uni 9 conceitos de energia e trabalho

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 B
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LÓ
G
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O
I. Introdução
II. Trabalho
III. Energia cinética e potencial
IV. Potência
V. Calor e temperatura: a lei zero da Termodinâmica
VI. Variáveis de estado e variáveis de processo
VII. Primeira lei da Termodinâmica
VIII. Segunda lei da Termodinâmica
IX. Entropia e terceira lei da Termodinâmica
X. Referências
Conceitos de energia e trabalho
princípios gerais da termodinâmica.
Unidade 9
Autor: Professor Nestor Correia
378        Módulo I — Contexto da Vida
Saiba mais
Sobre a palavra 
adiabático - do 
grego adiabatos 
(impenetrável), 
é a qualidade 
relativa ao limite 
a partir do qual 
não ocorre 
transmissão 
energia térmica.
Curiosidade
Você sabe o 
que é energia 
nuclear?
È a energia 
produzida pela 
fissão nuclear 
controlada 
de isótopos, 
geralmente, de 
urânio; aparece 
sobretudo como 
calor, quer sob 
controle num 
reator nuclear 
quer numa 
explosão de uma 
arma nuclear.
www.
Gottfried Leibnitz (1646 - 1716)
Nesta unidade você aprenderá os conceitos de trabalho, energia cinética, energia potencial, potência, energia interna, calor, temperatura e entropia. Nossa, são muitos conceitos! Felizmente, alguns deles certamente já lhe são familiares. O 
de trabalho, entretanto, tem uma significação diferente da utilizada na linguagem co-
tidiana, como veremos logo a seguir. Cuidado, em Ciência ocorre com freqüência que 
significantes (palavras, símbolos, etc.) têm significados diferentes dos utilizados no coti-
diano. Mas isso já é Semiótica.
Você, também, será levado a trabalhar com os diversos tipos de transformações 
que um sistema físico pode sofrer e a compreender quais as grandezas que não mudam 
durante essas transformações. Essas leis de conservação, como são chamadas as leis de 
invariância de grandezas físicas durante transformações de sistemas, são muito úteis para 
compreender a natureza. Para isso, será necessário compreender o que é “sistema físico”.
Vamos começar com o conceito de sistema. Ele pode variar de acordo com o assunto 
tratado. Em Ciência, significa a parte do universo que estamos considerando. Em geral, 
o sistema tem fronteiras bem definidas. Por exemplo a célula, que tem a sua membrana 
como fronteira, pode ser considerada um sistema físico. O sistema pode ser aberto, se troca 
matéria com o exterior através de suas fronteiras, como a célula; ou fechado, caso não tro-
que matéria. Pode, ainda, ser isolado termicamente, quando não troca calor com o exterior. 
Às vezes, um sistema isolado termicamente é chamado adiabático (palavra feia, não é?).
Em computação, quando falamos de sistema operacional, nos referimos ao conjun-
to de programas que controlam o funcionamento do computador. O sistema penitenciá-
rio, por exemplo, é o conjunto de instâncias jurídicas, instituições, funcionários, presídios 
e policiais que controlam os detentos. 
Você pode pensar algumas outras significações para a palavra ‘sistema’? Dê uma 
olhada num dicionário. O que elas têm em comum? Sistema pode, inclusive, ser todo o 
universo, o que leva a certas dificuldades lógicas.
Pense sobre essa questão: quais dificuldades lógicas teríamos se considerássemos 
todo o universo como um sistema físico?
Nas seções que seguem, vamos definir trabalho realizado sobre ou por um sistema 
e ver como este se relaciona às transformações entre as diferentes formas de energia. 
São vários os tipos de energia, temos a energia de movimento, chamada cinética, 
a potencial, que vem da capacidade de realizar trabalho, a química, que é a energia ar-
mazenada nas ligações moleculares, a elétrica, relacionada ao movimento de partículas 
carregadas (elétrons, prótons, íons), o calor, ou a energia calorífica, que na verdade é 
uma forma de energia cinética microscópica e a nuclear, que é a energia armazenada no 
interior dos núcleos, com origem nas interações fortes e fracas (esses são os nomes das 
forças nucleares, que não são nem de origem elétrica, nem gravitacional). Na verdade, to-
dos esses tipos de energia podem ser reduzidos à energia cinética e potencial, de natureza 
elétrica, gravitacional, fraca e forte. 
Assim é que, por exemplo, a energia química resulta das interações elétricas entre 
os elétrons e os núcleos das moléculas, já a energia nuclear provém das interações fracas e 
fortes entre as partículas (quarks) que constituem os núcleos dos átomos. 
Vamos apresentar e trabalhar com os conceitos de potência, temperatura, calor e 
com um conceito particularmente importante que está relacionado ao grau de ordem ou 
desordem de um sistema: a entropia.
 
O conceito de trabalho surge da idéia de algo que é capaz de produzir transforma-
ções. Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646-1716), matemático e filósofo alemão, preocupou-
se muito com essa questão, mas não chegou a 
resolvê-la bem. 
Ele sabia que um corpo que se move 
a uma certa velocidade, chocando-se contra 
uma parede, produz algum efeito sobre a pa-
rede. Leibnitz, chamava essa capacidade de 
produzir modificações de vis viva (força viva). 
Aqui a capacidade de produzir algo sobre a 
parede está relacionada à energia cinética do 
corpo (vamos ver esse conceito mais abaixo). 
Se, por outro lado, a parede for empurrada por 
uma força, essa força é também capaz de pro-
duzir algum efeito sobre a parede. Esse outro 
tipo de efeito, Leibnitz chamava de vis mortua 
(força morta), pois a capacidade de modificar 
o estado de movimento da parede (derrubá-la, 
por exemplo) está relacionada ao trabalho que 
a força pode realizar.
I. Introdução
Conheça melhor o significado da Semiótica no site:
http://industrias-culturais.blogspot.com/2003_11_01_industrias-culturais_
archive.html
II. Trabalho
#M1U9
#M1U9
Consórcio Setentrional de Ensino a Distância        379
Eixo Biológico
P
BSC
B
Saiba mais
Sobre a palavra 
adiabático - do 
grego adiabatos 
(impenetrável), 
é a qualidade 
relativa ao limite 
a partir do qual 
não ocorre 
transmissão 
energia térmica.
Curiosidade
Você sabe o 
que é energia 
nuclear?
È a energia 
produzida pela 
fissão nuclear 
controlada 
de isótopos, 
geralmente, de 
urânio; aparece 
sobretudo como 
calor, quer sob 
controle num 
reator nuclear 
quer numa 
explosão de uma 
arma nuclear.
www.
Gottfried Leibnitz (1646 - 1716)
Nesta unidade você aprenderá os conceitos de trabalho, energia cinética, energia potencial, potência, energia interna, calor, temperatura e entropia. Nossa, são muitos conceitos! Felizmente, alguns deles certamente já lhe são familiares. O 
de trabalho, entretanto, tem uma significação diferente da utilizada na linguagem co-
tidiana, como veremos logo a seguir. Cuidado, em Ciência ocorre com freqüência que 
significantes (palavras, símbolos, etc.) têm significados diferentes dos utilizados no coti-
diano. Mas isso já é Semiótica.
Você, também, será levado a trabalhar com os diversos tipos de transformações 
que um sistema físico pode sofrer e a compreender quais as grandezas que não mudam 
durante essas transformações. Essas leis de conservação, como são chamadas as leis de 
invariância de grandezas físicas durante transformações de sistemas, são muito úteis para 
compreender a natureza. Para isso, será necessário compreender o que é “sistema físico”.
Vamos começar com o conceito de sistema. Ele pode variar de acordo com o assunto 
tratado. Em Ciência, significa a parte do universo que estamos considerando. Em geral, 
o sistema tem fronteiras bem definidas. Por exemplo a célula, que tem a sua membrana 
como fronteira, pode ser considerada um sistema físico. O sistema pode ser aberto, se troca 
matéria com o exterior através de suas fronteiras, como a célula; ou fechado, caso não tro-
que matéria. Pode, ainda, ser isolado termicamente, quando não troca calor com o exterior.Às vezes, um sistema isolado termicamente é chamado adiabático (palavra feia, não é?).
Em computação, quando falamos de sistema operacional, nos referimos ao conjun-
to de programas que controlam o funcionamento do computador. O sistema penitenciá-
rio, por exemplo, é o conjunto de instâncias jurídicas, instituições, funcionários, presídios 
e policiais que controlam os detentos. 
Você pode pensar algumas outras significações para a palavra ‘sistema’? Dê uma 
olhada num dicionário. O que elas têm em comum? Sistema pode, inclusive, ser todo o 
universo, o que leva a certas dificuldades lógicas.
Pense sobre essa questão: quais dificuldades lógicas teríamos se considerássemos 
todo o universo como um sistema físico?
Nas seções que seguem, vamos definir trabalho realizado sobre ou por um sistema 
e ver como este se relaciona às transformações entre as diferentes formas de energia. 
São vários os tipos de energia, temos a energia de movimento, chamada cinética, 
a potencial, que vem da capacidade de realizar trabalho, a química, que é a energia ar-
mazenada nas ligações moleculares, a elétrica, relacionada ao movimento de partículas 
carregadas (elétrons, prótons, íons), o calor, ou a energia calorífica, que na verdade é 
uma forma de energia cinética microscópica e a nuclear, que é a energia armazenada no 
interior dos núcleos, com origem nas interações fortes e fracas (esses são os nomes das 
forças nucleares, que não são nem de origem elétrica, nem gravitacional). Na verdade, to-
dos esses tipos de energia podem ser reduzidos à energia cinética e potencial, de natureza 
elétrica, gravitacional, fraca e forte. 
Assim é que, por exemplo, a energia química resulta das interações elétricas entre 
os elétrons e os núcleos das moléculas, já a energia nuclear provém das interações fracas e 
fortes entre as partículas (quarks) que constituem os núcleos dos átomos. 
Vamos apresentar e trabalhar com os conceitos de potência, temperatura, calor e 
com um conceito particularmente importante que está relacionado ao grau de ordem ou 
desordem de um sistema: a entropia.
 
O conceito de trabalho surge da idéia de algo que é capaz de produzir transforma-
ções. Gottfried Wilhelm Leibnitz (1646-1716), matemático e filósofo alemão, preocupou-
se muito com essa questão, mas não chegou a 
resolvê-la bem. 
Ele sabia que um corpo que se move 
a uma certa velocidade, chocando-se contra 
uma parede, produz algum efeito sobre a pa-
rede. Leibnitz, chamava essa capacidade de 
produzir modificações de vis viva (força viva). 
Aqui a capacidade de produzir algo sobre a 
parede está relacionada à energia cinética do 
corpo (vamos ver esse conceito mais abaixo). 
Se, por outro lado, a parede for empurrada por 
uma força, essa força é também capaz de pro-
duzir algum efeito sobre a parede. Esse outro 
tipo de efeito, Leibnitz chamava de vis mortua 
(força morta), pois a capacidade de modificar 
o estado de movimento da parede (derrubá-la, 
por exemplo) está relacionada ao trabalho que 
a força pode realizar.
I. Introdução
Conheça melhor o significado da Semiótica no site:
http://industrias-culturais.blogspot.com/2003_11_01_industrias-culturais_
archive.html
II. Trabalho
#M1U9
#M1U9
380        Módulo I — Contexto da Vida
#
M1U9 Conceitos de energia e trabalho; princípios gerais da termodinâmica
Saiba mais
Joule estudou 
a natureza do 
calor, e descobriu 
relações com 
o trabalho 
mecânico. Isso 
direcionou para 
a teoria da 
conservação 
da energia (a 
Primeira Lei da 
Termodinâmica). 
Ele trabalhou 
com Lorde Kelvin, 
para desenvolver 
a escala absoluta 
de temperatura, 
também 
encontrou 
relações entre o 
fluxo de corrente 
através de uma 
resistência 
elétrica e o calor 
dissipado, agora 
chamada Lei de 
Joule.
www.Acesse o site:
http://en.wikipedia.org/wiki/Mechanical_equivalent_of_heat (esse site esta em 
inglês - Vá tentando melhorar a sua leitura em inglês, isso é muito importante para 
estudar ciência!)
James Joule (1818-1889)
Lembre-se da segunda lei de Newton: , onde força é a medida da taxa 
de variação temporal do momento linear: , isto é :
 
Atualmente, trabalho é definido como a integral de trajetória (ou integral de linha) da 
força aplicada , multiplicada escalarmente pelo deslocamento infinitesimal . Dizemos 
“integral de linha de F escalar dr” e escrevemos matematicamente como na equação abaixo.
 
Viu como o conceito físico de trabalho parece estranho por ser diferente do conceito 
usado no cotidiano? 
Calma, vamos explicar o que isso significa, inclusive as setinhas colocadas sobre os 
símbolos das grandezas físicas força, ( ), e deslocamento, ( ). Estamos usando a letra W 
(do inglês work) para representar trabalho, porque reservamos a letra T para temperatura, 
que vamos considerar mais abaixo. O W também vai aparecer como unidade de medida 
de potência, abreviação para Watt. Pode parecer confuso, mas tenha paciência, pois pelo 
contexto fica claro a que estamos nos referindo.
Comecemos com um exemplo simples onde tudo é constante (não muda enquanto o 
tempo passa), “tudo” aqui se refere às grandezas físicas envolvidas no processo considerado. 
Se uma pessoa puxa um bloco de madeira usando uma corda amarrada ao bloco, 
de modo que exerça uma força constante de 10N (a unidade mais usada para medir força 
é Newton, abreviado N) sobre o bloco e esse bloco se desloca 1,0m (m é abreviação de 
metro, isso você sabe!) na mesma direção que a força está sendo exercida, o trabalho é sim-
plesmente o produto da força por esse deslocamento, isto é, W = F. d = 10,0N • 1,0m = 10,0J 
( J significa Joule, em homenagem ao cientista inglês James Prescott Joule (1818-1889), 
pronuncia ‘jul’, não ‘jaule’, como muitos físicos 
fazem, tentando imitar a pronúncia inglesa. O 
cara era inglês, mas de origem francesa).
Joule estudou a natureza do calor e 
descobriu a sua equivalência com a energia 
mecânica. J é a unidade do Sistema Interna-
cional de Medidas (SI) para trabalho, energia 
e calor (1J = 1N . 1m). 
Voltemos ao exemplo da pessoa puxan-
do o bloco de madeira. Se a força de 10,0N não 
estiver na direção do deslocamento, mas fizer 
um ângulo de 60º, com a horizontal, somente a 
componente dessa força ao longo da horizon-
tal (a parte da força que é paralela à direção do 
deslocamento) é que realiza trabalho, porque só 
essa componente é que muda a intensidade da 
velocidade. Veja figura a seguir.
Estamos falando em direção da força e intensidade da velocidade, isso nos leva a ter 
de falar sobre o significado da setinha colocada sobre os símbolos de força, , e de desloca-
mento, . Essas grandezas físicas são chamadas vetores ou grandezas vetoriais. 
Vetores são entidades matemáticas que representam grandezas, cuja especificação 
só fica completa quando, além de darmos o seu valor numérico (intensidade) e a 
unidade na qual essa grandeza é medida (Newton, metro, etc.), temos de dizer, 
também, qual a sua direção e sentido. 
Assim, por exemplo, um deslocamento de 5m na direção norte-sul, no sentido de 
norte para sul é diferente de um deslocamento de 5m na direção leste-oeste, no sentido de 
oeste para leste, apesar de terem o mesmo valor numérico (5m). 
Outras grandezas físicas, que ficam completamente especificadas quando são dadas 
somente a sua intensidade e a unidade utilizada para medi-las, são chamadas grandezas 
escalares. Por exemplo, a temperatura, a carga elétrica, o trabalho, a massa, o peso, etc.
Você sabe qual a diferença entre massa e peso? A resposta está mais abaixo, mas 
pare de ler agora e pense um pouco nessa questão antes de ler a resposta. 
Voltando ao trabalho realizado pela força constante de 10,0N, quando esta faz um 
ângulo de 60º com a horizontal e desloca o corpo de 1,0m ao longo da horizontal. Nesse 
caso o trabalhoserá:
 
 
 (substitui, F = 10,0N, d = 1,0m e cosseno de 60º = 0,5)
O produto escalar entre dois vetores (representado pelo ponto gordinho) é defi-
nido como o produto dos módulos (intensidades) dos vetores e do cosseno do ângulo 
entre eles. Isso é equivalente a dizer que é o produto do módulo do primeiro vetor 
pela componente do segundo vetor ao longo da direção do primeiro, já que para obter 
essa componente multiplicamos o módulo (tamanho) do vetor pelo cosseno do ângulo 
entre os dois vetores. 
F = ma
p = mv
F = 
dp
dt
=
d(mv)
dt =
m
d(v)
dt =
ma
F dr
F dr
F
dr
W = ∫ F dr = Fd cos60° = 10,0N * 1,0m * 0,5 = 5,0J
W =∫ F dr
Consórcio Setentrional de Ensino a Distância        381
Eixo Biológico
P
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B
Saiba mais
Joule estudou 
a natureza do 
calor, e descobriu 
relações com 
o trabalho 
mecânico. Isso 
direcionou para 
a teoria da 
conservação 
da energia (a 
Primeira Lei da 
Termodinâmica). 
Ele trabalhou 
com Lorde Kelvin, 
para desenvolver 
a escala absoluta 
de temperatura, 
também 
encontrou 
relações entre o 
fluxo de corrente 
através de uma 
resistência 
elétrica e o calor 
dissipado, agora 
chamada Lei de 
Joule.
www.Acesse o site:
http://en.wikipedia.org/wiki/Mechanical_equivalent_of_heat (esse site esta em 
inglês - Vá tentando melhorar a sua leitura em inglês, isso é muito importante para 
estudar ciência!)
James Joule (1818-1889)
Lembre-se da segunda lei de Newton: , onde força é a medida da taxa 
de variação temporal do momento linear: , isto é :
 
Atualmente, trabalho é definido como a integral de trajetória (ou integral de linha) da 
força aplicada , multiplicada escalarmente pelo deslocamento infinitesimal . Dizemos 
“integral de linha de F escalar dr” e escrevemos matematicamente como na equação abaixo.
 
Viu como o conceito físico de trabalho parece estranho por ser diferente do conceito 
usado no cotidiano? 
Calma, vamos explicar o que isso significa, inclusive as setinhas colocadas sobre os 
símbolos das grandezas físicas força, ( ), e deslocamento, ( ). Estamos usando a letra W 
(do inglês work) para representar trabalho, porque reservamos a letra T para temperatura, 
que vamos considerar mais abaixo. O W também vai aparecer como unidade de medida 
de potência, abreviação para Watt. Pode parecer confuso, mas tenha paciência, pois pelo 
contexto fica claro a que estamos nos referindo.
Comecemos com um exemplo simples onde tudo é constante (não muda enquanto o 
tempo passa), “tudo” aqui se refere às grandezas físicas envolvidas no processo considerado. 
Se uma pessoa puxa um bloco de madeira usando uma corda amarrada ao bloco, 
de modo que exerça uma força constante de 10N (a unidade mais usada para medir força 
é Newton, abreviado N) sobre o bloco e esse bloco se desloca 1,0m (m é abreviação de 
metro, isso você sabe!) na mesma direção que a força está sendo exercida, o trabalho é sim-
plesmente o produto da força por esse deslocamento, isto é, W = F. d = 10,0N • 1,0m = 10,0J 
( J significa Joule, em homenagem ao cientista inglês James Prescott Joule (1818-1889), 
pronuncia ‘jul’, não ‘jaule’, como muitos físicos 
fazem, tentando imitar a pronúncia inglesa. O 
cara era inglês, mas de origem francesa).
Joule estudou a natureza do calor e 
descobriu a sua equivalência com a energia 
mecânica. J é a unidade do Sistema Interna-
cional de Medidas (SI) para trabalho, energia 
e calor (1J = 1N . 1m). 
Voltemos ao exemplo da pessoa puxan-
do o bloco de madeira. Se a força de 10,0N não 
estiver na direção do deslocamento, mas fizer 
um ângulo de 60º, com a horizontal, somente a 
componente dessa força ao longo da horizon-
tal (a parte da força que é paralela à direção do 
deslocamento) é que realiza trabalho, porque só 
essa componente é que muda a intensidade da 
velocidade. Veja figura a seguir.
Estamos falando em direção da força e intensidade da velocidade, isso nos leva a ter 
de falar sobre o significado da setinha colocada sobre os símbolos de força, , e de desloca-
mento, . Essas grandezas físicas são chamadas vetores ou grandezas vetoriais. 
Vetores são entidades matemáticas que representam grandezas, cuja especificação 
só fica completa quando, além de darmos o seu valor numérico (intensidade) e a 
unidade na qual essa grandeza é medida (Newton, metro, etc.), temos de dizer, 
também, qual a sua direção e sentido. 
Assim, por exemplo, um deslocamento de 5m na direção norte-sul, no sentido de 
norte para sul é diferente de um deslocamento de 5m na direção leste-oeste, no sentido de 
oeste para leste, apesar de terem o mesmo valor numérico (5m). 
Outras grandezas físicas, que ficam completamente especificadas quando são dadas 
somente a sua intensidade e a unidade utilizada para medi-las, são chamadas grandezas 
escalares. Por exemplo, a temperatura, a carga elétrica, o trabalho, a massa, o peso, etc.
Você sabe qual a diferença entre massa e peso? A resposta está mais abaixo, mas 
pare de ler agora e pense um pouco nessa questão antes de ler a resposta. 
Voltando ao trabalho realizado pela força constante de 10,0N, quando esta faz um 
ângulo de 60º com a horizontal e desloca o corpo de 1,0m ao longo da horizontal. Nesse 
caso o trabalho será:
 
 
 (substitui, F = 10,0N, d = 1,0m e cosseno de 60º = 0,5)
O produto escalar entre dois vetores (representado pelo ponto gordinho) é defi-
nido como o produto dos módulos (intensidades) dos vetores e do cosseno do ângulo 
entre eles. Isso é equivalente a dizer que é o produto do módulo do primeiro vetor 
pela componente do segundo vetor ao longo da direção do primeiro, já que para obter 
essa componente multiplicamos o módulo (tamanho) do vetor pelo cosseno do ângulo 
entre os dois vetores. 
F = ma
p = mv
F = 
dp
dt
=
d(mv)
dt =
m
d(v)
dt =
ma
F dr
F dr
F
dr
W = ∫ F dr = Fd cos60° = 10,0N * 1,0m * 0,5 = 5,0J
W =∫ F dr
382        Módulo I — Contexto da Vida
#
M1U9 Conceitos de energia e trabalho; princípios gerais da termodinâmica
Saiba mais
Empirismo 
é a escola de 
Epistemologia 
(na filosofia ou 
psicologia) que 
avança que todo 
o conhecimento 
é o resultado 
das nossas 
experiências (ver 
teoria da “Tábula 
Rasa” de John 
Locke).
rr1rir0
4ri
0
F r( )
Figura 1: energia Cinética.
A definição de energia cinética é feita assim porque essa é uma grandeza cuja varia-
ção é igual ao trabalho externo realizado sobre o sistema, como veremos a seguir.
Leibnitz sabia que a sua vis viva estava relacionada à massa do corpo e a sua veloci-
dade, mas não sabia qual era essa relação. 
Agora, iremos mostrar que a energia cinética de um corpo muda se algum trabalho 
for realizado sobre ele e que essa variação da energia cinética é igual ao trabalho realizado 
sobre o corpo. Se você não entender, pergunte, busque em livros, na internet, etc. Essa é 
uma observação que vale sempre, mas é um comportamento fundamental, esperado prin-
cipalmente do estudante de um curso a distância.
Vamos tomar o exemplo de um corpo de massa m caindo livremente próximo à 
superfície da Terra. O corpo tem peso P... 
Ooops! Você lembra da pergunta sobre a diferença entre massa e peso, vamos res-
ponder a isso agora. 
A diferença é que peso é uma força, o produto da massa pela aceleração da gravi-
dade (g), e massa, aqui massa gravitacional, é uma medida da quantidade de matéria no 
corpo. Essa medida da quantidade de matéria é na verdade a constante de proporcionali-
dade com que esse corpo é atraído por outro. 
Lembra-se da lei de gravitação universal de Newton? Não? Mais uma explica-
ção, pois é preciso revisar alguns conceitos de Física para que você compreenda bem o 
conteúdo. Sempre podemosassumir que as pessoas não têm uma informação, porém 
nunca podemos assumir que não são capazes de entender. Mas isso já é entrar no cam-
po da ética do professor!
A lei de gravitação universal diz que os corpos se atraem na razão direta das massas e 
na razão inversa do quadrado da distância entre eles, matematicamente 
aqui o símbolo r12 significa o módulo do vetor posição que vai da partícula 1 para a partícula 
2, , e é um vetor de tamanho (módulo) 1, que indica que a força gravita-
cional de 1 sobre 2 e tem o sentido de 2 para 1, isto é, é atrativa; m1 e m2 são as massas gravi-
tacionais dos corpos 1 e 2, respectivamente, e G é a constante de gravitação universal. Esta é 
uma lei empírica, não pode ser deduzida de outros princípios. Faz parte dos postulados da 
teoria e é obtida por indução a partir de observações experimentais, como todas as “leis” da 
Física. Quando o corpo 1 é a Terra, m1 é substituído por Mr (massa da Terra) e o módulo da 
força que age sobre o corpo 2 fica F = m2g , essa força é o peso do corpo 2. Aqui, é 
a aceleração da gravidade, que é constante para movimentos próximos a superfície da Terra, 
pois o raio da Terra é muito grande comparado com as mudanças na posição do corpo 2. A 
confusão que existe na linguagem cotidiana entre os conceitos de massa e peso vem do fato 
Essa definição de produto escalar é geral, vale para quaisquer vetores. Em parti-
cular, vale para calcular o trabalho realizado pela força ao produzir um deslocamento. 
O resultado do produto escalar de dois vetores é uma grandeza escalar. Existe, ain-
da, o produto vetorial entre vetores, cujo resultado é uma grandeza vetorial, mas não 
precisamos disso agora.
Ainda falta explicar o que a integral ( ) está fazendo em nossa definição de tra-
balho. Já dissemos que esse símbolo lê-se “integral de ... ”. Se tem F, ponto gordo e dr 
depois da cobrinha, lê-se integral de F escalar dr . Na verdade, essa cobrinha nunca apa-
rece sozinha, tem sempre de estar indicada sobre qual variável a integração está sendo 
realizada, no nosso caso, . 
A integral significa a soma de produtos escalares da força atuando no corpo em 
cada ponto da trajetória com o pequeno vetor que representa o deslocamento do 
corpo nesse ponto. Somando isso ponto por ponto ao longo da trajetória que o 
corpo realiza, obtemos o trabalho total. Essa integral é utilizada na definição de 
trabalho porque a força pode mudar de valor ao longo da trajetória.
Dessa forma, tomamos pequenos deslocamentos (chamados em matemática de des-
locamentos infinitesimais) durante os quais a força é considerada constante por variar tão 
pouco. Assim, é possível realizar o produto escalar da força no ponto por esse desloca-
mento. O “d” e o “r” juntos são tratados como um único símbolo para significar “diferen-
cial” de r, ou deslocamento infinitesimal . Então, a integral de F escalar dr é o trabalho 
realizado pela força F sobre o corpo durante o deslocamento total que o corpo realiza. 
Observe que, como o cosseno de 90º é zero, se a força for perpendicular ao deslo-
camento o trabalho realizado por ela será zero. A figura abaixo representa a integral com 
soma de pequenos retângulos, que aproximam a área sob a curva.
A energia cinética de um corpo de massa m que se move com velocidade v é defini-
da como a metade do produto da massa pelo quadrado da velocidade, isto é:
 
#M1U9 III. Energia cinética e potencial
∫
dr
dr
E = mvcin
1
2
2
F =1 2
Gm m1 2
12
21r
r^
r = 1212 r r 21r^
g =
GM
r
T
12
Eixo Biológico
P
BSC
B
Saiba mais
Empirismo 
é a escola de 
Epistemologia 
(na filosofia ou 
psicologia) que 
avança que todo 
o conhecimento 
é o resultado 
das nossas 
experiências (ver 
teoria da “Tábula 
Rasa” de John 
Locke).
rr1rir0
4ri
0
F r( )
Figura 1: energia Cinética.
A definição de energia cinética é feita assim porque essa é uma grandeza cuja varia-
ção é igual ao trabalho externo realizado sobre o sistema, como veremos a seguir.
Leibnitz sabia que a sua vis viva estava relacionada à massa do corpo e a sua veloci-
dade, mas não sabia qual era essa relação. 
Agora, iremos mostrar que a energia cinética de um corpo muda se algum trabalho 
for realizado sobre ele e que essa variação da energia cinética é igual ao trabalho realizado 
sobre o corpo. Se você não entender, pergunte, busque em livros, na internet, etc. Essa é 
uma observação que vale sempre, mas é um comportamento fundamental, esperado prin-
cipalmente do estudante de um curso a distância.
Vamos tomar o exemplo de um corpo de massa m caindo livremente próximo à 
superfície da Terra. O corpo tem peso P... 
Ooops! Você lembra da pergunta sobre a diferença entre massa e peso, vamos res-
ponder a isso agora. 
A diferença é que peso é uma força, o produto da massa pela aceleração da gravi-
dade (g), e massa, aqui massa gravitacional, é uma medida da quantidade de matéria no 
corpo. Essa medida da quantidade de matéria é na verdade a constante de proporcionali-
dade com que esse corpo é atraído por outro. 
Lembra-se da lei de gravitação universal de Newton? Não? Mais uma explica-
ção, pois é preciso revisar alguns conceitos de Física para que você compreenda bem o 
conteúdo. Sempre podemos assumir que as pessoas não têm uma informação, porém 
nunca podemos assumir que não são capazes de entender. Mas isso já é entrar no cam-
po da ética do professor!
A lei de gravitação universal diz que os corpos se atraem na razão direta das massas e 
na razão inversa do quadrado da distância entre eles, matematicamente 
aqui o símbolo r12 significa o módulo do vetor posição que vai da partícula 1 para a partícula 
2, , e é um vetor de tamanho (módulo) 1, que indica que a força gravita-
cional de 1 sobre 2 e tem o sentido de 2 para 1, isto é, é atrativa; m1 e m2 são as massas gravi-
tacionais dos corpos 1 e 2, respectivamente, e G é a constante de gravitação universal. Esta é 
uma lei empírica, não pode ser deduzida de outros princípios. Faz parte dos postulados da 
teoria e é obtida por indução a partir de observações experimentais, como todas as “leis” da 
Física. Quando o corpo 1 é a Terra, m1 é substituído por Mr (massa da Terra) e o módulo da 
força que age sobre o corpo 2 fica F = m2g , essa força é o peso do corpo 2. Aqui, é 
a aceleração da gravidade, que é constante para movimentos próximos a superfície da Terra, 
pois o raio da Terra é muito grande comparado com as mudanças na posição do corpo 2. A 
confusão que existe na linguagem cotidiana entre os conceitos de massa e peso vem do fato 
Essa definição de produto escalar é geral, vale para quaisquer vetores. Em parti-
cular, vale para calcular o trabalho realizado pela força ao produzir um deslocamento. 
O resultado do produto escalar de dois vetores é uma grandeza escalar. Existe, ain-
da, o produto vetorial entre vetores, cujo resultado é uma grandeza vetorial, mas não 
precisamos disso agora.
Ainda falta explicar o que a integral ( ) está fazendo em nossa definição de tra-
balho. Já dissemos que esse símbolo lê-se “integral de ... ”. Se tem F, ponto gordo e dr 
depois da cobrinha, lê-se integral de F escalar dr . Na verdade, essa cobrinha nunca apa-
rece sozinha, tem sempre de estar indicada sobre qual variável a integração está sendo 
realizada, no nosso caso, . 
A integral significa a soma de produtos escalares da força atuando no corpo em 
cada ponto da trajetória com o pequeno vetor que representa o deslocamento do 
corpo nesse ponto. Somando isso ponto por ponto ao longo da trajetória que o 
corpo realiza, obtemos o trabalho total. Essa integral é utilizada na definição de 
trabalho porque a força pode mudarde valor ao longo da trajetória.
Dessa forma, tomamos pequenos deslocamentos (chamados em matemática de des-
locamentos infinitesimais) durante os quais a força é considerada constante por variar tão 
pouco. Assim, é possível realizar o produto escalar da força no ponto por esse desloca-
mento. O “d” e o “r” juntos são tratados como um único símbolo para significar “diferen-
cial” de r, ou deslocamento infinitesimal . Então, a integral de F escalar dr é o trabalho 
realizado pela força F sobre o corpo durante o deslocamento total que o corpo realiza. 
Observe que, como o cosseno de 90º é zero, se a força for perpendicular ao deslo-
camento o trabalho realizado por ela será zero. A figura abaixo representa a integral com 
soma de pequenos retângulos, que aproximam a área sob a curva.
A energia cinética de um corpo de massa m que se move com velocidade v é defini-
da como a metade do produto da massa pelo quadrado da velocidade, isto é:
 
#M1U9 III. Energia cinética e potencial
∫
dr
dr
E = mvcin
1
2
2
F =1 2
Gm m1 2
12
21r
r^
r = 1212 r r 21r^
g =
GM
r
T
12
384        Módulo I — Contexto da Vida
#
M1U9 Conceitos de energia e trabalho; princípios gerais da termodinâmica
Saiba mais
Em física, 
a massa é, 
grosso modo, 
o mesmo que 
quantidade de 
matéria. Existem 
dois conceitos 
distintos de 
massa. A massa 
inercial que é 
uma medida 
da resistência 
de um corpo 
à aceleração e 
que se define 
a partir da 2 
lei de Newton, 
e a massa 
gravitacional, que 
é a quantidade 
de massa 
que provoca 
a atracção 
gravitacional 
entre corpos e 
que se define 
pela Lei da 
Gravitação 
Universal.
60º
v
t
de que a única diferença numérica entre essas grandezas, na superfície da Terra, é a cons-
tante de proporcionalidade entre elas, a aceleração da gravidade.
 Se você for para a Lua, seu peso muda, mas sua massa não. Existe uma outra dife-
rença sutil entre os conceitos de massa inercial e massa gravitacional, mas deixemos isso 
para outra oportunidade. O que nos interessa agora é relacionar trabalho com variação de 
energia. A gravitação só foi mencionada aqui para usarmos energia potencial gravitacio-
nal no exemplo de queda livre e para explicar a diferença entre massa e peso.
Voltemos ao exemplo: o corpo de peso P = mg cai livremente a partir do repouso 
de uma altura h até chegar ao chão. Como ele está sujeito a aceleração da gravidade, g, ele 
adquire uma velocidade v=at=gt (a=g). A energia cinética do corpo ao chegar ao chão é 
 
 
O trabalho que a força da gravidade (força com que a Terra atrai o corpo, ou o peso 
do corpo) realizou sobre o corpo foi (Vamos chamar essa equação de 
Eq. 01, para que possamos nos referir a ela mais adiante). 
O resultado da integral, mgh , decorre de que o peso, , é constante e a dis-
tância total percorrida foi . Como a força e o deslocamento estão na mesma dire-
ção, os vetores que representam essas grandezas fazem um ângulo de 0º e o cosseno de 0º 
é igual a 1 (lembra-se disso?). Portanto, o produto escalar torna-se simplesmente 
uma multiplicação dos módulos de e . 
Como você já viu no estudo de cinemática, a distância h que o corpo percorre é 
representada geometricamente pela área sob a curva no gráfico de velocidade por tempo, 
v x t, e a aceleração, pela inclinação da curva no ponto. Nesse caso, como a aceleração é 
constante, essa curva é uma linha reta e, como o corpo partiu do repouso, a reta passa pela 
origem. Observe o gráfico:
A área sob a curva é então a área de um triângulo, ou seja, metade da base vezes a al-
tura, isto é, , como v = gt , ficamos com . Agora, de , tiramos 
 e, substituindo esse t em , obtemos , que dá: v2 = 2gh. 
Refaça, em seu caderno essas manipulações algébricas ou pergunte se não conseguir! 
Vamos agora substituir esse valor da velocidade na equação que usamos para de-
finir energia cinética:
 
Aha! 
A energia cinética que o corpo adquire ao cair de uma altura h é igual ao traba-
lho realizado pela força da gravidade durante o percurso (Eq. 01). Podemos dizer que o 
corpo tinha energia cinética zero ao partir (estava com velocidade zero) e que ao chegar 
ao solo tinha energia cinética . Dizemos, então, que na altura h o corpo tinha 
energia potencial mgh e que ao chegar ao solo sua energia potencial é zero (a escolha do 
nível de energia potencial é arbitrária, porque só estamos interessados em variações de 
energia. Escolhemos aqui o nível zero no solo). Assim, obtemos para esse exemplo que a 
energia mecânica (soma da energia cinética mais a potencial) é constante!
Isto é:
 
Podemos também mostrar isso usando o seguinte cálculo diferencial:
 , mas, a partir da segunda lei de Newton temos: 
 , logo (vamos dar um número também a essa equação: Eq. 02).
No caso do exemplo que estamos tratando, , então, 
Isso significa que a taxa de variação ( ) da energia cinética é igual a taxa de varia-
ção da energia potencial. 
Cuidado com sinais! Pois, quando uma aumenta a outra diminui! Esse cuida-
do é necessário porque, se h diminui, h , é negativo. Isso dá novamente Ep = mgh. 
Compare com a Eq. 01.
Não é todo tipo de força, cujo trabalho podemos associar a uma energia poten-
cial, isso só é verdade se durante o movimento não escapar energia do corpo de alguma 
forma, ou seja, se as forças que atuam sobre o corpo não dissiparem energia, isto é, 
colocarem a energia em alguma forma que não podemos medir. Essas forças que dissi-
pam energia são chamadas dissipativas. Um exemplo de força dissipativa é o atrito. Ao 
esfregarmos uma mão contra a outra, elas ficam quentes, isso porque ao realizarmos tra-
balho sobre as mãos (uma sobre a outra) com a força dos nossos músculos, esse trabalho 
é transformado em calor.
Na verdade, esse calor é a energia cinética média das moléculas que constituem a 
superfície da nossa pele, mas, como isso é algo microscópico e essa energia está distribu-
ída aleatoriamente entre muitas moléculas (da ordem de 1023 moléculas), não podemos 
medir essa energia cinética e, por isso, usamos o conceito de calor. 
Vamos estudar isso logo mais abaixo, antes porém teremos de falar da taxa de va-
riação da energia com o tempo, ou seja, o conceito de potência (Eq. 02).
E = mvc
1
2
2
W = ∫ F dr = mg
F = mg
∫dr = h
F dr
F dr
h = gt
1
2
2 h = vt
1
2
h = gt
1
2
2 h = g
1
2
2h
v
2
h = 2h
v
E = mv = m(2gh) = mghc
1
2
2 1
2
E = mvc
1
2
2
E = mv = m2v = mv
d
dt
d
dtcin
1
2
2 1
2
dv dv
dt dt
E + E = v + mgh = CONSTANTEcin p
1
2
2
m = Fdv
dt
F = mg
dt
d
dt
d
pcin Edt
dmgh
dt
d
dt
dhmgvmgE
dt
d ==== )(.
 Ecin = F . v
d
dt
h = vt
1
2
Consórcio Setentrional de Ensino a Distância        385
Eixo Biológico
P
BSC
B
Saiba mais
Em física, 
a massa é, 
grosso modo, 
o mesmo que 
quantidade de 
matéria. Existem 
dois conceitos 
distintos de 
massa. A massa 
inercial que é 
uma medida 
da resistência 
de um corpo 
à aceleração e 
que se define 
a partir da 2 
lei de Newton, 
e a massa 
gravitacional, que 
é a quantidade 
de massa 
que provoca 
a atracção 
gravitacional 
entre corpos e 
que se define 
pela Lei da 
Gravitação 
Universal.60º
v
t
de que a única diferença numérica entre essas grandezas, na superfície da Terra, é a cons-
tante de proporcionalidade entre elas, a aceleração da gravidade.
 Se você for para a Lua, seu peso muda, mas sua massa não. Existe uma outra dife-
rença sutil entre os conceitos de massa inercial e massa gravitacional, mas deixemos isso 
para outra oportunidade. O que nos interessa agora é relacionar trabalho com variação de 
energia. A gravitação só foi mencionada aqui para usarmos energia potencial gravitacio-
nal no exemplo de queda livre e para explicar a diferença entre massa e peso.
Voltemos ao exemplo: o corpo de peso P = mg cai livremente a partir do repouso 
de uma altura h até chegar ao chão. Como ele está sujeito a aceleração da gravidade, g, ele 
adquire uma velocidade v=at=gt (a=g). A energia cinética do corpo ao chegar ao chão é 
 
 
O trabalho que a força da gravidade (força com que a Terra atrai o corpo, ou o peso 
do corpo) realizou sobre o corpo foi (Vamos chamar essa equação de 
Eq. 01, para que possamos nos referir a ela mais adiante). 
O resultado da integral, mgh , decorre de que o peso, , é constante e a dis-
tância total percorrida foi . Como a força e o deslocamento estão na mesma dire-
ção, os vetores que representam essas grandezas fazem um ângulo de 0º e o cosseno de 0º 
é igual a 1 (lembra-se disso?). Portanto, o produto escalar torna-se simplesmente 
uma multiplicação dos módulos de e . 
Como você já viu no estudo de cinemática, a distância h que o corpo percorre é 
representada geometricamente pela área sob a curva no gráfico de velocidade por tempo, 
v x t, e a aceleração, pela inclinação da curva no ponto. Nesse caso, como a aceleração é 
constante, essa curva é uma linha reta e, como o corpo partiu do repouso, a reta passa pela 
origem. Observe o gráfico:
A área sob a curva é então a área de um triângulo, ou seja, metade da base vezes a al-
tura, isto é, , como v = gt , ficamos com . Agora, de , tiramos 
 e, substituindo esse t em , obtemos , que dá: v2 = 2gh. 
Refaça, em seu caderno essas manipulações algébricas ou pergunte se não conseguir! 
Vamos agora substituir esse valor da velocidade na equação que usamos para de-
finir energia cinética:
 
Aha! 
A energia cinética que o corpo adquire ao cair de uma altura h é igual ao traba-
lho realizado pela força da gravidade durante o percurso (Eq. 01). Podemos dizer que o 
corpo tinha energia cinética zero ao partir (estava com velocidade zero) e que ao chegar 
ao solo tinha energia cinética . Dizemos, então, que na altura h o corpo tinha 
energia potencial mgh e que ao chegar ao solo sua energia potencial é zero (a escolha do 
nível de energia potencial é arbitrária, porque só estamos interessados em variações de 
energia. Escolhemos aqui o nível zero no solo). Assim, obtemos para esse exemplo que a 
energia mecânica (soma da energia cinética mais a potencial) é constante!
Isto é:
 
Podemos também mostrar isso usando o seguinte cálculo diferencial:
 , mas, a partir da segunda lei de Newton temos: 
 , logo (vamos dar um número também a essa equação: Eq. 02).
No caso do exemplo que estamos tratando, , então, 
Isso significa que a taxa de variação ( ) da energia cinética é igual a taxa de varia-
ção da energia potencial. 
Cuidado com sinais! Pois, quando uma aumenta a outra diminui! Esse cuida-
do é necessário porque, se h diminui, h , é negativo. Isso dá novamente Ep = mgh. 
Compare com a Eq. 01.
Não é todo tipo de força, cujo trabalho podemos associar a uma energia poten-
cial, isso só é verdade se durante o movimento não escapar energia do corpo de alguma 
forma, ou seja, se as forças que atuam sobre o corpo não dissiparem energia, isto é, 
colocarem a energia em alguma forma que não podemos medir. Essas forças que dissi-
pam energia são chamadas dissipativas. Um exemplo de força dissipativa é o atrito. Ao 
esfregarmos uma mão contra a outra, elas ficam quentes, isso porque ao realizarmos tra-
balho sobre as mãos (uma sobre a outra) com a força dos nossos músculos, esse trabalho 
é transformado em calor.
Na verdade, esse calor é a energia cinética média das moléculas que constituem a 
superfície da nossa pele, mas, como isso é algo microscópico e essa energia está distribu-
ída aleatoriamente entre muitas moléculas (da ordem de 1023 moléculas), não podemos 
medir essa energia cinética e, por isso, usamos o conceito de calor. 
Vamos estudar isso logo mais abaixo, antes porém teremos de falar da taxa de va-
riação da energia com o tempo, ou seja, o conceito de potência (Eq. 02).
E = mvc
1
2
2
W = ∫ F dr = mg
F = mg
∫dr = h
F dr
F dr
h = gt
1
2
2 h = vt
1
2
h = gt
1
2
2 h = g
1
2
2h
v
2
h = 2h
v
E = mv = m(2gh) = mghc
1
2
2 1
2
E = mvc
1
2
2
E = mv = m2v = mv
d
dt
d
dtcin
1
2
2 1
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dv dv
dt dt
E + E = v + mgh = CONSTANTEcin p
1
2
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m = Fdv
dt
F = mg
dt
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pcin Edt
dmgh
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dhmgvmgE
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 Ecin = F . v
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h = vt
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386        Módulo I — Contexto da Vida
#
M1U9 Conceitos de energia e trabalho; princípios gerais da termodinâmica
www.
Conheça mais sobre a biografia do escocês James Watt no site:
http://pt.wikipedia.org/wiki/James_Watt
Curiosidade
A lâmpada 
incandescente ou 
lâmpada elétrica 
é um dispositivo 
elétrico que 
transforma 
energia elétrica 
em energia 
luminosa e 
energia térmica. 
Thomas Alva 
Edison em 1880 
construiu a 
primeira lâmpada 
incandescente 
utilizando uma 
haste de carvão 
muito fina que 
aquecendo até 
próximo ao ponto 
de fusão passa a 
emitir luz.
Você certamente conhece esse conceito, talvez não esteja ainda familiarizado com a 
sua expressão matemática. Você diz, por exemplo, que um carro fórmula 1 tem um motor 
muito potente ou que um cavalo de vaquejada é mais potente que um jegue de carga. 
Às vezes, utilizamos os termos potência dissipada, potência útil, dizemos que o 
rendimento de uma determinada máquina é a razão entre a potência aproveitada (útil) e 
a potência recebida. Afinal, o que é potência?
Potência é uma grandeza física que mede a transformação de energia por unidade 
de tempo ou o quociente entre o trabalho realizado por uma força e o tempo gasto 
para realizá-lo. A primeira definição é mais geral porque compreende qualquer 
forma de energia, já a segunda só se aplica à energia mecânica (relacionada a forças 
e a movimentos observáveis). 
Por isso que um carro potente acelera rápido, pois o tempo que gasta para trans-
formar energia química (do combustível no motor) em energia cinética é pequeno. Ma-
tematicamente, , aqui usamos dW para trabalho instantâneo e dt para intervalo 
infinitesimal de tempo, isso significa que potência é a derivada do trabalho em relação ao 
tempo. Quando usamos a derivada, estamos pensando em potência instantânea. Poderí-
amos utilizar, também, o conceito de potência média, isto é, , nesse caso usamos 
W para o trabalho total realizado durante o intervalo de tempo total t. Já vimos isso acima 
na equação Eq. 02.
 
O que nos dá outra equação matemática para a potência: o produto da força aplica-
da pela velocidade adquirida. A unidade usada para medir a potência no SI é Watt, 
símbolo W, e é igual a um Joule dividido por um segundo, jáque potência é energia 
dividida por tempo e a unidade de energia no SI é Joule e a de tempo é segundo.
 
As unidades de medida são, quase sempre, tomadas em homenagem a algum cien-
tista que trabalhou com problemas relacionados à grandeza medida. Nesse caso, foi o 
escocês James Watt, que desenvolveu a máquina a vapor. 
Uma curiosidade com essa unidade é que é usada para medir a energia elétrica 
gasta na sua casa, mas, para medir energia tem de multiplicar pelo tempo durante o qual 
a energia foi gasta, porque Watt é unidade de medida de potência, não de energia. Por 
isso, é que usam KWh, que é igual a mil Watt vezes uma hora. 
Olhe o relógio contador ou a sua conta de luz. Lá, o gasto de energia elétrica é me-
dido em KWh em vez de ser medido em J, que é a unidade convencional do SI para medir 
energia. Na verdade, está medindo a energia total gasta, mas em vez de dar o valor em 
Joule, dá em KWh ( 1KW = 1000 Watt – sem ‘s’, pois unidade de medida não tem plural, 1 
h = 3600 s) . Agora faça a conta, quantos Joules de energia elétrica você gasta em uma hora 
com uma lâmpada de 100W acesa? Para saber como transformar KWh em J, usamos:
 
Será que toda a energia que a lâmpada gastou foi transformada em energia lumi-
nosa? Se você tocar na lâmpada acesa perceberá que ela está quente. Isso nos remete ao 
próximo conceito a ser discutido, o calor.
Calor é uma maneira de transferir energia de um sistema a outro quando eles estão 
em temperaturas diferentes.
Já estamos novamente com problemas, apesar de você saber muito bem o que é 
temperatura e o que é calor no seu uso coloquial, é necessário que esses conceitos sejam 
muito bem fundamentados e expressos de forma precisa para buscarmos a objetividade 
necessária ao conhecimento científico. 
Uma experiência interessante para ver como o conceito de quente e frio, a partir de 
sensações térmicas, é subjetivo e enganador, é a seguinte: coloque três copos com água, 
um com água bem fria (misturada com gelo), outro com água à temperatura ambiente e o 
terceiro com água quente (mas não tão quente, porque senão você pode se queimar!).
Coloque o dedo indicador da mão direita na água fria e o da mão esquerda na água 
quente. Espere um pouco (~ 10 segundos) para aproximar o equilíbrio térmico. Coloque 
agora os dois dedos na água à temperatura intermediária. O que você sente? Por favor, 
faça essa experiência na cozinha da sua casa.
Já vimos acima que podemos transferir energia a um sistema realizando trabalho 
sobre ele, aplicando-lhe uma força. A outra maneira de transferir energia é através do 
fluxo de calor de um corpo mais quente para um corpo mais frio.
No primeiro caso, o movimento é ordenado e no segundo é desordenado, pois ca-
lor é, na verdade, a energia cinética média devido ao constante movimento aleatório dos 
átomos ou moléculas que constituem o sistema.
 
Quando há transferência de calor de um corpo para outro, o que acontece é que 
através de colisões entre essas partículas ou da emissão e absorção de radiação 
eletromagnética, os átomos ou moléculas do corpo mais quente diminuem a sua 
velocidade média e as do corpo mais frio aumentam, de forma a ficarem em equilí-
brio térmico, isto é, suas temperaturas ficam estabilizadas em outro valor diferente 
do que cada corpo tinha antes de serem colocados em contato.
A parte da Física que estabelece relações entre as grandezas macroscópicas e as mi-
croscópicas relacionadas às partículas que constituem o sistema é a Mecânica estatística. 
Apesar de só estarmos tratando de Termodinâmica, às vezes nos referimos a grandezas 
microscópicas para explicar algum conceito. 
V. Calor e temperatura: a lei zero da 
Termodinâmica
IV. Potência
#M1U9
#M1U9
dt
dWP =
vFE
dt
d
cin .=
JJs
s
J
sWKWh 610*6,336000003600*10003600*10001 ====
 
t
TPm =
Consórcio Setentrional de Ensino a Distância        387
Eixo Biológico
P
BSC
B
www.
Conheça mais sobre a biografia do escocês James Watt no site:
http://pt.wikipedia.org/wiki/James_Watt
Curiosidade
A lâmpada 
incandescente ou 
lâmpada elétrica 
é um dispositivo 
elétrico que 
transforma 
energia elétrica 
em energia 
luminosa e 
energia térmica. 
Thomas Alva 
Edison em 1880 
construiu a 
primeira lâmpada 
incandescente 
utilizando uma 
haste de carvão 
muito fina que 
aquecendo até 
próximo ao ponto 
de fusão passa a 
emitir luz.
Você certamente conhece esse conceito, talvez não esteja ainda familiarizado com a 
sua expressão matemática. Você diz, por exemplo, que um carro fórmula 1 tem um motor 
muito potente ou que um cavalo de vaquejada é mais potente que um jegue de carga. 
Às vezes, utilizamos os termos potência dissipada, potência útil, dizemos que o 
rendimento de uma determinada máquina é a razão entre a potência aproveitada (útil) e 
a potência recebida. Afinal, o que é potência?
Potência é uma grandeza física que mede a transformação de energia por unidade 
de tempo ou o quociente entre o trabalho realizado por uma força e o tempo gasto 
para realizá-lo. A primeira definição é mais geral porque compreende qualquer 
forma de energia, já a segunda só se aplica à energia mecânica (relacionada a forças 
e a movimentos observáveis). 
Por isso que um carro potente acelera rápido, pois o tempo que gasta para trans-
formar energia química (do combustível no motor) em energia cinética é pequeno. Ma-
tematicamente, , aqui usamos dW para trabalho instantâneo e dt para intervalo 
infinitesimal de tempo, isso significa que potência é a derivada do trabalho em relação ao 
tempo. Quando usamos a derivada, estamos pensando em potência instantânea. Poderí-
amos utilizar, também, o conceito de potência média, isto é, , nesse caso usamos 
W para o trabalho total realizado durante o intervalo de tempo total t. Já vimos isso acima 
na equação Eq. 02.
 
O que nos dá outra equação matemática para a potência: o produto da força aplica-
da pela velocidade adquirida. A unidade usada para medir a potência no SI é Watt, 
símbolo W, e é igual a um Joule dividido por um segundo, já que potência é energia 
dividida por tempo e a unidade de energia no SI é Joule e a de tempo é segundo.
 
As unidades de medida são, quase sempre, tomadas em homenagem a algum cien-
tista que trabalhou com problemas relacionados à grandeza medida. Nesse caso, foi o 
escocês James Watt, que desenvolveu a máquina a vapor. 
Uma curiosidade com essa unidade é que é usada para medir a energia elétrica 
gasta na sua casa, mas, para medir energia tem de multiplicar pelo tempo durante o qual 
a energia foi gasta, porque Watt é unidade de medida de potência, não de energia. Por 
isso, é que usam KWh, que é igual a mil Watt vezes uma hora. 
Olhe o relógio contador ou a sua conta de luz. Lá, o gasto de energia elétrica é me-
dido em KWh em vez de ser medido em J, que é a unidade convencional do SI para medir 
energia. Na verdade, está medindo a energia total gasta, mas em vez de dar o valor em 
Joule, dá em KWh ( 1KW = 1000 Watt – sem ‘s’, pois unidade de medida não tem plural, 1 
h = 3600 s) . Agora faça a conta, quantos Joules de energia elétrica você gasta em uma hora 
com uma lâmpada de 100W acesa? Para saber como transformar KWh em J, usamos:
 
Será que toda a energia que a lâmpada gastou foi transformada em energia lumi-
nosa? Se você tocar na lâmpada acesa perceberá que ela está quente. Isso nos remete ao 
próximo conceito a ser discutido, o calor.
Calor é uma maneira de transferir energia de um sistema a outro quando eles estão 
em temperaturas diferentes.
Já estamos novamente com problemas, apesar de você saber muito bem o que é 
temperatura e o que é calor no seu uso coloquial, é necessário que esses conceitos sejam 
muito bem fundamentados e expressos de forma precisa para buscarmos a objetividade 
necessária ao conhecimento científico.Uma experiência interessante para ver como o conceito de quente e frio, a partir de 
sensações térmicas, é subjetivo e enganador, é a seguinte: coloque três copos com água, 
um com água bem fria (misturada com gelo), outro com água à temperatura ambiente e o 
terceiro com água quente (mas não tão quente, porque senão você pode se queimar!).
Coloque o dedo indicador da mão direita na água fria e o da mão esquerda na água 
quente. Espere um pouco (~ 10 segundos) para aproximar o equilíbrio térmico. Coloque 
agora os dois dedos na água à temperatura intermediária. O que você sente? Por favor, 
faça essa experiência na cozinha da sua casa.
Já vimos acima que podemos transferir energia a um sistema realizando trabalho 
sobre ele, aplicando-lhe uma força. A outra maneira de transferir energia é através do 
fluxo de calor de um corpo mais quente para um corpo mais frio.
No primeiro caso, o movimento é ordenado e no segundo é desordenado, pois ca-
lor é, na verdade, a energia cinética média devido ao constante movimento aleatório dos 
átomos ou moléculas que constituem o sistema.
 
Quando há transferência de calor de um corpo para outro, o que acontece é que 
através de colisões entre essas partículas ou da emissão e absorção de radiação 
eletromagnética, os átomos ou moléculas do corpo mais quente diminuem a sua 
velocidade média e as do corpo mais frio aumentam, de forma a ficarem em equilí-
brio térmico, isto é, suas temperaturas ficam estabilizadas em outro valor diferente 
do que cada corpo tinha antes de serem colocados em contato.
A parte da Física que estabelece relações entre as grandezas macroscópicas e as mi-
croscópicas relacionadas às partículas que constituem o sistema é a Mecânica estatística. 
Apesar de só estarmos tratando de Termodinâmica, às vezes nos referimos a grandezas 
microscópicas para explicar algum conceito. 
V. Calor e temperatura: a lei zero da 
Termodinâmica
IV. Potência
#M1U9
#M1U9
dt
dWP =
vFE
dt
d
cin .=
JJs
s
J
sWKWh 610*6,336000003600*10003600*10001 ====
 
t
TPm =
388        Módulo I — Contexto da Vida
#
M1U9 Conceitos de energia e trabalho; princípios gerais da termodinâmica
Saiba mais
O gelo é o 
estado sólido 
da água, seu 
aspecto é vítreo, 
emitransparente. 
Sua densidade 
é inferior à da 
água ficando em 
0,92, seu ponto 
de fusão é 0°C. A 
mesma massa de 
água em estado 
líquido ou em 
estado sólido 
têm volumes 
diferentes, pois 
ao passar de um 
estado a outro o 
volume aumenta 
cerca de 9%; 
ao contrário 
da maioria dos 
sólidos, o gelo 
em seu ponto de 
fusão apresenta-
se mais dilatado 
do que sua forma 
líquida a 4°C. Por 
isso o gêlo flutua 
na água!
h
Tubo Capilar
V h
água + gelo
em equilíbrio
água + vapor 
em equilíbrio
dividir em 100
partes iguais
00C 1000C
Y
X
(x ,y )2 2
(x ,y )1 1
X
Y
Figura 2: Lei Zero da Termodinâmica 
Em Termodinâmica – a parte da física que estabelece relações somente entre as 
propriedades macroscópicas das substâncias, como a pressão de um gás, o volume 
de um líquido, a temperatura de uma célula, a magnetização de um sólido, etc. –, 
descrevemos o estado dos sistemas em termos dessas grandezas físicas diretamente 
mensuráveis sobre os sistemas. 
Quando o sistema está num determinado estado, sempre obtemos os mesmos 
resultados para as medidas dessas grandezas (apesar da ocorrência de pequenas flutua-
ções) e dizemos que o sistema está em equilíbrio. 
Se colocarmos dois sistemas a temperaturas diferentes em contato térmico, isto é, 
se permitirmos que o calor flua de um para o outro, ao final de algum tempo, quando não 
houver mais mudança nessas variáveis de estado, dizemos que os dois sistemas estão em 
equilíbrio térmico. Essa é a origem do conceito físico de temperatura empírica, isto é, dois 
sistemas estão à mesma temperatura quando suas variáveis de estado não mudarem ao 
serem colocados em contato térmico. 
Para poder definir temperatura de forma não ambígua, sem colocar os corpos em 
contato uns com os outros, precisamos da chamada lei zero da termodinâmica.
A lei zero ficou com esse nome estranho, porque, quando se percebeu a sua necessi-
dade, já tardiamente na história da Termodinâmica, já estavam estabelecidas as chamadas 
primeira, segunda e terceira leis e a definição de temperatura teve de ser dada antes de se 
formular essas três últimas leis.
A lei zero possibilita a definição de temperatura empírica e estabelece que a condição 
de “estar em equilíbrio térmico” é um tipo de relação conhecida na matemática como 
relação de equivalência, isto é, possui as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva. 
A reflexiva é: todo sistema está em equilíbrio consigo mesmo.
A simétrica é: se um sistema A está em equilíbrio com um sistema B, então o sistema 
B está em equilíbrio com o sistema A. A transitiva (a mais importante para a termodinâmi-
ca e comumente conhecida como lei zero) é: se o sistema A está em equilíbrio térmico com 
o sistema B e B está em equilíbrio térmico com C, então A está em equilíbrio térmico com 
C, ou, então, quando dois corpos estão em equilíbrio térmico com um terceiro, eles estão 
em equilíbrio térmico entre si. Outro exemplo de relação de equivalência na Matemática é 
a relação de igualdade. Confira se esta relação tem as três propriedades acima. 
Para continuar com a definição de temperatura, teremos de escolher ainda qual pro-
priedade macroscópica de qual substância vamos associar à temperatura, ou seja, qual é o 
sistema B. Nos termômetros de mercúrio, essa propriedade é a altura da coluna. Como o vo-
lume do mercúrio é proporcional à temperatura, usamos essa proporcionalidade para definir 
a escala (Figura 2). Aqui, faremos um parêntese para explicar como estabelecer essa relação.
Talvez você já saiba como obter a equação de uma reta, pois aprendeu isso em ma-
temática. Se sim, considere o próximo parágrafo uma revisão, se não, estude-o com muita 
atenção, porque esse conhecimento é muito útil!
Considere o gráfico de y versus x abaixo:
A equação que representa a reta passando pelos pontos de coordenadas (x1 , y1) e 
(x2 , y2) é dada por y = ax+b , onde a é a inclinação da reta e b = y0 é a ordenada do ponto 
onde a reta corta o eixo dos y , pois em x = 0, y = y0 = b . A inclinação, a , é igual a tangente 
do ângulo , indicado no gráfico, e a tangente de teta é igual ao cateto oposto, (y2 - y1) , 
divido pelo cateto adjacente, (x2 - x1 ) isto é, . Assim, a equação da 
reta é . 
Agora fechamos o parêntese de revisão matemática e vamos aplicar esse conheci-
mento à calibração do termômetro e à definição da escala centígrada de temperatura. 
Aqui x será l , onde l denota o comprimento da coluna de mercúrio, e y será T(l) , a 
temperatura, onde colocamos o l entre parênteses para indicar que a temperatura é fun-
ção do comprimento da coluna, como poderíamos ter colocado y(x) para indicar que y é 
função de x na dedução da equação da reta. 
Os pontos fixos de temperatura convencionados são ponto de fusão do gelo, 
T(lg) = 00C , e o ponto de vaporização ou ebulição da água é T(lv) = 1000C . Aqui, lg é o 
comprimento da coluna quando o termômetro estiver em equilíbrio térmico com uma 
mistura de gelo e água, e lv é o comprimento da coluna quando o termômetro estiver em 
equilíbrio com a água em ebulição, ambos à pressão de uma atmosfera (760mm Hg). 
A correspondência entre os pontos nos dois gráficos é a seguinte: (x1, y1) corresponde 
a (lg, 0) e (x2, y2) corresponde a (lv, 100). A inclinação da reta será, portanto, dada por: 
 . A reta fica como no gráfico abaixo, onde ainda 
não sabemos qual é o valor de T(0) = T0 , que corresponde ao valor de b= y0, isto é, o valor 
da ordenada quando a reta corta o eixo vertical. Para determinar esse valor, precisamos 
escolher a origem da medida do comprimento da coluna. Tomamos um comprimento 
menor do que o que corresponde a zero grau (ponto de fusão do gelo) como origem, isto 
é, l = 0 , pois é a partir desse ponto que medimos o comprimento. Observe que essa esco-
lha não influencia o resultado, como fica explícito na expressão final. O valor de T(0) = T0 
é obtido a partir do triângulo com vértices nos pontos com coordenadas (-T0 , 0), (0, 0) e 
(lg, 0) . Veja o gráfico:
 
)(
)(
tan
12
12
xx
yy
a ==
gvgv llllxx
yy
a ====
1000100
)(
)(
tan
12
12
 
0
12
12
(
)(
yx
xx
yy
y +=
)
Consórcio Setentrional de Ensino a Distância        389
Eixo Biológico
P
BSC
B
Saiba mais
O gelo é o 
estado sólido 
da água, seu 
aspecto é vítreo, 
emitransparente. 
Sua densidade 
é inferior à da 
água ficando em 
0,92, seu ponto 
de fusão é 0°C. A 
mesma massa de 
água em estado 
líquido ou em 
estado sólido 
têm volumes 
diferentes, pois 
ao passar de um 
estado a outro o 
volume aumenta 
cerca de 9%; 
ao contrário 
da maioria dos 
sólidos, o gelo 
em seu ponto de 
fusão apresenta-
se mais dilatado 
do que sua forma 
líquida a 4°C. Por 
isso o gêlo flutua 
na água!
h
Tubo Capilar
V h
água + gelo
em equilíbrio
água + vapor 
em equilíbrio
dividir em 100
partes iguais
00C 1000C
Y
X
(x ,y )2 2
(x ,y )1 1
X
Y
Figura 2: Lei Zero da Termodinâmica 
Em Termodinâmica – a parte da física que estabelece relações somente entre as 
propriedades macroscópicas das substâncias, como a pressão de um gás, o volume 
de um líquido, a temperatura de uma célula, a magnetização de um sólido, etc. –, 
descrevemos o estado dos sistemas em termos dessas grandezas físicas diretamente 
mensuráveis sobre os sistemas. 
Quando o sistema está num determinado estado, sempre obtemos os mesmos 
resultados para as medidas dessas grandezas (apesar da ocorrência de pequenas flutua-
ções) e dizemos que o sistema está em equilíbrio. 
Se colocarmos dois sistemas a temperaturas diferentes em contato térmico, isto é, 
se permitirmos que o calor flua de um para o outro, ao final de algum tempo, quando não 
houver mais mudança nessas variáveis de estado, dizemos que os dois sistemas estão em 
equilíbrio térmico. Essa é a origem do conceito físico de temperatura empírica, isto é, dois 
sistemas estão à mesma temperatura quando suas variáveis de estado não mudarem ao 
serem colocados em contato térmico. 
Para poder definir temperatura de forma não ambígua, sem colocar os corpos em 
contato uns com os outros, precisamos da chamada lei zero da termodinâmica.
A lei zero ficou com esse nome estranho, porque, quando se percebeu a sua necessi-
dade, já tardiamente na história da Termodinâmica, já estavam estabelecidas as chamadas 
primeira, segunda e terceira leis e a definição de temperatura teve de ser dada antes de se 
formular essas três últimas leis.
A lei zero possibilita a definição de temperatura empírica e estabelece que a condição 
de “estar em equilíbrio térmico” é um tipo de relação conhecida na matemática como 
relação de equivalência, isto é, possui as propriedades reflexiva, simétrica e transitiva. 
A reflexiva é: todo sistema está em equilíbrio consigo mesmo.
A simétrica é: se um sistema A está em equilíbrio com um sistema B, então o sistema 
B está em equilíbrio com o sistema A. A transitiva (a mais importante para a termodinâmi-
ca e comumente conhecida como lei zero) é: se o sistema A está em equilíbrio térmico com 
o sistema B e B está em equilíbrio térmico com C, então A está em equilíbrio térmico com 
C, ou, então, quando dois corpos estão em equilíbrio térmico com um terceiro, eles estão 
em equilíbrio térmico entre si. Outro exemplo de relação de equivalência na Matemática é 
a relação de igualdade. Confira se esta relação tem as três propriedades acima. 
Para continuar com a definição de temperatura, teremos de escolher ainda qual pro-
priedade macroscópica de qual substância vamos associar à temperatura, ou seja, qual é o 
sistema B. Nos termômetros de mercúrio, essa propriedade é a altura da coluna. Como o vo-
lume do mercúrio é proporcional à temperatura, usamos essa proporcionalidade para definir 
a escala (Figura 2). Aqui, faremos um parêntese para explicar como estabelecer essa relação.
Talvez você já saiba como obter a equação de uma reta, pois aprendeu isso em ma-
temática. Se sim, considere o próximo parágrafo uma revisão, se não, estude-o com muita 
atenção, porque esse conhecimento é muito útil!
Considere o gráfico de y versus x abaixo:
A equação que representa a reta passando pelos pontos de coordenadas (x1 , y1) e 
(x2 , y2) é dada por y = ax+b , onde a é a inclinação da reta e b = y0 é a ordenada do ponto 
onde a reta corta o eixo dos y , pois em x = 0, y = y0 = b . A inclinação, a , é igual a tangente 
do ângulo , indicado no gráfico, e a tangente de teta é igual ao cateto oposto, (y2 - y1) , 
divido pelo cateto adjacente, (x2 - x1 ) isto é, . Assim, a equação da 
reta é . 
Agora fechamos o parêntese de revisão matemática e vamos aplicar esse conheci-
mento à calibração do termômetro e à definição da escala centígrada de temperatura. 
Aqui x será l , onde l denota o comprimento da coluna de mercúrio, e y será T(l) , a 
temperatura, onde colocamos o l entre parênteses para indicar que a temperatura é fun-
ção do comprimento da coluna, como poderíamos ter colocado y(x) para indicar que y é 
função de x na dedução da equação da reta. 
Os pontos fixos de temperatura convencionados são ponto de fusão do gelo, 
T(lg) = 00C , e o ponto de vaporização ou ebulição da água é T(lv) = 1000C . Aqui, lg é o 
comprimento da coluna quando o termômetro estiver em equilíbrio térmico com uma 
mistura de gelo e água, e lv é o comprimento da coluna quando o termômetro estiver em 
equilíbrio com a água em ebulição, ambos à pressão de uma atmosfera (760mm Hg). 
A correspondência entre os pontos nos dois gráficos é a seguinte: (x1, y1) corresponde 
a (lg, 0) e (x2, y2) corresponde a (lv, 100). A inclinação da reta será, portanto, dada por: 
 . A reta fica como no gráfico abaixo, onde ainda 
não sabemos qual é o valor de T(0) = T0 , que corresponde ao valor de b = y0, isto é, o valor 
da ordenada quando a reta corta o eixo vertical. Para determinar esse valor, precisamos 
escolher a origem da medida do comprimento da coluna. Tomamos um comprimento 
menor do que o que corresponde a zero grau (ponto de fusão do gelo) como origem, isto 
é, l = 0 , pois é a partir desse ponto que medimos o comprimento. Observe que essa esco-
lha não influencia o resultado, como fica explícito na expressão final. O valor de T(0) = T0 
é obtido a partir do triângulo com vértices nos pontos com coordenadas (-T0 , 0), (0, 0) e 
(lg, 0) . Veja o gráfico:
 
)(
)(
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12
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xx
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gvgv llllxx
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1000100
)(
)(
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)(
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390        Módulo I — Contexto da Vida
#
M1U9 Conceitos de energia e trabalho; princípios gerais da termodinâmica
T(l)
T0
(0, T0)
(lg , 0)(0, 0) lv l
(lv, 100)
Usamos a relação (observe que ), mas 
já sabemos que a tangente desse ângulo é a inclinação da reta, então: ou
 , assim, substituindo na equação da reta, ,
valores correspondentes, y = T(l) , x = 1,e , 
obtemos finalmente, a temperatura como função do comprimento da coluna de mercúrio: 
 . Eq. 03. 
Observe nessa equação que a temperatura depende da diferença entre os compri-
mentos da coluna de mercúrio na temperatura a ser medida (l), e na temperatura do ponto 
de fusão do gelo, escolhido como ponto fixo ou de referência, (l ) e da diferença de com-
primento da coluna nos pontos escolhidos como referência, (lv - lg). Ou seja, não depende 
da escolha da origem do comprimento.
Esse mesmo procedimento pode ser feito para qualquer propriedade de qualquer 
substância que tenha uma variação linear com a temperatura. Essa dependência funcional 
pode aparecer na forma de linha reta, como a da temperatura dos gases com a pressão 
(como veremos mais abaixo), ou do termopar, que é um tipo de termômetro que utiliza 
para a medição a variação com a temperatura do potencial elétrico, existente entre fios de 
diferentes ligas metálicas, quando colocados em contato. 
Outros tipos de dependência funcional que não seja a linear, entre a temperatura e 
alguma propriedade física de uma substância, também podem ser usados, mas nesse caso 
deve existir uma tabela calibrada de conversão de valores, que, nos instrumentos moder-
nos de medir temperatura, já está gravada no instrumento.
Procurando estabelecer relações entre as variáveis macroscópicas diretamente ob-
serváveis, a Termodinâmica formulou leis (síntese de observações empíricas, lembre-se!), 
que estas variáveis devem obedecer sob determinadas condições. 
Uma variável termodinâmica é uma função de estado, é uma grandeza física que 
só depende do estado do sistema, não de como o sistema chegou a essa condição. Exis-
tem variáveis ou grandezas físicas que descrevem processos e que dependem de qual é a 
história do sistema, assim, o trabalho realizado por uma força não conservativa, como o 
atrito, por exemplo, depende do caminho que o corpo percorre, da trajetória, sendo assim 
uma função de processo. 
Se subirmos num pé de manga e tiramos uma manga que está a uma altura H do 
solo e a colocamos essa manga em cima de uma pedra diretamente abaixo da mangueira, 
a uma altura h, a variação de energia potencial da manga é mg(H - h).
Se, entretanto, antes de colocarmos a manga em cima da pedra, formos até um ria-
cho próximo, tomarmos um banho, voltarmos até a mangueira e só então colocarmos a 
manga em cima da pedra, teremos certamente realizado um trabalho maior sobre a man-
ga, mas a variação de energia potencial da manga foi a mesma. A energia potencial é uma 
função de estado, porém o trabalho é uma função de processo. 
As variações infinitesimais em quantidades que são funções de estado vamos de-
notar como dX, são ditas diferenciais exatas, porque podem ser integradas e a sua inte-
gral não depende da trajetória. 
Já as variações infinitesimais em quantidades que não são funções de estado, indica-
mos por , as quais são chamadas de diferenciais inexatas, pois suas integrais não estão 
definidas de forma única, já que o resultado da integração depende de como o sistema é 
levado de um ponto a outro no espaço de estados. Essas variáveis são chamadas de proces-
so. Por isso é que a integral que usamos para definir trabalho é uma integral de linha. 
Falamos aqui de espaço de estados, isso quer dizer que o espaço gerado pelas va-
riáveis termodinâmicas que definem o sistema. Por exemplo, no gráfico de pressão versus 
volume, p x V de um gás ideal, o espaço de estados é bidimensional, pois as variáveis 
que definem seu estado termodinâmico são a pressão e o volume, onde a temperatura do 
gás fica estabelecida por meio da relação que define o gás ideal, pV = nRT . Poderíamos 
também escolher p e T, ou T e V como variáveis independentes, a terceira ficando definida 
pela equação dos gases ideais. O número de variáveis independentes necessárias para es-
tabelecer o estado do sistema é chamado de número de graus de liberdade do sistema.
As variáveis termodinâmicas são também classificadas como extensivas e intensi-
vas. As extensivas dependem do tamanho do sistema no qual são medidas, são defini-
das para o sistema como um todo. Por sua vez, as intensivas não dependem do tamanho 
do sistema e são definidas localmente. 
Para entender a diferença, considere dois sistemas com o mesmo volume, (V), e 
mesma pressão, (p). Se os colocarmos juntos, o volume total será V1 = V+V = 2V , mas a 
pressão total será p1 = p . As variáveis aditivas, como volume, massa, etc., são extensivas e 
são proporcionais ao tamanho ou à extensão do sistema. As que permanecem constantes, 
independente do tamanho do sistema, como pressão, temperatura, etc., são intensivas. 
#M1U9 VI. Variáveis de estado e variáveis de 
processo
g
gv
l
ll
T =
100
0
 
0
12
12
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Consórcio Setentrional de Ensino a Distância        391
Eixo Biológico
P
BSC
B
T(l)
T0
(0, T0)
(lg , 0)(0, 0) lv l
(lv, 100)
Usamos a relação (observe que ), mas 
já sabemos que a tangente desse ângulo é a inclinação da reta, então: ou
 , assim, substituindo na equação da reta, ,
valores correspondentes, y = T(l) , x = 1, e , 
obtemos finalmente, a temperatura como função do comprimento da coluna de mercúrio: 
 . Eq. 03. 
Observe nessa equação que a temperatura depende da diferença entre os compri-
mentos da coluna de mercúrio na temperatura a ser medida (l), e na temperatura do ponto 
de fusão do gelo, escolhido como ponto fixo ou de referência, (l ) e da diferença de com-
primento da coluna nos pontos escolhidos como referência, (lv - lg). Ou seja, não depende 
da escolha da origem do comprimento.
Esse mesmo procedimento pode ser feito para qualquer propriedade de qualquer 
substância que tenha uma variação linear com a temperatura. Essa dependência funcional 
pode aparecer na forma de linha reta, como a da temperatura dos gases com a pressão 
(como veremos mais abaixo), ou do termopar, que é um tipo de termômetro que utiliza 
para a medição a variação com a temperatura do potencial elétrico, existente entre fios de 
diferentes ligas metálicas, quando colocados em contato. 
Outros tipos de dependência funcional que não seja a linear, entre a temperatura e 
alguma propriedade física de uma substância, também podem ser usados, mas nesse caso 
deve existir uma tabela calibrada de conversão de valores, que, nos instrumentos moder-
nos de medir temperatura, já está gravada no instrumento.
Procurando estabelecer relações entre as variáveis macroscópicas diretamente ob-
serváveis, a Termodinâmica formulou leis (síntese de observações empíricas, lembre-se!), 
que estas variáveis devem obedecer sob determinadas condições. 
Uma variável termodinâmica é uma função de estado, é uma grandeza física que 
só depende do estado do sistema, não de como o sistema chegou a essa condição. Exis-
tem variáveis ou grandezas