Problemas de Taxas Relacionadas em Cálculo

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
 
 
 
 
 
 
CET 007 – Cálculo Diferencial e Integral 
Profa. Ruth Exalta da Silva – exalta@ufba.br – exalta@ufrb.edu.br 
01) 
02) 
03) 
04) 
05) 
06) 
07) 
08) 
09) 
10) 
PROBLEMAS – TAXAS RELACIONADAS 
 
O carro A segue em uma estrada (Leste–Oeste), em direção a Oeste a 90 km/h e o carro B segue 
em uma estrada (Norte–Sul), rumo ao Norte a 100 km/h. Ambos estão se dirigindo para a 
interseção das duas estradas. A que taxa os carros se aproximam um do outro quando o carro A 
está a 60 m e o carro B está a 80 m da interseção das estradas? 
 
Um avião voa horizontalmente a uma altitude de 2 Km, a 800 Km/h, e passa diretamente sobre 
uma estação de radar. Encontre a taxa segundo a qual a distância entre o avião e a estação 
aumenta quando ele está a 3 Km da estação. 
 
O comprimento de um retângulo está crescendo a uma taxa de 8 cm/s e sua largura está 
crescendo a uma taxa de 3 cm/s. Quando o comprimento for 20 cm e a largura for 10 cm, quão 
rapidamente estará crescendo a área do retângulo? 
 
Um tanque cilíndrico com raio 5m está sendo abastecido com água a uma taxa de 3m3/min. 
Quão rápido estará aumentando a altura da água? 
 
O raio de uma esfera está aumentando a uma taxa de 4 mm/s. Quão rápido o volume está 
aumentando quando o diâmetro for 80 mm? 
 
Um foguete é lançado verticalmente de um local a 9 Km de um ponto de observação. Após 20 s, 
sua velocidade de subida é de 700 m/s e ele está a altura de 12 Km. Calcule a velocidade com 
que ele se distancia do ponto de observação. 
 
Suponha que um tumor no corpo de uma pessoa tenha a forma esférica. Se, quando o raio do 
tumor for 5 cm, o raio estiver crescendo a uma taxa de 0,001cm por dia, qual será a taxa de 
aumento do volume do tumor naquele instante? 
 
Uma criança está empinando uma pipa que move-se horizontalmente a 4 m/s. Supondo que a 
pipa permaneça a 80 m de altura, sobre o nível do solo. Desprezando a altura da criança, qual é a 
velocidade com que a linha está sendo dada no momento em que a distância da criança até a pipa 
é de 100 m? 
 
Uma quantidade de areia é despejada a uma taxa de 10 m3/min, formando um monte cônico. Se a 
altura do monte for sempre o dobro do raio da base, com que taxa a altura estará crescendo 
quando o monte tiver 8 m de altura? 
 
Um homem começa a andar para o Norte a 8 m/min de um ponto Po. Cinco minutos mais tarde 
uma mulher inicia sua caminhada para o Oeste a uma velocidade de 10 m/min partindo de um 
ponto localizado 270 m a Leste de Po. Quinze minutos após a mulher ter iniciado a caminhada, 
eles estarão se afastando ou se aproximando? Qual a taxa? 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
 
 
 
 
 
 
CET 007 – Cálculo Diferencial e Integral 
Profa. Ruth Exalta da Silva – exalta@ufba.br – exalta@ufrb.edu.br 
Po x 
y z 
vA = – 90 Km/h 
vB = – 100 Km/h 
Carro A 
Carro B 
?
dt
dz

 
x 
vx = 800 Km/h 
z y = 2 Km 
?
dt
dz

 
Po 
x 
x 
y y 
RESOLUÇÃO DA LISTA DE TAXAS RELACIONADAS 
 
 
01) 
 

dt
dx
 – 90 Km/h 
 

dt
dy
 – 100 Km/h 
 
 
z2 = x2 + y2 → 2z
dt
dz
 = 2x
dt
dx
 + 2y
dt
dy
 → 
dt
dz
 = 
dt
dx
z
x

 + 
dt
dy
z
y

 
Temos: x = 60 m; y = 80 m → z2 = (60)2 + (80)2 → z = 100 m 
dt
dz
 = 
)90(
100
60

 + 
)100(
100
80

 → 
dt
dz
 = – 134 Km/h 
 
02) 
 vx = 

dt
dx
 800 Km/h 
 
 z2 = x2 + (2)2 
 
 z = 3 → (3)2 = x2 + (2)2 → x = 
5
Km 
 
z2 = x2 + (2)2 → 2z
dt
dz
 = 2x
dt
dx
 → 
dt
dz
 = 
dt
dx
z
x

 
dt
dz
 = 
800
3
5

 → 
dt
dz
 = 596,3 Km/h 
03) 

dt
dx
8 cm/seg 
 

dt
dy
3 cm/seg 
 A = xy → 
dt
dy
xy
dt
dx
dt
dA

 → 
320108
dt
dA

 → 
2cm140
dt
dA

/seg 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
 
 
 
 
 
 
CET 007 – Cálculo Diferencial e Integral 
Profa. Ruth Exalta da Silva – exalta@ufba.br – exalta@ufrb.edu.br 
9 Km 
z h 
x 
z h = 80 m 
04) 
 V = r2h → r = 5 m → V = 2h → V = 25 h 
 
 
dt
dh
25
dt
dV

 → 
min/mm
25
3
dt
dh
dt
dh
253


 
 
05) V = 
3r
3
4

 → 
dt
dr
r3
3
4
dt
dV 2
 → 
dt
dr
r4
dt
dV 2
→ 

dt
dV
(4)(40)2(4) 
 

dt
dV
25 600 mm3/seg 
06) 
 
seg/Km700
dt
dh

 
 
 z2 = h2 + 92 Temos h = 12 Km 
 
 z2 = (12)2 + 92 → z = 15 Km 
 
 
 
 
 
 z2 = h2 + 92 → 2z
dt
dz
 = 2h
dt
dh
 → 
dt
dz
 = 
dt
dh
z
h

 → 
dt
dz
 = 
700
15
12

 → 
dt
dz
 = 560 m/s 
 
07) V = 
3r
3
4

 → 
dt
dr
4
dt
dV 2
 → 
dia
cm
10dt
dV
)001,0()5(4
dt
dV 32 
 
 
08) 
seg/m4
dt
dx

 
 z2 = x2 + (80)2 → (100)2 = x2 + (80)2 → x = 60 m 
 
 z2 = x2 + (80)2 → 2z
dt
dz
 = 2x
dt
dx
 
 
 
dt
dz
 = 
dt
dx
z
x

 → 
dt
dz
= 
4
100
60

→
dt
dz
= 2,4 m/s 
Ponto de Observação 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
 
 
 
 
 
 
CET 007 – Cálculo Diferencial e Integral 
Profa. Ruth Exalta da Silva – exalta@ufba.br – exalta@ufrb.edu.br 
x 
y z 
Po P1 
09) V = 
hr
3
1 2
 → Como h = 2r → r = 
2
h
, então, V = 
h
2
h
3
1
3







 → V = 
3h
12


 
 
dt
dh
h
4dt
dV 2 


 → 10 = 
dt
dh
)8(
4
2 

 → 
min
m
8
5
dt
dh


 
 
10) 
 
min/m8
dt
dy

 
 PoP1 = 270 m 
 5 minutos depois y = 40 m 
 15 minutos depois y = 160 m 
 15 minutos depois x = 270 m – 150 m = 120 m 
 z2 = x2 + y2 → z = 200 m 
 
min/m10
dt
dx

 
 
z2 = x2 + y2 → 2z
dt
dz
 = 2x
dt
dx
 + 2y
dt
dy
 → 
dt
dz
 = 
dt
dx
z
x

 + 
dt
dy
z
y

 
 
dt
dz
 = 
)8(
200
160
)10(
200
120

 → 
dt
dz
 = 0,4 m/min 
 
Como a velocidade entre eles é positiva, então, eles estão se afastando.