cn2013_01_aula_04_raizes_de_equacoes

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Computação	
  Numérica	
  
Fabíola	
  Guerra	
  Nakamura	
  
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Em	
  diversas	
  aplicações	
  há	
  a	
  necessidade	
  de	
  se	
  
encontrar	
  um	
  número	
  ξ	
  tal	
  que	
  a	
  função	
  f(x)	
  seja	
  zero,	
  
ou	
  seja,	
  f(ξ)=0.	
  
•  À	
  este	
  número	
  ξ	
  atribui-­‐se	
  a	
  denominação	
  de	
  raiz	
  da	
  
equação	
  f(x)=0	
  ou	
  zero	
  da	
  função	
  f(x).	
  
	
  	
  	
  	
  
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
Ò Equação	
  
	
  	
  	
  	
  	
   	
  Igualdade	
  entre	
  duas	
  expressões	
  matemáRcas	
  que	
  
se	
  verifica	
  para	
  determinados	
  valores	
  das	
  variáveis.	
  
	
  
Ò Função	
  
	
  	
  	
  	
  	
   	
  Relação	
  entre	
  dois	
  conjuntos	
  que	
  abrange	
  todos	
  os	
  
elementos	
  do	
  primeiro	
  e	
  associa	
  a	
  cada	
  elemento	
  deste	
  
primeiro	
  conjunto	
  somente	
  um	
  elemento	
  do	
  segundo.	
  	
  
	
  
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Graficamente	
  
	
  	
  	
  	
  
f(x) 
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
Equações	
  
Algébricas	
   Transcendentes	
  
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Equação	
  algébrica	
  	
  
	
  São	
  todas	
  as	
  equações	
  que	
  podem	
  ser	
  colocadas	
  na	
  
forma	
  :	
  	
  
•  Equação	
  Transcendentes	
  
	
  Todas	
  as	
  equações	
  que	
  não	
  são	
  algébricas.	
  
.,...,2,1,0, onde
,0...)( 01
2
2
1
1
nic
cxcxcxcxcxP
i
n
n
n
nn
=∀ℜ∈
=+++++= −−
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Para	
  equação	
  algébricas	
  de	
  grau	
  até	
  4	
  existem	
  métodos	
  
analíRcos	
  que	
  encontram	
  suas	
  raízes.	
  Por	
  exemplo	
  para	
  
uma	
  equação	
  algébrica	
  na	
  forma	
  	
  
	
  	
  
•  Porém	
  para	
  equações	
  algébricas	
  com	
  grau	
  acima	
  de	
  4	
  e	
  
para	
  equações	
  transcendentes	
  são	
  uRlizados	
  métodos	
  
numéricos	
  para	
  encontrar	
  suas	
  raízes.	
  
( )
a
acbbx
cbxax
2
4
,0
2
2
−±−
=
=++
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Os	
  métodos	
  numéricos	
  para	
  raízes	
  de	
  equações	
  podem	
  
ser	
  divididos	
  em	
  duas	
  fases:	
  
–  Isolamento	
  da	
  raiz:	
  Encontrar	
  um	
  intervalo	
  [a,b]	
  que	
  
contenha	
  uma,	
  e	
  somente	
  uma,	
  raiz	
  de	
  f(x)	
  =	
  0.	
  
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Graficamente	
  
	
  	
  	
  	
  
f(x) 
| 
a 
| 
b 
| 
c 
| 
d 
| 
e 
| 
f 
Quais intervalos 
satisfazem a fase de 
isolamento de raiz 
dos métodos de 
Raízes de Equações? 
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Os	
  métodos	
  numéricos	
  para	
  raízes	
  de	
  equações	
  podem	
  
ser	
  divididos	
  em	
  duas	
  fases:	
  
–  Isolamento	
  da	
  raiz:	
  Encontrar	
  um	
  intervalo	
  [a,b]	
  que	
  
contenha	
  uma,	
  e	
  somente	
  uma,	
  raiz	
  de	
  f(x)	
  =	
  0.	
  
–  Refinamento	
  da	
  raiz:	
  A	
  parKr	
  de	
  um	
  valor	
  inicial	
  x0	
  ∈	
  [a,b],	
  
gerar	
  uma	
  sequência	
  {x0	
  ,	
  x1	
  ,	
  x2	
  ,	
  ...,	
  xk	
  ,	
  ...}	
  que	
  convirja	
  para	
  
uma	
  raiz	
  exata	
  ξ	
  de	
  f(x)=0.	
  
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Graficamente	
  
	
  	
  	
  	
  
Refinamento de raiz 
f(x) 
| 
x0 
| 
x1 
... | 
x2 
| 
xk 
... 
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
Isolamento	
  de	
  Raiz	
  
Refinamento	
  de	
  Raiz	
  
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
Fase	
  de	
  
Isolamento	
  de	
  
Raiz	
  
Equações	
  
Algébricas	
  
Equações	
  
Transcendentes	
  
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  A	
  fase	
  de	
  Isolamento	
  de	
  Raiz	
  das	
  Equações	
  
Algébricas	
  é	
  facilitada	
  pela	
  existência	
  de	
  
Teoremas	
  referentes	
  a	
  limites	
  e	
  números	
  de	
  
raízes.	
  
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Teorema	
  1:	
  Uma	
  equação	
  algébrica	
  de	
  grau	
  n,	
  
tem	
  exatamente	
  n	
  raízes,	
  reais	
  ou	
  complexas,	
  
contando	
  cada	
  raiz	
  de	
  acordo	
  com	
  a	
  sua	
  
mul;plicidade.	
  
–  Demonstração:	
  J.V.	
  Uspensky.	
  Theory	
  of	
  Equa-ons.	
  Tata	
  
McGraw-­‐Hill	
  Pub.,Nova	
  Deli,	
  1948.	
  
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Definição:	
  Uma	
  raiz	
  tem	
  mul;plicidade	
  m	
  se	
  
.,...,3,2,1;
1
)()( Sendo
0)(
e 0)(...)('')(')(
mix
i
i
i
m
m
dx
xPdP
P
PPPP
==
−
=
≠
=====
ξ
ξ
ξ
ξξξξ
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
Ò Exemplo:	
  Para	
  a	
  equação	
  algébrica	
  dada	
  abaixo,	
  
qual	
  a	
  mul;plicidade	
  da	
  raiz	
  ξ=1	
  
P(x) = x4 + 2x3 −12x2 +14x − 5→ P(1) = 0
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
Ò Exemplo:	
  Para	
  a	
  equação	
  algébrica	
  dada	
  abaixo,	
  
qual	
  a	
  mul;plicidade	
  da	
  raiz	
  ξ=1	
  
Ò Logo	
  a	
  mul;plicidade	
  de	
  ξ=1	
  é	
  m=3.	
  
036)1('''1224)('''
0)1(''241212)(''
0)1('142464)('
0)1(514122)(
2
23
234
≠=→+=
=→−+=
=→+−+=
=→−+−+=
PxxP
PxxxP
PxxxxxP
PxxxxxP
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Teorema	
  1:	
  Uma	
  equação	
  algébrica	
  de	
  grau	
  n	
  
tem	
  n	
  raízes	
  reais	
  e/ou	
  complexas.	
  
RaÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Teorema	
  2:	
  Se	
  os	
  coeficientes	
  de	
  uma	
  equação	
  
algébrica	
  forem	
  reais,	
  então	
  suas	
  raízes	
  
complexas	
  serão	
  complexos	
  conjugados	
  em	
  
pares,	
  ou	
  seja,	
  se	
  ξ=a+bi	
  for	
  uma	
  raiz	
  de	
  
mul;plicidade	
  m,	
  então	
  ξ=a-­‐bi	
  também	
  será	
  uma	
  
raiz	
  com	
  a	
  mesma	
  mul;plicidade.	
  
RaÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Exemplo:	
  Calcule	
  as	
  raízes	
  da	
  seguinte	
  equação	
  
algébrica.	
  
	
  
( )
ii
xxxP
32
2
64
2
364
2
52164
0134)( 2
±=
±
=
−±
=
−±
=
=+−=
ξ
ξ
RaÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Teorema	
  1:	
  Uma	
  equação	
  algébrica	
  de	
  grau	
  n	
  
tem	
  n	
  raízes	
  reais	
  e/ou	
  complexas.	
  
•  Teorema	
  2:	
  As	
  raízes	
  complexas	
  de	
  uma	
  equação	
  
algébrica	
  aparecem	
  em	
  pares.	
  
RaÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Corolário	
  1:	
  Uma	
  equação	
  algébrica	
  de	
  grau	
  
ímpar	
  com	
  coeficientes	
  reais,	
  tem	
  ...	
  
	
  pelo	
  menos	
  uma	
  raiz	
  real.	
  
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Teorema	
  1:	
  Uma	
  equação	
  algébrica	
  de	
  grau	
  n	
  
tem	
  n	
  raízes	
  reais	
  e/ou	
  complexas.	
  
•  Teorema	
  2:As	
  raízes	
  complexas	
  de	
  uma	
  equação	
  
algébrica	
  aparecem	
  em	
  pares.	
  
•  Corolário	
  1:	
  Uma	
  equação	
  algébrica	
  de	
  grau	
  
ímpar	
  tem	
  pelo	
  menos	
  uma	
  raiz	
  real.	
  
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Limites	
  de	
  Raízes	
  Reais:	
  Uma	
  equação	
  algébrica	
  
na	
  forma	
  	
  
	
  pode	
  ter	
  suas	
  raízes	
  reais	
  delimitadas	
  usando	
  o	
  
Teorema	
  de	
  Lagrange.	
  
,0...)( 01
2
2
1
1 =+++++=
−
− cxcxcxcxcxP
n
n
n
nn
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Limites	
  de	
  Raízes	
  Reais	
  
| 
Li- 
| 
Li+ 
| 
Ls- 
| 
Ls+ 
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Teorema	
  3	
  (Lagrange):	
  Dada	
  a	
  equação	
  
	
  	
  	
  	
  	
  se	
  cn>0	
  e	
  k(0	
  ≤	
  	
  k	
  ≤	
  n-­‐1)	
  for	
  o	
  MAIOR	
  ÍNDICE	
  de	
  
coeficiente	
  escolhido	
  dentre	
  os	
  coeficientes	
  nega;vos,	
  
então	
  o	
  limite	
  superior	
  das	
  raízes	
  posi;vas	
  de	
  P(x)=0	
  
pode	
  ser	
  dado	
  por:	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  Onde	
  B	
  é	
  o	
  valor	
  absoluto	
  do	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  MAIOR	
  COEFICIENTE	
  nega;vo	
  	
  
	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  	
  em	
  módulo	
  
,0...)( 01
2
2
1
1 =+++++=
−
− cxcxcxcxcxP
n
n
n
nn
,1 kn
nc
BL −+=
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  O	
  Teorema	
  de	
  Lagrange	
  determina	
  que	
  se	
  ξp	
  for	
  maior	
  
raiz	
  real	
  posiKva	
  de	
  P(x)=0	
  então	
  ξp	
  ≤	
  L.	
  
•  O	
  Teorema	
  não	
  garante	
  a	
  existência	
  das	
  raízes	
  apenas	
  
determina	
  um	
  limite	
  no	
  caso	
  delas	
  exisKrem.	
  
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Exercícios:	
  Calcule	
  o	
  limite	
  L	
  das	
  raízes	
  posiKvas	
  	
  das	
  
seguintes	
  equações	
  algébricas:	
  
	
  
0514122)( )(
0863)( )(
02414132)( )(
234
23
234
=+−+−−=
=+−−=
=+−−+=
xxxxxPc
xxxxPb
xxxxxPa
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Exercício:	
  Elabore	
  um	
  algoritmo	
  para	
  calcular	
  o	
  Limites	
  
das	
  raízes	
  posiRvas	
  de	
  uma	
  equação	
  algébrica.	
  
Considere	
  que	
  os	
  parâmetros	
  de	
  entrada	
  do	
  algoritmo	
  
são	
  o	
  grau	
  da	
  equação	
  e	
  os	
  coeficientes	
  cn,cn-­‐1,	
  cn-­‐2,	
  ...,	
  
c2,	
  c1	
  e	
  c0,	
  armazenados	
  em	
  um	
  vetor	
  de	
  reais	
  de	
  
tamanho	
  e	
  incluídos	
  os	
  coeficientes	
  nulos.	
  
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Considerando	
  que	
  L	
  é	
  o	
  limite	
  das	
  raízes	
  reais	
  
posiRvas	
  de	
  P(x)=0,	
  como	
  poderíamos	
  calcular	
  
– O	
  limite	
  inferior	
  das	
  raízes	
  posiRvas	
  de	
  P(x)=0;	
  
– O	
  limite	
  superior	
  das	
  raízes	
  negaRvas	
  de	
  
P(x)=0;	
  
– O	
  limite	
  inferior	
  das	
  raízes	
  negaRvas	
  de	
  
P(x)=0	
  ?	
  
	
  
Raízes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Considere	
  a	
  seguinte	
  equação	
  
•  URlizando	
  o	
  Teorema	
  de	
  Lagrange	
  podemos	
  encontrar	
  
L1,	
  que	
  é	
  o	
  limite	
  superior	
  das	
  raízes	
  posiRvas	
  de	
  
P1(x)=0.	
  
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
−
− 01
2
2
1
11
1
11...11)(
1)(
c
x
c
x
c
x
c
x
cxxP
x
PxxP
n
n
n
n
n
n
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Sendo	
  
•  Qual	
  a	
  relação	
  entre	
  as	
  raízes	
  de	
  P(x)=0	
  e	
  P1(x)=0?	
  
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
x
PxxP n 1)(1
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
./1 queimplica isso e 1/
então 0, P1(x)depositiva raizmaior a é1/ Se
0.(x) Pdepositiva raizmaior a é 1/ logo 0,P(x)
depositiva raizmenor a como agora Considere
.1/ ..., ,1/ ,1/ ,1/ são )( de raízes as
então 0 P(x)de raízes as são ..., , , , Se
11
1
3211
321
LξLξ
ξ
ξ
ξ
ξξξξxP
ξξξξ
qq
q
q
q
n
n
≥≤
=
==
=
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Considerando	
  que	
  L	
  é	
  o	
  limite	
  das	
  raízes	
  reais	
  posiRvas	
  
de	
  P(x)=0,	
  como	
  poderíamos	
  calcular	
  o	
  limite	
  inferior	
  
das	
  raízes	
  posiRvas	
  de	
  P(x)=0?	
  
– URliza-­‐se	
  uma	
  equação	
  algébrica	
  auxiliar	
  P1(x)=0,	
  
onde	
  P1(x)=Xn	
  P(x).	
  
– Calcula-­‐se	
  L1,	
  limite	
  superior	
  da	
  raízes	
  posi;vas	
  de	
  
P1(x)=0.	
  
– o	
  limite	
  inferior	
  das	
  raízes	
  posiRvas	
  de	
  P(x)=0	
  é	
  1/L1.	
  
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Exercícios:	
  Calcule	
  o	
  limite	
  inferior	
  das	
  raízes	
  posiKvas	
  	
  
das	
  seguintes	
  equações	
  algébricas:	
  
	
  
0514122)( )(
0863)( )(
02414132)( )(
234
23
234
=+−+−−=
=+−−=
=+−−+=
xxxxxPc
xxxxPb
xxxxxPa
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Considerando	
  que	
  L	
  é	
  o	
  limite	
  das	
  raízes	
  reais	
  
posiRvas	
  de	
  P(x)=0,	
  como	
  poderíamos	
  calcular	
  
– O	
  limite	
  superior	
  das	
  raízes	
  negaRvas	
  de	
  
P(x)=0;	
  
– O	
  limite	
  inferior	
  das	
  raízes	
  negaRvas	
  de	
  
P(x)=0	
  ?	
  
	
  
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Considere	
  a	
  seguinte	
  equação	
  
•  URlizando	
  o	
  Teorema	
  de	
  Lagrange	
  podemos	
  encontrar	
  
L2,	
  que	
  é	
  o	
  limite	
  superior	
  das	
  raízes	
  posiRvas	
  de	
  
P2(x)=0.	
  
( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )012112
01
2
2
1
12
2
...)(
...)(
)(
cxccxxcxcxP
cxcxcxcxcxP
xPxP
n
n
n
n
n
n
n
n
+−++−+−=
+−+−++−+−=
−=
−
−
−
−
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
	
   ( ) ( )
14
1
131
2414132)(
24)(14)(13)(2)()(
02414132)(
34
2
234
2
234
2
234
=+=
++−−=
+−−−−−+−=−=
=+−−+=
−L
xxxxxP
xxxxxPxP
xxxxxP
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Sendo	
  
•  Qual	
  a	
  relação	
  entre	
  as	
  raízes	
  de	
  P(x)=0	
  e	
  P2(x)=0?	
  
)()(2 xPxP −=
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
. queimplica isso e -
então ,0 depositiva raizmaior a é- Se
.0 depositiva raizmaior a é - logo ,0
denegativa raizmenor a como agora Considere
. são de raízes as
então 0 de raízes as são Se
22
2
2
3212
321
LξLξ
(x)Pξ
(x)PξP(x)
ξ
, ..., -ξ, -ξ, -ξ-ξ(x)P
P(x), ..., ξ, ξ, ξξ
qq
q
q
q
n
n
−≥≤
=
==
=
RAÍzes	
  de	
  EquaçõesRaízes de equações 
	
  
14
1414
7417,46316,0
6316,015833,1
7417,4
02414132)(
22
1
1
234
−≥
−=−→=
≤≤
=→=
=
=+−−+=
−
+
ξ
ξ
LL
L
L
L
xxxxxP
+ξ
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Considere	
  a	
  seguinte	
  equação	
  
•  URlizando	
  o	
  Teorema	
  de	
  Lagrange	
  podemos	
  encontrar	
  
L3,	
  que	
  é	
  o	
  limite	
  superior	
  das	
  raízes	
  posiRvas	
  de	
  
P3(x)=0.	
  
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛++⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−=
−
− 01
2
2
1
11
3
11...11)(
1)(
c
x
c
x
c
x
c
x
cxxP
x
PxxP
n
n
n
n
n
n
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
	
  
7360,1
24
131
12131424)(
24141321)(
241413211)(
02414132)(
24
3
234
3
432
3
234
4
3
234
=+=
+−−+=
++−−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ ++−−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛=
=+−−+=
−L
xxxxxP
xxxxxP
xxxx
x
x
PxxP
xxxxxP
n
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Sendo	
  
•  Qual	
  a	
  relação	
  entre	
  as	
  raízes	
  de	
  P(x)=0	
  e	
  P3(x)=0?	
  
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛−=
x
PxxP n 1)(3
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
.1 queimplica isso e 1/-
então ,0 depositiva raizmaior a é1/- Se
.0 depositiva raizmaior a é 1/- logo ,0
denegativa raizmaior a como agora Considere
./1/1/1/1 são de raízes as
então 0 de raízes as são Se
3
3
3
3
3213
321
L
ξLξ
(x)Pξ
(x)PξP(x)
ξ
ξ, ..., -ξ, -ξ, -ξ-(x)P
P(x), ..., ξ, ξ, ξξ
qq
q
q
q
n
n
−≤≤
=
==
=
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
	
  
5760,014
7417,46316,0
6316,017360,1
7417,4
02414132)(
3
3
234
−≤≤−
≤≤
−=−→=
=
=+−−+=
−
+
ξ
ξ
L
L
L
xxxxxP
+ξ
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Exercícios:	
  Calcule	
  os	
  limite	
  das	
  raízes	
  posiKvas	
  	
  e	
  
nagaKvas	
  das	
  seguintes	
  equações	
  algébricas:	
  
	
  
0514122)( )(
0863)( )(
02414132)( )(
234
23
234
=+−+−−=
=+−−=
=+−−+=
xxxxxPc
xxxxPb
xxxxxPa
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Como	
  construir	
  os	
  polinômios	
  P1(x),	
  P2(x)	
  e	
  P3(x)	
  a	
  
parKr	
  de	
  P(x)	
  .	
  
	
  
012131424)(
02414132)(
012131424)(
02414132)(
234
3
234
2
234
1
234
=+−−+=
=++−−=
=++−−=
=+−−+=
xxxxxP
xxxxxP
xxxxxP
xxxxxP
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Como	
  construir	
  os	
  polinômios	
  P1(x),	
  P2(x)	
  e	
  P3(x)	
  a	
  parRr	
  de	
  
P(x)	
  .	
  
•  P1(x)	
  :	
  Inverter	
  os	
  coeficientes	
  de	
  P(x)	
  
•  P2(x)	
  :	
  Trocar	
  o	
  sinal	
  dos	
  coeficientes	
  de	
  P(x)	
  que	
  tem	
  índice	
  
ímpar	
  
•  P3(x)	
  :	
  Inverter	
  os	
  coeficientes	
  de	
  P(x)	
  e	
  trocar	
  o	
  sinal	
  dos	
  
coeficientes	
  que	
  tem	
  índice	
  ímpar	
  OU	
  trocar	
  o	
  sinal	
  dos	
  
coeficientes	
  de	
  P1(x)	
  que	
  tem	
  índice	
  ímpar	
  	
  OU	
  Inverter	
  os	
  
coeficientes	
  de	
  P2(x)	
  	
  
•  Para	
  o	
  cálculo	
  dos	
  limites	
  não	
  esquecer	
  que	
  cn>0.	
  
	
  
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Limites	
  de	
  Raízes	
  Reais	
  
| 
-L2 
| 
1/L1 
| 
-1/L3 
| 
Ls 
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Teorema	
  4	
  (Regra	
  de	
  Sinal	
  de	
  Descartes):	
  O	
  
número	
  de	
  raízes	
  reais	
  posi;vas	
  n+	
  de	
  P(x)=0	
  é	
  
igual	
  ao	
  número	
  de	
  variações	
  de	
  sinais	
  na	
  
seqüência	
  de	
  coeficientes	
  ou	
  é	
  menor	
  que	
  este	
  
número	
  por	
  um	
  inteiro	
  par,	
  sendo	
  as	
  raízes	
  
contadas	
  de	
  acordo	
  com	
  a	
  sua	
  mul;plicidade	
  e	
  
não	
  sendo	
  considerados	
  os	
  coeficientes	
  nulos.	
  
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Qual	
  é	
  o	
  número	
  de	
  raízes	
  reais	
  posiKvas	
  de	
  P(x)=0?	
  
	
  
02414132)( 234 =+−−+= xxxxxP
2 1 
0 ou 2=+n
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Corolário	
  2	
  Se	
  P(x)=0	
  não	
  possuir	
  coeficientes	
  
nulos,	
  então	
  o	
  número	
  de	
  raízes	
  reais	
  nega;vas	
  
é	
  igual	
  ao	
  número	
  de	
  permanências	
  de	
  sinais	
  na	
  
seqüência	
  de	
  coeficientes	
  ou	
  é	
  menor	
  que	
  este	
  
número	
  por	
  um	
  inteiro	
  par.	
  
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Qual	
  é	
  o	
  número	
  de	
  raízes	
  reais	
  posiKvas	
  de	
  P(x)=0?	
  
	
  
02414132)( 234 =+−−+= xxxxxP
2 1 
0 ou 2=−n
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  A	
  Regra	
  de	
  Sinal	
  de	
  Descartes	
  consegue	
  discernir	
  
entre	
  raízes	
  reais	
  posi;vas	
  e	
  nega;vas,	
  mas	
  não	
  
consegue	
  separar	
  raízes	
  reais	
  de	
  complexas,	
  por	
  
isso	
  os	
  valores	
  de	
  n+	
  e	
  de	
  n-­‐	
  são	
  iguais	
  o	
  número	
  
encontrado	
  ou	
  menores	
  que	
  este	
  número	
  por	
  um	
  
inteiro	
  par.	
  
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Exercícios:	
  Contar	
  o	
  número	
  de	
  raízes	
  reais	
  posiKvas	
  	
  e	
  
negaKvas	
  das	
  seguintes	
  equações	
  algébricas:	
  
	
  
012423)( )(
0522)( )(
0514122)( )(
0863)( )(
02414132)( )(
2345
2345
234
23
234
=+++++=
=+−+−=
=+−+−−=
=+−−=
=+−−+=
xxxxxxPe
xxxxxPd
xxxxxPc
xxxxPb
xxxxxPa
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Exercícios:	
  Para	
  a	
  seguinte	
  equação	
  algébrica	
  calcule	
  os	
  
limites	
  e	
  conte	
  os	
  números	
  de	
  raízes	
  reais	
  posiKvas	
  	
  e	
  
negaKvas	
  das	
  seguintes	
  equações	
  algébricas:	
  
	
  
0514122)( 234 =+−+−−= xxxxxP
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
	
  
4641,4
1
121
0514122)(
0514122)(
24
234
234
=+=
=−+−+=
=+−+−−=
−L
xxxxxP
xxxxxP
6733,2
5
141
01212145)(
34
1
234
1
=+=
=−−+−=
−L
xxxxxP
4641,45976,0
1
1
≤≤
≤≤
+
+
ξ
ξ L
L
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
	
   01212145)(
0514122)(
234
1
234
=−−+−=
=−+−+=
xxxxxP
xxxxxP
5993,015
1
3
2
−≤≤−
−≤≤−
−
−
ξ
ξ
L
L
15
1
141
0514122)(
34
2
234
2
=+=
=−−−−=
−L
xxxxxP
6687,1
5
11
01212145)(
04
3
234
3
=+=
=−+++=
−L
xxxxxP
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
	
   0514122)(
234 =−+−+= xxxxxP
5993,015 −≤≤− −ξ
TROCAS 
PERMANÊNCIAS 
1
1 ou 3
=
=
−
+
n
n 4641,45976,0 ≤≤ +ξ
	
  
Qual	
  intervalo	
  você	
  escolheria	
  para	
  passar	
  
para	
  a	
  segunda	
  fase	
  dos	
  métodos	
  de	
  raízes	
  
de	
  equações?	
  
	
  
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
	
   4721,5
1
201
0122092)(
24
234
=+=
=+−−+=
−L
xxxxxP
6667,2
12
201
01292012)(
34
1
234
1
=+=
=++−−=
−L
xxxxxP
4721,53750,0
1
1
≤≤≤≤
+
+
ξ
ξ L
L
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
	
  
1547,110
1
3
2
−≤≤−
−≤≤−
−
−
ξ
ξ
L
L
10
1
91
0122092)(
34
2
234
2
=+=
=++−−=
−L
xxxxxP
8660,1
12
91
01292012)(
24
3
234
3
=+=
=+−−+=
−L
xxxxxP
01292012)(
0122092)(
234
234
=++−−=
=+−−+=
xxxxxP
xxxxxP
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
	
   0122092)(
234 =+−−+= xxxxxP
1547,110 −≤≤− −ξ
TROCAS 
PERMANÊNCIAS 
0 ou 2
0 ou 2
=
=
−
+
n
n 4721,53750,0 ≤≤ +ξ
Qual	
  intervalo	
  você	
  escolheria	
  para	
  passar	
  
para	
  a	
  segunda	
  fase	
  dos	
  métodos	
  de	
  raízes	
  
de	
  equações?	
  
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Neste	
  caso	
  deve-­‐se	
  esboçar	
  o	
  gráfico	
  da	
  função	
  nos	
  
limites	
  calculados	
  e	
  tentar	
  encontrar	
  o	
  intervalo	
  [a,b]	
  
no	
  qual	
  exista	
  uma	
  única	
  raiz	
  de	
  P(x)=0.	
  
	
  
0122092)( 234 =+−−+= xxxxxP
4721,53750,0 ≤≤ +ξ x	
   f(x)	
  
0,3750	
   3.3596	
  
1	
   -­‐14	
  
2	
   -­‐32	
  
3	
   6	
  
4	
   172	
  
5	
   562	
  
5,4721	
   857,4107	
  
Em	
  quais	
  
subintervalos	
  
pode	
  haver	
  uma	
  
única	
  raiz	
  de	
  
P(x)=0?	
  
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
	
  
Qual	
  a	
  caracterísKca	
  comum	
  a	
  todo	
  
intervalo	
  que	
  possui	
  uma	
  única	
  raiz	
  ?	
  Em	
  
que	
  outras	
  situações	
  isso	
  pode	
  acontecer?	
  
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Teorema	
  4	
  (Cauchy-­‐Bolzano):	
  Seja	
  f	
  uma	
  função	
  
con\nua	
  em	
  um	
  intervalo	
  [a,b].	
  Se	
  	
  
	
  	
  	
  f(a)	
  ×	
  	
  f(b)	
  <	
  0	
  então	
  existe	
  pelo	
  menos	
  um	
  
ponto	
  ξ	
  ∈	
  [a,b]	
  →	
  f(ξ)	
  =	
  0.	
  
•  Se	
  f’	
  preservar	
  o	
  sinal	
  em	
  [a,b],	
  ou	
  seja,	
  f’(x)>0	
  ∀	
  
x	
  ∈	
  [a,b]	
  ou	
  f’(x)<0	
  ∀	
  x	
  ∈	
  [a,b]	
  então	
  a	
  raiz	
  ξ	
  é	
  
única.	
  
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
Fase	
  de	
  
Isolamento	
  de	
  
Raiz	
  
Equações	
  
Algébricas	
  
Equações	
  
Transcendentes	
  
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Para	
  Equações	
  Transcendentes	
  não	
  existem	
  
teoremas	
  para	
  limites	
  e	
  número	
  de	
  raízes.	
  	
  
•  Neste	
  caso	
  pode-­‐se	
  uRlizar	
  a	
  seguinte	
  o	
  método	
  
gráfico	
  como	
  uma	
  maneira	
  de	
  isolar	
  as	
  raízes.	
  
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Uma	
  maneira	
  de	
  isolar	
  as	
  raízes	
  de	
  
equações	
  transcendentes	
  é	
  :	
  
– Encontrar	
  um	
  intervalo	
  [A,B]	
  tal	
  que	
  
f(A)f(B)<0	
  .	
  
– Testar	
  se	
  neste	
  intervalo	
  f’	
  preserva	
  o	
  sinal.	
  	
  
•  Se	
  sim	
  existe	
  uma	
  única	
  raiz	
  neste	
  intervalo;	
  
•  Senão	
  esboçar	
  	
  a	
  função	
  neste	
  intervalo	
  para	
  
idenRficar	
  [a,b]	
  tal	
  que	
  a	
  raiz	
  seja	
  única.	
  
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  O	
  procedimento	
  para	
  encontrar	
  um	
  intervalo	
  
[A,B]	
  tal	
  que	
  f(A)f(B)<0	
  é	
  descrito	
  a	
  seguir	
  e	
  
ilustrado	
  graficamente.	
  
	
  
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Encontrar	
  um	
  intervalo	
  [A,B]	
  tal	
  que	
  f(A)f(B)<0.	
  
	
  
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Encontrar	
  um	
  intervalo	
  [A,B]	
  tal	
  que	
  f(A)f(B)<0.	
  
	
  
1. Escolher um valor 
 z qualquer. 
 
Exemplo: z=5.2 
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Encontrar	
  um	
  intervalo	
  [A,B]	
  tal	
  que	
  f(A)f(B)<0.	
  
	
   2. Calcular dois outros 
 pontos a partir de z 
 Geralmente faz-se 
 a=0,95*z 
 b=1,05*z 
 
Obs: Se z = 0 fazer 
 a = -0,05 
 b = 0,05 
 
Exemplo: 
a=4,7 à f(a)<0 
b=5,7 à f(b)<0 
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Encontrar	
  um	
  intervalo	
  [A,B]	
  tal	
  que	
  f(A)f(B)<0.	
  
	
  
3. Calcular 
 f(a) e f(b) e 
 verificar se 
 f(a)f(b)<0. 
 
 Se sim parar o 
procedimento, 
 Senão gerar um 
novo ponto a ou um 
novo ponto b. 
 
Qual ponto você 
deslocaria e por quê? 
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Encontrar	
  um	
  intervalo	
  [A,B]	
  tal	
  que	
  f(A)f(B)<0.	
  
	
  
Para este caso gerar 
um novo ponto b 
porque f(b) < f(a) e 
repetir o 
procedimento. 
 
a=4,7à f(a)<0 
b=5,9 à f(b)<0 
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Encontrar	
  um	
  intervalo	
  [A,B]	
  tal	
  que	
  f(A)f(B)<0.	
  
	
  
Encontrado 
f(a)f(b) < 0 encerra-se 
o procedimento. 
 
a=4,7 à f(a)<0 
b=6,1 à f(b) >0 
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Encontrado	
  o	
  intervalo	
  [a,b]	
  tal	
  que	
  
f(a)f(b)<0	
  pode-­‐se:	
  
– Calcular	
  f’	
  e	
  verificar	
  se	
  ela	
  preserva	
  o	
  sinal	
  no	
  
intervalo	
  OU	
  
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Encontrado	
  o	
  intervalo	
  [a,b]	
  tal	
  que	
  f(a)f(b)<0	
  pode-­‐se:	
  
–  Esboçar	
  o	
  gráfico	
  neste	
  intervalo	
  e	
  idenRficar	
  um	
  subintervalo	
  
onde	
  há	
  apenas	
  uma	
  raiz.	
  
A raiz em [a,b] é única 
e inclusive pode-se 
diminuir o intervalo 
para [6,2;6,5]. 
 
Quanto menor o 
intervalo [a,b] melhor 
para a segunda fase 
dos métodos de raízes 
de equações.