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Introdução aos limites

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www.ufvjm.edu.br 
 
 AULA 1 
Apresentação da Disciplina; Introdução aos limites: Definição de Limites; 
Propriedades de Limites 
Exemplo 1: 
Consideremos o quadrado um branco e o seguinte procedimento feito indefinidamente: Dividi-se a 
parte em branco ao meio e preenche metade com a cor preta. 
 
Após a primeira vez o quadrado passa a ficar com 50% colorido. 
Após a segunda vez o quadrado passa a ficar com 75% colorido. 
Após a terceira vez o quadrado passa a ficar com 87,5% colorido. 
... 
A pergunta é: Em algum momento este quadrado vai ficar 100% colorido? 
 
Exemplo 2 
Observemos a sequencia determinada por 
x
1
 com 
Zx
. 
Assim temos a sequência 
0...
5
1
,
4
1
,
3
1
,
2
1
,1 
 
Ou também 
0...20,0,25,0,33,0,5,0,1 
 
 
Consideremos o gráfico da função f: R→R definida por f(x) = x – 1 
 
 
 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO 
UNIVERSIDADE FEDERAL DOS VALES DO JEQUITINHONHA E MUCURI 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observemos que, à medida que os valores de x se aproximam de 4 (pela direita e pela esquerda) 
os valores da função se aproximam cada vez mais de 3 
 
 
 
 
 
Assim, podemos dizer que o limite de f(x) quando x tende a 4 pela esquerda (valores menores que 
4) é igual a 3, e indicamos por 
  3lim
4


xf
x
 
Também podemos dizer que o limite de f(x) quando x tende a 4 pela direita (valores maiores que 4) 
é igual a 3, e indicamos por 
  3lim
4


xf
x
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dado o gráfico determine os limites 
-2 
-1 3 4 
-1 
-1,5 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
     
     
     
     
     
    q) p)
 o) n) )
 l) k) )
 i) h) )
 f) e) )
c) b) )
limlim
limlimlim
limlimlim
limlimlim
limlimlim
limlimlim
555
222
000
444
666
xfxf
xfxfxfm
xfxfxfj
xfxfxfg
xfxfxfd
xfxfxfa
xx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx











     
     
     
     
     
    q) p)
 o) n) )
 l) k) )
 i) h) )
 f) e) )
c) b) )
limlim
limlimlim
limlimlim
limlimlim
limlimlim
limlimlim
444
333
000
111
222
xfxf
xfxfxfm
xfxfxfj
xfxfxfg
xfxfxfd
xfxfxfa
xx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx











8 
4 
3 
2 
- 3 
- 4 - 6 2 
1 
5 
 
 
 
 
 
 
    523)714) limlim
12


xcxb
xx

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