Integração Numérica: Regras e Exemplos

Prévia do material em texto

Integração Numérica
Integral definida ��� é numericamente igual a área sob a curva f(x) no intervalo do domínio [a, b].
Integração numérica – técnica empregada na determinação de uma integral definida e consiste na seguinte aproximação: �
REGRA DOS RETÂNGULOS: Subdividimos o intervalo [a,b] em “n” intervalos iguais que servirão para as bases dos retângulos a serem construídos;
�
A soma das áreas destes retângulos será uma aproximação da integral definida da função f(x) no intervalo [a,b]. Área de cada retângulo: h.f(xi), onde h = (b-a)/n e f(xi) é o valor da função para o ponto médio da base do retângulo: �
Observe que a lei de formação de xi é dada por: �
Exemplo: Determine � pela regra dos retângulos com n = 10.
Solução Analítica: �
Solução Numérica:
h = (1-0)/10 = 0,1		�
�
Da tabela,	�
Assim, I = 0,1 x 3,469912 = 0,34699
Erro = 0,34699 - 0,34657 = 0,00042
REGRA DOS TRAPÉZIOS: Subdividimos o intervalo [a,b] em “n” intervalos iguais que servirão de alturas para os trapézios que serão construídos;
�
A soma das áreas destes trapézios será uma aproximação da integral definida da função f(x) no intervalo [a,b]. Áreas dos trapézios:
� � �
Exemplo: Determine � com n = 4 pela regra dos trapézios.
h = (1-0)/4 = 0,25; f(x) = ex
X0= 0; x1 = 0,25 ; x2 = 0,50; x3 = 0,75 e x4 = 1,0
��� SHAPE \* MERGEFORMAT �
��� SHAPE \* MERGEFORMAT �
REGRA DE SIMPSON: A Regra de Simpson consiste na aproximação da função contínua f(x) no intervalo [a,b] por um polinômio do 20 grau;	�
h = (b-a)/n = (xn-x0)/n
Na expressão atentar para: f(x0) e f(xn) coeficientes unitários; f(xímpar) coeficiente 4; f(xpar) coeficiente 2.
Exemplo: Determine � pela regra de Simpson 1/3 com n = 4.
h = (3-2)/4 = 0,25
X0 = 2; x1 = 2,25; x2 = 2,5; x3 = 2,75 e x4 = 3
f(x0)=5,43; f(x1)=6,93; f(x2)=8,73, f(x3)=10,88 e f(x4)=13,45.
�
	
	1.
	Empregue a regra dos Retângulos para calcular o valor aproximado da integral de f(x) = x3, no intervalo de 0 a 1, com 4 intervalos.
	Quest.: 1
	
	
	
	0,245
	
	
	0,247
	
	 
	0,250
	
	 
	0,242
	
	
	0,237
	
	2.
	Empregando-se a Regra dos Trapézios para calcular a integral de x3 entre 0 e 1 com dois intervalos, tem-se como resposta o valor de:
	Quest.: 2
	
	
	
	0,3000
	
	 
	0,2500
	
	 
	0,3125
	
	
	0,3225
	
	
	0,2750
	
	3.
	A regra de integração numérica dos trapézios para n = 2 é exata para a integração de polinômios de que grau?
	Quest.: 3
	
	
	
	nunca é exata
	
	
	terceiro
	
	 
	primeiro
	
	
	quarto
	
	 
	segundo
_1460386265.unknown
_1460386267.unknown
_1460386268.unknown
_1460386266.unknown
_1460386261.unknown
_1460386263.unknown
_1460386264.unknown
_1460386262.unknown
_1460386259.unknown
_1460386260.unknown
_1460386257.unknown
_1460386258.unknown
_1460386255.unknown
_1460386256.unknown
_1460386254.unknown