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MA22 - Unidade 2 - Exercícios
Luiz Manoel Figueiredo
Mário Olivero
PROFMAT - SBM
11 de Março de 2013
Limites de Sequências de Números Reais
Exercícios
1) Ache os limites das sequências (x
n
)
n≥1 abaixo:
1
x
n
= n
3+n−1
2n
3+7n2+1
;
2
x
n
= n
4+5n3−2
n
5+1
.
3
x
n
= arn
r+···+a
1
n+a
0
b
s
n
s+···+b
1
n+b
0
, onde r ≤ s.
2) Mostre que lim
n→∞ xn = 0 se, e somente se, limn→∞ |xn| = 0.
3) Dê um exemplo de uma sequência (x
n
) divergente tal que a
sequência (|x
n
|) seja convergente.
4) Se lim
n→∞ xn = L, use a definição para mostrar que
lim
n→∞(−xn) = −L.
5) Se lim
n→∞ xn = 1, mostre que existe um inteiro m ≥ 1 tal que
x
n
> 1
2
para todo inteiro n ≥ m. Em particular, os elementos da
sequência (x
n
) são maiores do que zero a partir de um certo valor
de n.
PROFMAT - SBM MA22 - Unidade 2 - Exercícios slide 2/2
Exercícios
6) Quais das sequências abaixo são ilimitadas e quais cumprem a
propriedade do limite ser ±∞?
(a) x
n
= n
2+1
2n−1 ;
(b) x
n
= 1
n
se n é ímpar e x
n
= n
2+1
3n
se n é par ;
(c) x
n
= − 3n2+1
2n
2+n
se n é par e x
n
= 1− n2 se n é ímpar .
7) Verifique se a sequência é convergente ou se lim
n→∞ xn = ±∞.
Se ela for convergente, determine o limite.
(a) x
n
= n+1
2n−1 ;
(b) x
n
= 1+ n
2+1
3n
;
(c) x
n
= 3n
3+1
2n
2+n
;
(d) x
n
= n
2+1
3n
2
.
8) Seja x
n
= arn
r+···+a
1
n+a
0
b
s
n
s+···+b
1
n+b
0
, onde r > s. Discuta os possíveis
limites de x
n
quando n tende a ∞, segundo os sinais de a
r
e b
s
.
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