Aula 5 - Medidas de Dispersão

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Medida de dispersão
Aula 05
Profa. Msc. Raquel Nicolette
raquelnicolette@gmail.com
https://sites.google.com/site/nicoletteufpel/
Abril/2014
Medidas de
dispersão
Amplitude total
Variância e Desvio padrão
Sumário
1 Medidas de dispersão
Amplitude total
Variância e Desvio padrão
Profa . Msc. Raquel Nicolette Medida de dispersão Abril/2014 2/16
Medidas de
dispersão
Amplitude total
Variância e Desvio padrão
A média é uma medida de centro da distribuição, porém, nada informa com
relação a dispersão dos valores em torno do centro.
Quanto maior a variação dos dados menor a representatividade da média.
Assim, dizemos que as medidas de dispersão servem para qualificar a média.
Quanto menor a dispersão, mais confiável é a média.
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Medidas de
dispersão
Amplitude total
Variância e Desvio padrão
Exemplo
Consideremos os seguintes conjuntos de valores da variáveis X, Y e Z:
X: 70, 70, 70, 70 e 70
Y: 68, 69, 70, 71 e 72
Z: 5, 15, 50, 120, 160
Calculando a média aritmética de cada um desses conjuntos, obtemos:
Xˆ = Yˆ = Zˆ = 70
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Medidas de
dispersão
Amplitude total
Variância e Desvio padrão
É a diferença entre o maior e o menor valor da série, ou seja:
AT = xmax − xmin
Embora seja facilmente calculável, a amplitude total é de uso restrito, pois tem o
inconveniente de só levar em conta os dois valores extremos da série, descuidando
do conjunto dos valores internos, o que quase sempre invalida a idoneidade do
resultado.
Ela é apenas um indicação que serve para análise comparativa e para
determinação de limites de uma distribuição.
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Medidas de
dispersão
Amplitude total
Variância e Desvio padrão
Ao contrário da amplitude total, a variância e o desvio padrão são medidas que
levam em consideração todos os valores da variável em estudo, que são obtidos a
partir das diferenças entre cada elemento e a média do conjunto.
Isso faz com que eles sejam índices de variabilidade bastante estáveis, e por isso
mesmo, os mais geralmente empregados.
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Medidas de
dispersão
Amplitude total
Variância e Desvio padrão Variâncias para dados não agrupados
Variância amostral
S2 =
1
n − 1
[∑
x2i −
(
∑
xi)
2
n
]
Variância populacional
σ2 =
1
n
[∑
x2i −
(
∑
xi)
2
n
]
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Medidas de
dispersão
Amplitude total
Variância e Desvio padrão
Desvio padrão para dados não agrupados
Desvio padrão amostral
s =
√
S2
Desvio padrão populacional
σ =
√
σ2
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Medidas de
dispersão
Amplitude total
Variância e Desvio padrão
Exemplo 02
Considere a seguinte amostra :
9, 8 , 12 , 7 , 9 , 6 , 11 , 6 , 10, 9
Calcular sua variância e desvio padrão.
S2 =
1
n − 1
[∑
x2i −
(
∑
xi)
2
n
]
S2 =
1
10− 1
[
793− (87)
2
10
]
∼= 4, 0
s =
√
S2 =
√
4 = 2
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Medidas de
dispersão
Amplitude total
Variância e Desvio padrão Variâncias para dados agrupados
Variância amostral
S2 =
1
n − 1
[∑(
x2i Fi
)− (∑ xiFi)2
n
]
Variância populacional
σ2 =
1
n
[∑(
x2i Fi
)− (∑ xiFi)2
n
]
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Medidas de
dispersão
Amplitude total
Variância e Desvio padrão
Desvio padrão para dados agrupados
Desvio padrão amostral
s =
√
S2
Desvio padrão populacional
σ =
√
σ2
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Medidas de
dispersão
Amplitude total
Variância e Desvio padrão
Exemplo 03
Calcular o desvio padrão populacional da tabela abaixo:
2 2
3 4
5 6
6 8
7 2
. . .

σ2 =
1
n
[∑(
x2i Fi
)
−
(∑
x2i Fi
)
n
]
σ =
√
σ2
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Medidas de
dispersão
Amplitude total
Variância e Desvio padrão
Exemplo 04
Calcular a média, variância e o desvio padrão amostral da seguinte distribuição:
Estaturas(cm)
150 ` 154 4
154 ` 158 9
158 ` 162 11
162 ` 166 8
166 ` 170 5
170 ` 174 3
40

X¯ =
∑
(xiFi)
n
σ2 =
1
n
[∑(
x2i Fi
)
− (
∑
xiFi)
2
n
]
σ =
√
σ2
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Medidas de
dispersão
Amplitude total
Variância e Desvio padrão
Coeficiente de variação
É uma medida relativa de variabilidade que permite a
comparação da dispersão de duas características diferentes.
É utilizado para comparar em termos relativos o grau de
concentração dos dados em torno da média de série
distintas.
Cv = σX¯ × 100%
Cv = sX¯ × 100%
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Medidas de
dispersão
Amplitude total
Variância e Desvio padrão
Exemplo 05
Os pesos de 10 caixas de um certo tipo de cereal tem conteúdo médio de 278 g
com um desvio padrão de 9, 64g Se estas caixas são vendidas por um preço
médio de 1, 20u.m. com um desvio padrão de 0, 09u.m., podemos concluir que os
pesos são relativamente mais homogêneos do que os preços ?
CVpeso = 3, 74% e CVpreo = 6, 98%
Concluímos, então, que os pesos são mais homogêneos do que os preços.
Profa . Msc. Raquel Nicolette Medida de dispersão Abril/2014 15/16
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