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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS lnx, se x > 0 ex, se x ≤ 0 xx0– x0x0 x1 x-1 xe x 0xse, x 1 0xse, 2 1 x xa– xa+ xa Resp: a = – 10 Resp: a LISTA DE EXERCÍCIOS # 01 1) Esboce o gráfico de cada função f a seguir, e determine o que se pede: a) f( x) = lim f ( x ), lim f ( x ), lim f ( x ), lim f ( x ), lim f ( x ), lim f ( x ), lim f ( x ), lim f ( x ) b) f(x) = )]x(f[lim x , )]x(f[lim 0x , )]x(f[lim 0x , )]x(f[lim 0x , )]x(f[lim 1x , )]x(f[lim 1x , )]x(f[lim x 0xse,x 0xse,0 0xse),x(log )x(f)c 2 2 1 2) Determine, se possível, a R, para que exista lim f(x), sendo: 0xx I) 1xse,ax5 1xse,3 1xse,2x3 )x(f , para x0 = – 1 II) 2xse,a 2xse,2x4x )x(f 12 , para x0 = 2 3) Seja a função 2xse,6x2 2x2se,bax 2xse,x )x(f 2 , então esboce o gráfico de modo que os limites para a função f(x) exista quando x tende a – 2 e x tende a 2. 4) Esboce os gráficos para as funções abaixo e determine os limites: lim f(x), lim f(x), e, caso exista, lim f(x) )]x(f[lim x , )]x(f[lim x , )]x(f[lim 0x , )]x(f[lim 1x UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CET007–Cálculo Diferencial e Integral – Lista de Limites # 01 Profa. Ruth Exalta da Silva 2/6 x x x x x x I) f(x) = 1xse,1x4 1xse,2 1xse,2x3 , para a = 1 II) f(x) = 1xse,x1 2xse,1 2xe1xse,1x 2 , para a = 2 III) f(x) = 0xse,x 0xse,xx 2 , para a = 0 IV) f(x) = 2xse,0 2xse, 2x 2x , para a = – 2 5) Calcule os limites a seguir: 8x 2x lim)a 3 1x 25x3 lim)b 2 3 x51 x53 lim)c 2 33 2 1x 1x2x lim)d e) lim 1x 1x3 f) lim )x2(senx )x3(senx GABARITO 1.a) 0; 1; – ∞; ; 0; e 1 ; 1; + ∞ b) 0; – ∞; 1; ; ½; –1; 0 c) 0; – ∞; + ∞; 0 3) a = 2 3 ; b = 1; fII(–2) = 4; fII(2) = – 2; fII(x) = 2 3 x + 1 5.a) 12 1 ; b) 8 1 ; c) 3 1 ; d) 9 1 ; e) 3 2 ; f) 3 2 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CET007–Cálculo Diferencial e Integral – Lista de Limites # 01 Profa. Ruth Exalta da Silva 3/6 1 1 x y x→ – ∞ x→ 0– x→ 0+ x→ 0 x→ – 1 x→ 1 x→ e x→ + ∞ x→ – ∞ 1 o y x 1 x→ 0– x→ 0+ x→ – 1 x→ 1 x→ + ∞ x→ 0 ● x→ – ∞ x→ + ∞ x→ 0 x→ 1 x→ –1– x→ –1+ x→ 2– x→ 2+ x y x→ 2 x→ 2 D = R Im = R D = R* Im = R – RESOLUÇÃO DA LISTA DE EXERCÍCIOS # 01 01) a) lim f(x) = 0 lim f(x) = 0 lim f(x) = 1 lim f(x) = e 1 lim f(x) = – ∞ lim f(x) = 1 lim f(x) = lim f(x) = + ∞ b) lim f(x) = 0 lim f(x) = – ∞ lim f(x) = ½ lim f(x) = 1 lim f(x) = – 1 lim f(x) = lim f(x) = 0 c) lim f(x) = 0 lim f(x) = – ∞ lim f(x) = 0 lim f(x) = + ∞ 2) I) Se o limite de f(x), quando x → – 1 existe, então os limites laterais são iguais. lim f(x) = 5 + a e lim f(x) = – 5, logo 5 + a = – 5 → a = – 10 II) Se o limite de f(x), quando x → 2 existe, então os limites laterais são iguais. lim f(x) = 4 e lim f(x) = 4 → temos limites laterais iguais, logo a Reais. lim )2x( )2x)(2x( = lim (x + 2) = 4 Im = ]–∞, 1[ – {0} UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CET007–Cálculo Diferencial e Integral – Lista de Limites # 01 Profa. Ruth Exalta da Silva 4/6 x→ 2– x→ –2– x→ –2+ x→ 2+ – 2 1 2 3 x y –2 1 4 x→ 1– x→ 1+ o • o x y 4 1 1 5 2 1 x→ 1 x→ 2– x→ 2+ x→ 2 o • 1 2 3 1 x→ 0– x→ 0+ x→ 0 1 – 1 x x + x y y y o • – 2 o 1 • – 1 x→ 2– x→ 2+ x→ –2 x→ – 2– x→ – 2+ 3) Precisamos determinar os coeficientes a e b. lim f(x) = 4 e lim f(x) = – 2a + b, logo limites laterais iguais, então – 2a + b = 4 lim f(x) = 2a +b e lim f(x) = – 2, logo limites laterais iguais, então 2a + b = – 2 Temos um sistema envolvendo a e b, resolvendo o sistema obtemos a = – 2 3 e b = 1. 2xse,6x2 2x2se,1x 2 3 2xse,x )x(f 2 D = R Im = [– 2, +∞[ 4) I) lim f(x) = 5 D = R Im = R lim f(x) = 1 Logo, o lim f(x) = II) lim f(x) = 3 lim f(x) = 3 D = R Im = R Logo, lim f(x) = 3 III) lim f(x) = 0 D = R lim f(x) = 0 Im = [– 1, + ∞[ Logo, lim f(x) = 0 IV) lim f(x) = – 1 D = R Im = {– 1, 0, 1} lim f(x) = 1 Logo, o lim f(x) = UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CET007–Cálculo Diferencial e Integral – Lista de Limites # 01 Profa. Ruth Exalta da Silva 5/6x→ 8 a→ 2 a→ 2 a→ 2 x→ 1 a→ 2 a→ 2 a→ 2 a→ 2 a→ 2 a→ 2 x→ 4 x→ 4 x→ 4 x→ 4 x→ 4 x→ 4 x→ 4 5) a) lim 0 0 8x 2x3 → Indeterminação Fazendo 3 x = a → x = a3, quando x → 8, então a → 2. Reescrevendo o limite temos: lim 8a 2a 3 = lim )4a2a)(2a( 2a 2 = lim )4a2a( 1 2 = 12 1 b) lim 1x 25x3 2 3 = 0 0 → Indeterminação → Melhor caminho substituição Fazendo 3 5x3 = a → x = 3 5a3 , quando x → 1, então a → 2. Reescrevendo o limite temos: lim 1 3 5a )2a( 2 3 → desenvolvendo o produto notável → lim 1 9 25a10a )2a( 36 fazendo o M.M.C. no denominador e resolvendo a divisão de fração do denominador temos: lim )16a10a( )2a(9 36 = lim )16a10a( )2a(9 36 → dividindo o denominador por (a – 2) lim )8a4a2a4a2a)(2a( )2a(9 2345 = lim )8a4a2a4a2a( 9 2345 = 8 1 c) lim x51 x53 = 0 0 → Indeterminação → utilizaremos o conjugado lim x51 x51 x51 x53 = lim 2 2 x51 x51x53 = lim 4x x51x53 lim x53 x53 )4x( x51x53 = lim x53)4x( x53x51 22 = lim x53)4x( x4x51 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CET007–Cálculo Diferencial e Integral – Lista de Limites # 01 Profa. Ruth Exalta da Silva 6/6 x→ 4 x→ 4 x→ 1 a→ 1 a→ 1 a→ 1 a→ 1 a→ 1 a→ 1 a→ 1 a→ 1 a→ 1 x→ 1 x→ 0 x→ 0 x→ 0 x→ 0 lim x53)4x( x51)4x( = lim x53 x51 = 33 11 = 3 1 d) lim 2 33 2 )1x( 1x2x = 0 0 → Indeterminação → Melhor caminho substituição Fazendo 3 x = a → x = a3 → quando x → 1, então a → 1. Reescrevendo o limite temos: lim 23 2 )1a( 1a2a = lim 22 2 )1aa)(1a( )1a( = lim 22 )1aa( 1 = 9 1 e) lim 1x 1x3 = 0 0 → Indeterminação → utilizaremos a troca de variável e depois o conjugado Fazendo 3 x = a → x = a3 → quando x → 1, então a → 1. Reescrevendo o limite temos: lim 1a 1a 3 = lim 1a1a 1a)1a( 33 3 = lim 2 2 3 3 1a 1a)1a( lim 1a 1a)1a( 3 3 = lim 1aa1a 1a)1a( 2 3 = lim 1aa 1a 2 3 = 3 2 f) lim )x2(senx )x3(senx = 0 0 → Indeterminação lim x )x2(sen 1x x )x3(sen 1x = lim x )x2(sen 1 x )x3(sen 1 = 2 2 x )x2(sen 1 3 3 x )x3(sen 1 lim 0x Utilizando as propriedades de limites e o limite fundamental da função seno temos: lim x2 )x2(sen 21 x3 )x3(sen 31 = x2 )x2(sen 21lim x3 )x3(sen 31lim 0x 0x = 3 2 x2 )x2(sen lim2)1(lim x3 )x3(sen lim3)1(lim 0x0x 0x0x
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