Distribuições de Probabilidade

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Prof. Paulo Alessio – 2º Semestre de 2009. 
1 
 "Só uma coisa torna um sonho impossível: o medo de fracassar." 
 Disciplina: ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 
 
1. Distribuições de Probabilidade. 
1.1 Introdução. 
Em notas de aulas anteriores vimos que é possível explorar um conjunto de dados 
utilizando gráficos (barras, setores, histograma ou polígono de freqüência), medias de 
tendência central (média, mediana, moda) e medidas de variação (como o desvio padrão). 
Também foram vistos aspectos da teoria das probabilidades. Nestas notas de aulas, 
combinaremos esses conceitos ao estudarmos distribuições de probabilidade que 
descrevem o que provavelmente acontecerá, em lugar do que efetivamente aconteceu. As 
distribuições de freqüências de amostras foram tratadas anteriormente. Nestas notas de 
aulas são apresentadas as distribuições de probabilidade de populações. A distribuição 
de freqüência de uma amostra é uma estimativa da distribuição de probabilidade da 
população correspondente. Se o tamanho da amostra for grande, podemos esperar que a 
distribuição de freqüência da amostra seja uma boa aproximação da distribuição de 
probabilidade da população. 
 
1.2 Variáveis Aleatórias. 
O conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório é o 
espaço amostral. Os elementos desse conjunto podem ser numéricos ou não. Por 
exemplo, se o experimento for escolher um aluno de uma turma e registrar sua altura, 
teremos um conjunto numérico, porém se indagarmos o time de futebol preferido do 
aluno, teremos um conjunto não numérico. Como em muitas situações experimentais 
precisamos atribuir um número real x a todo elemento do espaço amostral, vamos definir 
o conceito de variável aleatória. 
 
1.2.1 Definição de Variável Aleatória. Seja S o espaço amostral associado a um 
experimento aleatório. Uma função X que associa a cada elemento s∈S um número real 
X(s) é denominada variável aleatória. 
Observe que, apesar do nome, variável aleatória é uma função cujo domínio é o 
conjunto S, e a imagem o conjunto de todos os valores possíveis de X, os X(s). 
 
Exemplo. Seja o experimento: lançamento de duas moedas. 
 O espaço amostral associado ao experimento é: S = {(C; C), (C; K), (K; C), (K; K)} 
C = Cara e K = Coroa. 
Variável Aleatória X: número de caras (C) obtidas no lançamento de duas 
moedas. 
X(C; C) = 2 X(C; K) = 1 X(K; C) = 1 X(K; K) = 0 
 
 S R X: S→R 
 X 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comentário: A terminologia acima é um tanto infeliz, mas é tão universalmente aceita, que não nos 
afastaremos dela. Tornaremos tão claro quanto possível que X é uma função, e contudo, a denominaremos 
uma variável (aleatória)! 
Notas de aula 11 
(C;C) 
(C;K) 
(K;C) 
(K;K) 
0 
 
1 
 
2 
 
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2 
Uma variável aleatória X é dita discreta se assume valores num conjunto finito ou 
infinito enumerável. 
 
Uma variável aleatória X é dita contínua se assume valores num conjunto infinito não 
enumerável ou seja, se a imagem de X é um intervalo, ou uma coleção de intervalos. 
Esses valores podem ser associados a mensurações em uma escala contínua. 
 
Exemplos de variáveis aleatórias. 
1) X = número de acidentes com aviões da USAir dentre sete acidentes aéreos 
selecionados aleatoriamente. 
 
2) X = número de mulheres entre 10 empregados recém-admitidos. 
 
3) X = número de alunos que não compareceram a aula de estatística hoje. 
 
4) X = altura de um aluno do sexo masculino selecionado aleatoriamente. 
 
 
1.3 Função de Probabilidade. 
Seja X uma variável aleatória discreta. Sejam x1 , x2 , x3 , x4 , ... seus possíveis 
valores. A cada resultado xi associaremos um número p(xi ) = P(X = xi ), denominado 
probabilidade de xi , tal que: 
 
a) p(xi ) ≥ 0 para todo xi 
 
 b) ∑
∞
=
=
1
1)(
i
ixp 
 
 c) p(k) = P(X=k) 
 
Essa função é denominada função de probabilidade da variável aleatória X. 
A distribuição de probabilidade de X é dada pelos pares ( ))(; xx ii p , i = 1, 2, 3, 
e poderá ser expressa por uma tabela, gráfico ou fórmula. 
 
Exemplo. 
Vamos encontrar a distribuição discreta de probabilidade da variável número de 
caras encontradas no lançamento de três moedas. 
 
Experimento: lançamento de três moedas. 
 
Espaço Amostral: 
S = {(C; C; C), (C; C; K), (C; K; C), (K; C; C), (C; K; K), (K; C; K), (K; K; C), (K; K; K)} 
Variável Aleatória X = número de caras = 0, 1, 2, 3. 
x = 0 → (K; K; K) 
x = 1 → (C; K; K), (K; C; K), (K; K; C) 
x = 2 → (C;C;K), (C; K; C), (K; C; C) 
x = 3 → (C; C;C) 
 
A distribuição de probabilidade pode ser expressa pela tabela: 
 
Xi 0 1 2 3 
p(xi ) 1/8 3/8 3/8 1/8 
 
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3 
1.4 Função de Distribuição Acumulada de Probabilidade. 
Se X for uma variável aleatória discreta, define-se Função de Distribuição 
Acumulada em um ponto x como a soma das probabilidades dos valores de xi menores 
ou iguais a x. Isto é: 
 
 ∑
≤
=
x
i
x
pxF
i
x )()( 
Exemplo. Com os dados da distribuição de probabilidade do exemplo anterior, temos: 
a) F(1) = ∑
≤1
)(
x
p
i
xi = 2
1
8
4
8
3
8
1
==+ 
b) F(1,5) = ∑
≤ 5,1
)(
x
p
i
xi = 2
1
8
3
8
1
=+ 
c) F(2,5) = 
8
7
8
3
8
3
8
1
=++ 
d) F(3) = 1
8
1
8
3
8
3
8
1
=+++ 
e) F(5) = 1 
 
f) F(-0,5) = 0 
 
Exercícios. 
1) Em uma caixa, têm-se cinco peças boas e quatro defeituosas. São retiradas 
aleatoriamente três peças sem reposição. Façamos X a variável aleatória: número de 
peças boas dentre as três peças retiradas. 
Logo, os valores de X são: 0 (nenhuma peça boa), 1, 2 e 3. 
Para a montagem da tabela de distribuição de probabilidade, necessitamos calcular 
as p(Xi ). 
p(x = 0) = 1/21 p(x = 1) = 5/14 p(x = 2) = 10/21 p(x = 3) = 5/42 
 
Distribuição de Probabilidade: 
Xi 0 1 2 3 
p(xi ) 1/21 5/14 10/21 5/42 
 
Com referência à função acumulada de probabilidade, temos: 
a) F(-0,7) = 0 b) F(0,5) = 1/21 c) F(1,0) = 17/42 d) F(1,8) = 17/42 
 e) F(2,1) = 37/42 f) F(3,0) = 1 g) F(8,0) = 1 
 
Quanto às probabilidades, temos: 
a) )32( ≤≤ xp = 25/42 b) p(x < 1) = 1/21 c) p(x > 3) = 0 
d) probabilidade de pelo menos uma peça boa = 20/21 
 
2) Construa a tabela de probabilidade para a variável aleatória: número de coroas obtidas 
no lançamento de duas moedas. 
Resposta: 
Distribuição de Probabilidade: 
Xi 0 1 2 
p(xi ) 1/4 1/2 1/4 
 
3) Faça X a variável aleatória soma dos pontos obtidos no lançamento de dois dados. 
Determine: 
a) Tabela de distribuição de probabilidade de X 
 
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4 
b) p(3 ≤ x ≤ 10) 
c) p(x > 7) 
d) p(x ≤ 5) 
e) Probabilidade de soma 6 
f) Probabilidade de se obter pelo menos soma 3 
g) F(4) 
h) F(8) 
i) F(15) 
j) F(1) 
l) F(5,5) 
m) F(12) 
Respostas. 
Xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
p(xi ) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 
 
b) 8/9 c) 5/12 d) 5/18 e) 5/36 f) 35/36 g) 1/6 h) 13/18 i) 1 j) 0 l) 5/18 m) 1 
 
4) Uma variável aleatória tem a distribuição de probabilidade dada pela seguinte fórmula: 
P(xi ) = k/x para x = 1, 3, 5, 7 
a) Determine K Resposta: 105/176 
b) Calcule )62( ≤≤ xP Resposta: 7/22 
c) Quanto vale F(5)?Resposta: 161/176 
 
5) Uma v.a discreta X tem função de probabilidade dada por: 
P(x) = P(X = x) = k.2-x , x = 0, 1, 2, … 
 
a) Encontre K R. k = 1/2 
 
b) Encontre P(X ser maior ou igual a 3) R. 1/8 
 
c) Encontre P(3 < X < 7) R. 7/128 
 
6) Suponha que X seja uma v. a. com a seguinte distribuição de probabilidade: 
x -3 -1 0 1 2 3 5 8 
P(x) 0,1 0,2 0,15 0,2 0,1 0,15 0,05 0,05 
 
Determine as seguintes probabilidades: 
a) X é negativo R. 0,3 
 
b) X é par positivo R. 0,15 
 
c) X assume um valor entre 1 e 8 (inclusive) R. 0,55 
 
1.5 Função Densidade de Probabilidade. 
Seja X uma variável aleatória contínua. 
A função f(x) é uma função densidade de probabilidade para a v. a. X, definida 
sobre o conjunto dos números reais R, se: 
a) f(x) ≥ 0 
b) ∫
∞
∞−
= 1)( dxxf 
c) P(a < X < b) = ∫
b
a
dxxf )( 
 
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Observações importantes: 
1) f(x) ≥ 0 para todo x ∈ R, significa que o gráfico da função f está todo acima do eixo x. 
 
2) ∫
∞
∞−
= 1)( dxxf , significa que a área total abaixo da curva f(x) é igual a 1. 
3) Para quaisquer reais a < b, P(a < X < b) = ∫
b
a
dxxf )( significa que probabilidades, 
agora, são iguais a áreas abaixo da curva f(x). 
 
4) A definição acima mostra que a probabilidade de qualquer valor específico de X, por 
exemplo, X = a, tem P(X = a) = 0 pois, P(X = a) = ∫
a
a
dxxf )( = 0, ou seja, probabilidades 
pontuais são nulas. 
 
5) Segue da observação 4 que: 
 
P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b). 
 
1.6 Esperança Matemática (Média) e Variância de uma Variável Aleatória (v.a.): 
 
A esperança matemática de uma v. a. X é uma medida que posiciona o centro de 
uma distribuição de probabilidade. 
Originalmente, o conceito de esperança matemática surgiu em relação aos jogos 
de azar e, em sua forma mais simples, é o produto da quantia que um jogador pode 
ganhar pela probabilidade de o jogador ganhar. 
Qual é a esperança matemática de alguém que compra um dentre 2.000 bilhetes 
de uma rifa de uma viagem para o Chile, estimada em $1.960,00? 
Como a probabilidade de ganhar a viagem é de 1/2.000 = 0,0005, a esperança 
matemática é $1.960,00 x 0,0005 = $ 0,98. Assim, do ponto de vista financeiro, seria 
insensato pagar mais de 98 centavos de dólar por um bilhete dessa rifa, a menos que a 
rifa fosse para alguma causa nobre ou que a pessoa que comprasse o bilhete estivesse 
obtendo algum prazer com a aposta. O prêmio era a viagem no valor de $1.960,00 e os 
dois resultados eram a viagem no valor de $1.960,00 e coisa alguma. Poderíamos 
argumentar que um dos bilhetes da rifa pagará o equivalente a $ 1.960,00, e cada um dos 
demais 1.999 bilhetes pagará coisa alguma, de modo que, na totalidade, os 2.000 
bilhetes pagarão equivalente a $1.960,00 ou, em média 1.960/2.000 = $ 0,98 por bilhete. 
Essa média é a esperança matemática. 
Para generalizar o conceito de esperança matemática, considere a modificação na 
rifa citada acima. 
Qual é a esperança matemática por bilhete se a rifa também sorteia um jantar para 
dois num restaurante famoso, no valor de $200,00, como prêmio de segundo lugar, e 
duas entradas de cinema, no valor de $ 16,00, como prêmio de terceiro lugar? 
Agora podemos argumentar que um dos bilhetes pagará o equivalente a $ 
1.960,00, outro bilhete pagará o equivalente a $ 200,00, um terceiro pagará o equivalente 
a $16,00 e cada um dos demais 1.997 bilhetes não pagará coisa alguma. Em sua 
totalidade, portanto, os 2.000 bilhetes pagarão o equivalente a $1.960,00 + $200,00 + $ 
16,00 = $2.176,00, ou uma média equivalente a 2.176/2.000 = $1,088 por bilhete. 
Olhando para o exemplo de uma maneira diferente, poderíamos argumentar que, se o 
sorteio fosse repetido muitas vezes, uma pessoa com um dos bilhetes ganharia coisa 
alguma %85,99100.
000.2
997.1
= do tempo (ou com uma probabilidade de 0,9985 e cada um 
 
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dos três prêmios %05,0100.
000.2
1
= do tempo (ou com uma probabilidade de 0,0005). 
Em média, uma pessoa com um dos bilhetes ganharia o equivalente a $ 1.960 x 0,0005 + 
$ 200 x 0,0005 + $ 16 x 0,0005 = $ 1,088, que é a soma dos produtos obtidos 
multiplicando cada pagamento pela probabilidade correspondente. 
 
1.6.1 Para v.a. Discreta. 
Média ou Valor Esperado: ∑
=
==
k
i
iix xx pXE
1
)(
)(.)(µ 
Variância: ( )∑ −
=
==
k
i
Ixx piXV
1
22 )(.)( µσ ou µσ 222 )()( −== XEXV 
1.6.2 Para v.a. Contínua. 
Média ou Valor Esperado: ∫
+∞
∞−
== xdxfxXE
x
)(.)(µ 
Variância: ( )∫ −+∞
∞−
== dxxfXV x )(.)(
22 µσ ou µσ 222 )()( −== XEXV 
 
Observações: 
1) No caso da v. a. discreta, a esperança matemática pode ser vista como uma média 
“ponderada”, onde os “pesos” são as probabilidades de cada ponto. 
2) No caso de uma v. a. contínua, a esperança matemática coincide com o cálculo do 
valor da abscissa do centro de gravidade da área que fica definida pela função f(x). É um 
ponto de equilíbrio que é calculado a partir da função densidade de probabilidade. 
3) Podemos interpretar a esperança matemática, também, como sendo uma média dos 
valores que a v. a. assume se imaginarmos o experimento aleatório sendo repetido 
indefinidamente, e os valores de X sendo observados nas repetições. A função de 
probabilidade no caso discreto, ou a função densidade de probabilidade no caso contínuo 
refletem as freqüências relativas de ocorrência dos valores de X. 
 
1.7 Propriedades da Esperança Matemática. 
 
 As propriedades operatórias apresentadas a seguir são válidas para v. a.’s 
discretas e contínuas. 
 
a) Se a é uma constante, então: E(a) = a 
 
b) Se a e b são constantes, então: E(aX + b) = a E(X) + b 
 
c) E(X ± Y) = E(X) ± E(Y) 
 
d) Se X e Y são duas variáveis aleatórias independentes, então E(XY) = E(X).E(Y) 
 
Exemplos. 
1) Considere um jogo no qual se lançam três moedas, não viciadas, e se recebe 
um dólar por cada cara que apareça. Quanto se esperaria ganhar, se se pudesse fazer o 
jogo apenas uma vez? Ou, de outra maneira: qual é o valor esperado de uma jogada? 
A distribuição de probabilidade será: 
Número de caras 0 1 2 3 
xi : valor a ser recebido ($) 0 1 2 3 
Probabilidades: p(xi ) 1/8 3/8 3/8 1/8 
 
 
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7 
8
1
.3
8
3
.2
8
3
.1
8
1
.0)(
)(
+++== xE
x
µ = $ 1,50 O valor esperado é uma média a longo prazo. 
No caso, após várias jogadas se esperaria ganhar $ 1,50. 
 
2) Se a probabilidade de um homem ganhar um premio de $ 10,00 é de 20%. Qual 
é o valor esperado (esperança matemática)? E(x) = 0,20 . 10 = $ 2,00. 
 
3) Seja uma v.a. contínua com função densidade de probabilidade dada por: 
 
 2x, se 0 < x < 1 
f(x) = 
 0 para outros valores. 
 
Determine a esperança matemática. 
 
∫∫ ====
1
0
1
0 3
22.)(.)( dxxxxdxfxXE
x
µ 
 
Exercícios. 
1) Uma variável aleatória discreta pode assumir cinco valores, conforme a distribuição de 
probabilidade: 
xi 1 2 3 5 8 
p(xi ) 0,20 0,25 ... 0,30 0,10 
 
a) Encontre o valor p(3). Resposta. 0,15 
b) Qual é o valor da função acumulativa para x = 5? Resposta. 0,90 
c) Encontre a média da distribuição.Resposta. 3,45 
 
2) A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta X é dada pela 
fórmula: 
 ( )2,0 1).8,0()( −= xxp x = 1, 2, 3, ... 
a) calcule p(x) para x =1, x = 2, x = 3, x = 4 e x = 5 
 
b) some as probabilidades obtidas no item a. O que você diria a respeito das 
probabilidades para valores maiores do que 5? 
 
Resposta. a) 
xi 1 2 3 4 5 
p(xi ) 0,8 0,16 0,032 0,0064 0,00128 
 
b) A soma das probabilidades atinge 0,99968, logo, as probabilidades para valores 
maiores do que 5 são próximas de zero. 
 
3) O número de chamadas telefônicas recebidas por uma central e suas respectivas 
probabilidades para um intervalo de um minuto são: 
 
Número de chamadas xi 0 1 2 3 4 5 
Probabilidades p(xi ) 0,55 0,25 0,10 0,04 0,04 0,02 
 
a) Calcule F(2) Resposta. 0,90 
b) Determine )41( ≤≤ xp e p(x > 1) Resposta. 0,43 e 0,20 
 
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8 
c) Qual é o número esperado de chamadas em um minuto? Resposta. 0,83 
 
4) Seja Z a variável aleatória correspondente ao numero de pontos de uma peça de 
dominó (soma dos pontos). 
a) Construa a tabela de distribuição de probabilidade de Z. 
b) Calcule )62( ≤≤ zP . 
c) Calcule F(8). 
d) Qual é o número médio de pontos? 
Resposta. a) 
zi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
p(zi ) 1/28 1/28 2/28 2/28 3/28 3/28 4/28 3/28 3/28 2/28 2/28 1/28 1/28 
 
b) 1/2 c) 11/14 d) 6 
5) Em uma sala, temos cinco rapazes e quatro moças. São escolhidas aleatoriamente três 
pessoas. Faça X a variável aleatória: número de rapazes. 
 
a) Determine a distribuição de probabilidade da variável X. Construa uma tabela. 
 
b) Calcule as probabilidades: 
I. )2( ≤xP ; II. )0( ≤xP ; III. (P 1 < x ≤ 3); IV. P(2 < x < 3); V. P(x > 2); 
VI. P(x > -1); VII. P(x < 5). 
c) Determine: F(2,5); F(3); F(0,5); F(3,5); F(2); F(1); F(6); F(-0,5). 
Respostas. a) 
 
xi 0 1 2 3 
p(xi ) 1/21 5/14 10/21 5/42 
 
b) I) 37/42 II) 1/21 III) 25/42 IV) 0 V) 5/42 VI) 1 VII) 1 
c) 37/42; 1; 1/21; 1; 37/42; 17/42; 1; 0 
 
6) De uma caixa contendo 4 bolas pretas e 2 bolas verdes, 3 bolas são retiradas 
sucessivamente sem reposição. 
 
a) Encontre a distribuição de probabilidade de bolas verdes retiradas. 
 
b) Calcule a esperança matemática da distribuição encontrada. 
 
Resposta a) 
xi 0 1 2 
)( xiP 
5
1
 
5
3
 
5
1
 
 
Resposta b) 1 
 
7) Uma moeda é viciada de tal forma que cara é duas vezes mais provável de ocorrer que 
coroa. Se a moeda é jogada três vezes, encontre a distribuição de probabilidade do 
número de caras. 
Resposta. 
xi 0 1 2 3 
)( xiP 
27
1
 
27
6
 
27
12
 
27
8
 
 
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9 
8) X é uma variável aleatória com a seguinte distribuição de probabilidade: 
 
x 0 1 2 3 4 
P(x) 1/4 1/8 1/4 1/8 1/4 
 
a) Determine E(X) R. 2 
b) Determine E[(X + 1)/2] R. 3/2 
9) Suponha que uma caixa contém 12 bolas numeradas de 1 a 12. Faz-se duas 
repetições independentes do experimento de selecionar aleatoriamente uma bola da caixa 
(experimento com repetição). Seja X o maior entre os dois números observados. 
Determine a função de probabilidade de X e a sua expectância. 
Resposta. 
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
P(x) 1/144 3/144 5/144 7/144 9/144 11/144 13/144 15/144 17/144 19/144 21/144 23/144 
 
E(x) = 1222/144 
10) Uma associação imprimiu e vendeu 3.000 bilhetes de uma rifa para um quadro que 
vale R$ 750,00. Qual é a esperança matemática de uma pessoa que compra um desses 
bilhetes? 
Resposta. R$ 0,25 
11) Como parte de uma promoção, um fabricante de sabão oferece um primeiro prêmio 
de R$ 3.000,00 e um segundo prêmio de R$ 1.000,00 a pessoas escolhidas 
aleatoriamente dentre 15.000 pessoas dispostas a experimentar um novo produto e enviar 
seu nome e endereço no rótulo. Qual é a esperança matemática de uma pessoa que 
participa dessa promoção? 
Resposta. R$ 0,27 
12) Qual é a nossa esperança matemática se ganharmos R$ 25,00 quando um dado 
lançado aparecer com 1 ou 6 pontos e perdermos R$ 12,50 quando aparecer com 2, 3, 4 
ou 5 pontos? 
Resposta. Zero 
13) As probabilidades de um investidor vender um terreno para uma casa na montanha 
com um lucro de R$ 2.500,00, de R$ 1.500,00, de R$ 500,00 ou com um prejuízo de R$ 
500,00 são de 0,22, 0,36, 0,28 e 0,14, respectivamente. Qual é o lucro esperado do 
investidor? 
Resposta. R$ 1.160,00 
BIBLIOGRAFIA. 
BARBETTA, Pedro Alberto. Estatística: para cursos de engenharia e informática. São 
Paulo: Atlas, 2004 
ERBANO, Márcia, Olandoski. Estatística. Notas de Aula. Curitiba: Cefet-PR, 1996. 
FONSECA, Jairo Simon da e MARTINS, Gilberto de Andrade. Curso de Estatística. São 
Paulo: Editora Atlas, 1996. 
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