Interpolação Polinomial: Métodos e Aplicações

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Aproximação de funções
INTERPOLAÇÃO POLINOMIAL - Consiste em determinar uma função (polinomial, neste caso) que se ajuste a uma série de pontos dados. Substituindo a função original f(x) por outra função g(x). Tal procedimento é realizado, por exemplo, quando são conhecidos somente os valores numéricos da função para um conjunto de pontos e é necessário calcular o valor da função em um ponto não tabelado.
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Polinômio interpolador – (n+1) pontos geram um único polinômio de grau menor ou igual a n.
MÉTODO DE LAGRANGE - (n+1) PONTOS / POLINÔMIO ÚNICO (( n);
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Exemplo: Considere o seguinte conjunto de pontos:
�	Pontos: x0 = 0, x1 = 1 e x2 = 2; f(x0) = -2; f(x1) = 4 e f(x2) = 12
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MÉTODO DE NEWTON - (n+1) PONTOS / POLINÔMIO ÚNICO (( n);
OPERADOR DIFERENÇAS DIVIDIDA:	�
Para n = 2:
 �	(diferença dividida ordem n)
�(ordem 0)	�(ordem 1)
�(ordem 2)	�(ordem 3)
Exemplo: Considere o seguinte conjunto de pontos:
�	Pontos: x0 = 0, x1 = 1 e x2 = 2; f(x0) = -2; f(x1) = 4 e f(x2) = 12
�
AJUSTE DE FUNÇÕES - Nem sempre a interpolação é aconselhável. Quando se quer aproximar um valor da função fora do intervalo de tabelamento (extrapolação); Quando os valores são medidas experimentais com erros. Neste caso a função deve passar pela barra de erros e não pelos pontos.
Caso discreto - Dados “k” pontos distintos no plano (x1,y1); (x2,y2); (x3,y3) ...;(xk,yk) num intervalo [a,b]. Devemos escolher funções lineares ou não g1(x), g2(x)...gk(x), e constantes a1, a2 ,..., ak tais que a função ( (x) = a1. g1(x) + a2. g2(x) + ...+ ak. gk(x) se aproxime de y = f(x); Este modelo é dito linear pois os coeficientes a determinar a1, a2 ,..., ak aparecem linearmente.
� Diagrama de dispersão sugere uma função polinomial do 20.
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Caso contínuo (MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS) - Significa que a área entre as curvas f(x) e a função ((x) é mínima. Função ((x) = a1.g1(x) + a2.g2(x) + a3.g3(x) + ...+ ak.gk(x). Determinar ((x) que mais se aproxime de f(x), ou seja, determinar os “ais”. Desvio: [f(xi) – ((xi)]2 para i = 1, 2, ...k. �.F mínima ( �para cada ai . Sistema linear com k incógnitas e k equações. A solução leva aos valores de a1, a2, ..., ak.
Exemplo: Sejam os pontos abaixo de um experimento.
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Gráfico de dispersão sugere parábola que passa pela origem; ((x) = a1.g(x), onde g(x) = x2.
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Caso não linear – Devemos linearizar a função através de alguma transformação para depois aplicar o método dos quadrados mínimos.
	1.
	
	Considere que são conhecidos dois pares ordenados, (2,5) e (1,2). Utilizando o método de Lagrange de interpolação polinomial, obtém-se a função:
	Quest.: 1
	
	
	 
	3x - 1
	
	
	x + 2
	
	 
	2x + 5
	
	
	3x + 7
	
	
	x - 3
	
	2.
	Considere que são conhecidos 3 pares ordenados: (x0,y0), (x1,y1) e (x2,y2). Dado que foram apresentados em sala dois métodos de interpolação polinomial (Lagrange e Newton), você pode aplica-los, encontrando, respectivamente, as funções de aproximação f(x) e g(x). Pode-se afirmar que:
	Quest.: 2
	
	
	 
	f(x) é igual a g(x), independentemente dos valores dos pares ordenados.
	
	
	f(x) é igual a g(x), se todos os valores das abscissas forem negativos.
	
	
	f(x) é igual a g(x), se todos os valores das ordenadas forem positivos.
	
	
	f(x) é igual a g(x), se todos os valores das ordenadas forem negativos.
	
	 
	f(x) é igual a g(x), se todos os valores das abscissas forem positivos.
	
	3.
	Dados os 13 pontos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x12,f(x12)) ) extraídos de uma situação real de engenharia. Suponha que se você tenha encontrado o polinômio P(x) interpolador desses pontos. A respeito deste polinômio são feitas as seguintes afirmativas: I ¿ seu grau máximo é 13 II - Existe apenas um polinômio P(x) III - A técnica de Lagrange não é adequada para determinar P(x). Desta forma, é verdade que:
	Quest.: 3
	
	
	
	Apenas I é verdadeira
	
	 
	Todas as afirmativas estão corretas
	
	 
	Apenas II é verdadeira
	
	
	Todas as afirmativas estão erradas
	
	
	Apenas II e III são verdadeiras
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_1459952440.unknown
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_1459952439.unknown
_1459952436.unknown
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