cn2013_01_aula_refinamento_raizes_de_equacoes

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Computação	
  	
  Numérica	
  
Fabíola	
  Guerra	
  Nakamura	
  
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Os	
  métodos	
  numéricos	
  para	
  raízes	
  de	
  equações	
  podem	
  
ser	
  divididos	
  em	
  duas	
  fases:	
  
–  Isolamento	
  da	
  raiz:	
  Encontrar	
  um	
  intervalo	
  [a,b]	
  que	
  
contenha	
  uma,	
  e	
  somente	
  uma,	
  raiz	
  de	
  f(x)	
  =	
  0.	
  
–  Refinamento	
  da	
  raiz:	
  A	
  parEr	
  de	
  um	
  valor	
  inicial	
  x0	
  ∈	
  [a,b],	
  
gerar	
  uma	
  sequência	
  {x0	
  ,	
  x1	
  ,	
  x2	
  ,	
  ...,	
  xk	
  ,	
  ...}	
  que	
  convirja	
  para	
  
uma	
  raiz	
  exata	
  ξ	
  de	
  f(x)=0.	
  
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
Refinamento	
  de	
  
Raiz	
  
Método	
  da	
  
Bisseção	
  	
  
Métodos	
  
Baseados	
  em	
  
Aproximação	
  
Linear	
  
Métodos	
  
Baseados	
  em	
  
Tangente	
  
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
Ò A	
  Fase	
  de	
  Refinamento	
  de	
  Raiz	
  consiste	
  em	
  A	
  parEr	
  de	
  
um	
  valor	
  inicial	
  x0	
  ∈	
  [a,b],	
  gerar	
  uma	
  sequência	
  {x0	
  ,	
  x1	
  ,	
  
x2	
  ,	
  ...,	
  xk	
  ,	
  ...}	
  que	
  convirja	
  para	
  uma	
  raiz	
  exata	
  ξ	
  de	
  
f(x)=0.	
  
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  Os	
  procedimentos	
  de	
  Refinamento	
  de	
  Raiz	
  são	
  
procedimentos	
  iteraEvos	
  e	
  portanto	
  são	
  
consEtuídos	
  dos	
  seguintes	
  elementos:	
  
– Fórmula	
  de	
  Iteração	
  
– Solução	
  Inicial	
  (x0)	
  
– Critério	
  de	
  Parada	
  
– Condição	
  de	
  Convergência	
  
	
  
Raízes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  A	
  fórmula	
  de	
  Iteração,	
  cálculo	
  da	
  solução	
  inicial	
  
(x0)	
  e	
  a	
  condição	
  de	
  convergência	
  são	
  os	
  
elementos	
  que	
  diferem	
  os	
  métodos	
  
•  Os	
  Critérios	
  de	
  Parada	
  são	
  comuns	
  a	
  todos	
  os	
  
métodos.	
  
	
  
RaÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
Ò Exemplos	
  de	
  critérios	
  de	
  parada	
  :	
  
•  Onde	
  ε	
  é	
  um	
  valor	
  passado	
  como	
  parâmetro	
  
de	
  entrada	
  e	
  difere	
  de	
  aplicação	
  a	
  aplicação	
  
•  kmax	
  é	
  o	
  número	
  máximo	
  de	
  iterações	
  do	
  
método.	
  
	
  
max
1
1
)(
kk
e
xf
ou
x
xx
ou
xx
k
k
kk
kk
≤
≤
≤
−
≤−
−
−
ε
ε
ε
Raízes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
Ò Os	
  procedimentos	
  de	
  Refinamento	
  de	
  Raiz	
  
recebem	
  como	
  parâmetros:	
  
É A	
  equação	
  f(x)=0	
  
É Um	
  intervalo	
  [a,b]	
  onde	
  a	
  raiz	
  de	
  f(x)=0	
  é	
  única.	
  
É O	
  parâmetro	
  ε	
  
É O	
  valor	
  kmax	
  
Ò Quanto	
  menor	
  o	
  intervalo	
  [a,b]	
  melhor	
  será	
  o	
  
desempenho	
  dos	
  métodos	
  de	
  refinamento.	
  
Raízes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
Refinamento	
  de	
  
Raiz	
  
Método	
  da	
  
Bisseção	
  	
  
Métodos	
  
Baseados	
  em	
  
Aproximação	
  
Linear	
  
Métodos	
  
Baseados	
  em	
  
Tangente	
  
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
•  O	
  Método	
  da	
  Bisseção	
  baseia-­‐se	
  no	
  seguinte	
  
teorema	
  :	
  “Seja	
  f	
  uma	
  função	
  con-nua	
  em	
  um	
  
intervalo	
  [a,b].	
  Se	
  f(a)	
  ×	
  	
  f(b)	
  <	
  0	
  então	
  existe	
  pelo	
  
menos	
  um	
  ponto	
  ξ	
  ∈	
  [a,b]	
  →	
  f(ξ)	
  =	
  0.”	
  
Raízes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
Ò O	
  método	
  da	
  Bisseção	
  divide	
  o	
  intervalo	
  [a,b]	
  na	
  
metade.	
  
Ò EsEma	
  como	
  raiz	
  o	
  ponto	
  médio	
  do	
  intervalo.	
  
Ò Repete	
  o	
  procedimento	
  para	
  a	
  metade	
  do	
  intervalo	
  
onde	
  a	
  função	
  tem	
  sinais	
  contrários.	
  
Ò Executa	
  o	
  método	
  até	
  que	
  um	
  critério	
  de	
  parada	
  
seja	
  atendido.	
  
Raízes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
RAÍzes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
raízes	
  de	
  equações	
  
Raízes de equações 
Quais	
  são	
  as	
  vantagens	
  e	
  
desvantagens	
  do	
  Método	
  da	
  
Bisseção	
  
raízes	
  de	
  equações	
  
•  Vantagem	
  :	
  Simples	
  e	
  Sempre	
  Converge.	
  
•  Desvantagem:	
  Muito	
  Lento	
  
•  Pode	
  ser	
  uUlizado	
  para	
  diminui	
  o	
  intervalo	
  
[a,b]	
  antes	
  de	
  se	
  uUlizar	
  um	
  método	
  mais	
  
eficiente.	
  
Raízes de equações 
Raízes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
Refinamento	
  de	
  
Raiz	
  
Método	
  da	
  
Bisseção	
  	
  
Métodos	
  
Baseados	
  em	
  
Aproximação	
  
Linear	
  
Métodos	
  
Baseados	
  em	
  
Tangente	
  
Raízes	
  de	
  Equações	
  
•  Métodos	
  Baseados	
  em	
  Aproximação	
  Linear	
  
– Consistem	
  em	
  aproximar	
  f(x)	
  por	
  uma	
  função	
  
linear	
  que	
  passa	
  pelo	
  pontos	
  (a,f(a))	
  e	
  (b,f(b).	
  
– A	
  esUmaUva	
  da	
  raiz	
  é	
  ponto	
  onde	
  a	
  função	
  corta	
  o	
  
eixo	
  x,	
  ou	
  seja,	
  o	
  ponto	
  onde	
  f(x)	
  =	
  0.	
  
Raízes de equações 
•  Métodos	
  Baseados	
  em	
  Aproximação	
  Linear	
  
– Função	
  linear	
  que	
  passa	
  por	
  (a,f(a))	
  e	
  (b,f(b)).	
  
– 𝑦=𝑓(𝑏)+ ​𝑓(𝑏)−𝑓(𝑎)/𝑏−𝑎 (𝑥−𝑏)	
  
Raízes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
z	
  
y = f (b)+ f (b)− f (a)b− a (x − b)
Raízes	
  de	
  Equações	
  
•  Métodos	
  Baseados	
  em	
  Aproximação	
  Linear	
  
– Ponto	
  onde	
  y	
  =	
  f(x)	
  =	
  0.	
  
Raízes de Equações 
z	
  
x = b+ f (b)f (b)− f (a) (b− a)
Secante	
  
Integração Numérica 
Regula	
  Falsi	
  
Integração Numérica 
Pégaso	
  
Integração Numérica 
Raízes	
  de	
  Equações	
  
Raízes de equações 
Refinamento	
  de	
  
Raiz	
  
Método	
  da	
  
Bisseção	
  	
  
Métodos	
  
Baseados	
  em	
  
Aproximação	
  
Linear	
  
Métodos	
  
Baseados	
  em	
  
Tangente	
  
Raízes	
  de	
  Equações	
  
•  Métodos	
  Baseados	
  em	
  Tangente	
  
– Geometricamente	
  consistem	
  em	
  aproximar	
  o	
  arco	
  
de	
  f(x)	
  por	
  uma	
  uam	
  reta	
  tangente	
  a	
  um	
  ponto	
  
pertencente	
  a	
  curva.	
  
– A	
  esUmaUva	
  da	
  raiz	
  é	
  ponto	
  onde	
  a	
  tangente	
  corta	
  
o	
  eixo	
  x.	
  
– Só	
  podem	
  ser	
  uUlizados	
  quando	
  a	
  função	
  possuir	
  
as	
  derivadas	
  de	
  primeira	
  e	
  segunda	
  ordem.	
  
Raízes de equações 
Método	
  de	
  Newton	
  
Integração Numérica 
Método	
  de	
  Newton	
  
Integração Numérica 
Raízes	
  de	
  Equações	
  
•  Método	
  de	
  Newton	
  
Raízes de equações 
xk+1 = xk −
f (xk )
f '(xk )
Raízes	
  de	
  Equações	
  
•  Método	
  de	
  Schröder	
  
Raízes de equações 
xk+1 = xk −m
f (xk )
f '(xk )
COMPARAÇÃO	
  ENTRE	
  OS	
  
MÉTODOS	
  
Integração Numérica 
Integração Numérica 
IntegraçãoNumérica 
Integração Numérica 
Integração Numérica 
Integração Numérica