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Distribuições de Probabilidade

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Prof. Paulo Alessio – 2º Semestre de 2009. 
1 
 "Só uma coisa torna um sonho impossível: o medo de fracassar." 
 Disciplina: ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
 
1. Distribuições de Probabilidade. 
1.1 Introdução. 
Em notas de aulas anteriores vimos que é possível explorar um conjunto de dados 
utilizando gráficos (barras, setores, histograma ou polígono de freqüência), medias de 
tendência central (média, mediana, moda) e medidas de variação (como o desvio padrão). 
Também foram vistos aspectos da teoria das probabilidades. Nestas notas de aulas, 
combinaremos esses conceitos ao estudarmos distribuições de probabilidade que 
descrevem o que provavelmente acontecerá, em lugar do que efetivamente aconteceu. As 
distribuições de freqüências de amostras foram tratadas anteriormente. Nestas notas de 
aulas são apresentadas as distribuições de probabilidade de populações. A distribuição 
de freqüência de uma amostra é uma estimativa da distribuição de probabilidade da 
população correspondente. Se o tamanho da amostra for grande, podemos esperar que a 
distribuição de freqüência da amostra seja uma boa aproximação da distribuição de 
probabilidade da população. 
 
1.2 Variáveis Aleatórias. 
O conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório é o 
espaço amostral. Os elementos desse conjunto podem ser numéricos ou não. Por 
exemplo, se o experimento for escolher um aluno de uma turma e registrar sua altura, 
teremos um conjunto numérico, porém se indagarmos o time de futebol preferido do 
aluno, teremos um conjunto não numérico. Como em muitas situações experimentais 
precisamos atribuir um número real x a todo elemento do espaço amostral, vamos definir 
o conceito de variável aleatória. 
 
1.2.1 Definição de Variável Aleatória. Seja S o espaço amostral associado a um 
experimento aleatório. Uma função X que associa a cada elemento s∈S um número real 
X(s) é denominada variável aleatória. 
Observe que, apesar do nome, variável aleatória é uma função cujo domínio é o 
conjunto S, e a imagem o conjunto de todos os valores possíveis de X, os X(s). 
 
Exemplo. Seja o experimento: lançamento de duas moedas. 
 O espaço amostral associado ao experimento é: S = {(C; C), (C; K), (K; C), (K; K)} 
C = Cara e K = Coroa. 
Variável Aleatória X: número de caras (C) obtidas no lançamento de duas 
moedas. 
X(C; C) = 2 X(C; K) = 1 X(K; C) = 1 X(K; K) = 0 
 
 S R X: S→R 
 X 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comentário: A terminologia acima é um tanto infeliz, mas é tão universalmente aceita, que não nos 
afastaremos dela. Tornaremos tão claro quanto possível que X é uma função, e contudo, a denominaremos 
uma variável (aleatória)! 
Notas de aula 11 
(C;C) 
(C;K) 
(K;C) 
(K;K) 
0 
 
1 
 
2 
 
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2 
Uma variável aleatória X é dita discreta se assume valores num conjunto finito ou 
infinito enumerável. 
 
Uma variável aleatória X é dita contínua se assume valores num conjunto infinito não 
enumerável ou seja, se a imagem de X é um intervalo, ou uma coleção de intervalos. 
Esses valores podem ser associados a mensurações em uma escala contínua. 
 
Exemplos de variáveis aleatórias. 
1) X = número de acidentes com aviões da USAir dentre sete acidentes aéreos 
selecionados aleatoriamente. 
 
2) X = número de mulheres entre 10 empregados recém-admitidos. 
 
3) X = número de alunos que não compareceram a aula de estatística hoje. 
 
4) X = altura de um aluno do sexo masculino selecionado aleatoriamente. 
 
 
1.3 Função de Probabilidade. 
Seja X uma variável aleatória discreta. Sejam x1 , x2 , x3 , x4 , ... seus possíveis 
valores. A cada resultado xi associaremos um número p(xi ) = P(X = xi ), denominado 
probabilidade de xi , tal que: 
 
a) p(xi ) ≥ 0 para todo xi 
 
 b) ∑
∞
=
=
1
1)(
i
ixp 
 
 c) p(k) = P(X=k) 
 
Essa função é denominada função de probabilidade da variável aleatória X. 
A distribuição de probabilidade de X é dada pelos pares ( ))(; xx ii p , i = 1, 2, 3, 
e poderá ser expressa por uma tabela, gráfico ou fórmula. 
 
Exemplo. 
Vamos encontrar a distribuição discreta de probabilidade da variável número de 
caras encontradas no lançamento de três moedas. 
 
Experimento: lançamento de três moedas. 
 
Espaço Amostral: 
S = {(C; C; C), (C; C; K), (C; K; C), (K; C; C), (C; K; K), (K; C; K), (K; K; C), (K; K; K)} 
Variável Aleatória X = número de caras = 0, 1, 2, 3. 
x = 0 → (K; K; K) 
x = 1 → (C; K; K), (K; C; K), (K; K; C) 
x = 2 → (C;C;K), (C; K; C), (K; C; C) 
x = 3 → (C; C;C) 
 
A distribuição de probabilidade pode ser expressa pela tabela: 
 
Xi 0 1 2 3 
p(xi ) 1/8 3/8 3/8 1/8 
 
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1.4 Função de Distribuição Acumulada de Probabilidade. 
Se X for uma variável aleatória discreta, define-se Função de Distribuição 
Acumulada em um ponto x como a soma das probabilidades dos valores de xi menores 
ou iguais a x. Isto é: 
 
 ∑
≤
=
x
i
x
pxF
i
x )()( 
Exemplo. Com os dados da distribuição de probabilidade do exemplo anterior, temos: 
a) F(1) = ∑
≤1
)(
x
p
i
xi = 2
1
8
4
8
3
8
1
==+ 
b) F(1,5) = ∑
≤ 5,1
)(
x
p
i
xi = 2
1
8
3
8
1
=+ 
c) F(2,5) = 
8
7
8
3
8
3
8
1
=++ 
d) F(3) = 1
8
1
8
3
8
3
8
1
=+++ 
e) F(5) = 1 
 
f) F(-0,5) = 0 
 
Exercícios. 
1) Em uma caixa, têm-se cinco peças boas e quatro defeituosas. São retiradas 
aleatoriamente três peças sem reposição. Façamos X a variável aleatória: número de 
peças boas dentre as três peças retiradas. 
Logo, os valores de X são: 0 (nenhuma peça boa), 1, 2 e 3. 
Para a montagem da tabela de distribuição de probabilidade, necessitamos calcular 
as p(Xi ). 
p(x = 0) = 1/21 p(x = 1) = 5/14 p(x = 2) = 10/21 p(x = 3) = 5/42 
 
Distribuição de Probabilidade: 
Xi 0 1 2 3 
p(xi ) 1/21 5/14 10/21 5/42 
 
Com referência à função acumulada de probabilidade, temos: 
a) F(-0,7) = 0 b) F(0,5) = 1/21 c) F(1,0) = 17/42 d) F(1,8) = 17/42 
 e) F(2,1) = 37/42 f) F(3,0) = 1 g) F(8,0) = 1 
 
Quanto às probabilidades, temos: 
a) )32( ≤≤ xp = 25/42 b) p(x < 1) = 1/21 c) p(x > 3) = 0 
d) probabilidade de pelo menos uma peça boa = 20/21 
 
2) Construa a tabela de probabilidade para a variável aleatória: número de coroas obtidas 
no lançamento de duas moedas. 
Resposta: 
Distribuição de Probabilidade: 
Xi 0 1 2 
p(xi ) 1/4 1/2 1/4 
 
3) Faça X a variável aleatória soma dos pontos obtidos no lançamento de dois dados. 
Determine: 
a) Tabela de distribuição de probabilidade de X 
 
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b) p(3 ≤ x ≤ 10) 
c) p(x > 7) 
d) p(x ≤ 5) 
e) Probabilidade de soma 6 
f) Probabilidade de se obter pelo menos soma 3 
g) F(4) 
h) F(8) 
i) F(15) 
j) F(1) 
l) F(5,5) 
m) F(12) 
Respostas. 
Xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
p(xi ) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 
 
b) 8/9 c) 5/12 d) 5/18 e) 5/36 f) 35/36 g) 1/6 h) 13/18 i) 1 j) 0 l) 5/18 m) 1 
 
4) Uma variável aleatória tem a distribuição de probabilidade dada pela seguinte fórmula: 
P(xi ) = k/x para x = 1, 3, 5, 7 
a) Determine K Resposta: 105/176 
b) Calcule )62( ≤≤ xP Resposta: 7/22 
c) Quanto vale F(5)?