Aula 05 - Método da Decomposição LU ou Fatoração Lu

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Método da Decomposição LU ou Fatoração Lu 
 
Exemplo 
 
A matriz A ficará definida como: 
 
 
 
 
 
 
Observação: A matriz L não possui inversa, isto é, a matriz L é inversível. 
 
O sistema AX = B poderá ser rescrito no formato L(UX) = B. Denominaremos UX = y. 
Logo, podemos determinar X resolvendo o par de equações: Ly = B e UX = y. 
 
 
 
 
Exemplo: Supondo 
 
  
 
Ou seja, A= X = B = . 
 
Usaremos o processo de Gauss para triangularizar a matriz A. Primeiro, observe se será 
necessário o pivotemento de alguma linha. 
 
1º Passo: Primeiro Pivô a11= 3. Então, faremos L1  L1, L2  L2 – m21 L1, L3 L3 – m31 L1; onde 
 e 
 
Ficando assim: 
 
 
2º Passo: Segundo Pivô a22= 1/3. Então, faremos L1  L1, L2  L2, L3 L3 – m32 L2; 
onde . 
 
Ficando assim: . 
 
1 0 0 0 
* 1 0 0 
* * 1 0 
* * * 1 
 
 * * * 
0  * * 
0 0  * 
0 0 0  
 
 
 
 
 
 
 
 
2/2 
 
 
 
3º Passo: Definimos, com isso, a matriz U: 
 
 
 
 
4º Passo: A Matriz L será a matriz triangular inferior com diagonal com 1’s e definida pelos 
multiplicadores m21, m31 e m32. Como podemos observar no exemplo: 
 
 
 
 
 
5º Passo: Resolveremos o par de equações: Ly = B e UX = y. 
 
Primeiro, encontraremos y: 
 
Ly = B  , utilizando a multiplicação de matrizes. 
 
Em seguida, igualdade de matrizes, o sistema pode ser resolvido encontrando 
y1=1, y2 = 5/3, y3 = 0. 
 
 
6º Passo: Encontraremos os valores de x: 
 
UX = y  , Utilizando a multiplicação de matrizes. 
 
Em seguida, igualdade de matrizes, encontraremos os valores de x procurados inicialmente: 
x1= -3, x2 = 5 e x3 = 0.