dentro de
±0, 04 da proporção da população?
b) Qual é a probabilidade de que a proporção da amostra esteja dentro de
±0, 02 da proporção da população?
Resposta: a) 0,8028; b) 0,4810.
(Questão 12) - Uma campanha de produção não é aceitável para em-
barque a clientes se uma amostra de 1000 itens contém 5% ou mais de itens
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defeituosos. Se uma campanha de produção tem uma proporção de defeitos
da população de p = 8%, qual é a probabilidade de que pˆ será pelo menos
0,05?
Resposta: 0,9984.
(Questão 13) - Trinta observações de uma distribuição Normal com
média µ e variância 36 são coletadas.
a) Calcule P (
∣∣X¯ − µ∣∣ ≤ 3).
b) Determine o valor de a tal que P (
∣∣X¯ − µ∣∣ ≥ a) ' 0, 90.
Resposta: a) 0,9938; b) a = 0, 14.
(Questão 14) - Desejamos coletar uma amostra de uma variável aleatória
X com distribuição Normal de média desconhecida e variância 30. Qual deve
ser o tamanho da amostra para que, com 0,92 de probabilidade, a média
amostral não difira da média da população por mais de 3 unidades?
Resposta: 11.
(Questão 15) - Deseja-se saber qual o número de eleitores de determi-
nada região votarão no candidato A, de forma que a probabilidade do erro de
estimação seja no máximo 3%, com 95%. Para estudar o problema, retira-se
uma amostra de 500 eleitores dessa região, obtendo-se 120 eleitores que vo-
tam em A. Nota: e = pˆ− p.
Resposta: n ≥ 779.
(Questão 16) - Sobre propriedades dos estimadores pontuais, assinale a
afirmativa INCORRETA.
a) Um estimador T de algum parâmetro θ é dito não viciado se sua esperança
é igual a θ.
b) Se T1 e T2 são estimadores não viciados do parâmetro θ, é considerado
mais eficiente aquele com menor variância.
c) X¯ é um estimador não viciado da média populacional.
d) Um estimador é não viciado se o seu valor esperado coincide com o parâ-
metro de interesse.
e) Um estimador θˆ de θ é suficiente se contém o mínimo possível de informa-
ções com relação ao parâmetro por ele estimado.
Resposta: e.
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