Aula 05 - Método de Gauss-Jordan

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 Método de Gauss-Jordan 
 
 Lembre-se que deveremos resolver o exemplo em 2 passos: 
 
 
1º passo: Transformar o sistema linear na forma de matriz completa 
 
Exemplo: 
  
 A X = B 
 
Observação: Podemos escrever o sistema como AX = B. Onde A é a matriz dos coeficientes, X a matriz 
das incógnitas, e B a matriz dos termos independentes. 
 
2º passo: Transformaremos o sistema em um sistema cuja matriz dos coeficientes seja a matriz 
identidade, tomando em cada passo como pivô os elementos da diagonal da matriz A. Para isso, 
trabalharemos com a matriz completa. 
 
 
Aceitaremos o primeiro pivô, no exemplo, como o primeiro elemento da primeira linha (primeiro 
elemento da diagonal principal, a11) não nulo. Os elementos abaixo do pivô deverão ser anulados, 
utilizando operações elementares com a linha que contém o pivô e as respectivas linhas abaixo do 
pivô. 
 
Observação 1: Quando passarmos para a segunda linha, o pivô será o elemento não nulo a22, os 
elementos a serem anulados deverão ser os abaixo (a32) e os acima (a12) do pivô, e assim 
sucessivamente. 
 
Observação 2: Caso o pivô seja nulo, devemos fazer troca de linha, de forma que o elemento pivô 
seja diferente de zero. 
 
Exemplo: Nosso primeiro pivô é o elemento a11= 1. Devemos zerar o elemento a21, utilizando 
operações elementares com as linhas 1 e 2; modificando, assim, toda linha 2. E depois zerar o 
elemento a31, utilizando operações elementares com as linhas 1 e 3; modificando, assim, toda linha 3. 
 
Neste exemplo, multiplique a linha 1 por -2 e some com a linha 2. O resultado será uma nova linha, 
cujo primeiro elemento obrigatoriamente é nulo (L2  -2 L1 + L2). Esta nova linha será a nova linha 2. 
Analogamente, podemos anular o elemento a31 (L3  -3 L1 + L3). 
 
  A soma destas linhas será a nova linha 2  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2/2 
 
 
 
 
O novo sistema ficará: 
 
 
 
Para facilitar as contas, vamos transformar o pivô a22 em 1, dividindo toda a linha 2 por 2. 
 
Ficando assim: 
 
 
 
 
 
O procedimento se repete com o próximo pivô, ou seja, o elemento da diagonal principal que está na 
próxima linha (2). Pivô: a22. Anularemos os elementos a12 com a operação L1  -2 L2 + L1 e o 
elemento a32 com a operação L3  -3 L2 + L3, da mesma forma como foi feito anteriormente. 
 
 
 
 
Novamente, para facilitar as contas, vamos transformar o pivô a33 em 1, multiplicar toda a linha 3 
por -2 (ou dividir por -1/2). 
 
 
 
 
Anularemos o elemento a13 realizando a operação L2  7/2 L3 + L2 e o elemento a23 com a operação 
L1  -11/2 L3 + L1, que se encontram acima do pivô a33, utilizando os mesmos procedimentos. Assim, 
encontrando a matriz abaixo. 
 
 
 
 
Então, podemos ver que esta matriz determina que x = 1, y = 2 e z = 3.