1 LIMITES (2)

Prévia do material em texto

LIMITES
 Definição Geral
Se os valores de puderem ser tão pequenos quanto quisermos de L, fazendo x suficientemente próximo de a (mas não igual a a), então escrevemos:
O que deve ser lido como: “o limite de quando x tende a a, é L”.
De outra forma, isso significa que os valores de ficam cada vez mais próximos do número L à medida que x tende ao número a, mas .
Preste atenção na frase “mas ”, significa que no limite de quando x tende a a nunca consideramos . Então, não precisa estar definida em a, somente nas proximidades de a.
Na figura acima, note que, na parte (c), não está definida e, na parte (b), . Mas, em cada caso, o limite é igual a L.
 Limites Laterais
Definição – dizemos que o limite de quando x tende a a pela esquerda é igual a L, se pudermos tornar os valores de arbitrariamente próximos de L, tornando x suficientemente próximos de a e x menor do que a, e escrevemos: 
Analogamente, definimos o limite de quando x tende a a pela direita e escrevemos:
	Da definição geral de limite, concluímos que:
Quando os limites laterais tendem a L.
Ou seja, o limite de uma dada função existe, em dado ponto, quando existem os limites laterais (no dado ponto) pela direita e pela esquerda, e os mesmos forem iguais.
Limites Infinitos
Definição – Seja f uma função definida em ambos os lados de a, exceto possivelmente em a. Se pudermos, através de uma escolha adequada de x, nas proximidades de a, fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente grande (tão grande quanto quisermos), então escrevemos:
E lê-se: “o limite de f(x), quando x tende a a, é infinito”.
Exemplo:
Queremos encontrar o limite 
Para a função , temos o seguinte gráfico:
Vemos que, à medida que x se aproxima de 0, x² também se aproxima de 0, e fica muito grande. Então, tomando valores de x próximos de 0, observamos que f(x) torna-se arbitrariamente grande e, para indicar o comportamento da função, escrevemos:
Isso não significa considerar ∞ como sendo um número, é simplesmente uma forma de expressar que o limite de f(x) pode assumir valores tão grandes quanto quisermos, bastando escolher valores de x adequadamente próximos de 0.
 Cálculo Utilizando as Leis dos limites
Para o estudo dos limites e fundamental é útil conhecer e saber aplicar as propriedades (leis) dos limites, que são:
O limite de uma constante é a própria constante:
, com 
Exemplo: 
O limite da soma ou diferença é igual a soma ou diferença dos limites, caso estes limites existam:
Exemplo:
O limite do produto é o produto dos limites, caso estes limites existam:
Exemplo:
O limite do quociente é igual ao quociente dos limites, caso estes limites existam:
Exemplo:
 
O limite da potência de uma função f(x) é igual à potência do limite da função, caso esse exista:
, com 
Exemplo:
 
O limite de uma constante vezes uma função é igual à constante vezes o limite da função, caso esse limite exista:
O limite da raiz enésima de uma função é a raiz enésima do limite da função: 
, com e se for par 
Exemplo:
 
O limite de uma potência de base x: 
, com 
Exemplos resolvidos:
Calcule utilizando as leis do limite, os limites abaixo:
 (Lei 2)
 (Lei 6)
 (Leis 1 e 8)
 
 (Lei 4)
 (Leis 2 e 6)
 (Leis 1 e 8)
Não podemos encontrar o limite substituindo diretamente , pois tornamos, dessa forma, o denominador nulo.
Fatorando o numerador como uma diferença de quadrados, temos:
Quando tomamos o limite quando x tende a 2, temos , e assim . Logo, podemos cancelar (simplificar) o fator comum e calcular o limite, como se segue:
= 
Por meio dos exemplos, podemos notar que se f for uma função polinomial ou racional e a estiver no domínio de f, então:
Exercícios
Calcule os limites, se existirem:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Gabarito
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
 Limites no Infinito
Definição – Seja f uma função definida e, algum intervalo . Então
Significa que os valores de f(x) podem ficar arbitrariamente próximos de L, tornando-se x suficientemente grande.
E lê-se: “o limite de f(x), quando x tende ao infinito, é L”.
Note que existem várias formas de o gráfico de f aproximar-se da reta (chama-se assíntota horizontal), variando o valor de x, como ilustrado abaixo:
Exemplo Resolvido
Queremos encontrar o limite abaixo:
Para calcular limites no infinito, primeiro dividimos o numerador e o denominador pela maior potência de x que ocorre no denominador. No nosso caso, a maior potência de x é x², então temos:
 
Exercícios
Calcule os limites:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Gabarito
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Assíntotas: vertical e horizontal
Observe as curvas, abaixo:
	
	
Nos dois casos, quando nos aproximamos de notamos que se torna um “positivo grande” ou um “negativo grande” (negativo grande quer dizer que ele é negativo, mas que seu valor absoluto é grande).
Na figura acima, a reta é uma assíntota vertical.
	Definição: A reta é chamada assíntota vertical da curva se pelo menos uma das seguintes condições estiver satisfeita:
	
	
	
	
	
	
Exemplo: Encontre e .
Solução:
Se esta próximo a 3 mas é maior que 3, então o denominador é um número positivo pequeno e está próximo a 6. Portanto, o quociente é um número positivo grande. Então, intuitivamente, temos que .
Analogamente, se esta próximo a 3 mas é menor que 3, então é um número negativo pequeno, mas ainda é um número positivo (próximo a 6). Portanto, é um número negativo grande. Assim, .
Abaixo, gráfico da curva . A reta é uma assíntota vertical.
Observe que o gráfico, da figura abaixo, aproxima-se da reta , chamada assíntota horizontal.
	Definição: A reta é chamada assíntota horizontal da curva se
	
	
Um exemplo de curva com duas assíntotas horizontais é .
	
	
Na verdade, e , logo ambas as retas e são assíntotas horizontais
Exercícios: Determinar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico das seguintes funções:
	a) 
	b) 
	c) 
	d) 
	e) 
	f) 
	g) 
	h) 
GABARITO
	a) 
	b) 
	c) 
	d) 
	e) 
	f) 
	g) 
	h) 
EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES DE LIMITES:
Calcule os limites indicados nos exercícios 1 a 20:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Calcule os limites indicados nos exercícios 21 a 40
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
Calcule os limites indicados nos exercícios 41 a 60:
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
GABARITO
	1)
	
	
	16)
	
	
	31)
	
	
	46)
	
	2)
	
	
	17)
	
	
	32)
	
	
	47)
	
	3)
	
	
	18)
	
	
	33)
	
	
	48)
	
	4)
	
	
	19)
	
	
	34)
	
	
	49)
	
	5)
	
	
	20)
	
	
	35)
	
	
	50)
	
	6)
	
	
	21)
	
	
	36)
	
	
	51)
	
	7)
	
	
	22)
	
	
	37)
	
	
	52)
	
	8)
	
	
	23)
	
	
	38)
	
	
	53)
	
	9)
	
	
	24)
	
	
	39)
	
	
	54)
	
	10)
	
	
	25)
	
	
	40)
	
	
	55)
	
	11)
	
	
	26)
	
	
	41)
	
	
	56)
	
	12)
	
	
	27)
	
	
	42)
	
	
	57)
	
	13)
	
	
	28)
	
	
	43)
	
	
	58)
	
	14)
	
	
	29)
	
	
	44)
	
	
	59)
	
	15)
	
	
	30)
	
	
	45)
	
	
	60)