Aula 7 - Análise Combinatória

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Análise Combinatória
Aula 01
Raquel Nicolette e Elísia Corrêa
Abril/2014
Princípio
fundamental da
contagem
Fatorial
Arranjo simples
Permutação
simples
Permutação com
repetição
Combinação
simples
Combinações
condicionadas
Sumário
1 Princípio fundamental da contagem
2 Fatorial
3 Arranjo simples
4 Permutação simples
5 Permutação com repetição
6 Combinação simples
7 Combinações condicionadas
Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 2/17
Princípio
fundamental da
contagem
Fatorial
Arranjo simples
Permutação
simples
Permutação com
repetição
Combinação
simples
Combinações
condicionadas
Situação 01
Um tabuleiro especial de xadrez que possui 16 casas, dispostas em 4 linhas e 4
colunas.Um jogador deseja colocar 4 peças no tabuleiro, de tal forma que em cada
linha e cada coluna, seja colocada apenas uma peça. De quantas maneiras as
peças poderão ser colocadas?
Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 3/17
Princípio
fundamental da
contagem
Fatorial
Arranjo simples
Permutação
simples
Permutação com
repetição
Combinação
simples
Combinações
condicionadas
Acontecimento - Número de Linhas Possíveis
1 Posicionamento da 1a peça - 4
2 Posicionamento da 2a peça - 3
3 Posicionamento da 3a peça - 2
4 Posicionamento da 4a peça - 1
Pelo princípio fundamental da contagem:
Possibilidades nas Linhas = 4.3.2.1 = 24
Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 4/17
Princípio
fundamental da
contagem
Fatorial
Arranjo simples
Permutação
simples
Permutação com
repetição
Combinação
simples
Combinações
condicionadas
Acontecimento - Número de Linhas Possíveis
1 Posicionamento da 1a peça - 4
2 Posicionamento da 2a peça - 3
3 Posicionamento da 3a peça - 2
4 Posicionamento da 4a peça - 1
Pelo princípio fundamental da contagem:
Possibilidades nas Linhas = 4.3.2.1 = 24
Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 4/17
Princípio
fundamental da
contagem
Fatorial
Arranjo simples
Permutação
simples
Permutação com
repetição
Combinação
simples
Combinações
condicionadas
Acontecimento - Número de Linhas Possíveis
1 Posicionamento da 1a peça - 4
2 Posicionamento da 2a peça - 3
3 Posicionamento da 3a peça - 2
4 Posicionamento da 4a peça - 1
Pelo princípio fundamental da contagem:
Possibilidades nas Linhas = 4.3.2.1 = 24
Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 4/17
Princípio
fundamental da
contagem
Fatorial
Arranjo simples
Permutação
simples
Permutação com
repetição
Combinação
simples
Combinações
condicionadas
Acontecimento - Número de Colunas Possíveis
1 Posicionamento da 1a peça - 4
2 Posicionamento da 2a peça - 3
3 Posicionamento da 3a peça - 2
4 Posicionamento da 4a peça - 1
Pelo princípio fundamental da contagem:
Possibilidades nas colunas = 4.3.2.1 = 24
Total: 24x24=576
Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 5/17
Princípio
fundamental da
contagem
Fatorial
Arranjo simples
Permutação
simples
Permutação com
repetição
Combinação
simples
Combinações
condicionadas
Acontecimento - Número de Colunas Possíveis
1 Posicionamento da 1a peça - 4
2 Posicionamento da 2a peça - 3
3 Posicionamento da 3a peça - 2
4 Posicionamento da 4a peça - 1
Pelo princípio fundamental da contagem:
Possibilidades nas colunas = 4.3.2.1 = 24
Total: 24x24=576
Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 5/17
Princípio
fundamental da
contagem
Fatorial
Arranjo simples
Permutação
simples
Permutação com
repetição
Combinação
simples
Combinações
condicionadas
Princípio fundamental da contagem
Se um acontecimento pode ocorrer em várias etapas
sucessivas e independentes de tal modo que:
n1 é o no de possibilidades na 1a etapa
n2 é o no de possibilidades na 2a etapa
...
nk é o no de possibilidades na k-ésima etapa
Então o número total de um acontecimento ocorrer é
n1 × n2 × · · · × nk
Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 6/17
Princípio
fundamental da
contagem
Fatorial
Arranjo simples
Permutação
simples
Permutação com
repetição
Combinação
simples
Combinações
condicionadas
Princípio fundamental da contagem
Se um acontecimento pode ocorrer em várias etapas
sucessivas e independentes de tal modo que:
n1 é o no de possibilidades na 1a etapa
n2 é o no de possibilidades na 2a etapa
...
nk é o no de possibilidades na k-ésima etapa
Então o número total de um acontecimento ocorrer é
n1 × n2 × · · · × nk
Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 6/17
Princípio
fundamental da
contagem
Fatorial
Arranjo simples
Permutação
simples
Permutação com
repetição
Combinação
simples
Combinações
condicionadas
Situação 02
Supondo agora o mesmo tabuleiro anterior. Se eu puder colocar 4 moedas em
qualquer lugar não ocupado, de quantas formas eu posso colocar as 4 moedas no
tabuleiro?
Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 7/17
Princípio
fundamental da
contagem
Fatorial
Arranjo simples
Permutação
simples
Permutação com
repetição
Combinação
simples
Combinações
condicionadas
Fatorial
Sendo n um número inteiro, maior que 1, denominamos fatorial de n, indicando por
n! a expressão
n! = n × (n − 1)× (n − 2)× · · · × 3× 2× 1
1! = 1 e 0! = 1
Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 8/17
Princípio
fundamental da
contagem
Fatorial
Arranjo simples
Permutação
simples
Permutação com
repetição
Combinação
simples
Combinações
condicionadas
Arranjo simples
Arranjo simples de n elementos tomados r a p, onde n ≥ 1 e p é um número
natural, é qualquer ordenação de p elementos dentre os n elementos, em que cada
maneira de tomar os elementos se diferenciam pela ordem e natureza dos
elementos.
A fórmula para cálculo de arranjo simples é dada por:
Anp =
n!
(n−p)!
Onde n é o total de elementos e p o número de elementos escolhidos.
Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 9/17
Princípio
fundamental da
contagem
Fatorial
Arranjo simples
Permutação
simples
Permutação com
repetição
Combinação
simples
Combinações
condicionadas
Arranjo simples
Arranjo simples de n elementos tomados r a p, onde n ≥ 1 e p é um número
natural, é qualquer ordenação de p elementos dentre os n elementos, em que cada
maneira de tomar os elementos se diferenciam pela ordem e natureza dos
elementos.
A fórmula para cálculo de arranjo simples é dada por:
Anp =
n!
(n−p)!
Onde n é o total de elementos e p o número de elementos escolhidos.
Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 9/17
Princípio
fundamental da
contagem
Fatorial
Arranjo simples
Permutação
simples
Permutação com
repetição
Combinação
simples
Combinações
condicionadas
Quantos números de dois algarismos distintos podem ser formados usando os
algarismos 1 3 5 ?
Quantos números entre mil e oito mil podemos formar com os algarismos ímpares
sem os repetir?
Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 10/17
Princípio
fundamental da
contagem
Fatorial
Arranjo simples
Permutação
simples
Permutação com
repetição
Combinação
simples
Combinações
condicionadas
Quantos números de dois algarismos distintos podem ser formados usando os
algarismos 1 3 5 ?
Quantos números entre mil e oito mil podemos formar com os algarismos ímpares
sem os repetir?
Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 10/17Princípio
fundamental da
contagem
Fatorial
Arranjo simples
Permutação
simples
Permutação com
repetição
Combinação
simples
Combinações
condicionadas
Permutação simples
Seja um conjunto com n elementos, o total de grupos formados por esses
elementos agrupados a a n, onde cada grupo difere do outro pela mudança da
ordem dos elementos dá-se o nome de permutação.
Pn=
n!
(n−n)! = n!
Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 11/17
Princípio
fundamental da
contagem
Fatorial
Arranjo simples
Permutação
simples
Permutação com
repetição
Combinação
simples
Combinações
condicionadas
Permutação simples
Seja um conjunto com n elementos, o total de grupos formados por esses
elementos agrupados a a n, onde cada grupo difere do outro pela mudança da
ordem dos elementos dá-se o nome de permutação.
Pn=
n!
(n−n)! = n!
Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 11/17
Princípio
fundamental da
contagem
Fatorial
Arranjo simples
Permutação
simples
Permutação com
repetição
Combinação
simples
Combinações
condicionadas
Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados usando os
algarismos 2 3 4 ?
Quantos anagramas podemos formar com a palavra MITO?
Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 12/17
Princípio
fundamental da
contagem
Fatorial
Arranjo simples
Permutação
simples
Permutação com
repetição
Combinação
simples
Combinações
condicionadas
Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados usando os
algarismos 2 3 4 ?
Quantos anagramas podemos formar com a palavra MITO?
Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 12/17
Princípio
fundamental da
contagem
Fatorial
Arranjo simples
Permutação
simples
Permutação com
repetição
Combinação
simples
Combinações
condicionadas
Permutação com repetição
Se algum dos elementos a serem arranjados na ordem forem iguais, o número de
permutações é dado por:
Pnn1,n2,... =
n!
n1n2...!
Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 13/17
Princípio
fundamental da
contagem
Fatorial
Arranjo simples
Permutação
simples
Permutação com
repetição
Combinação
simples
Combinações
condicionadas
Permutação com repetição
Se algum dos elementos a serem arranjados na ordem forem iguais, o número de
permutações é dado por:
Pnn1,n2,... =
n!
n1n2...!
Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 13/17
Princípio
fundamental da
contagem
Fatorial
Arranjo simples
Permutação
simples
Permutação com
repetição
Combinação
simples
Combinações
condicionadas
Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra ABA ?
Quantos números de 8 algarismos podemos escrever utilizando quatro vezes o
algarismo 1, três vezes o algarismo 5 e uma vez o algarismo 2?
Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 14/17
Princípio
fundamental da
contagem
Fatorial
Arranjo simples
Permutação
simples
Permutação com
repetição
Combinação
simples
Combinações
condicionadas
Quantos anagramas podemos formar com as letras da palavra ABA ?
Quantos números de 8 algarismos podemos escrever utilizando quatro vezes o
algarismo 1, três vezes o algarismo 5 e uma vez o algarismo 2?
Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 14/17
Princípio
fundamental da
contagem
Fatorial
Arranjo simples
Permutação
simples
Permutação com
repetição
Combinação
simples
Combinações
condicionadas
Combinação simples
Seja uma conjunto com n elementos distintos, ao total dos grupos formados com
esses n elementos agrupados r a r, com r ≤ n, onde cada grupo difere de outro
apenas pela natureza de seus elemntos, chamamos de combinação simples dos n
elementos agrupados r a r.
Cnr =
n!
r !(n−r)!
Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 15/17
Princípio
fundamental da
contagem
Fatorial
Arranjo simples
Permutação
simples
Permutação com
repetição
Combinação
simples
Combinações
condicionadas
Combinação simples
Seja uma conjunto com n elementos distintos, ao total dos grupos formados com
esses n elementos agrupados r a r, com r ≤ n, onde cada grupo difere de outro
apenas pela natureza de seus elemntos, chamamos de combinação simples dos n
elementos agrupados r a r.
Cnr =
n!
r !(n−r)!
Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 15/17
Princípio
fundamental da
contagem
Fatorial
Arranjo simples
Permutação
simples
Permutação com
repetição
Combinação
simples
Combinações
condicionadas
Combinações condicionadas
Seja uma conjunto A = {a1, a2, . . . , an} onde existem k elementos determinados.
o número de combinações destes n elementos agrupados r a r - Cnr =
n!
r !(n−r)!
o número de combinações onde não figuram os k elementos determinados,
então - Cn−kr =
(n−k)!
r !(n−k−r)!
o número de combinações onde figuram os k elementos determinados, então -
Cn−kr−k =
(n−k)!
(r−k)!(n−r)!
Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 16/17
Princípio
fundamental da
contagem
Fatorial
Arranjo simples
Permutação
simples
Permutação com
repetição
Combinação
simples
Combinações
condicionadas
Combinações condicionadas
Seja uma conjunto A = {a1, a2, . . . , an} onde existem k elementos determinados.
o número de combinações destes n elementos agrupados r a r - Cnr =
n!
r !(n−r)!
o número de combinações onde não figuram os k elementos determinados,
então - Cn−kr =
(n−k)!
r !(n−k−r)!
o número de combinações onde figuram os k elementos determinados, então -
Cn−kr−k =
(n−k)!
(r−k)!(n−r)!
Raquel Nicolette e Elísia Corrêa Análise Combinatória Abril/2014 16/17
	Princípio fundamental da contagem
	Fatorial
	Arranjo simples
	Permutação simples
	Permutação com repetição
	Combinação simples
	Combinações condicionadas