Isomorfismo em Álgebra Linear

Prévia do material em texto

54 
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR 
 
CAPÍTULO 7 
ISOMORFISMO 
 
O objetivo deste capítulo é, dado uma transformação linear WV:T → , tentar definir a 
transformação linear inversa, ou seja, VW:T 1 →− . Quando ela existir será chamado de um 
isomorfismo. Mas, antes precisamos de alguns conceitos. 
 
Definição: Uma transformação linear WV:T → é chamada de injetora se 
Vvev,vv)v(T)v(T 212121 ∈∀=⇒= . 
 
Definição: Uma transformação linear WV:T → é sobrejetora se, e somente se .W)TIm( = 
 
Definição: Uma transformação linear WV:T → é chamada de bijetora se, e somente se, ela é 
injetora e sobrejetora. 
 
Exemplo (1): Seja )yx,yx()y,x(T −+= uma transformação linear. Verificar se T é bijetora. 
Solução: Temos que verificar se T é injetora e sobrejetora. Sejam )y,x(ve)y,x(v 222111 == 
dois vetores quaisquer do ℜ2. Note que 22:T ℜ→ℜ . 
Se )yx,yx()yx,yx()v(T)v(T 2222111121 −+=−+⇒= ⇒



−=−
+=+
2211
2211
yxyx
yxyx
. 
Resolvendo o sistema linear temos que 2121 yyexx == , ou seja, 21 vv = . Logo T é 
injetora. Os vetores que formam a )TIm( são do tipo )yx,yx(v −+= . Então 
)1,1(y)1,1(xv −+= , ou seja, )}1,1(),1,1{( − é uma base da Im(T) mas também é uma base 
do ℜ2. Logo, )dim()TIm(dim 2ℜ= . Como 22 )TIm()TIm( ℜ=⇒ℜ⊂ . Assim, T é 
sobrejetora. Portanto T é bijetora. 
 
Vamos enunciar a seguir, alguns teoremas que nos ajudarão a verificar se uma 
determinada transformação linear é ou não bijetora. 
 
Teorema (1): Seja WV:T → uma transformação linear. Então T é injetora se, e somente se, 
}0{)T(Ker = . 
 55 
Demonstração: 
(⇒⇒⇒⇒) hipótese: T é injetora 
Tese: }0{)T(Ker = 
Seja )T(Kerv ∈ , então 0)v(T = ⇒ )0(T)v(T = . Com T é injetora, então 0v = . Portanto 
}0{)T(Ker = . 
(⇐⇐⇐⇐) hipótese: }0{)T(Ker = 
Tese: T é injetora 
Seja 0)vv(T0)v(T)v(T)v(T)v(T 212121 =−⇒=−⇒= . Isso significa que 
}0{)T(Kervv 21 =∈− . Logo, 2121 vv0vv =⇒=− . Portanto, T é injetora. 
 
Teorema (2): Uma transformação linear injetora WV:T → , leva vetores LI de V em vetores LI de 
W. 
Demonstração: 
hipótese: T é injetora e V}v,...,v,v{ n21 ⊂ são LI. 
Tese: W)}v(T),...,v(T),v(T{ n21 ⊂ são LI 
Seja os escalares K,...,, n21 ∈ααα tais que 0)v(T...)v(T)v(T nn2211 =α++α+α . Então: 
0)v...vv(T nn2211 =α++α+α . Como T é injetora, então, 0v...vv nn2211 =α++α+α . Como 
}v,...,v,v{ n21 são LI, então 0... n21 =α==α=α . Portanto, )}v(T),...,v(T),v(T{ n21 são LI. 
 
Teorema (3): Seja WV:T → uma transformação linear. Então: )T(Kerdim)TIm(dim)Vdim( += 
Demonstração: Seja V}u,...,u,u{ n21 ⊂ uma base do Ker(T). Podemos completar esse conjunto 
de modo a obter uma base de V. Sejam V}v,...,v,v{ m21 ⊂ tais que a base de V se 
escreva como }v,...,v,v,u,...,u,u{ m21n21 . Logo mn)Vdim( += . Basta mostrar 
que )}v(T),...,v(T),v(T{ m21 é base da )TIm( . Para isso vamos mostrar que: 
a) )}v(T),...,v(T),v(T{ m21 gera )TIm( . 
b) )}v(T),...,v(T),v(T{ m21 é LI. 
 
a) Seja )TIm(w ∈∀ , então existe Vv ∈ tal que w)v(T = . Como Vv ∈ ele se 
escreve como combinação linear dos vetores da base de V. Logo, existem escalares 
tais que mm2211nn2211 v...vvu...uuv α++α+α+β++β+β= . Daí vem que 
)v(T...)v(T)v(T)u(T...)u(T)u(Tw)v(T mm2211nn2211 α++α+α+β++β+β==
Como }u,...,u,u{ n21 é base do Ker(T), então, 0)u(T...)u(T)u(T n21 ==== . 
 56 
Logo, )v(T...)v(T)v(Tw)v(T mm2211 α++α+α== . Isso mostra que w é 
combinação linear de )}v(T),...,v(T),v(T{ m21 . Portanto )}v(T),...,v(T),v(T{ m21 
gera a Im(T). 
 
b) Sejam m21 ,...,, ααα escalares tais que 0)v(T...)v(T)v(T mm2211 =α++α+α . 
Então, 0)v...vv(T mm2211 =α++α+α ⇒ )T(Kerv...vv mm2211 ∈α++α+α . 
Podemos escrever que: mm2211mm2211 u...uuv...vv β++β+β=α++α+α ⇒ 
0u...uuv...vv mm2211mm2211 =β−−β−β−α++α+α . Como a base de V é 
}v,...,v,v,u,...,u,u{ m21n21 , logo 0...... m21m21 =β−==β−=β−=α==α=α . 
Portanto )}v(T),...,v(T),v(T{ m21 é LI. 
 
 
Teorema (4): Se )Wdim()Vdim( = então WV:T → é injetora se, somente se, T é sobrejetora. 
Demonstração: 
(⇒⇒⇒⇒) hipótese: )Wdim()Vdim( = e T é injetora 
Tese: T é sobrejetora. 
 Como T é injetora ⇒ }0{)T(Ker = ⇒ 0)T(Kerdim = . Pelo teorema (3) temos que 
)Wdim(0)TIm(dim)Vdim( =+= . Como )Wdim()TIm(dim = e W)TIm( ⊆ , pela 
proposição (2) do capítulo (4), vem que W)TIm( = , ou seja, T é sobrejetora. 
(⇐⇐⇐⇐) hipótese: )Wdim()Vdim( = e T é sobrejetora 
Tese: T é injetora 
Como T é injetora ⇒ )Wdim()TIm(dim = . Pelo teorema (3) temos que 
)T(Kerdim)Wdim()Vdim( += . Como )Wdim()Vdim( = ⇒ 0)T(Kerdim = ⇒ }0{)T(Ker = . 
Pelo teorema (1), T é injetora. 
 
Teorema (5): Se WV:T → é uma transformação linear injetora e )Wdim()Vdim( = então T leva 
base de V em base de W. 
Demonstração: Seja }v,...,v,v{ n21 base de V ⇒ n)Vdim( = . Como )Wdim()Vdim( = e T é 
injetora, pelo teorema (4), T é sobrejetora ⇒ nW)TIm( == . Temos que 
)}v(T),...,v(T),v(T{ n21 geram W e são LI pelo teorema (2). Portanto 
)}v(T),...,v(T),v(T{ n21 é base de W. 
 
 57 
Teorema (6): Se WV:T → é uma transformação linear, então: 
a) Se )Wdim()Vdim( > ⇒ T não é injetora 
b) Se )Wdim()Vdim( < ⇒ T não é sobrejetora 
Demonstração: 
a) Suponhamos que T seja injetora, então 0)T(Kerdim = . Pelo teorema (3) temos que: 
)Wdim()T(Kerdim)TIm(dim)Vdim( >+= ⇒ )Wdim()TIm(dim > (absurdo!). Portanto, T 
não é injetora. 
b) Suponhamos que T seja sobrejetora, então )Wdim()TIm(dim = . Pelo teorema (3) temos que 
)Wdim()T(Kerdim)TIm(dim)Vdim( <+= ⇒ 0)T(Kerdim < (absurdo!). Portanto, T não é 
sobrejetora. 
 
Exemplo (2): Vamos resolver, novamente, o exemplo (1) utilizando os teoremas enunciados. 
Solução: Como )yx,yx()y,x(T −+= , ou seja, 22:T ℜ→ℜ , estamos nas condições do teorema 
(4). Vamos determinar o Ker(T). Seja )0,0()yx,yx()y,x(T =−+= ⇒ 



=−
=+
0yx
0yx
. 
Resolvendo o sistema temos que )}0,0{()T(Ker = . Pelo teorema (1), T é injetora. Pelo 
teorema (4), se T é injetora então T é sobrejetora. Portanto T é bijetora. 
 
Exemplo (3): Seja )(M)(P:T 2x22 ℜ→ℜ uma transformação linear definida por 






−
−
=++
21
102
210
aa0
0aa)tataa(T . T é sobrejetora? T é injetora? Determine a 
dimensão do Ker(T) e da Im(T). 
Solução: Como )(Mdim)(Pdim 2x22 ℜ<ℜ , pelo teorema (6), T não é sobrejetora. Vamos verificar 
se ela é injetora. Seja )T(Kertataa)t(p 2210 ∈++= . Então 
( ) 





−
−
=





=
21
10
aa0
0aa
00
00)t(pT ⇒ 



=−
=−
0aa
0aa
21
10
 ⇒ 210 aaa == . Logo, todo 
)T(Ker)t(p ∈ é da forma: )tt1(atataa)t(p 202000 ++=++= , ou seja, }tt1{ 2++ é 
base do Ker(T) ⇒ 1)T(Kerdim = . Pelo teorema (1), T não é injetora e pelo teorema (3) 
temos: 2)TIm(dim1)TIm(dim)T(Kerdim)TIm(dim3)(Pdim 2 =⇒+=+==ℜ . 
 
 
 58 
Definição: Seja WV:T → uma transformação linear. Dizemos que T é um isomorfismo se T é 
uma transformação linear bijetora. 
 
OBS: Quando WV = , ou seja, temos que VV:T → é um operador linear bijetor, então T é 
chamado de um automorfismo. 
 
Definição: Seja WV:T → um isomorfismo. Então, a aplicação inversa VW:T 1 →− , se existir, é 
também um isomorfismo tal que IdTTTT 11 == −− oo . 
 
Definição: Dois espaços vetoriais V e W são isomorfos se existir um isomorfismo entre eles. 
 
Teorema (7): Dois espaços vetoriais sobre um mesmo corpo K são isomorfos se, e somente se, eles 
têm a mesma dimensão. 
 
Exemplo (4): Seja )aaa,aa,aa()tataa(T 21021102210 ++−+=++ . T é um isomorfismo? Em 
caso afirmativo, determine o isomorfismo inverso. 
Solução: Note que 32 )(P:T ℜ→ℜ e 3)dim()(Pdim 32 =ℜ=ℜ . Seja )T(Kertataa 2210 ∈++ . 
Então, )aaa,aa,aa()0,0,0( 2102110 ++−+= ⇒ 





=++
=−
=+
0aaa
0aa
0aa
210
21
10
. Resolvendo o 
sistema temos que 0aaa 210 === . Logo }0{)T(Ker = . Pelo teorema (1), T é injetora e 
pelo teorema(4), T é sobrejetora. Portanto T é um isomorfismo. Seja )(P:T 231 ℜ→ℜ− . 
Então 2210
1 tataa)z,y,x(T ++=− ⇒ )tataa(T)z,y,x(TT 22101 ++=−o ⇒ 
)aaa,aa,aa()z,y,x( 2102110 ++−+= ⇒ 





++=
−=
+=
210
21
10
aaaz
aay
aax
 ⇒ 





+−=
++−=
−−=
zxa
zyxa
zyx2a
2
1
0
. 
Portanto, 21 t)zx(t)zyx()zyx2()z,y,x(T +−+++−+−−=− 
 
 
 
 
 
 
 59 
Exercícios Propostos 
1) Seja )cba,dc,cb,ba(
dc
ba
T +++++=





 uma transformação linear. Mostre que T é um 
isomorfismo e determine o isomorfismo inverso. Resp: 





−++−
−++−
=
−
tzxtx
tyxty)t,z,y,x(T 1 
2) Seja )y,zx,zx()z,y,x(T −+= um operador linear. Mostre que T é um automorfismo e 
determine o automorfismo inverso. Resp: 




 −+
=
−
2
yx
,z,
2
yx)z,y,x(T 1 
3) Dada à transformação linear )z,zy,yx,x()z,y,x(T −−= . Determine a dimensão da Im(T) e do 
Ker(T). T é um isomorfismo? Porque? 
Resp: 0)T(Kerdim = ⇒ T é injetora; 3)TIm(dim = ⇒ T não é sobrejetora. Portanto, T não é 
um isomorfismo. 
4) Se 21 t)zy(t)yx()zyx2()z,y,x(T −+−+−+=− é o isomorfismo inverso da T, determine a T e 
onde ela está definida. 
Resp: 




 −−−−−
=++
2
a3a2a
,
2
aa2a
,
2
aa)tataa(T 210210202210 ; 32 )(P:T ℜ→ℜ 
5) Sabendo que T é um automorfismo do ℜ2 e que 





=−=
−
3
2
,
3
1)0,1(Te)1,1()1,0(T 1 , determine a 
expressão da T e da 1T− . Resp: 




 −+
=−+= −
3
yx2
,
3
yx)y,x(Te)yx2,yx()y,x(T 1