ResoluçãoListaProblemasOtimização#01

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
 
 
 
 
 
Resolução Lista # 01 CET 007 – Cálculo Diferencial e Integral 
Professora Ruth Exalta da Silva 
3/7 
RESOLUÇÃO LISTA # 01 – PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO 
1) f(x) = QxP, onde Q = Quantidade de pés de laranja e P = Produção de cada laranjeira 
P = 600 – 10x e Q = 30 + x, onde x representa novas laranjeiras e 10x são as perdas 
Logo f(x) = (30 + x) (600 – 10x) f(x) = – 10x2 + 300x + 1 800 
Derivando: f ’(x) = – 20x + 300, Como f ’(x) = 0, Então, – 20x + 300 = 0 x = 15 pés de laranja 
Derivada Segunda: f ’’(15) = – 20 Máximo 
Q = 30 + 15 Q = 45 pés de laranja 
P = 600 – 150 P = 450 laranjas por pé de laranja 
Produção = f(15) = (45)(450) Produção = 20 250 laranjas. 
2) L(x) = R(x) – C(x), onde L = lucro total; R = receita total e C = custo total 
L(x) = – 2x2 + 8 000x 
Derivando: L’(x) = – 4x + 8000, Como L’(x) = 0, Então, – 4x + 8000 = 0 x = 2 000 unidades 
Derivada Segunda: L ’’(2000) = – 4 Máximo 
L(2000) = 8x106 Lucro Total = 8 milhões de Reais 
3) A(x) = 



 
2
)x1212( x (4x) A(x) = 48x – 2x
2 
Derivando: A’(x) = 48x – 4x, Como A’(x) = 0, Então, 48 – 4x = 0 x = 12 cm 
Derivada Segunda: A’’(12) = – 4 Máximo 
A(12) = 288 cm2 
4) AR = área do retângulo maior e Ar = área do retângulo menor, logo AT = 2AR + 2Ar 
AR(x) = (24 – 2x)(x) = 24x – 2x2 e Ar = (20 – 2x)(x) = 20x – 2x2 
AT(x) = 2(24x – 2x2) + 2(20x – 2x2) AT(x) = 88x – 8x2 
Derivando: AT’(x) = 88 – 16x, Como AT’(x) = 0, Então 88 – 16x = 0 
Logo, x = 5,5 cm Derivada Segunda: A’’(5,5) = – 16 Máximo 
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Resolução Lista # 01 CET 007 – Cálculo Diferencial e Integral 
Professora Ruth Exalta da Silva 
 x 
 11 Km 
 (11 – x) Km 
 A B 
 P 
 W 
 z y 
 30 – 2x 
 x 
x’ = – 30 
x’’ = 32 
4/7 
5) Custo no Mar = $ 106/Km e Custo em Terra = $ 0,5x106/Km 
 
Usando Pitágoras temos: 
z2 = x2 + 
 233
 
z =
27x2 
 Km 
 C(x) = C(Mar) + C(Terra) 
 C(x) = (106)z + 0,5(106)(11 – x) 
 Transformando em milhão temos: 
 C(x) = z + 0,5(11 – x) 
 C(x) = 
27x2 
 + 0,5(11 – x) 
 Derivando temos: C ’ (x) = 
2
1
27x
x
2


 
 C ’ (x) = 0 
2
1
27x
x
2


 = 0 x = 3, logo x = 3 Km de A 
 C(3) = 
2732 
 + 4 C(3) = 10 Logo o Custo Mínimo = 10 milhões de Dólares 
6) f(x) = x (30 – 2x) 
f(x) = 30x – 2x2 
 f ’ (x) = 30 – 4x 
 f ’ (x) = 0 30 – 4x = 0 x = 7,5 
 x = 7,5 cm 
7) L(x) = R(x) – C(x), onde x = quantidade; L = Lucro; R = Receita = 2800x; C = Custo 
 L(x) = 2800x – x3 + 3x2 + 80x – 500 
 L’(x) = 2800 – 3x2 + 6x + 80 
 L’(x) = 0 → 2800 – 3x2 + 6x + 80 = 0 
 
 C(32) = R$ 27 636,00 R(32) = R$ 89 600,00 L(32) = 61 964,00 
 x 
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Resolução Lista # 01 CET 007 – Cálculo Diferencial e Integral 
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12 cm 
h 
r’ = 0 
r’’ = 8/3 
9) 
y x 
b 
a 
2 cm 2 cm 
4 cm 
4 cm 
x = 5 cm b = 9 cm 
y = 10 cm a = 18 cm 
A = 
x
200x82x8 2  






 8
x
50
 
)r4(3h
4
12
r4
h


 
 8) 
5/7 
 4 cm 
12 cm r 
 8) 
 
 
 V = πr2h → V = πr2[3(4 – r)] → V = 12πr2 – 3πr3 
 V’ = 24πr – 9πr2 → 24πr – 9πr2 → 24πr – 9πr2 = 0 
 Logo o raio r = 8/3 cm 
 
9) y = 0,005v2 – 0,6v + 26 → y’ = 0,01v – 0,6 
a) Velocidade para o Consumo Mínimo → y’ = 0 → 0,01v – 0,6 = 0 → v = 60 Km/hora 
b) Consumo Mínimo → y = 0,005 x 602 – 0,6 x 60 + 26 → y = 8 litros 
c) Consumo Mínimo → y = 0,005 x 502 – 0,6 x 50 + 26 → y = 8,5 litros 
d) Consumo Mínimo → y = 0,005 x 702 – 0,6 x 70 + 26 → y = 8,5 litros 
e) Consumo Mínimo → y = 0,005 x 802 – 0,6 x 80 + 26 → y = 10 litros 
 
10) 
 
 
 
 
y x x = 50 → 
y
50
x 
 ou y = 
x
50
 
A = (y + 8)(x + 4) → A = (x + 4) 
 A’ = 
2
2
x
200x8 
 → 
2
2
x
200x8 
= 0 
 AExt = 162 cm
2 
 
Área Interna = y x x = 50 m2 
Área Externa = A = a x b 
a = y + 8 
b = x + 4 
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3000 m 
11) 
3000 – x x 
y = 900 m z 
P Fábrica 
Usina 
vÁgua = 6 Km/h 
vAndando = 8 Km/h 
3 Km 
B D C 
A 
x 8 – x 
8 Km 
y = 3 Km z 
6/7 
 
 
 R I O 
 
 z = 
22 x900 
 
 Custo = C(x) = 5z + 4(3000 – x) → C(x) = 5
22 x900 
 + 4(3000 – x) 
 C’(x) = 
4
x900
x5
22


 → 
4
x900
x5
22


 = 0 → x = 1200 metros 
 Custo = C(1200) = R$ 14 700,00 
 
12) 
 
 
 
 z2 = x2 + 32 → z = 
2x9 
 
 Tempo = T = 
AndandoÁgua
v
x8
v
z 

 → T = 
8
x8
6
x9 2 

 
 T’(x) = 
8
1
x96
x
2


 → 
8
1
x96
x
2


 = 0 → x = 3,40 Km Terra → 4,60 Km 
13) v = 1 litro = 1 dm3 = 1000 cm3 
v = πr2h → πr2h = 1000 → h = 
2r
1000

 
Material = M(r) = 2πr2 + 2 πrh → Substituindo h → M(r) = 2πr2 + 
r
2000
 
M’(r) = 4πr – 
2r
2000
 → 4πr – 
2r
2000
 = 0 → r3 = 

500
 → r = 
3
500

 
Logo, r = 5,42 cm e h = 10,84 cm 
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Resolução Lista # 01 CET 007 – Cálculo Diferencial e Integral 
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52 cm 
40 cm 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
x 
Ө 
(x)cos(Ө) 
h = (x)sen(Ө) x x 
12) Base Maior 
 
Base Menor 
 x 
 
x 
15) 
x → constante 
Base Maior = x + 2xcos(Ө) 
Base Menor = x 
z' = – 1 
z’’ = ½ 
7/7 
14) 
 
 
 Área da Base = ABase = (52 – 2x)(40 – 2x) → ABase = 4(x2 – 46x + 520) 
 Volume V = ABase x x → V = 4(x2 – 46x + 520)x → V = 4(x3 – 46x2 + 520x) 
 V’ = 
dx
dV
 = 4(3x2 – 92x + 520) → 4(3x2 – 92x + 520) = 0 → x = 7,47 cm 
 
 
 
 
 Área = A = 
h
2
)MenorBaseMaiorBase(


 
 A = 








)(xsen
2
)x)cos(x2x(→ A = 








)(xsen
2
)cos(x2x2
 
 A = 








)(xsen
2
)]cos(1[x2
→ A = x2sen(Ө)[1 + cos(Ө)] 
d
dA
= x2[(cos(Ө)x(1 + cos(Ө)) + sen(Ө))x(– sen(Ө))] → 
d
dA
= x2[(cos(Ө) + cos2(Ө) – sen2(Ө)] 
d
dA
= x2[(cos(Ө) + cos2(Ө) – (1 –cos2(Ө))] → 
d
dA
= x2[2cos2(Ө) + cos(Ө) – 1] 
 x2[2cos2(Ө) + cos(Ө) – 1] = 0 → fazendo cos(Ө) = z → 2z2 + z – 1 = 0 → 
 cos(Ө) = ½ → Ө = 
3

radianos