funçao quadratica revisao

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Função Quadrática (Lista 3)
Revisão
Definição de Função Quadrática
Uma função f: 
 chama-se quadrática quando existem números reais a, b, c, com a 
0, tal que f(x) = ax² + bx + c para todo x 
 .
f: 
 
 x 
 ax² + bx + c
Alguns exemplos:
* f(x) = -x² + 100x, em que a = -1, b = 100 e c = 0
* f(x) = 3x² - 2x + 1, em que a = 3, b = -2 e c = 1
* f(x) = x² - 4, em que a = 1, b = 0 e c = -4
* f(x) = 17x², em que a = 17, b = 0 e c = 0
Observe que não são funções quadráticas:
* f(x) = 3x
* f(x) = 2
* f(x) = x³ + 2x² + x + 1
Exercícios Propostos
1) As seguintes funções são definidas em . Verifique quais delas são funções quadráticas e identifique em cada uma os valores de a, b e c:
a) f(x) = 2x (3x - 1)
b) f(x) = (x + 2) (x - 2) – 4
c) f(x) = 2(x + 1)²
2) Dada a função quadrática f(x) = 3x² - 4x + 1, determine:
a) f(1) c) f(
) e) f(h + 1)
b) f(0) d) f(-2) f) x de modo que f(x) = -1
3) De uma folha de papel retangular de 30 cm por 20 cm são retirados, de seus quatro cantos, quadrados de lado x. Determine a expressão que indica a área da parte que sobrou em função de x.
Gráfico da Função Quadrática
O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
Exemplo: f(x) = x² - 4x + 3
Observe a tabela abaixo:
	x
	Y = f(x) = x² -4x + 3
	(x, y)
	0
	3
	(0, 3)
	1
	0
	(1, 0)
	2
	-1
	(2, -1)
	3
	0
	(3, 0)
	4
	3
	(4, 3)
Gráfico:
Zeros da Função Quadrática
Os zeros de f(x) = ax² + bx + c são os números x
 tais que f(x) = 0, ou seja, os zeros da f são os pontos do eixo das abscissas onde a parábola o intercepta. 
Determinação dos Zeros da Função Quadrática
A fórmula que fornece os zeros da função e, portanto, às raízes da equação do 2º grau ax² + bx + c = 0 é a fórmula de Báscara: x = 
com 
= b² - 4.a.c (discriminante).
Observações:
1) Quando
> 0, a função f(x) = ax² + bx + c tem dois zeros reais diferentes (a parábola intersecta o eixo x em dois pontos distintos).
2) Quando
= 0, a função f(x) = ax² + bx + c tem um zero real duplo (a parábola intersecta o eixo x em um só ponto).
3) Quando 
< 0, a função f(x) = ax² + bx + c não tem zeros reais (a parábola não intersecta o eixo x).
	
4) Relação entre coeficientes e raízes da equação ax² + bx + c = 0, com a
0.
Existindo zeros reais tal que:
x
 = 
 e x
 = 
, obtemos:
x
+ x
= 
 + 
 = 
 = 
 
Logo, x
+ x
= 
.
x
. x
= 
 . 
= 
= 
= 
Logo, x
. x
= 
.
Exercícios Propostos
1) Determine, se existirem, os zeros das funções quadráticas abaixo:
a) f(x) = x² - 3x c) f(x) = -x² +2x + 8
b) f(x) = x² +4x + 5 d) –x² +3x – 5
2) Para que valores reais de k a função f(x) = (k - 1)x² - 2x + 4 não admite zeros reais?
3) Os 180 alunos de uma escola estão dispostos de forma retangular, em filas, de tal modo que o número de alunos de cada fila supera em 8 o número de filas. Quantos alunos há em cada fila?
Gráfico da função definida por f(x) = ax² + bx + c
Vamos estudar o efeito dos parâmetros a, b e c na parábola que representa a função quadrática f(x) = ax² + bx + c.
Parâmetro a: Responsável pela concavidade e abertura da parábola.
	
Além disso, quanto maior o valor absoluto de a, menor será a abertura da parábola (parábola mais “fechada”), independentemente da concavidade.
Parâmetro b:
Um ponto ao percorrer a parábola, da esquerda para a direita, ao cruzar o eixo das ordenadas poderá estar subindo ou descendo.
Se b = 0 o vértice a parábola cruza o eixo y no vértice V, isto é, o vértice V da parábola está no eixo das ordenadas.
Parâmetro c: Indica o ponto onde a parábola cruza o eixo y.
A parábola cruza o eixo y no ponto (0, c).
Exemplo: Na função quadrática f(x) = ax² + bx + c da figura abaixo, a < 0, b > 0, c > 0.
	
Exercícios Propostos
1) Esboce o gráfico da função f cuja parábola passa pelos pontos (3, -2) e (0, 4) e tem vértice no ponto (2, -4); em seguida, verifique qual das seguintes sentenças corresponde a essa função:
a) f(x) = -2x² - 8x + 4 b) f(x) = 2x² - 8x + 4 c) f(x) = 2x² + 8x +4
2) O gráfico abaixo representa a função f(x) = ax² + bx + c.
		
Pode se afirmar que:
a) a < 0, b > 0 e c < 0
b) a < 0, b = 0 e c < 0
c) a < 0, b > 0 e c > 0
d) a > 0, b < 0 e c < 0
e) a < 0, b < 0 e c < 0
Imagem da Função Quadrática
A determinação do vértice da parábola ajuda na elaboração do gráfico e permite determinar a imagem da função, bem como seu valor máximo ou mínimo.
As coordenadas do vértice V(x
, y
) da função quadrática f(x) = ax² + bx + c podem ser calculadas de duas maneiras:
1ª Maneira: Utilizando as seguintes fórmulas:
x
= 
 e y
= 
2ª Maneira:
* Para calcular o x
, obtemos as raízes x
e x
da equação do 2º grau e calculamos o ponto médio das mesmas. Assim:
x
= 
* Substituímos o valor do x
 na função quadrática para que possamos obter a coordenada y
.
Examine os exemplos:
1º) f(x) = 2x² - 8x
Obtendo as raízes, teremos x
= 0 e x
= 4. Portanto, x
= 
 = 
 = 2
Substituindo x
= 2 na função, obtemos a ordenada do vértice: 
y
= f(x
) = 2 (x
)² - 8(x
) 
y
 = f(2) = 2 . 2² - 8 . 2 = -8
 
	
2º) f(x) = -4x² + 4x + 5
Sabemos que o vértice V de uma parábola dada por f(x) = ax² + bx + c, a 
0, também pode ser calculado assim: V = (x
, y
) = 
, 
.
Neste caso, temos:
f(x) = -4x + 4x + 5
x
= 
 = 
= 
y
= 
= 
 = 6
V = (1/2, 6)
De modo geral, dada a função f: 
 tal que f(x) = ax² + bx + c, com a 
0, se 
V (x
, y
) é o vértice da parábola correspondente, temos então:
a > 0 
 y
 é o valor mínimo de f 
 Im(f) = {y
 │y 
 y
}
a < 0 
 y
 é o valor máximo de f 
 Im(f) = {y
 │y 
 y
}
Exercícios Propostos
1) Calcule o vértice V de cada parábola definida pelas funções quadráticas abaixo indicando o valor máximo ou o valor mínimo admitido pelas mesmas e determine o conjunto imagem das funções:
a) f(x) = -3x² + 2x b) f(x) = 2x² - 3x – 2 c) f(x) = -4x² + 4x - 1 
2) Qual o valor de m para que a função f(x) = (4m + 1)x² - x + 6 admita valor mínimo?
3) Determine k de modo que o valor máximo da função f(x) = (m + 3)x² + 8x – 1 seja 3.
4) Sabe-se que o custo C para produzir x unidades de certo produto é dado por C = x² - 80x + 3000. Nessas condições, calcule:
a) a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo;
b) o valor mínimo do custo.
Estudo do sinal da função quadrática
Estudar o sinal da função quadrática f(x) = ax² + bx + c, a 
0, significa determinar os valores reais de x para os quais f(x) se anula (f(x) = 0), f(x) é positiva (f(x) > 0) e f(x) é negativa (f(x) < 0).
O estudo do sinal da função quadrática vai depender do discriminante 
= b² - 4ac da equação do 2º grau correspondente ax² + bx + c = 0 e do coeficiente a.
Dependendo do discriminante, podem ocorrer três casos e, em cada caso, de acordo com o coeficiente a, podem ocorrer duas situações. Portanto, temos um total de seis casos. Acompanhe:
1º Caso: 
> 0
Neste caso:
* A função admite dois zeros reais distintos, x
 e x
;
* A parábola que representa a função intersecta o eixo x em dois pontos.2º Caso: 
= 0
Neste caso:
* A função admite um zero real duplo x
= x
* A parábola que representa a função tangencia o eixo x.
	
	
3º Caso: 
< 0
Neste caso: 
* A função não admite zeros reais;
* A parábola que representa a função não intersecta o eixo x.
	
	
Exemplos:
1º) Vamos estudar os sinais das seguintes funções:
a) f(x) = x² - 7x + 6 b) f(x) = 9x² + 6x + 1 c) f(x) = -2x² +3x – 4
a) f(x) = x² - 7x + 6
a = 1 > 0
= (-7)² - 4 (1) (6) = 25 > 0
Zeros da função: x
= 6 e x
 = 1
Então:
* f(x) = 0 para x = 1 ou x = 6
* f(x) < 0 para x < 1 ou x > 6 
* f(x) < 0 para 1 < x < 6
Portanto, f(x) é positiva para x fora do intervalo [1, 6], é nula para x = 1 ou x = 6 e negativa para x entre 1 e 6.
b) f(x) = 9x² + 6x + 1
a = 9 > 0
= (6)² - 4 (9) (1) = 0
Zeros da função: x = -1/3
Então:
* f(x) = 0 para x = -1/3
* f(x) > 0 para todo x 
-1/3
c) f(x) = -2x² +3x – 4	
a = -2 < 0
= (3)² - 4 (-2) (-4) = -23 < 0
Portanto, 
< 0 e a função não tem zeros reais.
Logo, f(x) < 0 para todo x real, ou seja, f(x) é sempre negativa.
2º) Quais são os valores reais de k para que a função f(x) = x² - 2x + k seja positiva para todo x real?
Condições: 
* a > 0 (já satisfeita, pois a = 1 > 0)
* 
< 0
Cálculo de 
:
= (-2)² - 4 (1) (k) = 4 – 4k
Daí:
4 – 4k < 0 
 -4k < -4 
 4k > 4
 k >4/4 
 k > 1
Logo, k 
 │k > 1.
Exercícios Propostos
1) Estude o sinal das seguintes funções quadráticas:
a) f(x) = x² - 10x + 25 b) -3x² + 2x + 1 c) -4x² + 1
2) Dada a função f(x) = -2x² + 3x, determine os valores reais de x para os quais 
f(x) > 0.
3) Para quais valores de m a função f(x) = (m - 1)x² - 6x – 2 assume valores negativos para todo x real?
4) Dada a função quadrática f(x) = –x² + 6x – 9, determine:
a) Se a concavidade da parábola esta voltada para cima ou para baixo;
b) Os zeros da função;
c) O vértice V da parábola definida pela função;
d) A intersecção com o eixo x e com o eixo y;
e) O domínio D e o conjunto Im da função;
f) Os intervalos onde a função é crescente, decrescente ou constante;
g) O esboço do gráfico.
* O vértice é o ponto (2, 8).
* A função assume valor mínimo -8 quando x = 2
* Im(f) = {y � EMBED Equation.3 ���� │y� EMBED Equation.3 ��� 0}
* Essa função não tem valor máximo.
* O vértice é o ponto (1/2, 6).
* A função assume valor máximo 6 quando x = 1/2
* Im(f) = {y � EMBED Equation.3 ���� │y � EMBED Equation.3 ��� 6}
* Essa função não tem valor mínimo.
a > 0
a < 0
f(x) = 0 para x = x� EMBED Equation.3 ��� ou x = x� EMBED Equation.3 ���
f(x) > 0 para x� EMBED Equation.3 ���< x < x� EMBED Equation.3 ���
f(x) < 0 para x < x� EMBED Equation.3 ��� ou x > x� EMBED Equation.3 ���
a > 0
a < 0
f(x) = 0 para x = x� EMBED Equation.3 ���= x� EMBED Equation.3 ���
f(x) > 0 para x � EMBED Equation.3 ��� x� EMBED Equation.3 ���
f(x) = 0 para x = x� EMBED Equation.3 ���= x� EMBED Equation.3 ���
f(x) < 0 para x � EMBED Equation.3 ��� x� EMBED Equation.3 ���
a > 0
a < 0
f(x) > 0 para todo x real
f(x) < 0 para todo x real
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