Introdução ao Programa de Computação Numérica e Teoria dos Erros

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Introdução ao Programa de Computação Numérica (PCN) e Teoria dos Erros
Programação estruturada – É uma forma de programação de computadores básica que tem como objetivo facilitar o entendimento dos procedimentos a serem executados. Desenvolve-se com a decomposição do problema em etapas ou estruturas hierárquicas. Esta decomposição tem como objetivo simplificar o problema para facilitar o entendimento de todos os procedimentos. Com isto, melhorar a confiabilidade e simplificar a manutenção do programa.
Existem três tipos de estruturas básicas:
Estruturas Sequenciais - Cada ação segue a outra ação sequencialmente. A saída de uma ação é a entrada de outra.
���
Estruturas Seletivas - Avalia-se a condição (SE) e, a partir desta saída, executa-se a TAREFA 1 (SIM) ou a TAREFA 2 (NÃO).
���� SHAPE \* MERGEFORMAT �
Estruturas Repetitivas - Há uma sequência de instruções (iterações) que se repetem um determinado número de vezes ou até que uma condição seja satisfeita.
 � ��� SHAPE \* MERGEFORMAT �
Um método numérico é um método não analítico, que tem como objetivo determinar um ou mais valores numéricos, que são soluções de certo problema. Os métodos analíticos conduzem a soluções exatas para os problemas; os métodos numéricos produzem, em geral, apenas soluções aproximadas.
Erro – É a diferença entre o valor obtido (aproximado) e o valor exato.
Teoria dos Erros - As resoluções numéricas levam, via de regra, a valores aproximados. Desta forma, é importante que seja definida a precisão desejada para este valor aproximado.
Ex.:	�
 Valor exato = 0,200;
 Valor aproximado = 0,220 (método dos trapézios com quatro intervalos).
Origem dos Erros:
Erro no modelo - Um modelo matemático raramente oferece uma representação exata dos fenômenos reais (condições que simplificam o problema de forma a torná-lo tratável). Porém este procedimento nos leva a cometer erro na solução final. Este erro é considerado inicial do problema, exteriores ao processo de cálculo.
Erro nos dados - Os dados podem ser medidos experimentalmente, e, portanto, aproximados, pois os meios de medição também não são precisos. As aproximações nos dados podem ter grande repercussão no resultado final. Este erro é considerado inicial do problema, exteriores ao processo de cálculo.
Erro absoluto e erro relativo - Sejam dois valores x exato e x aproximado.
Define-se erro absoluto como o módulo da diferença entre estes dois valores, isto é:
Erro absoluto = ( x exato – x aproximado (
Define-se erro relativo como a razão entre o erro absoluto e o módulo do valor exato, isto é:
Erro relativo = Erro absoluto /( x exato(
Quando recorremos a uma calculadora ou a um computador para resolver numericamente um dado problema matemático, dois tipos de erro podem surgir:
Erros de arredondamento - As máquinas, de capacidade limitada, não conseguem representar todos os números reais;
Erros de truncatura - Surgem sempre que se substitui um problema contínuo por um discreto, ou quando se substitui um processo de cálculo com um número infinito de operações, por outro com um numero finito.
Regra de arredondamento:
Frações de 0,000... a 0,4999... são simplesmente eliminadas; Ex.: 3,49 ≈ 3 2,43 ≈ 2,4 1,734999 ≈ 1,73
Frações maiores de 0,500... a 0,999... são eliminadas, mas o algarismo a ser arredondado aumenta 1 unidade; Ex.: 3,688 ≈ 3,69 5,6501 ≈ 5,7
Se a fração a ser eliminada é exatamente 0,50000..., então o algarismo a ser arredondado, só aumentará de 1 unidade caso torne-se um algarismo par. Ex.: 3,5 ≈ 4 6,5 ≈ 6 5,6500 ≈ 5,6 9,7500 ≈ 9,8
Exemplo: Considere a seguinte integral definida 
 � 
Seu valor exato é 0,200. Utilizando o método dos trapézios com quatro intervalos encontramos o seguinte valor aproximado: 0,220. Determine:
a) O erro absoluto;			b) O erro relativo.
a) Erro absoluto = ( x exato – x aproximado (		Erro absoluto = ( 0,200 – 0,220( = ( - 0,020( = 0,020
b) Erro relativo = Erro absoluto /( x exato(		Erro relativo = 0,020/0,200 = 0,1
Caso o erro se acumule a uma taxa crescente, dizemos que o erro é ilimitado e a sequência de operações é considerada instável. Caso contrário, o erro é limitado e, portanto, a sequência de operações é considerada estável.
Propagação do Erro - Considere a função de duas variáveis f(x,y). Sua expansão de Taylor, sem os termos superiores é:
�
Ou ainda:
� �
Casos Particulares:
Considere a função f(x,y) = x + y e erros de x e y: Ex e Ey
�
Considere a função f(x,y) = x.y e erros de x e y: Ex e Ey
�
	1a Questão (Ref.: 201309166681)
	
	Considere o valor exato 1,126 e o valor aproximado 1,100. Determine respectivamente o erro absoluto e o erro relativo.
	
	0,013 E 0,013
	
	0,026 E 0,026
	 
	0,026 E 0,023
	
	0,023 E 0,026
	
	0,023 E 0,023
	 2a Questão (Ref.: 201309213522)
	
	Considere uma função f: de R em R tal que sua expressão é igual a f(x) = a.x + 8, sendo a um número real positivo. Se o ponto (-3, 2) pertence ao gráfico desta função, o valor de a é:
	
	 
	2
	
	2,5
	
	indeterminado
	
	1
	
	3
	 3a Questão (Ref.: 201309166685)
	
	Considere o valor exato 1,026 e o valor aproximado 1,000. Determine respectivamente o erro absoluto e o erro relativo.
	
	 
	0,026 e 0,026
	
	0,024 e 0,026
	
	0,012 e 0,012
	
	0,024 e 0,024
	 
	0,026 e 0,024