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Prof. Paulo Alessio – 2º Semestre de 2009. 1 "Só uma coisa torna um sonho impossível: o medo de fracassar." Disciplina: ESTATÍSTICA e PROBABILIDADE 1. Distribuições de Probabilidade. 1.1 Introdução. Em notas de aulas anteriores vimos que é possível explorar um conjunto de dados utilizando gráficos (barras, setores, histograma ou polígono de freqüência), medias de tendência central (média, mediana, moda) e medidas de variação (como o desvio padrão). Também foram vistos aspectos da teoria das probabilidades. Nestas notas de aulas, combinaremos esses conceitos ao estudarmos distribuições de probabilidade que descrevem o que provavelmente acontecerá, em lugar do que efetivamente aconteceu. As distribuições de freqüências de amostras foram tratadas anteriormente. Nestas notas de aulas são apresentadas as distribuições de probabilidade de populações. A distribuição de freqüência de uma amostra é uma estimativa da distribuição de probabilidade da população correspondente. Se o tamanho da amostra for grande, podemos esperar que a distribuição de freqüência da amostra seja uma boa aproximação da distribuição de probabilidade da população. 1.2 Variáveis Aleatórias. O conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório é o espaço amostral. Os elementos desse conjunto podem ser numéricos ou não. Por exemplo, se o experimento for escolher um aluno de uma turma e registrar sua altura, teremos um conjunto numérico, porém se indagarmos o time de futebol preferido do aluno, teremos um conjunto não numérico. Como em muitas situações experimentais precisamos atribuir um número real x a todo elemento do espaço amostral, vamos definir o conceito de variável aleatória. 1.2.1 Definição de Variável Aleatória. Seja S o espaço amostral associado a um experimento aleatório. Uma função X que associa a cada elemento s∈S um número real X(s) é denominada variável aleatória. Observe que, apesar do nome, variável aleatória é uma função cujo domínio é o conjunto S, e a imagem o conjunto de todos os valores possíveis de X, os X(s). Exemplo. Seja o experimento: lançamento de duas moedas. O espaço amostral associado ao experimento é: S = {(C; C), (C; K), (K; C), (K; K)} C = Cara e K = Coroa. Variável Aleatória X: número de caras (C) obtidas no lançamento de duas moedas. X(C; C) = 2 X(C; K) = 1 X(K; C) = 1 X(K; K) = 0 S R X: S→R X Comentário: A terminologia acima é um tanto infeliz, mas é tão universalmente aceita, que não nos afastaremos dela. Tornaremos tão claro quanto possível que X é uma função, e contudo, a denominaremos uma variável (aleatória)! Notas de aula 11 (C;C) (C;K) (K;C) (K;K) 0 1 2 Prof. Paulo Alessio – 2º Semestre de 2009. 2 Uma variável aleatória X é dita discreta se assume valores num conjunto finito ou infinito enumerável. Uma variável aleatória X é dita contínua se assume valores num conjunto infinito não enumerável ou seja, se a imagem de X é um intervalo, ou uma coleção de intervalos. Esses valores podem ser associados a mensurações em uma escala contínua. Exemplos de variáveis aleatórias. 1) X = número de acidentes com aviões da USAir dentre sete acidentes aéreos selecionados aleatoriamente. 2) X = número de mulheres entre 10 empregados recém-admitidos. 3) X = número de alunos que não compareceram a aula de estatística hoje. 4) X = altura de um aluno do sexo masculino selecionado aleatoriamente. 1.3 Função de Probabilidade. Seja X uma variável aleatória discreta. Sejam x1 , x2 , x3 , x4 , ... seus possíveis valores. A cada resultado xi associaremos um número p(xi ) = P(X = xi ), denominado probabilidade de xi , tal que: a) p(xi ) ≥ 0 para todo xi b) ∑ ∞ = = 1 1)( i ixp c) p(k) = P(X=k) Essa função é denominada função de probabilidade da variável aleatória X. A distribuição de probabilidade de X é dada pelos pares ( ))(; xx ii p , i = 1, 2, 3, e poderá ser expressa por uma tabela, gráfico ou fórmula. Exemplo. Vamos encontrar a distribuição discreta de probabilidade da variável número de caras encontradas no lançamento de três moedas. Experimento: lançamento de três moedas. Espaço Amostral: S = {(C; C; C), (C; C; K), (C; K; C), (K; C; C), (C; K; K), (K; C; K), (K; K; C), (K; K; K)} Variável Aleatória X = número de caras = 0, 1, 2, 3. x = 0 → (K; K; K) x = 1 → (C; K; K), (K; C; K), (K; K; C) x = 2 → (C;C;K), (C; K; C), (K; C; C) x = 3 → (C; C;C) A distribuição de probabilidade pode ser expressa pela tabela: Xi 0 1 2 3 p(xi ) 1/8 3/8 3/8 1/8 Prof. Paulo Alessio – 2º Semestre de 2009. 3 1.4 Função de Distribuição Acumulada de Probabilidade. Se X for uma variável aleatória discreta, define-se Função de Distribuição Acumulada em um ponto x como a soma das probabilidades dos valores de xi menores ou iguais a x. Isto é: ∑ ≤ = x i x pxF i x )()( Exemplo. Com os dados da distribuição de probabilidade do exemplo anterior, temos: a) F(1) = ∑ ≤1 )( x p i xi = 2 1 8 4 8 3 8 1 ==+ b) F(1,5) = ∑ ≤ 5,1 )( x p i xi = 2 1 8 3 8 1 =+ c) F(2,5) = 8 7 8 3 8 3 8 1 =++ d) F(3) = 1 8 1 8 3 8 3 8 1 =+++ e) F(5) = 1 f) F(-0,5) = 0 Exercícios. 1) Em uma caixa, têm-se cinco peças boas e quatro defeituosas. São retiradas aleatoriamente três peças sem reposição. Façamos X a variável aleatória: número de peças boas dentre as três peças retiradas. Logo, os valores de X são: 0 (nenhuma peça boa), 1, 2 e 3. Para a montagem da tabela de distribuição de probabilidade, necessitamos calcular as p(Xi ). p(x = 0) = 1/21 p(x = 1) = 5/14 p(x = 2) = 10/21 p(x = 3) = 5/42 Distribuição de Probabilidade: Xi 0 1 2 3 p(xi ) 1/21 5/14 10/21 5/42 Com referência à função acumulada de probabilidade, temos: a) F(-0,7) = 0 b) F(0,5) = 1/21 c) F(1,0) = 17/42 d) F(1,8) = 17/42 e) F(2,1) = 37/42 f) F(3,0) = 1 g) F(8,0) = 1 Quanto às probabilidades, temos: a) )32( ≤≤ xp = 25/42 b) p(x < 1) = 1/21 c) p(x > 3) = 0 d) probabilidade de pelo menos uma peça boa = 20/21 2) Construa a tabela de probabilidade para a variável aleatória: número de coroas obtidas no lançamento de duas moedas. Resposta: Distribuição de Probabilidade: Xi 0 1 2 p(xi ) 1/4 1/2 1/4 3) Faça X a variável aleatória soma dos pontos obtidos no lançamento de dois dados. Determine: a) Tabela de distribuição de probabilidade de X Prof. Paulo Alessio – 2º Semestre de 2009. 4 b) p(3 ≤ x ≤ 10) c) p(x > 7) d) p(x ≤ 5) e) Probabilidade de soma 6 f) Probabilidade de se obter pelo menos soma 3 g) F(4) h) F(8) i) F(15) j) F(1) l) F(5,5) m) F(12) Respostas. Xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 p(xi ) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 b) 8/9 c) 5/12 d) 5/18 e) 5/36 f) 35/36 g) 1/6 h) 13/18 i) 1 j) 0 l) 5/18 m) 1 4) Uma variável aleatória tem a distribuição de probabilidade dada pela seguinte fórmula: P(xi ) = k/x para x = 1, 3, 5, 7 a) Determine K Resposta: 105/176 b) Calcule )62( ≤≤ xP Resposta: 7/22 c) Quanto vale F(5)?Resposta: 161/176 5) Uma v.a discreta X tem função de probabilidade dada por: P(x) = P(X = x) = k.2-x , x = 0, 1, 2, … a) Encontre K R. k = 1/2 b) Encontre P(X ser maior ou igual a 3) R. 1/8 c) Encontre P(3 < X < 7) R. 7/128 6) Suponha que X seja uma v. a. com a seguinte distribuição de probabilidade: x -3 -1 0 1 2 3 5 8 P(x) 0,1 0,2 0,15 0,2 0,1 0,15 0,05 0,05 Determine as seguintes probabilidades: a) X é negativo R. 0,3 b) X é par positivo R. 0,15 c) X assume um valor entre 1 e 8 (inclusive) R. 0,55 1.5 Função Densidade de Probabilidade. Seja X uma variável aleatória contínua. A função f(x) é uma função densidade de probabilidade para a v. a. X, definida sobre o conjunto dos números reais R, se: a) f(x) ≥ 0 b) ∫ ∞ ∞− = 1)( dxxf c) P(a < X < b) = ∫ b a dxxf )( Prof. Paulo Alessio – 2º Semestre de 2009. 5 Observações importantes: 1) f(x) ≥ 0 para todo x ∈ R, significa que o gráfico da função f está todo acima do eixo x. 2) ∫ ∞ ∞− = 1)( dxxf , significa que a área total abaixo da curva f(x) é igual a 1. 3) Para quaisquer reais a < b, P(a < X < b) = ∫ b a dxxf )( significa que probabilidades, agora, são iguais a áreas abaixo da curva f(x). 4) A definição acima mostra que a probabilidade de qualquer valor específico de X, por exemplo, X = a, tem P(X = a) = 0 pois, P(X = a) = ∫ a a dxxf )( = 0, ou seja, probabilidades pontuais são nulas. 5) Segue da observação 4 que: P(a < X < b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b). 1.6 Esperança Matemática (Média) e Variância de uma Variável Aleatória (v.a.): A esperança matemática de uma v. a. X é uma medida que posiciona o centro de uma distribuição de probabilidade. Originalmente, o conceito de esperança matemática surgiu em relação aos jogos de azar e, em sua forma mais simples, é o produto da quantia que um jogador pode ganhar pela probabilidade de o jogador ganhar. Qual é a esperança matemática de alguém que compra um dentre 2.000 bilhetes de uma rifa de uma viagem para o Chile, estimada em $1.960,00? Como a probabilidade de ganhar a viagem é de 1/2.000 = 0,0005, a esperança matemática é $1.960,00 x 0,0005 = $ 0,98. Assim, do ponto de vista financeiro, seria insensato pagar mais de 98 centavos de dólar por um bilhete dessa rifa, a menos que a rifa fosse para alguma causa nobre ou que a pessoa que comprasse o bilhete estivesse obtendo algum prazer com a aposta. O prêmio era a viagem no valor de $1.960,00 e os dois resultados eram a viagem no valor de $1.960,00 e coisa alguma. Poderíamos argumentar que um dos bilhetes da rifa pagará o equivalente a $ 1.960,00, e cada um dos demais 1.999 bilhetes pagará coisa alguma, de modo que, na totalidade, os 2.000 bilhetes pagarão equivalente a $1.960,00 ou, em média 1.960/2.000 = $ 0,98 por bilhete. Essa média é a esperança matemática. Para generalizar o conceito de esperança matemática, considere a modificação na rifa citada acima. Qual é a esperança matemática por bilhete se a rifa também sorteia um jantar para dois num restaurante famoso, no valor de $200,00, como prêmio de segundo lugar, e duas entradas de cinema, no valor de $ 16,00, como prêmio de terceiro lugar? Agora podemos argumentar que um dos bilhetes pagará o equivalente a $ 1.960,00, outro bilhete pagará o equivalente a $ 200,00, um terceiro pagará o equivalente a $16,00 e cada um dos demais 1.997 bilhetes não pagará coisa alguma. Em sua totalidade, portanto, os 2.000 bilhetes pagarão o equivalente a $1.960,00 + $200,00 + $ 16,00 = $2.176,00, ou uma média equivalente a 2.176/2.000 = $1,088 por bilhete. Olhando para o exemplo de uma maneira diferente, poderíamos argumentar que, se o sorteio fosse repetido muitas vezes, uma pessoa com um dos bilhetes ganharia coisa alguma %85,99100. 000.2 997.1 = do tempo (ou com uma probabilidade de 0,9985 e cada um Prof. Paulo Alessio – 2º Semestre de 2009. 6 dos três prêmios %05,0100. 000.2 1 = do tempo (ou com uma probabilidade de 0,0005). Em média, uma pessoa com um dos bilhetes ganharia o equivalente a $ 1.960 x 0,0005 + $ 200 x 0,0005 + $ 16 x 0,0005 = $ 1,088, que é a soma dos produtos obtidos multiplicando cada pagamento pela probabilidade correspondente. 1.6.1 Para v.a. Discreta. Média ou Valor Esperado: ∑ = == k i iix xx pXE 1 )( )(.)(µ Variância: ( )∑ − = == k i Ixx piXV 1 22 )(.)( µσ ou µσ 222 )()( −== XEXV 1.6.2 Para v.a. Contínua. Média ou Valor Esperado: ∫ +∞ ∞− == xdxfxXE x )(.)(µ Variância: ( )∫ −+∞ ∞− == dxxfXV x )(.)( 22 µσ ou µσ 222 )()( −== XEXV Observações: 1) No caso da v. a. discreta, a esperança matemática pode ser vista como uma média “ponderada”, onde os “pesos” são as probabilidades de cada ponto. 2) No caso de uma v. a. contínua, a esperança matemática coincide com o cálculo do valor da abscissa do centro de gravidade da área que fica definida pela função f(x). É um ponto de equilíbrio que é calculado a partir da função densidade de probabilidade. 3) Podemos interpretar a esperança matemática, também, como sendo uma média dos valores que a v. a. assume se imaginarmos o experimento aleatório sendo repetido indefinidamente, e os valores de X sendo observados nas repetições. A função de probabilidade no caso discreto, ou a função densidade de probabilidade no caso contínuo refletem as freqüências relativas de ocorrência dos valores de X. 1.7 Propriedades da Esperança Matemática. As propriedades operatórias apresentadas a seguir são válidas para v. a.’s discretas e contínuas. a) Se a é uma constante, então: E(a) = a b) Se a e b são constantes, então: E(aX + b) = a E(X) + b c) E(X ± Y) = E(X) ± E(Y) d) Se X e Y são duas variáveis aleatórias independentes, então E(XY) = E(X).E(Y) Exemplos. 1) Considere um jogo no qual se lançam três moedas, não viciadas, e se recebe um dólar por cada cara que apareça. Quanto se esperaria ganhar, se se pudesse fazer o jogo apenas uma vez? Ou, de outra maneira: qual é o valor esperado de uma jogada? A distribuição de probabilidade será: Número de caras 0 1 2 3 xi : valor a ser recebido ($) 0 1 2 3 Probabilidades: p(xi ) 1/8 3/8 3/8 1/8 Prof. Paulo Alessio – 2º Semestre de 2009. 7 8 1 .3 8 3 .2 8 3 .1 8 1 .0)( )( +++== xE x µ = $ 1,50 O valor esperado é uma média a longo prazo. No caso, após várias jogadas se esperaria ganhar $ 1,50. 2) Se a probabilidade de um homem ganhar um premio de $ 10,00 é de 20%. Qual é o valor esperado (esperança matemática)? E(x) = 0,20 . 10 = $ 2,00. 3) Seja uma v.a. contínua com função densidade de probabilidade dada por: 2x, se 0 < x < 1 f(x) = 0 para outros valores. Determine a esperança matemática. ∫∫ ==== 1 0 1 0 3 22.)(.)( dxxxxdxfxXE x µ Exercícios. 1) Uma variável aleatória discreta pode assumir cinco valores, conforme a distribuição de probabilidade: xi 1 2 3 5 8 p(xi ) 0,20 0,25 ... 0,30 0,10 a) Encontre o valor p(3). Resposta. 0,15 b) Qual é o valor da função acumulativa para x = 5? Resposta. 0,90 c) Encontre a média da distribuição.Resposta. 3,45 2) A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta X é dada pela fórmula: ( )2,0 1).8,0()( −= xxp x = 1, 2, 3, ... a) calcule p(x) para x =1, x = 2, x = 3, x = 4 e x = 5 b) some as probabilidades obtidas no item a. O que você diria a respeito das probabilidades para valores maiores do que 5? Resposta. a) xi 1 2 3 4 5 p(xi ) 0,8 0,16 0,032 0,0064 0,00128 b) A soma das probabilidades atinge 0,99968, logo, as probabilidades para valores maiores do que 5 são próximas de zero. 3) O número de chamadas telefônicas recebidas por uma central e suas respectivas probabilidades para um intervalo de um minuto são: Número de chamadas xi 0 1 2 3 4 5 Probabilidades p(xi ) 0,55 0,25 0,10 0,04 0,04 0,02 a) Calcule F(2) Resposta. 0,90 b) Determine )41( ≤≤ xp e p(x > 1) Resposta. 0,43 e 0,20 Prof. Paulo Alessio – 2º Semestre de 2009. 8 c) Qual é o número esperado de chamadas em um minuto? Resposta. 0,83 4) Seja Z a variável aleatória correspondente ao numero de pontos de uma peça de dominó (soma dos pontos). a) Construa a tabela de distribuição de probabilidade de Z. b) Calcule )62( ≤≤ zP . c) Calcule F(8). d) Qual é o número médio de pontos? Resposta. a) zi 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 p(zi ) 1/28 1/28 2/28 2/28 3/28 3/28 4/28 3/28 3/28 2/28 2/28 1/28 1/28 b) 1/2 c) 11/14 d) 6 5) Em uma sala, temos cinco rapazes e quatro moças. São escolhidas aleatoriamente três pessoas. Faça X a variável aleatória: número de rapazes. a) Determine a distribuição de probabilidade da variável X. Construa uma tabela. b) Calcule as probabilidades: I. )2( ≤xP ; II. )0( ≤xP ; III. (P 1 < x ≤ 3); IV. P(2 < x < 3); V. P(x > 2); VI. P(x > -1); VII. P(x < 5). c) Determine: F(2,5); F(3); F(0,5); F(3,5); F(2); F(1); F(6); F(-0,5). Respostas. a) xi 0 1 2 3 p(xi ) 1/21 5/14 10/21 5/42 b) I) 37/42 II) 1/21 III) 25/42 IV) 0 V) 5/42 VI) 1 VII) 1 c) 37/42; 1; 1/21; 1; 37/42; 17/42; 1; 0 6) De uma caixa contendo 4 bolas pretas e 2 bolas verdes, 3 bolas são retiradas sucessivamente sem reposição. a) Encontre a distribuição de probabilidade de bolas verdes retiradas. b) Calcule a esperança matemática da distribuição encontrada. Resposta a) xi 0 1 2 )( xiP 5 1 5 3 5 1 Resposta b) 1 7) Uma moeda é viciada de tal forma que cara é duas vezes mais provável de ocorrer que coroa. Se a moeda é jogada três vezes, encontre a distribuição de probabilidade do número de caras. Resposta. xi 0 1 2 3 )( xiP 27 1 27 6 27 12 27 8 Prof. Paulo Alessio – 2º Semestre de 2009. 9 8) X é uma variável aleatória com a seguinte distribuição de probabilidade: x 0 1 2 3 4 P(x) 1/4 1/8 1/4 1/8 1/4 a) Determine E(X) R. 2 b) Determine E[(X + 1)/2] R. 3/2 9) Suponha que uma caixa contém 12 bolas numeradas de 1 a 12. Faz-se duas repetições independentes do experimento de selecionar aleatoriamente uma bola da caixa (experimento com repetição). Seja X o maior entre os dois números observados. Determine a função de probabilidade de X e a sua expectância. Resposta. x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P(x) 1/144 3/144 5/144 7/144 9/144 11/144 13/144 15/144 17/144 19/144 21/144 23/144 E(x) = 1222/144 10) Uma associação imprimiu e vendeu 3.000 bilhetes de uma rifa para um quadro que vale R$ 750,00. Qual é a esperança matemática de uma pessoa que compra um desses bilhetes? Resposta. R$ 0,25 11) Como parte de uma promoção, um fabricante de sabão oferece um primeiro prêmio de R$ 3.000,00 e um segundo prêmio de R$ 1.000,00 a pessoas escolhidas aleatoriamente dentre 15.000 pessoas dispostas a experimentar um novo produto e enviar seu nome e endereço no rótulo. Qual é a esperança matemática de uma pessoa que participa dessa promoção? Resposta. R$ 0,27 12) Qual é a nossa esperança matemática se ganharmos R$ 25,00 quando um dado lançado aparecer com 1 ou 6 pontos e perdermos R$ 12,50 quando aparecer com 2, 3, 4 ou 5 pontos? Resposta. Zero 13) As probabilidades de um investidor vender um terreno para uma casa na montanha com um lucro de R$ 2.500,00, de R$ 1.500,00, de R$ 500,00 ou com um prejuízo de R$ 500,00 são de 0,22, 0,36, 0,28 e 0,14, respectivamente. Qual é o lucro esperado do investidor? Resposta. R$ 1.160,00 BIBLIOGRAFIA. BARBETTA, Pedro Alberto. Estatística: para cursos de engenharia e informática. São Paulo: Atlas, 2004 ERBANO, Márcia, Olandoski. Estatística. Notas de Aula. Curitiba: Cefet-PR, 1996. FONSECA, Jairo Simon da e MARTINS, Gilberto de Andrade. Curso de Estatística. São Paulo: Editora Atlas, 1996. FREUND, John E. Estatística aplicada: economia, administração e contabilidade. Porto Alegre: Bookman, 2006. GUIMARÃES, Inácio Andruski. Estatística – Notas de Aulas. Curitiba, 2005. MARTINS, Gilberto de Andrade. Estatística Geral e Aplicada. São Paulo: Editora Atlas, 2002. MEYER, Paul L. Probabilidade Aplicações à Estatística. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico, 1973. 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