Método de Romberg para Integração Numérica

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Integração Numérica
MÉTODO DE ROMBERG: O método de Romberg consiste na sucessiva aplicação da extrapolação de Richardson à quadratura do trapézio composta o que resulta em uma quadratura composta de maior exatidão.
��� Onde: 
É possível demonstrar que a determinação de I é dada aproximadamente por:
� Onde: �
ATENÇÃO: Na expressão anterior, quando k = 1, temos que o limite superior será 0, o que significa que não há termo a ser adicionado.
Generalizando, temos que:
�
ATENÇÃO: Este é o primeiro passo do método de Romberg – aproximações via regra dos trapézios.
Exemplo: Utilize a Regra do Trapézio Repetida para realizar o primeiro passo do esquema da integração de Romberg para obter uma aproximação da integral � para k = 1, 2, ..., 5.
Determinação dos Rk,1:
k = 1 (		�
k = 2 (
� 	�
k = 3( 
� �
k = 4 (
�	�
k = 5 ( R5,1 = 1,99357034
k = 6 ( R6,1 = 1,99839336
Valor exato: �
� CONVERGÊNCIA LENTA ( Extrapolação de Richardson
EXTRAPOLAÇÃO DE RICHARDSON: Com o intuito de acelerar a convergência do método de Romberg, a partir do seu primeiro passo é possível fazer a extrapolação de Richardson e chegar a seguinte fórmula de recorrência. �
TABELA DE ROMBERG: A partir da fórmula de recorrência � chega-se à tabela de Romberg abaixo.
�
Exemplo: Utilize o método de Romberg para obter uma aproximação da integral �.
Tabela de Romberg:
� Do exemplo anterior: R1,1 = 0; R2,1 = 1,57079633 e R3,1 = 1,8961189
�
k = j = 2	�
k = 3 e j = 2	�
k = j = 3	�
�
	1.
	
	Seja o método numérico de integração conhecido como regra dos retângulos, isto é, a divisão do intervalo [a,b] em n retângulos congruentes. Aplicando este método para resolver uma integral definida com limites inferior e superior iguais a zero e cinco e tomando-se n = 200, cada base h terá que valor?
	Quest.: 1
	
	
	
	0,250
	
	
	0,100
	
	
	0,050
	
	 
	0,500
	
	 
	0,025
	
	2.
	Considere o conjunto de pontos apresentados na figura abaixo que representa o esforço ao longo de uma estrutura de concreto.
 
 
A interpolação de uma função que melhor se adapta aos dados apresentados acima é do tipo
	Quest.: 2
	
	
	
	Y = abx+c
	
	
	 Y = b + x. log(a)
	
	
	Y = ax + b
	
	 
	Y = ax2 + bx + c
	
	
	 Y = b + x. ln(a)
	
	3.
	Considere a equação ex - 4x = 0, onde e é um número irracional com valor aproximado de 2,718. É correto afirmar que existe uma raiz real no intervalo:
	Quest.: 3
	
	
	 
	(0,2; 0,5)
	
	
	(0,5; 0,9)
	
	
	(0,0; 0,2)
	
	
	(-0,5; 0,0)
	
	
	(0,9; 1,2)
_1463135055.unknown
_1463135057.unknown
_1463135058.unknown
_1463135056.unknown
_1463135051.unknown
_1463135053.unknown
_1463135054.unknown
_1463135052.unknown
_1463135049.unknown
_1463135050.unknown
_1463135047.unknown
_1463135048.unknown
_1463135045.unknown
_1463135046.unknown
_1463135044.unknown