Introdução ao Cálculo Diferencial e Integral

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
 
 
 
 
 
CET 007 – Cálculo Diferencial e Integral Introdução 
Profa. Ruth Exalta da Silva 
Δx → 0 
x → x0 
Δx→0 x → x0 
 
DERIVADAS 
Os principais conceitos sobre derivadas foram introduzidas por Newton e Leibniz, no século XVIII. Tais 
idéias, já estudadas antes por Fermat, estão fortemente relacionadas com a noção de reta tangente a uma 
curva no plano. 
 CONCEITO 
No cálculo, a derivada representa a taxa de variação instantânea de uma função. Um exemplo típico é a 
função velocidade que representa a taxa de variação da função espaço, em relação ao tempo. Assim, temos 
outros exemplos, taxa de crescimento de uma população, taxa de crescimento econômico de um país, taxa de 
redução da mortalidade infantil, taxa de variação de temperatura, variação de corpos em movimento, etc. 
 
 DEFINIÇÃO 
Seja f(x) uma função definida em um intervalo [a, b] e x0  [a, b],  x [a, b] com x ≠ x0. Quando a 
variável x = x0 passa para a valor x = x0 + Δx o valor de x passa por uma variação Δx, onde Δx = x – x0, 
assim, o valor da função f(x0) passa para o valor f(x0 + Δx), logo Δy sofre uma variação de f(x0 + Δx) – f(x0). 
Assim, denotamos como derivada de f em x0, f ’(x0) = lim 








x
)x(f)xx(f 00
, se existir e for finito. 
Podemos também representar a derivada por f ’(x0) = lim 








0
0
xx
)x(f)x(f
. 
 
Outras notações para a derivada: y’; 
 
dx
dy
;x
dx
df
0
 
Δx = x – x0 → acéscimo ou incremento da variável independente x 
Δy = f(x) – f(x0) → acéscimo ou incremento da função 
0
0
xx
)x(f)x(f
x
y





 → razão incremental de y 
Então, f ’(x0) = lim 








0
0
xx
)x(f)x(f
 ou f ’(x0) = lim 








x
)x(f)xx(f 00
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DO RECÔNCAVO DA BAHIA 
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS 
 
 
 
 
 
CET 007 – Cálculo Diferencial e Integral Introdução 
Profa. Ruth Exalta da Silva 
Δx → 0 
Δx → 0 Δx → 0 
CONCLUSÃO: “A derivada de uma função f no ponto x0 é igual ao coeficiente angular da reta tangrente ao 
gráfico de f no ponto de abscissa x0”, ou seja, no ponto P0 = (x0, f(x0)). Logo, mT = f '(x0). 
Reta normal ao gráfico de uma função: A reta normal a uma curva y = f(x) em um ponto P0 = (x0, f(x0)), é a 
reta perpendicular à reta tangente a curva neste ponto P0 (x0, f(x0)). 
Para duas retas perpendiculares, temos a seguinte relação, o produto entre os seus coeficientes angulares é 
igua a – 1. Se considerarmos mT o coeficiente angular da reta Tangente e mN o coeficiente angular da reta 
Normal, então mT = f '(x0), logo, coeficiente angular da reta normal será mN = – 
)x´(f
1
0
. 
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA 
 
EQUAÇÃO DA RETA: r: y – y0 = mr(x – x0) 
EQUAÇÃO DA RETA TANGENTE: rT: y – y0 = f ’(x0)(x – x0) 
EQUAÇÃO DA RETA NORMAL: rN: y – y0 = – 
)x('f
1
0
(x – x0) 
 
FUNÇÃO DERIVADA 
f '(x) = lim 








x
)x(f)xx(f
 
OBSERVAÇÃO: 
Variação Média = 
x
)x(f)xx(f
x
y 00





 
Variação Instantânea = lim 








x
y
 = lim 








x
)x(f)xx(f 00
 = f '(x0). 
EXEMPLOS: 
1) Determinar a derivada da função f(x) = 3x2 + 5x, no ponto de abscissa x0 = 2. 
2) Determinar a função derivada para a função f(x) = 3x2 + 5x. 
3) Uma torneira lança água em um tanque. O volume em litros e o instante em minutos. O volume é 
dado por V(t) = 3t3 + 2t. Qual é a taxa de variação do volume de água em função do tempo, no 
instante t = 2 minutos? 
4) Suponhamos que daqui a x meses a população de uma certa comunidade será P(x) = x2 + 4x + 3000 
habitantes. Qual é a taxa de variação da população daqui a 3 meses? 
5) O volume de uma esfera de raio r(cm) é dado por V(r) = 
3r
3
4

. Qual é a taxa de variação do 
volume da esfera quando o raio for de 3 cm?