CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 5

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Cálculo Diferencial 
e Integral II 
Integrais triplas
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Esp. Clovis Jose Serra Damiano
Revisão Textual:
Profa. Esp. Márcia Ota
5
Vamos iniciar os nossos estudos, definindo integrais triplas. Em seguida, vamos aprender 
a calcular volumes de formas tridimensionais, usando esse conceito. Para tanto, o material foi 
organizado da seguinte forma:
•	 Introdução;
•	 Definição;
•	 Volume de uma região no espaço;
•	 Limites de integração;
•	 Cálculo de integrais triplas;
•	 Propriedades das Integrais Triplas.
Ao terminar essa unidade, você deverá ser capaz de identificar e calcular uma integral tripla.
Para ajudá-lo, realize a leitura dos textos indicados, acompanhe e refaça os exemplos resolvidos.
Não deixe de assistir, também, à apresentação narrada do conteúdo e de alguns exercícios resolvidos.
Finalmente, e o mais importante, fique atento às atividades avaliativas propostas e ao prazo 
de realização e envio.
Nesta Unidade, estudaremos as integrais triplas em coordenadas cartesianas.
Vale salientar que uma das aplicações das integrais triplas é encontrar o 
volume de formas tridimensionais.
Desse modo, leia com atenção a parte teórica e não deixe de fazer os exercícios 
propostos, que ajudarão você a sedimentar esses novos conhecimentos.
Assim sendo, organize o seu tempo de estudos e esteja atento aos prazos de 
entrega das atividades propostas
Integrais triplas
 · Integrais triplas em coordenadas cartesianas
6
Unidade: Integrais triplas
Contextualização
Calcule o volume, usando a integral tripla de um sólido definido no primeiro octante e limitado 
pelos planos coordenados e pela equação:
3x+6y+4z=12
O passo a passo desse exercício você poderá acompanhar no seguinte endereço eletrônico:
https://www.youtube.com/watch?v=O7hJAo1rexA&list=PL82B9E5FF3F2B3BD3&index=16
Expectativa de resposta:
Não há expectativa de reposta.
O aluno deverá acompanhar as explicações dadas no vídeo indicado.
7
Integrais triplas em coordenadas cartesianas
Nesta unidade, iremos estudar as integrais triplas. Já definimos anteriormente as integrais 
para funções de uma única variável e integrais duplas para funções de duas variáveis. Agora, 
definiremos as integrais triplas para funções de três variáveis.
Se tomarmos a função f(x,y,z) que esteja definida em uma região que chamaremos de D, 
fechada e limitada no espaço. Suponha, ainda, que essa região seja ocupada por uma esfera, 
por exemplo. A integral de f sobre D poderá ser definida da seguinte forma:
Tomamos uma região em forma de paralelepípedo que contenha a região D e vamos 
particionar essa região em pequenos paralelepípedos, cortando-a por planos paralelos aos 
planos coordenados. Veja a figura 1:
Figura 1
 
Nosso próximo passo será enumerar esses pequenos paralelepípedos (que estão contidos 
dentro da região D) de 1 até n segundo algum critério, ou segundo alguma ordem. O k-ésimo 
paralelepípedo	típico	terá	as	seguintes	dimensões:	∆xk,	∆yk	e	∆zk, e, portanto, o volume desse 
k-ésimo paralelepípedo será dado por:
∆Vk=∆xk×∆yk×∆zk
Escolhe-se um ponto (xk,yk,zk) em cada um dos vários pequenos paralelepípedos e efetua-se 
a seguinte soma:
1
( , , ). 
n
n k k k k
k
S f x y z V
=
= ∆∑
Nosso interesse será saber o que acontece conforme a região for particionada em células 
cada	vez	menoresde	 forma	que	os	 valores	de	∆xk,∆yk	 e	∆zk se aproximem de zero, ou seja, 
teremos uma grade composta por paralelepípedos infinitamente pequenos, cujas dimensões 
de cada um de seus lados tendam a zero. Quando se alcança um valor limite que seja único, 
independente da forma como escolhemos as partições e os pontos (xk,yk,zk), podemos afirmar 
que f é integrável sobre a região do espaço D.
8
Unidade: Integrais triplas
Concluindo, conforme n tende a infinito e Sn se aproxima de um limite, esse limite é 
denominado integral tripla de f sobre D que se denota:
( )lim , ,
d
nn
D
S f x y z dV
→∞
= ∫∫
Lembre-se, que dV = dx dy dz.
Você já deve ter percebido que uma das aplicações das integrais triplas será o cálculo de volumes.
Após, vamos definir o que é o volume de uma região do espaço.
Se f é uma função constante que vale 1, então:
1
( , , ). 1.
n
n k k k k k k
k
S f x y z V V V
=
= ∆ = ∆ = ∆∑ ∑ ∑
À	medida	que	∆xk,∆yk	e	∆zk	se	aproximam	de	zero,	o	volume	dos	paralelepípedos	∆Vk vai 
ficando cada vez menor e mais numeroso e vai preenchendo cada vez mais o espaço dado por 
D. Isso nos permite definir o volume de D como a integral tripla:
1
lim
dn
kn
k D
V dV
→∞
=
∆ =∑ ∫∫
Vamos começar a trabalhar com integrais triplas de uma forma mais simples, quando f é 
definida em uma caixa retangular.
Na figura 2, temos um sólido e queremos calcular o seu volume, usando as integrais triplas:
Figura 2
 
z
2
3
4
y
x
0
Observe a figura para calcular o volume, usando as integrais triplas, pois nossa figura é 
função de três variáveis: x,y e z. Nosso primeiro passo será definir os limites de integração para 
cada variável.
9
Vamos começar com a variável x. É possível observar que ela varia de zero a três. A variável 
y varia de zero a quatro e variável z varia de zero a dois.
Resumindo, temos os seguintes limites de integração:
0≤	x ≤3
0≤	y ≤4
0≤	z ≤2
Vamos escrever cada limite na direção de cada variável:
2 4 3
0 0 0
ò ò òdz dy dx
Podemos fazer essa notação, que representa um volume de uma outra forma:
2 4 3
0 0 0
ò ò òdx dy dz
Note a ordem: dx refere-se à integral mais interna, dy à integral do meio e dz à integral mais externa. 
Uma outra forma de representar essa integral seria chamando dx dy dv de dV:
2 4 3
0 0 0
ò ò òdx dy dz
Então, como fazemos para calcular essas integrais?
2 4 3
0 0 0
ò ò ò  dy dzdx
Primeiro, faremos o cálculo da integral em relação à variável x. Lembre-se que a integral de 
dx é x! Para facilitar o cálculo, vamos separar cada integral com suas variáveis:
[ ]
[ ]
2 4 3
0 0 0
2 4
3
0
0 0
2 4
0 0
3 0
=
=
= -
ò ò ò
ò ò
ò ò
V dz dy dx
V dz dy x
V dz dy
O resultado da integral será 3, que é uma constante. Portanto, podemos tirá-la para fora e, 
em seguida, vamos integrar dy:
10
Unidade: Integrais triplas
[ ]
[ ]
2 4
0 0
2
4
0
0
2
0
3
3
3 4 0
=
=
= -
ò ò
ò
ò
V dz dy
V dz y
V dz
A integral de dy também é uma constante; portanto, poderemos retirá-la para fora do sinal 
de integração e integraremos dz:
[ ]
2
0
2
0
4.3
12
=
=
òV dz
V z
V=12[2-0]
V=24	unidades de medida de volume
V=24.
Vamos analisar mais um exemplo:
Calcule a integral tripla 2òòòB xyz dV , em que B é uma caixa retangular dada por:
B={(x,y,z)	0	≤	x	≤	1;	-1	≤	y ≤	2;	0	≤	z ≤	3}
Resolução:
O primeiro passo será escrever essas informações na forma de uma integral tripla.
Em seguida, vamos integrar a função na nessa ordem:
1. Primeiro em relação àx.
2. Depois em relação ày.
3. E por último em relação àz.
3 2 1
2
0 1 0
3 2 1
2
0 1 0
-
-
=
=
ò ò ò
ò ò ò
I xyz  dx dy dz
I dz dy xyz  dx
11
Comece pela integral mais interna:
( ) ( )
13 2 2 2
00 1
2 23 2 2 2
0 1
3 2 2
0 1
2
1 0
2 2
2
-
-
-
é ù
ê ú= ê úë û
é ù
ê ú= -ê ú
ê úë û
=
ò ò
ò ò
ò ò
x yz
I dz dy
yz yz
I dz dy
yz
I dz dy
Vamos integrar em relação à variável y:
( ) ( )
( ) ( )
23 2 2
10
2 23 2 2
0
3 2 2
0
3 2
0
3 33 3
0 0
3 3
4
2 1
4 4
4
4 4
3
4
3
12 4
3 0
4 4
27
4
-
é ù
ê ú= ê úë û
é ù-ê ú= -ê ú
ê úë û
é ù
ê ú= -ê úë û
æ ö÷ç ÷= ç ÷ç ÷çè ø
é ù é ù
ê ú ê ú= =ê ú ê úëû ë û
é ù
ê ú= -ê ú
ê úë û
=
ò
ò
ò
ò
y z
I dz
z z
I dz
z z
I dz
z
I dz
z z
I
I
I
A integral tripla sempre existe se a função f for contínua. O método prático para calcular uma 
integral tripla é expressá-la como uma integral iterada.
Teorema de Fubbine
Se f é contínua em uma caixa retangular B=[a,b]×[c,d]×[r,s], então:
( ) ( ), , , ,=òòò ò ò ò
s d b
B r c a
f x y z dV f x y z dx dy dz
Pelo Teorema, a integral iterada do lado direito indica que primeiro se integra a função em 
relação àx, mantendo y e z fixados. Na sequência, integra-se em relação ày, mantendo o z 
fixado e, finalmente, integra-se em relação àz.
12
Unidade: Integrais triplas
Existem outras ordens de integração que fornecem o mesmo resultado, por exemplo, se 
integrarmos primeiro em relação ày; depois, em relação àz e, finalmente, em relação àx; 
portanto, indicaríamos a integral da seguinte forma:
( ) ( ), , , ,=òòò ò ò ò
b s d
B a r c
f x y z dV f x y z dy dz dx
Integral Tripla sobre uma região limitada genérica
Calcula-se uma integral tripla, aplicando uma versão tridimensional do Teorema de Fubbini 
e realizando três integrações repetidas. Existe um procedimento geométrico para encontrar os 
limites de integração para essas integrais simples. Para calcular a integral abaixo sobre uma 
região D,integra-se primeiro em relação àz, depois em relação ày e, por fim, em relação àx.
( ), ,òòò
D
f x y z dV
Suponha o esboço de uma região D e sua projeção vertical R no plano xy. Identifique as 
superfícies limitantes superior e inferior de D e as curvas de fronteira superior e inferior de R. 
Vide a figura 3.
Figura 3
Vamos encontrar, agora, os limites de integração de z. Trace uma reta M que passe por um 
ponto (x,y) em R e que seja paralela ao eixo z. À medida que z cresce, M “entra” em D em z=f1 
(x,y) e “sai “ em z=f2 (x,y), Esses são os limites de integração da variável z,	Observe	a	figura	4.
13
Figura 4
 
Para encontrar os limites de integração de y, desenhe uma reta L que passe por (x,y) e que 
seja paralela ao eixo y. À medida que y cresce L, entra em R em y=g1 (x) e sai em y=g2 (x). 
Esses são os limites de integração de y. Vide a figura 5.
Figura 5
 
Finalmente, encontre os limites de integração de x, escolhendo todas as retas que passam por 
R e são paralelas ao eixo y(x=a e x=b) da figura 5.
Portanto, a integral fica:
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
1 1
,
,
, ,
= ==
= = =
ò ò ò
y g x z f x yx b
x a y g x z f x y
f x y z  dz dy dx
14
Unidade: Integrais triplas
Caso você troque a ordem de integração, siga procedimentos similares. A projeção da região 
D estará no plano das duas últimas variáveis em relação às quais a integração iterada é feita.
Esse procedimento será aplicado sempre que uma região sólida D é limitada superior e 
inferiormente por uma superfície e quando a projeção “R” é limitada acima e abaixo por uma curva.
Vamos aprender a efetuar o cálculo de uma integral tripla.
Exemplo:
Calcule: 2 312òòò
R
xy z dV
Dado que R é a região limitada por:
-1	≤	x	≤2
0	≤	y	≤3
0	≤	z	≤2
Para efetuar esse cálculo, vamos reescrever a integral com essas informações:
Nosso próximo passo será integrar de dentro para fora. Se vamos integrar em relação à 
variável x, tudo que sobra na sentença são constantes, e sesão constantes, podemos tirar para 
fora do sinal de integração para facilitar o cálculo. Veja como fica:
2 3 2
2 3
0 0 1
12
-
= ò ò òI dz dy  y z x dx
Basta calcular a integral definida xdx no intervalo especificado, usando o Teorema Fundamental 
do Cálculo que consiste em achar a primitiva da função e, em seguida, fazer diferença entre os 
limites de integração de acordo com a função encontrada:
( ) ( )
22 3 2
2 3
10 0
2 22 3
2 3
0 0
2 3
2 3
0 0
2 3
2 3
0 0
12
2
2 1
12
2 2
3
12 .
2
18
-
é ù
ê ú= ê úë û
é ù-ê ú= -ê ú
ê úë û
=
=
ò ò
ò ò
ò ò
ò ò
x
I dz dy  y z
I dz dy  y z
I dz dy  y z
I dz    y z dy
2 3 2
2 3
0 0 1
12
-
= ò ò òI dz dy xy z  dx
15
Calculamos a integral em relação à variável x. Agora, vamos calcular a integral em relação à 
variável y, usando o mesmo procedimento.
( ) ( )
( ) ( )
2 3
3 2
0 0
32 3
3
00
33 32
3
0 0
2
3
0
2
3
0
2
3
0
24
0
4 4
18
18
3
3 0
18
3 3
18 .9
162
162
162.
4
2 0
162.
4 4
162.4 648
=
é ù
ê ú= ê úë û
é ù
ê ú= -ê ú
ê úë û
=
=
=
é ù
ê ú= ê úë û
é ù
ê ú= -ê ú
ê úë û
= =
ò ò
ò
ò
ò
ò
ò
I dz z y dy
y
I dz z
I dz z
I dz z
I z dz
I z dz
z
I
I
I
Em algumas situações, teremos que calcular integrais triplas e alguns limites de integração 
não são constantes e sim funções, mas o procedimento para resolver o problema é exatamente 
o mesmo. Veja o exemplo:
Vamos determinar os limites de integração para o cálculo de uma integral tripla da função 
f(x,y,z) sobre o tetraedro D com os vértices (0,0,0); (1,1,0); e (0,1,1).
Na figura 6, temos o esboço de D e de sua projeção no plano xz.
Figura 6
16
Unidade: Integrais triplas
Nosso primeiro objetivo é encontrar os limites e integração para calcular a integral tripla da 
função definida sobre o Tetraedro D.
Observe:
A superfície limitante inferior à esquerda está contida no plano y=x+z.
A fronteira superior de R é a reta z=1-x.
A fronteira inferior de R é a reta z=0.
Em primeiro lugar, vamos encontrar os limites de integração de y. A reta que passa por um 
ponto (x,z) em R e é paralela ao eixo y “entra” em y=x+1 e sai em y=1.
Vamos, agora, em busca dos limites de integração da variável z.
A reta L que passa por (x,z) e que é paralela ao eixo z entra em R em z=0 e sai em z=1-x.
Agora, falta encontrar os limites de integração da variável x. Observe que à medida que L 
varre R, o valor de x varia de zero a um.
Portanto, a integral é:
( )
1 1 1
0 0
, ,
-
+
ò ò ò
x
x z
f x y z  dy dz dx
Achado os limites de integração, vamos calcular essa integral que eu vou chamar de I:
[ ]
[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 1 1
0 0
1 1 1
0 0
0 1
1
1 0
1 1
0 0
11 2
00
2 21
0
1
2
0
1
2
1 0
1 1 0 0
2 2
1
1 1
2
-
+
-
+
-
+
-
-
=
=
=
= - -
é ù
ê ú= - -ê úë û
é ùæ ö æ ö- ÷ ÷ç çê ú÷ ÷ç ç= - - - - - - -÷ ÷ê úç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ê ú÷ ÷ç çè ø è øë û
= - - + - -
ò ò ò
ò ò ò
ò ò
ò ò
ò
ò
ò
x
x z
x
x z
x
x z
x
x
I dy dz dx
I dx dz dy
I dx dz y
I dx x z dz
z
I dx z xz
x
I dx x x x x
I dx x x x x
( )
2
1
2 2
0
2
2
1
1 2 1 2
2
1 2
1 1 2
2 2 2
é ù
ê ú
ê úë û
é ù
ê ú= - + - - +ê úë û
é ù
ê ú= - + - + -ê úë û
òI dx x x x x
x x
I   x x x
17
Fazendo as simplificações pertinentes, sobra:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2
0
12 3
0
2 3 2 3
1
2 2
1
2 2 6
1 1 0 01 1
1 0
2 2 6 2 2 6
1 1 1
2 2 6
1
6
æ ö÷ç ÷= - +ç ÷ç ÷çè ø
é ù
ê ú= - +ê úë û
é ùæ ö æ ö÷ ÷ç çê ú÷ ÷ç ç= - + - - +÷ ÷ê úç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ê ú÷ ÷ç çè ø è øë û
= - +
=
ò xI x dx
x x
I x
I
I
I
Se quisermos integrar f(x,y,z) sobre o mesmo tetraedro D na ordem dz dy dx, começamos 
achando os limites de integração de z, depois de y e, por último, de x e a integral seria:
1 1
0 0
-
= ò ò ò
y x
x
I dx dy dz
Se f(x,y,z)=1, o volume do tetraedro é encontrado calculando essa integral, que dará o 
mesmo resultado da integral anterior embora estejamos integrando em uma outra ordem.
[ ]
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
0
0
1 1
0
11 2
0
2 21
0
1 2
2
0
1 2
0
12 3
0
2
1
1
22
1
2 2
1
2 2
1
2 2 6
1
2
-=
= -
é ù
ê ú= -ê úë û
é ùæ ö æ ö÷ ÷ç çê ú÷ ÷ç ç= - - -÷ ÷ê úç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ê ú÷ ÷ç çè ø è øë û
æ ö÷ç ÷= - - +ç ÷ç ÷çè ø
æ ö÷ç ÷= - +ç ÷ç ÷÷çè ø
é ù
ê ú= - +ê úë û
=
ò ò
ò ò
ò
ò
ò
ò
y x
x
x
x
I dx dy z
I dx y x dy
y
I dx xy
x
I dx x x x
x
I dx x x
x
I x dx
x x
I x
I ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 3 2 3
1 1 0 01
1 0
2 6 2 2 6
1 1 1 1
2 2 6 6
é ùæ ö æ ö÷ ÷ç çê ú÷ ÷ç ç- + - - +÷ ÷ê úç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ê ú÷ ÷ç çè ø è øë û
= - + =I
18
Unidade: Integrais triplas
Quando trabalhamos com as integrais triplas, podem existir até seis ordens de integração já 
que podemos combinar dx dy e dz de diferentes maneiras. Cada ordenação nos leva a uma 
descrição diferente da região do espaço a ser integrada e a diferentes limites de integração.
A figura 7 representa um sólido. É possível calcular o volume desse sólido de seis formas 
diferentes de acordo com a combinação de dx dy dz.
Figura 7
 
Cada uma das integrais abaixo calcula o volume desse sólido:
1 1 2
1
0 0 0
11 2
2
0 0 0
1 2 1
3
0 0 0
2 1 1
4
0 0 0
11 2
5
0 0 0
12 1
6
0 0 0
-
-
-
-
-
-
=
=
=
=
=
=
ò ò ò
ò ò ò
ò ò ò
ò ò ò
ò ò ò
ò ò ò
z
y
z
z
y
y
I dx dy dz
I dx dz dy
I dy dx dz
I dy dz dx
I dz dx dy
I dz dy dx
19
O volume desse sólido é 1. Para treinar, resolva essas seis integrais. Todas darão o mesmo resultado.
As integrais triplas têm as mesmas propriedades que as integrais simples e duplas:
Sendo F(x,y,z) e G(x,y,z), se F e G forem contínuas:
1. Multiplicação por constante (k), para qualquer valor de k:
=òòò òòò
D D
k F dV k F dV
2. Soma e diferença
( )± = ±òòò òòò òòò
D D D
F G  dV F dV G dV
20
Unidade: Integrais triplas
Material Complementar
Para aprofundar seus estudos, assista aos seguintes vídeos:
https://www.youtube.com/watch?v=32oMHqLSuFc&index=14&list=PL82B9E5FF3F2B3BD3
https://www.youtube.com/watch?v=6I9zh7l762I&list=PL82B9E5FF3F2B3BD3&index=15
21
Referências
DEMANA, Franklin D.; WAITS, Bert K.; FOLEY, Gregory D.; KENNEDY, Daniel. Pré-Cálculo. 
2 ed. São Paulo: Pearson, 2013.
BOULOS, Pré-Cálculo. São Paulo: Makron Books, 1999/2001.
FLEMMING, Diva Marília; GONCALVES, Miriam Buss. Cálculo A: funções, limite, derivação, 
integração. 6 ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007.
STEWART, James. Cálculo 6. Ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010.
THOMAS JR., George B Et Al. Cálculo (de) George B. Thomas Jr. 12 ed. São Paulo: 
Addison-Wesley, 2003.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Em curso de cálculo. 5 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001-2002.
22
Unidade: Integrais triplas
Anotações