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Lista#01LimitesResolvida

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
 
 
 
 
 
 
 
lnx, se x > 0 
ex, se x ≤ 0 
xx0– x0x0 x1 x-1 xe x 
0xse,
x
1
0xse,
2
1
x












 
xa– xa+ xa 
 
 
Resp: a = – 10 
Resp: 
 a
 
LISTA DE EXERCÍCIOS # 01 
 
1) Esboce o gráfico de cada função f a seguir, e determine o que se pede: 
 
 
 a) f( x) = 
 
 
lim f ( x ), lim f ( x ), lim f ( x ), lim f ( x ), lim f ( x ), lim f ( x ), lim f ( x ), lim f ( x ) 
 
 
 
 
 
 b) f(x) = 
 
 
 
 
)]x(f[lim
x 
, 
)]x(f[lim
0x 
, 
)]x(f[lim
0x 
, 
)]x(f[lim
0x
, 
)]x(f[lim
1x
, 
)]x(f[lim
1x 
, 
)]x(f[lim
x 
 












 0xse,x
0xse,0
0xse),x(log
)x(f)c
2
2
1


 
2) Determine, se possível, a 

 R, para que exista lim f(x), sendo: 

0xx

 I) 









1xse,ax5
1xse,3
1xse,2x3
)x(f
, para x0 = – 1 
 
 II)   








2xse,a
2xse,2x4x
)x(f
12 , para x0 = 2 
 
3) Seja a função 









2xse,6x2
2x2se,bax
2xse,x
)x(f
2
, então esboce o gráfico de modo que os 
limites para a função f(x) exista quando x tende a – 2 e x tende a 2. 
 
4) Esboce os gráficos para as funções abaixo e determine os limites: 
 lim f(x), lim f(x), e, caso exista, lim f(x) 
 
 
)]x(f[lim
x 
, 
)]x(f[lim
x 
, 
)]x(f[lim
0x
, 
)]x(f[lim
1x
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
 
 
 
 
 
 
 
CET007–Cálculo Diferencial e Integral – Lista de Limites # 01 
Profa. Ruth Exalta da Silva 
2/6 
 x 
 x x 
 x x 
 x 
 
I) f(x) = 








1xse,1x4
1xse,2
1xse,2x3
, para a = 1 
II) f(x) = 








1xse,x1
2xse,1
2xe1xse,1x 2
, para a = 2 
III) f(x) = 





0xse,x
0xse,xx 2 , para a = 0 
 IV) f(x) = 









2xse,0
2xse,
2x
2x
, para a = – 2 
 
5) Calcule os limites a seguir: 
8x
2x
lim)a
3

 
1x
25x3
lim)b
2
3

 
x51
x53
lim)c

 
 2
33 2
1x
1x2x
lim)d

 
 e) lim 
1x
1x3

 f) lim 








)x2(senx
)x3(senx
 
 
GABARITO 
1.a) 0; 1; – ∞; 

; 0; 
e
1
; 1; + ∞ 
 b) 0; – ∞; 1; 

; ½; –1; 0 
 
 c) 0; – ∞; + ∞; 0 
 
3) a = 
2
3

; b = 1; fII(–2) = 4; fII(2) = – 2; fII(x) = 
2
3

x + 1 
5.a) 
12
1
; b) 
8
1
; c) 
3
1

; d) 
9
1
; e) 
3
2
; f) 
3
2

 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
 
 
 
 
 
 
 
CET007–Cálculo Diferencial e Integral – Lista de Limites # 01 
Profa. Ruth Exalta da Silva 
3/6 
1 
1 
x 
y 
x→ – ∞ 
x→ 0– 
x→ 0+ 
x→ 0 
x→ – 1 
x→ 1 
x→ e 
x→ + ∞ 
x→ – ∞ 
1 o 
y 
x 
1 
x→ 0– 
x→ 0+ x→ – 1 
x→ 1 
x→ + ∞ x→ 0 
● 
x→ – ∞ 
x→ + ∞ 
x→ 0 
x→ 1 
x→ –1– x→ –1+ 
x→ 2– x→ 2+ 

 
x 
y 
x→ 2 x→ 2 
D = R 
 
Im = R 
D = R* 
 
Im = R 
– 
RESOLUÇÃO DA LISTA DE EXERCÍCIOS # 01 
 
 
01) a) lim f(x) = 0 lim f(x) = 0 
 
 lim f(x) = 1 lim f(x) = 
e
1
 
 
 lim f(x) = – ∞ lim f(x) = 1 
 
 lim f(x) = lim f(x) = + ∞ 
 
 
 b) lim f(x) = 0 
 
 
 lim f(x) = – ∞ lim f(x) = ½ 
 
 
 lim f(x) = 1 lim f(x) = – 1 
 
 
 lim f(x) = 

 lim f(x) = 0 
 
 
 
 c) lim f(x) = 0 
 
 
 lim f(x) = – ∞ 
 
 lim f(x) = 0 
 lim f(x) = + ∞ 
 
 
 
 
2) I) Se o limite de f(x), quando x → – 1 existe, então os limites laterais são iguais. 
 lim f(x) = 5 + a e lim f(x) = – 5, logo 5 + a = – 5 → a = – 10 
 
 
 II) Se o limite de f(x), quando x → 2 existe, então os limites laterais são iguais. 
 
 lim f(x) = 4 e lim f(x) = 4 → temos limites laterais iguais, logo 

 a 

Reais. 
 
 lim 








)2x(
)2x)(2x(
 = lim (x + 2) = 4 
 
Im = ]–∞, 1[ – {0} 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
 
 
 
 
 
 
 
CET007–Cálculo Diferencial e Integral – Lista de Limites # 01 
Profa. Ruth Exalta da Silva 
4/6 
x→ 2– 
x→ –2– x→ –2+ 
x→ 2+ 
– 2 1 2 3 
x 
y 
–2 
1 
4 
x→ 1– 
x→ 1+ 
o 
 
• 
o
 
x 
y 
 
4
1

 1 
5 
 
2 
1
 
x→ 1 

 
 
x→ 2– 
x→ 2+ 
x→ 2 
o 
 
• 
1 2 
3 
 
 
1 
x→ 0– 
x→ 0+ 
x→ 0 
1 
– 1 
x 
x 
+ 
x 
y 
y 
y 
o 
 
• – 2 
o 
1 
 
• 
– 1 
x→ 2– 
x→ 2+ 
x→ –2 
x→ – 2– 
x→ – 2+ 
3) Precisamos determinar os coeficientes a e b. 
 
 lim f(x) = 4 e lim f(x) = – 2a + b, logo limites laterais iguais, então – 2a + b = 4 
 
 lim f(x) = 2a +b e lim f(x) = – 2, logo limites laterais iguais, então 2a + b = – 2 
 
 Temos um sistema envolvendo a e b, resolvendo o sistema obtemos a = –
2
3
 e b = 1. 
 











2xse,6x2
2x2se,1x
2
3
2xse,x
)x(f
2
 
 
 D = R Im = [– 2, +∞[ 
 
 
 
 
4) I) lim f(x) = 5 D = R 
 Im = R 
 lim f(x) = 1 
 
 
 Logo, o lim f(x) = 
 
 
 
 II) lim f(x) = 3 
 
 lim f(x) = 3 D = R 
 Im = R 
 Logo,  lim f(x) = 3 
 
 
III) lim f(x) = 0 
 D = R 
 lim f(x) = 0 Im = [– 1, + ∞[ 
 
 Logo,  lim f(x) = 0 
 
 
IV) lim f(x) = – 1 D = R 
 Im = {– 1, 0, 1} 
 lim f(x) = 1 
 Logo, o lim f(x) = 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
 
 
 
 
 
 
 
CET007–Cálculo Diferencial e Integral – Lista de Limites # 01 
Profa. Ruth Exalta da Silva 
5/6x→ 8 
a→ 2 a→ 2 a→ 2 
x→ 1 
a→ 2 a→ 2 
a→ 2 a→ 2 
a→ 2 a→ 2 
x→ 4 
x→ 4 x→ 4 x→ 4 
x→ 4 x→ 4 x→ 4 
5) a) lim 
0
0
8x
2x3










 → Indeterminação 
 Fazendo 
3 x
 = a → x = a3, quando x → 8, então a → 2. Reescrevendo o limite temos: 
 
 lim 










8a
2a
3
 = lim 










)4a2a)(2a(
2a
2
 = lim 








 )4a2a(
1
2
 = 
12
1
 
 
 b) lim 










1x
25x3
2
3 = 
0
0
→ Indeterminação → Melhor caminho substituição 
 
 
 Fazendo 
3 5x3 
 = a → x = 
3
5a3  , quando x → 1, então a → 2. Reescrevendo o limite temos: 
 lim 
























 

1
3
5a
)2a(
2
3 → desenvolvendo o produto notável → lim 






















 

1
9
25a10a
)2a(
36 
 
fazendo o M.M.C. no denominador e resolvendo a divisão de fração do denominador temos: 
 
lim 










)16a10a(
)2a(9
36
 = lim 










)16a10a(
)2a(9
36
 → dividindo o denominador por (a – 2) 
lim 








)8a4a2a4a2a)(2a(
)2a(9
2345
 = lim 






 )8a4a2a4a2a(
9
2345
 = 
8
1
 
 
 
c) lim 










x51
x53 = 
0
0
→ Indeterminação → utilizaremos o conjugado 
 
 lim 




























x51
x51
x51
x53 = lim   
  









2
2 x51
x51x53 = lim   










4x
x51x53 
 
lim   













x53
x53
)4x(
x51x53 = lim 
   
 




















x53)4x(
x53x51
22
= lim   
 









x53)4x(
x4x51 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
 
 
 
 
 
 
 
CET007–Cálculo Diferencial e Integral – Lista de Limites # 01 
Profa. Ruth Exalta da Silva 
6/6 
x→ 4 x→ 4 
x→ 1 
a→ 1 a→ 1 a→ 1 
a→ 1 a→ 1 a→ 1 
a→ 1 a→ 1 a→ 1 
x→ 1 
x→ 0 
x→ 0 x→ 0 
x→ 0 
 lim  
  









x53)4x(
x51)4x( = lim  
 










x53
x51 = 
33
11



 = 
3
1

 
 
d) lim 










2
33 2
)1x(
1x2x = 
0
0
→ Indeterminação → Melhor caminho substituição 
 
Fazendo 
3 x
= a → x = a3 → quando x → 1, então a → 1. Reescrevendo o limite temos: 
 lim 








23
2
)1a(
1a2a
 = lim 
  









22
2
)1aa)(1a(
)1a( = lim 








 22 )1aa(
1 = 
9
1
 
 
e) lim 
1x
1x3

 = 
0
0
→ Indeterminação → utilizaremos a troca de variável e depois o conjugado 
Fazendo 
3 x
= a → x = a3 → quando x → 1, então a → 1. Reescrevendo o limite temos: 
 lim 










1a
1a
3
 = lim 















 




 





 
1a1a
1a)1a(
33
3
 = lim 
  






















 
2
2
3
3
1a
1a)1a(
 
 
 lim 
  















 
1a
1a)1a(
3
3
 = lim 
   















 
1aa1a
1a)1a(
2
3
 = lim 
  















 
1aa
1a
2
3
 = 
3
2
 
 
f) lim 








)x2(senx
)x3(senx
 = 
0
0
→ Indeterminação 
 lim 


























x
)x2(sen
1x
x
)x3(sen
1x
 = lim 


























x
)x2(sen
1
x
)x3(sen
1
 = 







































2
2
x
)x2(sen
1
3
3
x
)x3(sen
1
lim
0x
 
 
Utilizando as propriedades de limites e o limite fundamental da função seno temos: 
 
 lim 


























x2
)x2(sen
21
x3
)x3(sen
31
 = 
















x2
)x2(sen
21lim
x3
)x3(sen
31lim
0x
0x = 
3
2
x2
)x2(sen
lim2)1(lim
x3
)x3(sen
lim3)1(lim
0x0x
0x0x


















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