Problemas de Algébra Linear

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Universidade Federal Rural do Semi-a´rido,UFERSA
Departamento de Cieˆncias Exatas e Naturais
Curso Bacharelado em Cieˆncia e Tecnologia
A´lgebra Linear
Primeira Lista de exerc´ıcios
Problema 1: Se A e B sa˜o matrizes de tipo 2 × 3, qual das seguintes operac¸o˜es na˜o pode
ser efetuada?
a) A+B b) A′ −B′ c) (A+B).B′ d) B′.A e) A.B
Problema 2: O valor de x para que o produto das matrizes A =
[
−2 x
3 1
]
e, B =[
1 −1
0 1
]
seja uma matriz sime´trica e´:
a) −1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3
Problema 3: a) Calcular se poss´ıvel A.B, A′.B′, A.C, C.B
A =
[
−2 1
3 4
]
B =
[
−2 1
0 3
]
C =
[
1 3 0
2 4 −2
]
Problema 4: a) Calcular A.B e C.D
A =
[
−2 1 5 6 2
0 3 4 1 −1
]
B =

−2 1
0 3
1 6
2 7
−1 8
 C =
 −2 1 5 6 20 3 4 1 −1
2 4 5 6 1
 D =

−2 1
0 5
−4 6
2 8
−1 9

Problema 5: Encontre um valor de x tal que AB′ = 0.
A =
[
x 4 −2
]
B =
[
2 −3 5
]
Problema 6: Deˆ exemplos, se poss´ıvel, de matrizes satisfazendo as condic¸o˜es dadas abaixo.
Observac¸a˜o: N(A)=nulidade de A e P (A) = posto de A.
a)B2×3, P (B) = 2 b) C3×2, P (C) = 3 c)D2×4, P (D) = 3 d) F2×3, N(F ) = 2 e)G4×3, N(G) =
0 f) H3×3, N(H) = 0 g) J3×3, P (J) = 2.
Problema 7: Verifique se sa˜o verdadeiras ou falsas as seguintes afirmac¸o˜es:
a) O posto de uma matriz e´ um nu´mero natural maior ou igual a zero e menor ou igual ao
nu´mero de linhas.
b) O posto de uma matriz e´ um nu´mero natural maior ou igual a zero e menor ou igual ao
nu´mero de colunas.
c) Se C e´ uma matriz quadrada ordem 3 e possui uma linha nula, enta˜o P (C) = 2.
d) Se P (D) = 3 e Dn×m com n ≥ 3,enta˜o m ≤ 3.
Problema 8: Encontre o posto e a nulidade da matriz:
a) A =
 1 0 −1 30 1 2 5
0 0 0 0

b) A =
 1 0 1 70 1 3 8
0 0 0 0

c) A =
 1 0 0 70 1 3 8
0 0 1 2

Problema 9: Resolver usando Gauss
a)
 x +y +z = 10002x +y +4z = 2000
2x +3y +5z = 2500

b)
 x +y +2z = 8−x −2y +3z = 1
3x −7y +4z = 10

c)
 2x +2y +2z = 0−2x +5y +2z = 1
8x +y +4z = −1

Problema 10: Resolver usando a regra de Crammer:
a)
 x +y +z = 10002x +y +4z = 2000
2x +3y +5z = 2500

b)
 x +y +2z = 8−x −2y +3z = 1
3x −7y +4z = 10

c)
 2x +2y +2z = 0−2x +5y +2z = 1
8x +y +4z = −1

Problema 11: Use as operac¸o˜es elementares sobre linhas para descobrir se A e´ invers´ıvel.
Determine, se poss´ıvel, A−1 nos casos abaixo:
a) A =
[
2 5
1 3
]
b) A =
[
1 −1
1 1
]
c) A =
[
2 −4
4 −8
]
Problema 12: Achar matriz inversa de:
a) A =
[
−2 1
0 3
]
.
b) A =
 1 2 31 1 2
0 1 1

c) A =
 1 2 30 2 3
1 2 4

d) A =
 1 2 30 3 2
0 0 −2

e) A =
 1 2 21 3 1
1 3 2

f) A =

1 0 0 2
0 1 0 0
0 0 1 0
2 0 0 2

Problema 13: Se A−1 =
[
3 2
1 3
]
, B−1 =
[
2 5
3 −2
]
. Encontre (AB)−1 = B−1A−1
Problema 14: Calcular o determinante de:
a) A =
 3 0 02 5 0
4 3 1

b) A =
 1 3 54 2 7
4 1 −6

c) A =

3 2 3 5
0 1 4 7
0 0 2 2
0 0 0 6

Problema 15: Qual relac¸a˜o existente entre os determinantes das matrizes
A =
 8 16 563 5 2
0 2 7
 B =
 1 2 73 5 2
0 2 7

Problema 16: O determinantes de uma matriz e´ 42. Se multiplicarmos a primeira linha
da matriz por treˆs e dividirmos sua segunda coluna por nove, a nova matriz tera´ determinante
igual a:
a) 12 b) 14 c) 21 d) 42
Problema 17: A e B sa˜o matrizes quadradas de ordem 3 e B = K.A. Sabe-se que det(A) =
1, 5 e det(B′) = 96. Enta˜o:
a) K = 64 b) K = 96 c) K = 14 d) K =
3
2 e) K = 4
Problema 18: O valor do determinante de A =

2 2 2 2
0 1 1 1
0 0 −2 3
2 1 0 −1
 e´
a) −4 b) −2 c) 0 d) 2 e) 4
Problema 19: Considere as afirmativas:
1. Se A′ e´ a transposta da matriz quadrada A, enta˜o det(A′) = det(A).
2. Se A e´ uma matriz quadrada de ordem 2 tal que A.A = 0, enta˜o a matriz I−A e´ invers´ıvel.
3. Se A e´ uma matriz invers´ıvel, enta˜o det(A−1) = [det(A)]−1
Problema 20: Calcular o determinante de:
a) A =

0 0 0 −3
1 2 3 4
−1 3 2 5
2 1 −2 0

b) A =

0 4 0 3
1 2 6 7
1 3 4 −5
−2 3 6 0

c) A =

3 7 9 0
1 2 3 0
−1 3 5 2
2 1 −6 0

d) A =

1 3 9 7
2 3 2 5
0 3 4 1
4 6 9 1

Problema 21: Utilize a regra de Cramer para resolver os sistemas:
a)
[
x +3y = 8
x −y = 0
]
b)
[
x +2y = 8
x −y = −1
]
c)
 −x +y +z = 62x +5y −2z = 6
x +7y −7z = −10

d)
 x +2y −3z = 02x +4y −2z = 2
3x 6y −4z = 3
 Bom trabalho.